微積分初步單元輔導(dǎo)二(導(dǎo)數(shù)微分及其應(yīng)用)

1、 微積分初步單元輔導(dǎo)二（導(dǎo)數(shù)微分及其應(yīng)用）微積分初步學(xué)習(xí)輔導(dǎo)導(dǎo)數(shù)與微分部分學(xué)習(xí)重難點(diǎn)解析(一)關(guān)于導(dǎo)數(shù)的概念函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是一個(gè)增量之比的極限，即我們把稱為函數(shù)的平均變化率，把稱為變化率，若存在則可導(dǎo)，否則不可導(dǎo).導(dǎo)數(shù)是由極限定義的，故有左導(dǎo)數(shù)和右導(dǎo)數(shù).在點(diǎn)處可導(dǎo)必有函數(shù)在點(diǎn)處左右導(dǎo)數(shù)都存在且相等.(二)導(dǎo)數(shù)、微分和連續(xù)的關(guān)系由微分的定義可知(1)函數(shù)的可導(dǎo)與可微是等價(jià)的，即函數(shù)可導(dǎo)一定可微；反之可微一定可導(dǎo).(2)計(jì)算函數(shù)的微分，只要計(jì)算出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)再乘上自變量的微分即可；因此，我們可以將微分的計(jì)算與導(dǎo)數(shù)的計(jì)算歸為同一類運(yùn)算.(3)由定理可知，連續(xù)是可導(dǎo)的必要條件，那么，函數(shù)可微也一定連續(xù).反之

2、不然，即連續(xù)函數(shù)不一定是可導(dǎo)或可微函數(shù).(三)導(dǎo)數(shù)的幾何意義由切線問題分析可知，函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)就是曲線在點(diǎn)（，處切線的斜率。于是，在點(diǎn)（，處的切線方程為 (四)關(guān)于導(dǎo)數(shù)的計(jì)算掌握導(dǎo)數(shù)的計(jì)算首先要熟記導(dǎo)數(shù)基本公式和求導(dǎo)法則.在我們這門課程中所學(xué)習(xí)的求導(dǎo)法則和方法有：(1)導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則；(2)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則；(3)隱函數(shù)求導(dǎo)方法.對于上述法則和方法在實(shí)用中要注意其成立的條件.在導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則中，應(yīng)該注意乘法法則和除法法則，注意它們的構(gòu)成形式并注意解題的技巧.例如，求.這是一個(gè)分式求二階導(dǎo)數(shù)的問題，形式上應(yīng)該用導(dǎo)數(shù)的除法法則求解，但是，如果將函數(shù)變形為再求導(dǎo)數(shù)就應(yīng)該用導(dǎo)數(shù)的加法法則了.

3、假如我們掌握了一些解題的技巧，會(huì)使我們的運(yùn)算變得簡單還會(huì)減少錯(cuò)誤.復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)數(shù)是學(xué)習(xí)的重點(diǎn)也是難點(diǎn)，它的困難之處在于對函數(shù)的復(fù)合過程的分解.由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則知，復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為在求導(dǎo)時(shí)將分解為(其中為中間變量)，然后分別對中間變量和自變量求導(dǎo)再相乘.那么如何進(jìn)行分解就是解題的關(guān)鍵，一般的說，所設(shè)的中間變量應(yīng)是基本初等函數(shù)或基本初等函數(shù)的四則運(yùn)算，這樣就會(huì)對于分別都要有導(dǎo)數(shù)公式或法則可求導(dǎo).如果分解后找不到求導(dǎo)公式，則說明分解有誤.例如函數(shù)，其分解為.于是分別求導(dǎo)為，.相乘得到.有一種錯(cuò)誤的分解是，這樣在求導(dǎo)時(shí)會(huì)發(fā)現(xiàn)沒有導(dǎo)數(shù)公式可以來求.隱函數(shù)的特點(diǎn)是變量y與x的函數(shù)關(guān)系隱藏在方程中，例如，

4、其中的不但是y的函數(shù)，還是x的復(fù)合函數(shù).所以對于求導(dǎo)數(shù)時(shí)應(yīng)該用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，先對y的函數(shù)求導(dǎo)得，再乘以y對x的導(dǎo)數(shù).由于y對x的函數(shù)關(guān)系不能直接寫出來，故而只能把y對x的導(dǎo)數(shù)寫為.一般地說，隱函數(shù)求導(dǎo)數(shù)分為下列兩步： 方程兩邊對自變量x求導(dǎo)，視y為中間變量，求導(dǎo)后得到一個(gè)關(guān)于的一次方程； 解方程，求出y對x的導(dǎo)數(shù).總之，導(dǎo)數(shù)公式和求導(dǎo)法則是要靠練習(xí)來熟悉和理解的，我們應(yīng)該通過練習(xí)掌握方法并從中獲得技巧.微積分初步學(xué)習(xí)輔導(dǎo)導(dǎo)數(shù)與微分部分典 型 例 題例1 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分：(1)設(shè)，求.(2)設(shè)，求(3)設(shè)，求.分析 這三個(gè)函數(shù)都是由基本初等函數(shù)經(jīng)過四則運(yùn)算得到的初等函數(shù)，求導(dǎo)或求微分

5、時(shí)，需要用到導(dǎo)數(shù)基本公式和導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則.對于(1)先用導(dǎo)數(shù)的加法法則，再用導(dǎo)數(shù)基本公式；對于(2)，可以先用導(dǎo)數(shù)除法法則，再用基本公式；但注意到(2)中函數(shù)的特點(diǎn)，先將函數(shù)進(jìn)行整理，則可用導(dǎo)數(shù)的加法法則求導(dǎo)，得到函數(shù)的導(dǎo)數(shù)后再乘以，得到函數(shù)的微分；對于(3)用導(dǎo)數(shù)除法法則，再用基本公式.解(1) = = =(2)因?yàn)樗?，于?.(3)因?yàn)?= =所以=在運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則應(yīng)注意： 在求導(dǎo)或求微分運(yùn)算中，一般是先用法則，再用基本公式； 把根式寫成冪次的形式，這樣便于使用公式且減少出錯(cuò)； 解題時(shí)應(yīng)先觀察函數(shù)，看看能否對函數(shù)進(jìn)行變形或化簡，在運(yùn)算中盡可能的避免使用導(dǎo)數(shù)的除法法則. 如例1

6、中的(2)小題，將變形為后再求導(dǎo)數(shù)，這種解法比直接用除法法則求解要簡便且不易出錯(cuò).導(dǎo)數(shù)的乘法和除法法則與極限相應(yīng)的法則不同，運(yùn)算也相對復(fù)雜得多，計(jì)算時(shí)要細(xì)心.例2 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分：(1) 設(shè)，求.(2) 設(shè)，求.(3) 設(shè)，求.分析 采用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，所設(shè)的中間變量應(yīng)是基本初等函數(shù)或基本初等函數(shù)的四則運(yùn)算.求導(dǎo)時(shí)，依照函數(shù)的復(fù)合層次由最外層起，向內(nèi)一層層地對中間變量求導(dǎo)，直至對自變量求導(dǎo)為止.解(1)設(shè)，利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，有代回還原得在基本掌握復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則后，也可以不寫出中間變量，如下解法：(2)設(shè)，利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，有代回還原得或著(3)設(shè)，利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則和導(dǎo)數(shù)

7、的四則運(yùn)算法則有，代回還原得或著例3求下列方程所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分：(1)，求； (2) ，求.分析 隱函數(shù)的特點(diǎn)是：因變量y與自變量x的對應(yīng)關(guān)系是隱藏在方程中的.因此，在求導(dǎo)數(shù)時(shí)，不要忘記y是x的函數(shù)，在對y的函數(shù)求導(dǎo)后切記再乘以y對x的導(dǎo)數(shù).依隱函數(shù)求導(dǎo)數(shù)的步驟求導(dǎo).解(1)方法1 由導(dǎo)數(shù)得到微分.方程兩邊對自變量x求導(dǎo)，視y為中間變量，有 即 整理方程，解出，得=方法2 方程兩邊對變量求微分，這時(shí)變量y和x的地位是相同的，即不再將y看作x的函數(shù).=(2)方程兩邊對自變量x求導(dǎo)，視y為中間變量，有 于是 整理方程解出，得.例4 求由曲線在點(diǎn)的切線方程.分析 如果函數(shù)可導(dǎo)，函數(shù)曲線在點(diǎn)

8、處的切線方程為因此求曲線在某點(diǎn)處的切線方程，必須知道兩點(diǎn)：曲線在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)；切點(diǎn). 此題中，切點(diǎn)已知，只需對隱函數(shù)方程求導(dǎo)數(shù)，求出.解方程兩邊對求導(dǎo)，得解出，得于是，在點(diǎn)的切線方程為即 請注意：求曲線的切線方程是導(dǎo)數(shù)概念的一個(gè)重要應(yīng)用，一般地，在題目中只給出切線方程的兩個(gè)要點(diǎn)中的一個(gè)，另一個(gè)是要根據(jù)已知條件求出來的.再則，如果已知條件中只給了切點(diǎn)的橫坐標(biāo)，那么縱坐標(biāo)可以通過得到.例5 求函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù).分析函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)為函數(shù)一階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù).(如果仍然可導(dǎo)).解 因?yàn)?所以 .微積分初步學(xué)習(xí)輔導(dǎo)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用部分學(xué)習(xí)輔導(dǎo)一、學(xué)習(xí)重、難點(diǎn)解析（一）函數(shù)的單調(diào)性與極值：函數(shù)的單調(diào)性判別法，函數(shù)極值及其

9、求法。 了解駐點(diǎn)、極值點(diǎn)、極值等概念。了解可導(dǎo)函數(shù)極值存在的必要條件。知道極值點(diǎn)與駐點(diǎn)的區(qū)別與聯(lián)系。 掌握用一階導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間、極值與極值點(diǎn)（包括判別）的方法。1函數(shù)單調(diào)性的判別方法：求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的步驟為： （1）確定函數(shù)的定義域； （2）求出函數(shù)在其定義域內(nèi)的點(diǎn)和導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)，這些點(diǎn)把定義域分成若干子區(qū)間； （3）確定在每個(gè)子區(qū)間內(nèi)的符號(hào)：一般在該區(qū)間內(nèi)任取一點(diǎn)，求出的符號(hào)，由于在該區(qū)間內(nèi)有單調(diào)性，故的符號(hào)就是在該區(qū)間內(nèi)的符號(hào). （4）根據(jù)每個(gè)子區(qū)間內(nèi)的符號(hào)，確定的單調(diào)增減性，得到的單調(diào)區(qū)間.2.函數(shù)極值的求法：求函數(shù)極值的步驟為：（1）確定函數(shù)的定義域，并求的導(dǎo)數(shù)；（2）解方程，

10、求出在定義域內(nèi)的所有駐點(diǎn)；（3）找出在定義域內(nèi)的所有導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)；（4）討論在駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)的左、右兩側(cè)附近符號(hào)變化情況，確定函數(shù)的極值點(diǎn).（二）最大值、最小值問題掌握求解一些簡單的實(shí)際問題中最大值和最小值的方法，以幾何問題為主。函數(shù)最值得求法：求函數(shù)最值的步驟為：（1）求函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)，確定函數(shù)在指定區(qū)間的內(nèi)的駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)；（2）求出所給區(qū)間上所有駐點(diǎn)、不可導(dǎo)點(diǎn)及邊界點(diǎn)的函數(shù)值進(jìn)行比較；（3）上述駐點(diǎn)、不可導(dǎo)點(diǎn)及邊界點(diǎn)的函數(shù)值中最大者為最大值，最小者為最小值.二、典型例題例1在指定區(qū)間10，10內(nèi)，函數(shù)（ ）是單調(diào)增加的。A.B. C.D. 解 這個(gè)題目主要考察同學(xué)們對基本初等函數(shù)圖形的

11、掌握情況。因它們都是比較簡單的函數(shù)，從圖形上就比較容易看出它們的單調(diào)性。A中是正弦函數(shù)，它的圖形在指定區(qū)間10，10內(nèi)是波浪形的，因此不是單調(diào)增加函數(shù)。B中是指數(shù)函數(shù)，(=<0，故它是單調(diào)減少函數(shù)。C中是冪函數(shù)，它在指定區(qū)間10，10內(nèi)的圖形是拋物線，因此不是單調(diào)增加函數(shù)。根據(jù)排除法可知正確答案應(yīng)是D。也可以用求導(dǎo)數(shù)的方法驗(yàn)證：因?yàn)樵谥付▍^(qū)間10，10內(nèi)，有故是單調(diào)增加函數(shù)。正確的選項(xiàng)是D。例2 函數(shù)的單調(diào)增加區(qū)間是（ ）。解 用求導(dǎo)數(shù)的方法，因?yàn)榱顒t，則函數(shù)的單調(diào)增加區(qū)間是。例3 函數(shù)的駐點(diǎn)是.解 根據(jù)駐點(diǎn)定義，令，得。應(yīng)該填寫 例4 函數(shù)的最小值點(diǎn)是x = 解 因?yàn)楹瘮?shù)在點(diǎn)x = 1處連續(xù)但導(dǎo)數(shù)不存在，且當(dāng)x >1或x < 1時(shí)，f (x) > f (1)，所以點(diǎn)x = 1是函數(shù)的最小值點(diǎn)。應(yīng)該填寫 1 。例4應(yīng)用題圓柱體上底的中心到下底的邊沿的距離為l，問當(dāng)?shù)装霃脚c高分別為多少時(shí)，圓柱體的體積最大？求曲線上的點(diǎn)，使其到點(diǎn)的距離最短。解：如圖所示，圓柱體高與底半徑滿