隨機(jī)過(guò)程第十二講分析

1、5 均方極限 上面討論了二階矩過(guò)程的定義和基本性質(zhì)。寬平穩(wěn)過(guò)程是二階矩中的一類(lèi)，正交增量過(guò)程也屬于二階矩過(guò)程。以下各節(jié)將進(jìn)一步研究二階矩過(guò)程的一些性質(zhì)，如討論二階矩過(guò)程的連續(xù)性、導(dǎo)數(shù)和積分等概念，即希望把數(shù)學(xué)分析中的一些方法推廣到研究二階矩過(guò)程。這部分內(nèi)統(tǒng)稱(chēng)為隨機(jī)分析。 連續(xù)性、導(dǎo)數(shù)和積分的基礎(chǔ)是極限的概念，在隨機(jī)分析中也是一樣。為了研究二階矩過(guò)程的連續(xù)性、導(dǎo)數(shù)和積分，也必須定義隨機(jī)變量序列的極限。隨機(jī)變量序列的極限有許多種定義的方法，本書(shū)中采用均方極限的概念，因此后面的討論實(shí)際上研究二階矩過(guò)程在均方意義下的隨機(jī)分析。本書(shū)首先研究隨機(jī)變量序列在均方意義下收斂的定義、性質(zhì)以及均方收斂的判定準(zhǔn)則。

2、定義 設(shè)有隨機(jī)變量序列 , 3 , 2 , 1,nn存在二階矩，即;, 3 , 2 , 1,2nnE又有隨機(jī)變量，它也存在二階矩， 即;2E如果02limnEn則稱(chēng)序列 n均方收斂于，或序列的均方極限為，用nnmi l . .表示之。 n（2） nnEEnEmi ln. .lim222即極限和取均值可以交換次序。但先取極限時(shí)，指的是取均方極限。定理一 設(shè)有存在二階矩的隨機(jī)變量序列 , 3 , 2 , 1,nn及二階矩隨，且,. .nnmi l則有： （1） nnnmi lEEE.lim機(jī)變量 證 （1） 利用許瓦茲不等式 nEEEEEnnn21由于nnmi l . .，即02limnEn故當(dāng)

3、nnnnmi lEEEn. .lim時(shí)(2) 利用三角不等式2E22EEnEEEEnEnEnn2222nEnnEEEEE2212122222nEE222即 nEEnE222同理設(shè) nn可得 nEnE22故 nEnEE2222E0,2nEn時(shí) 故DDnEEnEnnnmi llim. .lim222因而當(dāng) 定理二 設(shè)有隨機(jī)序列 , 3 , 2 , 1,nnn、和隨機(jī)變量,且,. . .2mi lmi lnnnE 證 nnEnnEbababa22 利用三角不等式 02221222122nnnnEbEaEbaba所以 babami lnn. .,222EnEnEbabannnmi l. .為任意常數(shù)，

4、則ba,定理三 設(shè)隨機(jī)變量序列 , 3 , 2 , 1,nnn、均存在二階矩，隨機(jī),均有二階矩，且,. .nnmi l則,. .nnmi l證 EEnmnmEnmmnEnmmnEEE 22222121EEEEmn所以 EEnmnmlim變量 EEnmnmlim02221 nmnmEE定理四 均方極限是唯一的，即設(shè) n, 3 , 2 , 1n是具有二階矩的為兩個(gè)具有二階矩的隨機(jī)變量， 且則有,. . .nnnnmi lmi l隨機(jī)變量序列，、所以 證 因?yàn)閚nE EEEEnnnn上式兩邊取代入，右邊用左邊用nnn, 2EEEnnn 0 EEEEEEEEnnnnn故 即02E，因此均方極限是、唯一

5、的。則左邊為右邊為 如果已知二階矩隨機(jī)變量序列, 3 , 2 , 1,nn設(shè)想判定該序列是否是否存在，即使存在也不知道因此直接利用均方收斂的定義02nE來(lái)判定該序列 n收斂與否是困難的。 下面討論兩個(gè)常用的判定準(zhǔn)則。 均方收斂。由于并不知道為何， 定理五 柯西準(zhǔn)則設(shè), 3 , 2 , 1;nn是隨機(jī)變量序列，且 均方收則nnE,202limmnEmn證 利用三角不等式 mnmnEmnEEE221221222的充要條件是即nmi ln. .斂于如果序列 n，則 02limnEn02limmEm02limmnEmn上面僅證明了定理的必要性，沒(méi)有證明充分性。然而該條件是充分必要的。由于證明充分性要利

6、用測(cè)度論的知識(shí)，這里就不再證明了。 均方收斂于故定理六 LOEVE準(zhǔn)則則是隨機(jī)變量序列，且, 3 , 2 , 1;2nEnn的充分條件是mnmnElim常數(shù)（c） 設(shè) nnnmi l . .即均方收斂于 證 ：設(shè)利用許瓦茲不等式nnmi l . .nnEE22 因02 nnE 故0 nnE 或 nnnnmi lEEE. .lim2而 02222 mnmEnEnnnnEE02nnE即0mnmnE0limmnmnmnEEEE或 022limmnmnEEEE即cEEmnmn2lim已知 cEEmnmn2limmEEEnEmnEmnmn222故 02limccccmnEmn上面證明了必要性，下面證明其

7、充分性。根據(jù)柯西準(zhǔn)則，必存在隨機(jī)變量0. .nnmi l使例 設(shè)有一具有二階矩的隨機(jī)變量序列 nnn, 3 , 2 , 1;的相關(guān) .,2121nnnnRE 并定義, 3 , 2 , 1,nan問(wèn)應(yīng)具備什么條件才能使 n為均方收斂序列。解 nkmiikikEmnEaa11nkmiikikRaa11,根據(jù)LOEVE收斂準(zhǔn)則，如果 n為均方收斂，則要求 mnEmnlim=常數(shù)（c）函數(shù)為。若有序列 ,1nkkkna nkmiikikEaa11 即要求級(jí)數(shù)常數(shù)cikkiikRaa,11即要求ikkiikRaa,11為收斂級(jí)數(shù)。定理七 設(shè)有二階矩變量序列, 3 , 2 , 1;nn及二階矩隨機(jī)變量，且

8、,. .mi ln設(shè)f（u）是一確定性函數(shù)，且滿(mǎn)足李不西茲（Lipschite） vuMvfuf為常數(shù)。又設(shè)M條件，即其中 則均為二階矩隨機(jī)變量，和fn, 3 , 2 , 1 ffnnmi l. . ,nf證 因 nnMff222 nEnEMff222 而 02lim. .nEnnnmi l或故 02limffnEn即 ffnnmi l. .推論 設(shè),. .nnmi l則對(duì)于任意有限的 ，均收斂于即若n則n的特征函數(shù)收斂于的特征函數(shù)，從而n的分布函數(shù)收斂于的分布函數(shù)。, t有,expexp. .jtjtnnmi l6 二階矩過(guò)程的連續(xù)性 (一) 隨機(jī)過(guò)程是一族樣本函數(shù)，樣本函數(shù)是過(guò)程的一次觀測(cè)

9、所得的結(jié)果。如果他的每一樣本函數(shù)在t點(diǎn)都是連續(xù)的，則可稱(chēng)該過(guò)程，即除了那足上述關(guān)系，則稱(chēng)該隨機(jī)過(guò)程以概但是用這種方法來(lái)定義過(guò)程的連續(xù)性，其限制未免太嚴(yán)了一些。（二）今后用均方意義的極限來(lái)描述隨機(jī)過(guò)程的連續(xù)性。均方連續(xù)的定義 設(shè)有二階矩過(guò)程 t在每一個(gè)t點(diǎn)， 020limthtEh即 httmi lh. .0 t在t點(diǎn)連續(xù)?；蛴酶怕收撝谐Ｓ玫霓k法 ： 如果0對(duì)幾乎所有的樣本函數(shù)滿(mǎn)足 ttlim0些以零概率出現(xiàn)的樣本函數(shù)才不滿(mǎn) 率1在t連續(xù)。有,t 則稱(chēng) t在任意一個(gè)t點(diǎn)是均方意義連續(xù)的，或稱(chēng) t下連續(xù)的 隨機(jī)過(guò)程，或稱(chēng)該二階矩過(guò)程具有均方連續(xù)性。 是均方意義定理一 設(shè)有二階矩過(guò)程 tsRTtt,

10、; 為自相關(guān)函數(shù)，則 t在Ttt0上均方連續(xù)的充要條件為它的自相關(guān)函數(shù)tsR ,在TTtt00,處連續(xù)。（三）均方連續(xù)的準(zhǔn)則 證 （1）設(shè)TtstsRttt000, 在處連續(xù) 則 ttttttttthtRhRhRhhRE000000002,00當(dāng)0h時(shí)，上式右方趨于0，故 00020limthtEh或 ttmi lhh000. .（2） 反之，若 t在Ttt0處均方連續(xù)，根據(jù)許瓦茲不等式 ttEkthtEttRkthtR, tkttktthtE tkttEktthtE tktEtEktEthtE22222121當(dāng)0, 0,0khTtt時(shí)等式右邊趨于0，這就意味著 TttRkhRttttkh,0

11、00000lim所以在 T上均方連續(xù)的充要條件是TttttsR;, 在上二元連續(xù)。 若TttttsR;, 在上二元連續(xù)，則 TTtst00,在上均方連續(xù)，即 tmi lttt0. .0 smi lsss0. .0于是根據(jù)5定理三得 tsEtsEtsts00lim00即如果tsR ,在對(duì)角線Tts/上每點(diǎn)連續(xù)，則在整個(gè)X平面上tsR ,也是連續(xù)的，兩者是等價(jià)的。(四) 若二階矩隨機(jī)過(guò)程 t是在均方意義下連續(xù)的，則 tEhtEhlim0tsRtsRtsts00,lim00即證 根據(jù)均方意義下連續(xù)的定義知 020limthtEh 利用5中定理一即可得 htEtEhtEmi lhh. .lim00即在

12、均方連續(xù)的條件下，取平均和取極限的次序是可以交換的。但先取極限時(shí)指的是取均方極限。（五）上面討論適用于一般的二階矩過(guò)程。如果二階矩過(guò)程是寬平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程，則有如下 的定理。 定理二 設(shè) tt ,是寬平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程，則以下的各條件是等價(jià)的： t均方連續(xù)；在t=0點(diǎn)均方連續(xù)； t自相關(guān)函數(shù) 在R上連續(xù)； 自相關(guān)函數(shù) 0在R處連續(xù)。或者說(shuō)，寬平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程 tt ,均方連續(xù)的充要條件是其 0在R處續(xù)。 證 （1） 先證明、的等價(jià)性。由于 t是寬平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程， thtthtEhttEthtEEE222 0200hRRRREhh相關(guān)函數(shù)則故是等價(jià)的，。（2）證明 000hEEhEhRR 022021EhEhE

13、（根據(jù)許瓦茲不等式） 根據(jù)假定 t是均方連續(xù)的，即 020limhEh故 0lim0RRhh (對(duì)所有 )因此 （3）在（2）的證明中，設(shè)（4）證明 hhhhERRRRRRtht02022如果條件成立，即相關(guān)函數(shù) 0在R處連續(xù)，則 00lim0RRhh 00lim0RRhh0，即可證明故 020limthtEh即 因此，判斷一個(gè)平穩(wěn)過(guò)程是否均方連續(xù)，只要研究它的相關(guān)函數(shù) R是否連續(xù)；如果 0在R處連續(xù)，則該過(guò)程為均方連續(xù)的。判斷隨機(jī)過(guò)程均方連續(xù)例 7 均方導(dǎo)數(shù)(一) 隨機(jī)函數(shù)能否求導(dǎo)？如果隨機(jī)過(guò)程 t的所有樣本函數(shù) hththlim0存在，則 hththtlim0/就是它導(dǎo)數(shù)定義 設(shè)有隨機(jī)過(guò)程

14、 Ttt,和隨機(jī)過(guò)程 Ttt,，設(shè)當(dāng)0h時(shí)， 處的均方導(dǎo)數(shù)。 的樣本函數(shù)。但該條件限制過(guò)嚴(yán)，因此今后也采用均方意義下的概 都能使 念來(lái)定義過(guò)程的導(dǎo)數(shù)。 hhtt00均方收斂于 ,0t其中 tt0/0，則用,00ThTtt表示，并稱(chēng) t0為過(guò)程 t在tt0如在整個(gè)T內(nèi)有 020limththtEh （1）則稱(chēng) dttdtt/為隨機(jī)過(guò)程 t在均方意義下的導(dǎo)數(shù)。但是（1）式中的 t一般并沒(méi)有給出，因此往往不能用（1） t是否求導(dǎo)，于是采用 5的柯西準(zhǔn)則來(lái)定義： 0200limktkththtEkh則稱(chēng) t可以在均方意義下求導(dǎo)。如果 記 tdttdththtmi lh/0. .則稱(chēng)它為 t在t處的均方

15、導(dǎo)數(shù)或均方微商。(二) 均方可導(dǎo)的判斷準(zhǔn)則式來(lái)判斷定理一 設(shè)有二階矩過(guò)程 t，它的自相關(guān)函數(shù)為stR ,，則 t在Ttt0處具有均方導(dǎo)數(shù)的充要條件為ststR,2在tt00,附近tt00,處連續(xù)。 證 若 t在處均方可導(dǎo)，則要求 hhttmi lh000. .存在。根據(jù)eveLo準(zhǔn)則，它存在的充要條件為存在且在t0 kkhhEttttkh000000lim存在。 現(xiàn)考慮下面的等式關(guān)系 kkhhEtttt0000ttttttttRhRkRkhRhk00000000,1若ttststR002,在存在，它意味著tttstR00,在的附近存在tttttttttttthRkhRthRhRkRkhR010

16、01000000000,其中101由于ttststR002,在存在且連續(xù)，則可以在一次利用中值定理khRtskhRkhRttttttt20102010010,且連續(xù)。根據(jù)中值定理，有因此 kRtskkhhEtttttt201020000,因tttsstR002,在處連續(xù)，故 lim00,2000000,tttsstRkkhhEttttkh于是定理得證。 由此可知，eveLo/準(zhǔn)則包含有 00,20/0/,ttstRstEtt因此 Ttt,在T上均方可導(dǎo)的充要條件是在一切Tttt,ststR,2存在，且在（t，t）上連續(xù)。如果stRst,2在一切Tttt,上存在且連續(xù)，則有下列等式 stRths

17、tRshtRshthtEstEhh,limlim00/上 stRskstRkstRkskstEstEkk,limlim00/同理 stRtsstE,2/ 均方導(dǎo)數(shù)還有下列性質(zhì):(1)設(shè) tt、為二均方可導(dǎo)的隨機(jī)過(guò)程,a,b為常數(shù),則 tbta也均方可導(dǎo),且 dttdbdttdatbtadtd(2)設(shè) t為均方可導(dǎo)的隨機(jī)過(guò)程,f(t)為一確定性的可導(dǎo)的函數(shù),則 ttf也是均方可導(dǎo)的,且 dttdtftdttdfttfdtd(3) 的數(shù)學(xué)期望為 dttdEhtEhtEhthtEhthtEtEhhhmi llimlim. .000,上式說(shuō)明,如果 t為均方可導(dǎo),則 t,的數(shù)學(xué)期望為 t數(shù)學(xué)期望的 t

18、E為確定性函數(shù)故可求導(dǎo). t, t,導(dǎo)數(shù),而(三)對(duì)于平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程,上述分析可以簡(jiǎn)化.如果 t為平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程,則 ,RstRstR其中st 若 R存在,T,而且在0處 R連續(xù),則 t在Tt 內(nèi)均方 RstE/它可以從二階矩過(guò)程存在均方導(dǎo)數(shù)的條件中直接得到.由于 RstRstR, RdRdstRst222,可導(dǎo),且st 當(dāng)t=s時(shí)0,此時(shí)ststRst,2 0022RdRd 若平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程為實(shí)過(guò)程,此時(shí)相關(guān)函數(shù) R為偶函數(shù),即 RR.若該過(guò)程 t R在0處有二階導(dǎo)數(shù)存在,即要求 R在0為連續(xù)函數(shù), 0/在R也連續(xù),因此 00/R tE=常數(shù),那么它的均方 t/的數(shù)學(xué)期望為0,即 0/tEdtdt

19、E(四)求高階導(dǎo)數(shù)存在均方導(dǎo)數(shù)，則要求由于平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的數(shù)學(xué)期望導(dǎo)數(shù)如果二階矩過(guò)程 t的均方導(dǎo)數(shù) t/仍滿(mǎn)足均方求導(dǎo)的條件,果二階矩過(guò)程 t的均方導(dǎo)數(shù)則可以重復(fù)運(yùn)用上面的原理求 t/ t.依次類(lèi)推,如的相關(guān)函數(shù)有2n階導(dǎo)數(shù),且在對(duì)角線(t=s)上連 t有均方意義下的n階導(dǎo)數(shù) tn續(xù)，則,即 ttdnnntd存在因此 ,2ststEstRstRnnnnnnn tEdtdEtdtdnnnn ststEstRstRmnnmmnmn,如果 t是平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程,則 RdRnmnmmmndttEmn1設(shè) t t、為兩個(gè)二階矩過(guò)程,則 stEstR, shthtEstEstmi lRh. .0/, stEsh

20、tEhh1lim0sttstshthRRRh,1lim0同理 stsEstRstRmnmnmnmn,求隨機(jī)過(guò)程是否均方可微例(五)泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)若 tt ,為平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程, R為它的自相關(guān)函數(shù);是解析的,即 存在各階導(dǎo)數(shù),且 !00nnnnRR即可用泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi),則 t可以用泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi),t可以 !0nttnnn其中 tn代表隨機(jī)過(guò)程 t的n階導(dǎo)數(shù),它是均方意義下的n階導(dǎo)數(shù).如果自相關(guān)函數(shù) R R R表示成證 由于自相關(guān)函數(shù) R的各階導(dǎo)數(shù)均存在,故 tn是存在的. tntnnn!0設(shè)若能證明 02ttE(1)則就說(shuō)明 !.0nttsmtnnn現(xiàn)證明(1)式如下: ttE2ttttE !0nttt

21、EtttEnnn根據(jù) R存在各階導(dǎo)數(shù),故 Rm也存在各階導(dǎo)數(shù). Rm可用 !00nnnnmmRR泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)因此 tnttEtttEmnnnm0! 0!0011 nnmnnmmmRR而 ,!0mttmmm它是 tm的線性組合,因此0tttE把R在附近展開(kāi)成泰勒級(jí)數(shù) !0nnnnRR取,得 !001nnnnnRR !0001nnnnnRRR tttE 0!0!001 ntnttEnnnnnnnRR因此 02ttE 即 !.0nttsmtnnn8 隨機(jī)積分 （一） 定義 設(shè) btabtat為定義在,上的二階矩過(guò)程，, th為定義在a，b上的任意確定性函數(shù)，其中 為一參數(shù)；現(xiàn)把 a，b分成n個(gè)間隔b

22、attttn210并設(shè) ttttttiiiiiini, 3 , 2 , 1,11為中的一點(diǎn)；又設(shè) tttttttsiniiininiihiih111,于是 為以sn為參數(shù)的隨機(jī)函數(shù)；如果存在 ，且不依賴(lài)于的選擇有 020maxlimsnEtniti或 01,lim20maxniiiiEtttthni則稱(chēng) tthsn，并稱(chēng)均方收斂于在a，b上均方可積，仿 sn的均方極限為 dttthab,即 tttmi lininabiihtdttthi10max,. .,數(shù)學(xué)分析中黎曼積分的表示法，記并稱(chēng) tthdtthab,為在a，b上的均方積分?？梢?xún)H是t的函數(shù)f（t）。一般概率方面的書(shū)籍是用f（t）,

23、th定義均方積分的。 , th而不是用本書(shū)考慮到今后均方積分要用于卷積，所以采用了這樣的方法定義它。除用均方積分外，也可以從樣本函數(shù)來(lái)定義隨機(jī)積分。若 t是隨機(jī)過(guò)程的一個(gè)樣本函數(shù)，, th為確定性函數(shù)，那么對(duì) , tht作一黎曼積分，這是一個(gè)普通函數(shù)的積分，即 tttininbacaiihtdttthi10max,lim由于過(guò)程在每次試驗(yàn)中得到的樣本函數(shù)是不同的，因而上由此提出一個(gè)問(wèn)題，兩種方式定義的隨機(jī)積分是否等價(jià)？下面 t述積分是一隨積變量。用概率論中的一個(gè)定理來(lái)說(shuō)明之。定理 設(shè)有一定義在概率空間p, 的隨機(jī)變量序列 n均方收斂于某一極限，以概率收斂于另一個(gè)極限，則著兩個(gè)極限以概率1相等。

24、 由于 sn是一隨機(jī)序列， sn均方收斂于 ,sm而另一個(gè)方 ca，因此，根據(jù)上述定理，兩者以 casm和的下標(biāo)去僅用 表示之。 面從樣本函數(shù)積分定義了概率1相等。為了簡(jiǎn)便起見(jiàn)，今后可以把掉，(二)均方可積的準(zhǔn)則定理 tth,在a，b上均方可積的充要條件是 dtduuhthRbaba, 存在。證 利用veLoe/準(zhǔn)則來(lái)證明。 tttsininiih1,是一隨機(jī)序列，它是對(duì)有限可作另一種分割，區(qū)間a，b作一種分割下得到的。對(duì)a，b得到另一隨機(jī)序列 uuuskmknkkh1,于是 utuuttsskinimkmnkhkiihEE,11utututkinimkkiEkhih,11ututRutkin

25、imkkikhih,11上式中utRki,是隨機(jī)過(guò)程 t的自相關(guān)函數(shù)。由于該過(guò)程為二階矩過(guò)程，自相關(guān)函數(shù)是存在的，且是一個(gè)確定性函數(shù)。如果存在，則根據(jù) ssmnmnElimveLoe/準(zhǔn)則 sn收斂，即均方積分存在，因此當(dāng)均方 dtduutuhthEutRssbabamnnmki,lim0max0max 存在時(shí)， tth,在a，b上的均方積分存在。 0,lim2baEdttthba若區(qū)間不是有限區(qū)間則應(yīng)理解為 存在的條件應(yīng)為 dtduutuhthR,此時(shí) 可以表示為 dttth, 上述等式應(yīng)理解為均方意義下的等式。 （三）由于 本身是參數(shù)的隨機(jī)函數(shù)，故可對(duì) 取均值， 21t乘積的均值，即可求

26、dttEthtthEEbaba, ,的相關(guān)函數(shù) 也可取 2121RE的均值為 的相關(guān)函數(shù)為 babadtduutuhthEER212121, dtduutuhthRbaba,21 （四）均方積分的一些性質(zhì)（1）若 ,;baTtt為均方連續(xù)隨機(jī)過(guò)程，則對(duì)一切Tt有 tatatataduuuEduuuEattaEdvvuEduu2證第二個(gè)不等是顯然的，因此只需證明第一個(gè)不等式。設(shè)1,th，則 tatatatadudvvuEdudvvuEtaEduu2而 dudvdudvvuEdudvvuEtaEtatatatatatavEuEduu 22212 taduuE2212 duEatduEdvtatat

27、auu2221（2）設(shè)在a,b上均方連續(xù)，則 dubabauEduuE222121證 由于 t t在a，b上均方連續(xù)，則 vuEvuR,為,babavuR在上可積，故 duuba上式右方的積分也存在。 連續(xù)函數(shù)，于是 存在， niiinbauumi lEduuE122. .2121niiiuuEn1221lim duibaininuEuuE2221121lim或 duEbabauduuE2212上面的證明中應(yīng)用了三角不等式。（3）設(shè) t t、在a，c上均方可積，為常數(shù)，則有 dttdttdtttcacaca若cba，則 dttdttdttcbbaca（4）若 t在a，b上均方連續(xù)，設(shè) duuttabta 則 t在a，b上均方連續(xù)，均方可導(dǎo)，且有 tt/證 均方連續(xù)是顯然的，現(xiàn)證明 t均方可導(dǎo)。 、 ththtE2 httEhttEdutuhtduuh1122 tuEdutuEhhtuhtt22max122當(dāng)0h時(shí)上式右邊趨于0，故 t均方可導(dǎo)，且 tsmt/推論 若 t均方可導(dǎo)，且 t/均方連續(xù)，則 dttabba/9 隨機(jī)微分方程這里僅討