D函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性PPT學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1D函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性2P134T5(1, 2),(2, 3),(3, 4)上上. .( )(1)(2)(3)(4),f xxxxx 不不用用求求出出函函數(shù)數(shù)的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)( )0.fx 說(shuō)說(shuō)明明方方程程有有幾幾個(gè)個(gè)實(shí)實(shí)根根, ,并并指指出出它它們們所所在在的的區(qū)區(qū)間間解：解：(1)(2)(3)(4)0( ).fffff x 由由已已知知, ,且且為為多多項(xiàng)項(xiàng)式式函函數(shù)數(shù)( )1,2f x則則在在上上滿滿足足羅羅爾爾定定理理的的條條件件, ,11(1,2),()0.f 使使同同理理，22(2,3),()0.f 使使33(3,4),()0.f 使使( )0f

2、x 至至即即方方程程三三少少有有個(gè)個(gè)實(shí)實(shí)根根，( )0fx 由由于于方方程程是是三三次次方方程程，( )0fx 至至多多有有所所以以方方程程三三個(gè)個(gè)實(shí)實(shí)根根，( )0fx 綜綜上上只只有有三三所所述述: :方方程程個(gè)個(gè)實(shí)實(shí)根根, ,它它們們分分別別在在區(qū)區(qū)間間第1頁(yè)/共29頁(yè)3證明等式證明等式arcsinarccos, 1,1.2xxx 證證: 設(shè)設(shè)( )arcsinarccos,f xxx ( 1,1) 則則在在上上( )fx ( )arcsin( 1,1)arccosf xxxC 則則在在上上 (常數(shù)常數(shù)) 令令 x = 0 , 得得.2C ( 1),2f 又又故所證等式在定義域故所證等式

3、在定義域 上成立上成立. 1,1 211x 211x 0 P134 T6 推論推論: 若函數(shù)若函數(shù)( )f xI則則在在 上上是一個(gè)常數(shù)是一個(gè)常數(shù).( )( )0,f xIfx 在在區(qū)區(qū)間間 上上滿滿足足第2頁(yè)/共29頁(yè)4000 ,1 , 型型 型型0 型型00型型 型型1gffg1111gfgffg gyf 令令lngfye 回味：回味：( )( )limlim( )( )xaxaf xfxF xFx 洛必達(dá)法則洛必達(dá)法則第3頁(yè)/共29頁(yè)5第四節(jié)一、函數(shù)單調(diào)性的判定法一、函數(shù)單調(diào)性的判定法 二、曲線的凹凸與拐點(diǎn)二、曲線的凹凸與拐點(diǎn)函數(shù)的單調(diào)性與 曲線的凹凸性 第三三章 第4頁(yè)/共29頁(yè)6(

4、) , f xC a b ( , )a b ( )( )( ),f bf afba ( )( , )f xD a b 1.拉格朗日定理：拉格朗日定理：復(fù)習(xí)：復(fù)習(xí)：12( ),f xC xx 12(,)xx 2121()()( )()f xf xfxx 12( )(,)f xD xx 1212,xxIxx當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)，12()(),f xf x 若若稱稱 ( )f x為為 I 上的上的單調(diào)單調(diào)增增函數(shù)函數(shù) ;12()(),f xf x 若若稱稱 ( )f x為為 I 上的上的單調(diào)單調(diào)減減函數(shù)函數(shù) ;( ),.yf xxDID 設(shè)設(shè)區(qū)區(qū)間間2.增減函數(shù)的定義：增減函數(shù)的定義：第5頁(yè)/共29頁(yè)7定理定理

5、1：( )0(1( , )xa bfx 若若有有證明：證明：1212, , ,x xa bxx , ,且且由拉格朗日中值定理由拉格朗日中值定理,得得2121()()( )()f xf xfxx ，)(21xx , 012 xx( )0,f 21( )( )f xf x 21()( )f xf x ( )0,f ( ) , f xa b在在上上單單調(diào)調(diào)增增加加. .( ) , ( , ).yf xa ba b 設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)在在上上連連續(xù)續(xù), ,在在內(nèi)內(nèi)可可導(dǎo)導(dǎo)( )0(2( , )xa bfx 若若有有( ) , f xa b在在上上單單調(diào)調(diào)減減少少. .( )0(1( , )xa bfx 若若

6、有有( ) , f xa b在在上上單單調(diào)調(diào)增增加加. .( )0(2( , )xa bfx 若若有有( ) , f xa b在在上上單單調(diào)調(diào)減減少少. .證畢證畢1.利用導(dǎo)數(shù)的符號(hào)判斷函數(shù)的單調(diào)性利用導(dǎo)數(shù)的符號(hào)判斷函數(shù)的單調(diào)性一、函數(shù)單調(diào)性的判定法一、函數(shù)單調(diào)性的判定法說(shuō)明：說(shuō)明：(2)單調(diào)區(qū)間應(yīng)首先為連續(xù)區(qū)間單調(diào)區(qū)間應(yīng)首先為連續(xù)區(qū)間.(1)定理中的區(qū)間換成其它有限或無(wú)限區(qū)間，定理中的區(qū)間換成其它有限或無(wú)限區(qū)間，結(jié)論仍然成立結(jié)論仍然成立.( )0,fxxI ( )f x函函數(shù)數(shù)在在 I 上單調(diào)上單調(diào)遞增遞增( )0,fxxI ( )f x函函數(shù)數(shù)在在 I 上單調(diào)上單調(diào)遞減遞減定理定理1：I其

7、其中中 為為開(kāi)開(kāi)區(qū)區(qū)間間第6頁(yè)/共29頁(yè)8例例1.ln(1).yxx 討討論論函函數(shù)數(shù)的的單單調(diào)調(diào)性性解解:111yx 00,yx 令令，得得x)0 , 1( ), 0( y y則單調(diào)增加區(qū)間是：則單調(diào)增加區(qū)間是：0,) ，單調(diào)遞減區(qū)間是：?jiǎn)握{(diào)遞減區(qū)間是：).0 , 1( 的定義區(qū)間為的定義區(qū)間為，),1( )1ln(xxy ，xx 1列列表表判判斷斷如如下下：( )0,fxxI ( )f x函函數(shù)數(shù)在在 I 上單調(diào)上單調(diào)遞增遞增( )0,fxxI ( )f x函函數(shù)數(shù)在在 I 上單調(diào)上單調(diào)遞減遞減定理定理1：求求)(xf的連續(xù)區(qū)間；的連續(xù)區(qū)間；求求，)(xf 求駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)；求駐點(diǎn)和不可導(dǎo)

8、點(diǎn)；用用中的點(diǎn)分割連續(xù)區(qū)間中的點(diǎn)分割連續(xù)區(qū)間,列表判斷列表判斷.經(jīng)驗(yàn)：求經(jīng)驗(yàn)：求 的單調(diào)區(qū)間的單調(diào)區(qū)間(判斷單調(diào)性判斷單調(diào)性)的步驟的步驟:)(xf化為化為積商；積商；第7頁(yè)/共29頁(yè)9例例2.解解:.)(32的的單單調(diào)調(diào)區(qū)區(qū)間間確確定定函函數(shù)數(shù)xxf ).,(:D)0(,32)(3 xxxf.,0導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)不不存存在在時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) xxy y )0 ,( ),0( 則單調(diào)增加區(qū)間是：則單調(diào)增加區(qū)間是：，), 0( 單調(diào)遞減區(qū)間是：?jiǎn)握{(diào)遞減區(qū)間是：(,0. 列列表表判判斷斷如如下下：注意到：注意到：x駐駐點(diǎn)點(diǎn)或或?qū)?dǎo)數(shù)數(shù)不不存存在在的的點(diǎn)點(diǎn) 可可能能是是增增減減區(qū)區(qū)間間的的分分界界點(diǎn)點(diǎn). .yOx3

9、2yx 第8頁(yè)/共29頁(yè)10( )0,fxxI ( )f x函函數(shù)數(shù)在在 I 上單調(diào)上單調(diào)遞增遞增( )0,fxxI ( )f x函函數(shù)數(shù)在在 I 上單調(diào)上單調(diào)遞減遞減定理定理1：說(shuō)明說(shuō)明: 1) 如果函數(shù)在某駐點(diǎn)兩邊導(dǎo)數(shù)同號(hào)如果函數(shù)在某駐點(diǎn)兩邊導(dǎo)數(shù)同號(hào), 則不改變函數(shù)的單調(diào)性則不改變函數(shù)的單調(diào)性 .例如例如,3,(,)yxx 23yx 00 xy 2)定理中的條件是定理中的條件是充分條件充分條件而非必要條件，而非必要條件，( )0.f x 單單增增3)定理中定理中( )0( )0fxfx 換換成成，若等號(hào)僅在若等號(hào)僅在有限個(gè)有限個(gè)點(diǎn)點(diǎn)處處成立成立,則函數(shù)仍單調(diào)增加則函數(shù)仍單調(diào)增加.4) 函數(shù)

10、的單調(diào)性是一個(gè)區(qū)間上的性質(zhì)函數(shù)的單調(diào)性是一個(gè)區(qū)間上的性質(zhì),要用導(dǎo)數(shù)在區(qū)間要用導(dǎo)數(shù)在區(qū)間I上的符號(hào)來(lái)判定上的符號(hào)來(lái)判定,而而不能用一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)符號(hào)不能用一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)符號(hào)來(lái)判別區(qū)來(lái)判別區(qū)間間I上的單調(diào)性上的單調(diào)性( )0.f x 單單增增yOx3yx 第9頁(yè)/共29頁(yè)11例例3.證證:0,ln(1).xxx當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí) 試試證證成成立立( )ln(1),f xxx 設(shè)設(shè)( ).1xfxx 則則( )0,),(0,),( )0,f xfx 在在上上連連續(xù)續(xù) 且且在在內(nèi)內(nèi)可可導(dǎo)導(dǎo)( )0,)f x 在在上上單單調(diào)調(diào)增增加加；(0)0f 由由于于時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)0 xln(1)0,xx).1ln(xx 即即2.

11、利用單調(diào)性證明不等式利用單調(diào)性證明不等式.經(jīng)驗(yàn)：經(jīng)驗(yàn)：用單調(diào)性證明不等式的步驟：用單調(diào)性證明不等式的步驟：將不等式變形為一邊為零將不等式變形為一邊為零, ,另一邊就是要設(shè)的另一邊就是要設(shè)的( ).f x輔輔助助函函數(shù)數(shù)判斷判斷 的單調(diào)性的單調(diào)性. . ( )f x與端點(diǎn)的函數(shù)值比較可得所證與端點(diǎn)的函數(shù)值比較可得所證的不等式的不等式.( )(0)f xf 第10頁(yè)/共29頁(yè)12例例4. 21:01,.1xxxex 證證明明 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)證證: 只要證只要證2(1)10 (01)xx exx 2( )(01)1()1,xxf xx ex 設(shè)設(shè)，(0)0f 則則2( )(12 )1,xfxx e (0)

12、0f 2( )40(01)xfxxex 0,1()fx 在在上上單單調(diào)調(diào)減減，01,( )(0)0 xfxf 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)01,( )(0)0 xf xf 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)0,1( )f x在在上上單單調(diào)調(diào)減減，所以原不等式成立所以原不等式成立.說(shuō)明：說(shuō)明：1)為快速的證明為快速的證明, ,可對(duì)不等式做恒等變形后可對(duì)不等式做恒等變形后再設(shè)輔助函再設(shè)輔助函數(shù)數(shù).01x如如：時(shí)時(shí)，11xxxeex ()提提示示：兩兩邊邊取取對(duì)對(duì)數(shù)數(shù)2)為證不等式為證不等式( )0( ).fxfx , ,可可用用的的單單調(diào)調(diào)性性第11頁(yè)/共29頁(yè)13例例5. 證明方程證明方程5510 xx 5( )51,f xxx設(shè)設(shè)(0)1

13、,(1)3.ff 且且0()0,f x 使使有且僅有一個(gè)小于有且僅有一個(gè)小于1 的正實(shí)根的正實(shí)根.證證: 1) 存在性存在性 .( )0,1,f x則則在在上上連連續(xù)續(xù)由由零點(diǎn)定理零點(diǎn)定理知存在知存在0(0,1),x 即方程有小于即方程有小于 1 的正根的正根0.x2) 唯一性唯一性 .44( )555(1)0,(0,1)fxxxx ( )0(0,1)f x 在在內(nèi)至多有一個(gè)實(shí)根內(nèi)至多有一個(gè)實(shí)根.所以方程有且僅有一個(gè)小于所以方程有且僅有一個(gè)小于 1 的正根的正根.定理：?jiǎn)握{(diào)函數(shù)在其單調(diào)區(qū)間內(nèi)最多有一個(gè)零點(diǎn)定理：?jiǎn)握{(diào)函數(shù)在其單調(diào)區(qū)間內(nèi)最多有一個(gè)零點(diǎn).3.利用單調(diào)性證明根的惟一性利用單調(diào)性證明根的

14、惟一性,討論方程根的個(gè)數(shù)討論方程根的個(gè)數(shù).0,1( )f x在在上上單單調(diào)調(diào)減減，思考思考:如何討論方程如何討論方程 有幾個(gè)實(shí)根？有幾個(gè)實(shí)根？( )0f x 第12頁(yè)/共29頁(yè)14試確定試確定 的根的個(gè)數(shù)的根的個(gè)數(shù),并指出根的范圍并指出根的范圍.2xeax 例例6. 解：解：做恒等變形做恒等變形(分離常數(shù)分離常數(shù))21xx ea 令令21( )xf xx ea ( )(2)xfxxx e 得駐點(diǎn)：得駐點(diǎn)：0,2xx有三個(gè)單調(diào)區(qū)間有三個(gè)單調(diào)區(qū)間(,0),(0,2),(2,)1lim( ),(0)0,xf xfa 211(2)4, lim( )0.xfef xaa 討論：討論：(2)0f 時(shí)有三個(gè)

15、根在時(shí)有三個(gè)根在(,0),(0,2),(2,)(2)0f 時(shí)有兩個(gè)根在時(shí)有兩個(gè)根在(,0)2x 和和(2)0f 時(shí)有一個(gè)根在時(shí)有一個(gè)根在(,0).02x 0a 由由已已知知第13頁(yè)/共29頁(yè)15回憶回憶( )0fx 若若( )f x 增增，( )0fx 若若( )fx 增增；( )0f x 若若( )0fx 若若( ).fx 減減觀察：觀察：2(0,)yxyx與與在在內(nèi)內(nèi)單單調(diào)調(diào)增增加加， 雖然都是雖然都是增增函數(shù)，函數(shù)，但曲線的形狀不一樣但曲線的形狀不一樣.2xy xy yxo( )f x 減減， 所以為了解曲線的形狀所以為了解曲線的形狀，只知道單調(diào)性是不夠的，只知道單調(diào)性是不夠的.第14頁(yè)

16、/共29頁(yè)16二、二、曲線的凹凸與拐點(diǎn)曲線的凹凸與拐點(diǎn).問(wèn)題問(wèn)題:xyoxyo)(xfy 曲線弧曲線弧位于任一位于任一切線切線下方下方.xyo)(xfy 曲線弧曲線弧位于任一位于任一切線切線上方；上方；ABC如何研究曲線的彎曲方向如何研究曲線的彎曲方向?凹凹凸凸第15頁(yè)/共29頁(yè)17yox2x1x221xx 1.定義：定義：( )f xI設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)在在區(qū)區(qū)間間 上上連連續(xù)續(xù)，12,xxI ，(1) 若恒有若恒有1212()()()22xxf xf xf ，( )f x則則稱稱的的圖圖形形是是凹凹的的；(2) 若恒有若恒有1212()()()22xxf xf xf ，( )f x則則稱稱的的圖

17、圖形形是是凸凸的的；yox1x221xx 2x說(shuō)明：說(shuō)明：曲線：凹（凸）弧曲線：凹（凸）弧 ：凹凸區(qū)間：凹凸區(qū)間.I切線上的縱坐標(biāo)切線上的縱坐標(biāo) 凸函數(shù)的函數(shù)值凸函數(shù)的函數(shù)值 弦上的縱坐標(biāo)弦上的縱坐標(biāo). 凸弧凸弧:第16頁(yè)/共29頁(yè)181x2x1x2x1 2 1 2 凹凹2121),(,xxbaxx 21kk )()(21xfxf )(xf 單調(diào)增單調(diào)增( )0fx ；特征：特征： 凹凹( )0.fx 凸凸2121),(,xxbaxx 21kk )()(21xfxf )(xf 單調(diào)減單調(diào)減( )0fx ；特征：特征： 凸凸( )0.fx 反之：反之：( )0fx 凹凹，( )0fx 凸凸 成立

18、嗎？成立嗎？)(xfy xyoabAB)(xfy xyoab第17頁(yè)/共29頁(yè)192.凹凸性的判定定理：凹凸性的判定定理：( ) , ( , ).(1)( , )( )0( ) , (2)( , )( )0( ) ,2f xa ba ba bfxf xa ba bfxf xa b 設(shè)設(shè)在在上上連連續(xù)續(xù), ,在在內(nèi)內(nèi)具具有有一一階階和和二二階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)如如果果在在內(nèi)內(nèi), ,則則在在上上的的圖圖形形是是的的；如如果果在在內(nèi)內(nèi), ,則則在在上上的的圖圖形形定定理理 ：凹凹是是凸凸的的. .注意注意：該定理?yè)Q成其它區(qū)間仍然成立該定理?yè)Q成其它區(qū)間仍然成立.( )0,( )fxxIyf xI 曲曲線線在在

19、 上上是是凹凹的的. .( )0,( )fxxIyf xI 曲曲線線在在 上上是是凸凸的的. .+注意注意:函數(shù)的函數(shù)的凹凸區(qū)間凹凸區(qū)間應(yīng)首先為它的應(yīng)首先為它的連續(xù)區(qū)間連續(xù)區(qū)間.定理定理2：例例1.lnyx 判斷曲線判斷曲線的凹凸性的凹凸性.解解：ln(0,),yx 的的定定義義域域?yàn)闉?11,yyxx (0,),0 xy 且且ln(0,)yx 在在內(nèi)內(nèi)是是凸凸的的. .I其其中中 為為開(kāi)開(kāi)區(qū)區(qū)間間第18頁(yè)/共29頁(yè)20例例2.3xy 解：解：,32xy ,6xy ,0 y, 0 y注意到注意到,判斷曲線判斷曲線的凹凸性的凹凸性.0 x當(dāng)當(dāng)時(shí)，時(shí)，0 ,( 所以所以在在內(nèi)是凸的內(nèi)是凸的.0 x

20、當(dāng)當(dāng)時(shí)，時(shí)，), 0 所以所以在在內(nèi)是凹的內(nèi)是凹的.)0 , 0(點(diǎn)點(diǎn)是曲線是曲線由凸變凹的分界由凸變凹的分界點(diǎn)點(diǎn).3(,),yx 的的定定義義域域?yàn)闉檎f(shuō)明：說(shuō)明： 凹凸性可用于證明不等式：如凹凸性可用于證明不等式：如0,0ab所所以以時(shí)時(shí)，333().22abab 3(,0).yx 因因在在上上是是凸凸的的1212()()()( )22xxf xf xff x 定定義義: :若若恒恒有有, ,則則稱稱的的圖圖形形是是凸凸的的；3yx yOx第19頁(yè)/共29頁(yè)21例例3. 求求3xy 的凹凸區(qū)間的凹凸區(qū)間.解：解：定義域?yàn)槎x域?yàn)椋?,( 2313yx ，35192xy 3xy 有二階不可導(dǎo)點(diǎn)

21、有二階不可導(dǎo)點(diǎn)，0 xoxy列表討論二階導(dǎo)數(shù)的符號(hào)列表討論二階導(dǎo)數(shù)的符號(hào),來(lái)判定凹凸性來(lái)判定凹凸性.y xy(,0) ), 0( 0 不存在不存在說(shuō)明：說(shuō)明： 凹凸區(qū)間分界點(diǎn)的可疑點(diǎn)：凹凸區(qū)間分界點(diǎn)的可疑點(diǎn)：( )0( ).fxfxx 或或不不存存在在的的 值值3yx 第20頁(yè)/共29頁(yè)22( )yf x 連連續(xù)續(xù)曲曲線線上上凹凹弧弧與與凸凸弧弧的的分分界界點(diǎn)點(diǎn) 00,()xf x，.稱稱為為該該曲曲線線的的拐拐點(diǎn)點(diǎn)(1)定義定義:3.曲線的拐點(diǎn)及其求法：曲線的拐點(diǎn)及其求法：yox2)拐點(diǎn)處的切線必在拐點(diǎn)處穿過(guò)曲線拐點(diǎn)處的切線必在拐點(diǎn)處穿過(guò)曲線.1)拐點(diǎn)是拐點(diǎn)是曲線上曲線上的點(diǎn)的點(diǎn),是一對(duì)有序

22、的實(shí)數(shù)是一對(duì)有序的實(shí)數(shù).3)拐點(diǎn)的橫坐標(biāo)是連續(xù)區(qū)間拐點(diǎn)的橫坐標(biāo)是連續(xù)區(qū)間內(nèi)內(nèi)的點(diǎn)的點(diǎn),不可能是區(qū)間不可能是區(qū)間的端點(diǎn)的端點(diǎn).4)拐點(diǎn)的橫坐標(biāo)的可疑點(diǎn)：拐點(diǎn)的橫坐標(biāo)的可疑點(diǎn)：( )0,( ).fxfxx 不不存存在在的的點(diǎn)點(diǎn)注意注意:(2)求拐點(diǎn)方法求拐點(diǎn)方法1:00()0 ,.fxx 且且或或在在處處二二階階不不可可導(dǎo)導(dǎo)則則01)( )fxx 若若在在 的的兩兩側(cè)側(cè)異異號(hào)號(hào)00(,() ).xf x為為拐拐點(diǎn)點(diǎn)0( ),f xx設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)在在 的的鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)二二階階可可導(dǎo)導(dǎo)02)( )fxx 若若在在 的的兩兩側(cè)側(cè)不不變變號(hào)號(hào)00(,() ).xf x不不是是拐拐點(diǎn)點(diǎn)第21頁(yè)/共29頁(yè)23

23、例例4. 求曲線求曲線 的凹凸區(qū)間及拐點(diǎn)的凹凸區(qū)間及拐點(diǎn).2232(1)yx22434(3)9 (1)xyx 解解: 1) 定義區(qū)間：定義區(qū)間：1234(1),3yx x 3) 求拐點(diǎn)可疑點(diǎn)的橫坐標(biāo)求拐點(diǎn)可疑點(diǎn)的橫坐標(biāo)0y 令令123 ,3,xx 得得y (,) 2) 不存在的點(diǎn)：不存在的點(diǎn)：1x 4) 列表判別列表判別00凹凹凹凹凸凸不不不不凸凸凸凸拐拐點(diǎn)點(diǎn)拐拐點(diǎn)點(diǎn)(,3) (3,1)( 1,1) y xy3 1 1(1,3)3( 3,)故凹區(qū)間為：故凹區(qū)間為：(,3),( 3,) ，(3,3) 2233(3,22 ),( 3,22 )拐點(diǎn)為：拐點(diǎn)為：凸區(qū)間為：凸區(qū)間為：第22頁(yè)/共29頁(yè)2

24、4說(shuō)明說(shuō)明1:4( ),(0)0(0 0).f xxf 如如但但， 不不是是拐拐點(diǎn)點(diǎn)說(shuō)明說(shuō)明2:000( ),(,().f xxxf x若若在在 處處二二階階不不可可導(dǎo)導(dǎo)也也可可能能是是拐拐點(diǎn)點(diǎn)13,0.yxx 如如在在處處二二階階不不可可導(dǎo)導(dǎo), ,但但它它是是拐拐點(diǎn)點(diǎn)說(shuō)明說(shuō)明3:0.yxyx 拐拐點(diǎn)點(diǎn)橫橫坐坐標(biāo)標(biāo)的的可可疑疑點(diǎn)點(diǎn)的的點(diǎn)點(diǎn) 及及 不不存存在在的的點(diǎn)點(diǎn)00( )()f xxf x若若二二階階可可導(dǎo)導(dǎo), ,且且，是是拐拐點(diǎn)點(diǎn)0()0.fx .反反之之不不一一定定成成立立求函數(shù)的求函數(shù)的連續(xù)連續(xù)區(qū)間；區(qū)間；求出求出；y 求求0 y的根及的根及y 不存在的根；不存在的根；列表判斷列表判

25、斷說(shuō)明說(shuō)明4:求曲線的凹凸區(qū)間及拐點(diǎn)的步驟如下：求曲線的凹凸區(qū)間及拐點(diǎn)的步驟如下：第23頁(yè)/共29頁(yè)25證：證：0()0,fx 設(shè)設(shè)(3)求拐點(diǎn)方法求拐點(diǎn)方法2:00000 ( ),(,()0,()0( ).f xxxf xyxxfffx 設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)在在的的鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)三三階階可可導(dǎo)導(dǎo) 且且而而那那末末是是曲曲線線的的拐拐點(diǎn)點(diǎn)P154T150000( )()()limxxfxfxfxxx 即即00( )limxxfxxx 0 00()U x 則則000( )(),0fxxU xxx 使使0( )0 xxfx 時(shí)時(shí)；0( )0.xxfx 時(shí)時(shí) 00,()( )xf xyf x 所所以以曲曲線線

26、的的拐拐點(diǎn)點(diǎn). .(2)求拐點(diǎn)方法求拐點(diǎn)方法1:00()0 ,.fxx 且且或或在在處處二二階階不不可可導(dǎo)導(dǎo)則則01)( )fxx 若若在在 的的兩兩側(cè)側(cè)異異號(hào)號(hào)00(,() ).xf x為為拐拐點(diǎn)點(diǎn)0( ),f xx設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)在在 的的鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)二二階階可可導(dǎo)導(dǎo)02)( )fxx 若若在在 的的兩兩側(cè)側(cè)不不變變號(hào)號(hào)00(,() ).xf x不不是是拐拐點(diǎn)點(diǎn)第24頁(yè)/共29頁(yè)26例例5.sincos(0,2 ).yxx 求求曲曲線線在在內(nèi)內(nèi)的的拐拐點(diǎn)點(diǎn)解：解：,sincosxxy ,cossinxxy .sincosxxy , 0 y令令.47,4321 xx得得2)43( f, 0 2)47( f, 0 (0,2 ) 在在內(nèi)內(nèi)曲曲線線有有拐拐點(diǎn)點(diǎn)為為37(,0),(,0).44曲線的彎曲方向曲線的彎曲方向凹凸性凹凸性;改變彎曲方向的點(diǎn)改變彎曲方向的點(diǎn)拐點(diǎn)拐點(diǎn);凹凸性的判定凹凸性的判定.求拐點(diǎn)求拐點(diǎn)2方方法法 適適用用于于：00()0.fxx 的的點(diǎn)點(diǎn)而而0()0,fx 第25頁(yè)/共29頁(yè)27內(nèi)容小內(nèi)容小結(jié)結(jié)1. 可導(dǎo)函數(shù)單調(diào)性判別可導(dǎo)函數(shù)單調(diào)性判別2.曲線凹凸的判別曲線凹凸的判別( )0,fxxI ( )f x函函數(shù)數(shù)在在 I 上單調(diào)上單調(diào)遞增遞增( )0,fxxI