D44有理函數(shù)積分64352PPT學習教案

1、會計學1D44有理函數(shù)積分有理函數(shù)積分64352)()()(xQxPxR nnnaxaxa110mmmbxbxb110有理函數(shù):nm時,)(xR為假分式;nm 時,)(xR為真分式有理函數(shù)相除多項式 + 真分 式分解其中部分分式的形式為kkqxpxNxMaxA)(;)(2)04,N(2qpk若干部分分式之和機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 第1頁/共31頁（1）分母中若有因式）分母中若有因式 ，則分解后為，則分解后為kax)( ,)()(121axAaxAaxAkkk 有理函數(shù)化為部分分式之和的一般規(guī)律：有理函數(shù)化為部分分式之和的一般規(guī)律：其中其中kAAA,21都是常數(shù)都是常數(shù).特殊地：特殊

2、地：, 1 k分解后為分解后為;axA 第2頁/共31頁（2）分母中若有因式）分母中若有因式 ，其中，其中kqpxx)(2 則分解后為則分解后為042 qpqpxxNxMqpxxNxMqpxxNxMkkkk 21222211)()(其中其中iiNM ,都是常數(shù)都是常數(shù)), 2 , 1(ki .特殊地：特殊地：, 1 k分解后為分解后為;2qpxxNMx 第3頁/共31頁;) 1(1) 1 (2xx;653)2(2xxx.)1)(21 (1)3(2xx解解:(1) 用拼湊法22) 1() 1(1xxxx2) 1(1x) 1(1xx2) 1(1x) 1( xx2) 1(1x11xx1) 1( xx

3、) 1( xx機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 第4頁/共31頁6532xxx)3)(2(3xxx2xA3xB原式)2(xA2x233xxx5原式)3(xB3x323xxx6故25x原式36x機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 第5頁/共31頁(2) 待定系數(shù)法待定系數(shù)法6532 xxx)3)(2(3 xxx,32 xBxA),2()3(3 xBxAx),23()(3BAxBAx , 3)23(, 1BABA,65 BA6532 xxx.3625 xx第6頁/共31頁)1)(21 (12xx xA2121xCBx原式)21 (xA21x54機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 代入等式兩端分別

4、令1 ,0 xC541215461CB 52B51C原式 =x214512112xx第7頁/共31頁CaxAln) 1( nCaxnAn1)(1xaxAd. 1xaxAnd)(. 2機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 xqxpxNxMd. 32xqxpxNxMnd)(. 42) 1,04(2nqp變分子為 )2(2pxM2pMN 再分項積分 第8頁/共31頁.)1)(21 (d2xxx解解: 已知)1)(21 (12xx51x214212xx211xxx21)21 ( d52原式221)1 ( d51xx21d51xxx21ln52)1 (ln512xCxarctan51例1(3) 目錄 上頁

5、 下頁 返回 結束 第9頁/共31頁.d3222xxxx解解: 原式xxxd3223)22(21x32)32d(2122xxxx32ln212xx22)2() 1() 1d(3xxCx21arctan23思考思考: 如何求機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 ?d)32(222xxxx提示提示:變形方法同例3, 并利用 P209 例9 . 第10頁/共31頁xxxd)4)(1(22)4() 1(22xx.d4555222423xxxxxxIxxxxxId4552243xxxxd455224245)55d(212424xxxx45ln2124xx2arctan21xCxarctan解解:機動 目錄

6、 上頁 下頁 返回 結束 說明說明: 將有理函數(shù)分解為部分分式進行積分雖可行,但不一定簡便 , 因此要注意根據(jù)被積函數(shù)的結構尋求簡便的方法. 第11頁/共31頁.d)22(222xxxx解解: 原式xxxd)22(22)22(2 xx)22(x1) 1(d2xx222)22()22d(xxxx) 1arctan( x2212xxC機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 第12頁/共31頁常規(guī) 目錄 上頁 下頁 返回 結束 解解: 原式xxd14) 1(2x) 1(2 x211d4xx(見P348公式21)2arctan2211xx21221 ln21xx21xxCxxxxd12122121xxxx

7、d121221212)(2121xx)d(1xx 2)(2121xx)d(1xx 注意本題技巧注意本題技巧xx21arctan2212Cxxxx1212ln24122)0( x按常規(guī)方法較繁按常規(guī)方法較繁第13頁/共31頁1d4xx第一步 令)(1224dxcxbxaxx比較系數(shù)定 a , b , c , d . 得) 12)(12(1224xxxxx第二步 化為部分分式 . 即令) 12)(12(111224xxxxx121222xxDxCxxBxA比較系數(shù)定 A , B , C , D .第三步 分項積分 .此解法較繁 !機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 第14頁/共31頁設)cos,(

8、sinxxR表示三角函數(shù)有理式 ,xxxRd)cos,(sin令2tanxt 萬能代換t 的有理函數(shù)的積分機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 1. 三角函數(shù)有理式的積分三角函數(shù)有理式的積分則第15頁/共31頁.d)cos1 (sinsin1xxxx解解: 令,2tanxt 則機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 222222cossincossin2sinxxxxx222tan1tan2xx212tt22222222cossinsincoscosxxxxx2222tan1tan1xx2211ttxdttd122第16頁/共31頁xxxxd)cos1 (sinsin1 2121tt212tt)1

9、(2211ttttd212tttd122121221tt 2tlnC2tan412x2tanxCx2tanln21機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 第17頁/共31頁.)0(cossind2222baxbxax解解: 原式xxd2cos1222tanbxa222)(tantand1abxxa)tanarctan(1xbabaC說明說明: 通常求含xxxxcossincos,sin22及的積分時,xttan往往更方便 .的有理式用代換機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 第18頁/共31頁. )0(d)cossin(12baxxbxa解法解法 1 xttan令原式 dx2)tan(bxax2co

10、s2)(dbtatCbtaa)(1Cxbxaax)cossin(cos機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 第19頁/共31頁xbxacossin)0(d)cossin(12baxxbxa解法解法 2 cos,sin2222babbaa令22baxbabxbaacossin2222sincos原式)(cosd1222xxbaCxba)tan(122Cbaxba)arctantan(122機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 baarctan第20頁/共31頁.dsinsin1cos2cos423xxxxx解解: 因被積函數(shù)關于 cos x 為奇函數(shù), 可令,sin xt 原式xx42sinsin1

11、xxxdcos)2(cos2xxx422sinsin1 ) 1(sin4221d) 1(tttttttd1t1221213)()d(211ttttCtt3arctan311Cxxsin3cosarctan312xsind機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 第21頁/共31頁,d),(xbaxxRn令nbxat,d),(xxRndxcbxa令ndxcbxat被積函數(shù)為簡單根式的有理式 , 可通過根式代換 化為有理函數(shù)的積分. 例如:機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 ,d),(xbaxbaxxRmn,pbxat令., 的最小公倍數(shù)為nmp第22頁/共31頁.21d3xx解解: 令,23xu則,2

12、3 uxuuxd3d2原式u123uuduuud11) 1(32uuud)111(33221uuu1lnC3223)2( x323x321ln3xC機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 第23頁/共31頁.d3xxx解解: 為去掉被積函數(shù)分母中的根式 , 取根指數(shù) 2 , 3 的最小公倍數(shù) 6 ,6tx 則有原式23ttttd65ttttd)111(626331t221ttt1lnCCxxxx)1(ln6632663令機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 第24頁/共31頁.d11xxxx解解: 令,1xxt則,112tx22) 1(d2dtttx原式原式tt) 1(2tttd) 1(222ttt

13、d1222t211lnttCxx12Cxxx1122ln機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 第25頁/共31頁1. 可積函數(shù)的特殊類型有理函數(shù)分解多項式及部分分式之和三角函數(shù)有理式萬能代換簡單無理函數(shù)三角代換根式代換2. 特殊類型的積分按上述方法雖然可以積出,但不一定 要注意綜合使用基本積分法 ,簡便計算 .機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 簡便 , 第26頁/共31頁如何求下列積分更簡便 ?)0(d. 1662axxaxxxxcossind. 23解解: 1.23233)()(d31xax原式Caxaxa33333ln61Caxaxa33333ln612. 原式xxxxxdcossincossin322xxxcossindxxxdsincos3xxtantandxx3sinsindxtanlnCx2sin121機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 第27頁/共31頁P218 3 , 6 , 8 , 9 , 13 , 15, 17 , 18 , 20 , 21第五節(jié) 目錄 上頁 下頁 返回 結束 第28頁/共31頁求不定積分解：解：.d)1 (126xxx令,1xt 則,1tx ttxd1d2, 故xxxd)1 (126161t)11 (2tttd)1(2tttd126ttttd)111(224551t331ttCt arctanCxxxx1arct