第五章數(shù)字濾波器的基本結(jié)構(gòu)

1、 第五章第五章 數(shù)字濾波器的基本結(jié)構(gòu)數(shù)字濾波器的基本結(jié)構(gòu) w 5.15.1數(shù)字濾波器結(jié)構(gòu)的表示方法數(shù)字濾波器結(jié)構(gòu)的表示方法w 5.25.2無限長(zhǎng)單位沖激響應(yīng)（無限長(zhǎng)單位沖激響應(yīng)（IIRIIR）濾波器的基本結(jié)構(gòu)）濾波器的基本結(jié)構(gòu)w 5.35.3有限長(zhǎng)單位沖激響應(yīng)（有限長(zhǎng)單位沖激響應(yīng)（FIRFIR）濾波器的基本結(jié)構(gòu)）濾波器的基本結(jié)構(gòu)數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)表示數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)表示由上式所得系統(tǒng)輸入輸出關(guān)系的常系數(shù)線性差分方程由上式所得系統(tǒng)輸入輸出關(guān)系的常系數(shù)線性差分方程)()(1)(10zXzYzazbzHNkkkMkkkNkMkkkknxbknyany10)()()( 數(shù)字濾波器的功能數(shù)字濾波器

2、的功能就是把輸入序列通過一定的運(yùn)就是把輸入序列通過一定的運(yùn)算變換成輸出序列算變換成輸出序列實(shí)現(xiàn)數(shù)字濾波器方法：實(shí)現(xiàn)數(shù)字濾波器方法：（1 1）計(jì)算機(jī)軟件）計(jì)算機(jī)軟件（2 2）專用數(shù)字硬件、數(shù)字信號(hào)處理器及通用數(shù)字信）專用數(shù)字硬件、數(shù)字信號(hào)處理器及通用數(shù)字信 號(hào)處理器號(hào)處理器數(shù)字濾波器基本實(shí)現(xiàn)單元：數(shù)字濾波器基本實(shí)現(xiàn)單元：加法器、單位延時(shí)和加法器、單位延時(shí)和 常數(shù)加法器常數(shù)加法器基本單元表示法：基本單元表示法：方框圖法和信號(hào)流程圖法方框圖法和信號(hào)流程圖法例：二階數(shù)字濾波器表示方法（例：二階數(shù)字濾波器表示方法（常系數(shù)線性差分方程）常系數(shù)線性差分方程）120( )(1)(2)( )y na y na

3、y nb x nx(n)x(n)x(n)x(n)注意：注意：（1 1）本書都只采用信號(hào)流圖來分析數(shù)字濾波器）本書都只采用信號(hào)流圖來分析數(shù)字濾波器（2 2）運(yùn)算結(jié)構(gòu)中，不同存儲(chǔ)單元影響復(fù)雜性，乘法）運(yùn)算結(jié)構(gòu)中，不同存儲(chǔ)單元影響復(fù)雜性，乘法次數(shù)影響運(yùn)算速度。不同運(yùn)算結(jié)構(gòu)的誤差、穩(wěn)定次數(shù)影響運(yùn)算速度。不同運(yùn)算結(jié)構(gòu)的誤差、穩(wěn)定性是不同的。性是不同的。（1 1）系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)）系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)h(n)h(n)是無限長(zhǎng)的。是無限長(zhǎng)的。（2 2）系統(tǒng)函數(shù)）系統(tǒng)函數(shù)H(z)H(z)在有限在有限z z平面上有極點(diǎn)存在。平面上有極點(diǎn)存在。（3 3）結(jié)構(gòu)上存在著輸出到輸入的反饋，即結(jié)構(gòu)是遞）結(jié)構(gòu)上存在著輸出到

4、輸入的反饋，即結(jié)構(gòu)是遞歸的。歸的。直接直接I I型、直接型、直接IIII型、級(jí)聯(lián)型和并聯(lián)型型、級(jí)聯(lián)型和并聯(lián)型系統(tǒng)輸入輸出關(guān)系的系統(tǒng)輸入輸出關(guān)系的N N階差分方程階差分方程構(gòu)成直接構(gòu)成直接I I型特點(diǎn)：型特點(diǎn)：（1 1） 表示將輸入及延時(shí)后的輸入組表示將輸入及延時(shí)后的輸入組 成成M M節(jié)的延時(shí)網(wǎng)絡(luò)，即橫向延時(shí)網(wǎng)絡(luò)，實(shí)現(xiàn)零點(diǎn)。節(jié)的延時(shí)網(wǎng)絡(luò)，即橫向延時(shí)網(wǎng)絡(luò)，實(shí)現(xiàn)零點(diǎn)。（2 2）表示輸出及其延時(shí)組成）表示輸出及其延時(shí)組成N N節(jié)延時(shí)網(wǎng)節(jié)延時(shí)網(wǎng) 絡(luò)，實(shí)現(xiàn)極點(diǎn)。絡(luò)，實(shí)現(xiàn)極點(diǎn)。（3 3）總的網(wǎng)絡(luò)由上面兩個(gè)網(wǎng)絡(luò)級(jí)聯(lián)而成。）總的網(wǎng)絡(luò)由上面兩個(gè)網(wǎng)絡(luò)級(jí)聯(lián)而成。（4 4）直接）直接I I型需要型需要N+MN+M級(jí)延時(shí)

5、單元。級(jí)延時(shí)單元。0()Mkkb x nkNkMkkkknxbknyany10)()()(1()Nkka y nk線性移不變系統(tǒng)，交換其級(jí)聯(lián)的子系統(tǒng)的次序，系線性移不變系統(tǒng)，交換其級(jí)聯(lián)的子系統(tǒng)的次序，系統(tǒng)函數(shù)不變，也就是總的輸入輸出關(guān)系不改變。統(tǒng)函數(shù)不變，也就是總的輸入輸出關(guān)系不改變。特點(diǎn)：特點(diǎn)：（1 1） 只需只需N N個(gè)延時(shí)單元，實(shí)現(xiàn)個(gè)延時(shí)單元，實(shí)現(xiàn)N N階濾波器所需要的階濾波器所需要的 最少延時(shí)單元。最少延時(shí)單元。（2 2） 系數(shù)系數(shù)a ak k、b bk k對(duì)濾波器的性能控制作用不明顯。對(duì)濾波器的性能控制作用不明顯。（3 3） 極點(diǎn)對(duì)系數(shù)變化過于靈敏，從而使系統(tǒng)的頻極點(diǎn)對(duì)系數(shù)變化過于靈

6、敏，從而使系統(tǒng)的頻 率響應(yīng)對(duì)系數(shù)的變化敏感，容易出現(xiàn)不穩(wěn)定或率響應(yīng)對(duì)系數(shù)的變化敏感，容易出現(xiàn)不穩(wěn)定或 產(chǎn)生較大誤差。產(chǎn)生較大誤差。系統(tǒng)函數(shù)按零極點(diǎn)進(jìn)行分解得系統(tǒng)函數(shù)按零極點(diǎn)進(jìn)行分解得把共軛因子組合成實(shí)系數(shù)的二階因子把共軛因子組合成實(shí)系數(shù)的二階因子H(z)H(z)完全分解成實(shí)系數(shù)的二階因子形式完全分解成實(shí)系數(shù)的二階因子形式1221111111111110)1)(1 ()1 ()1)(1 ()1 (1)(NkNkkkkMkkkMkkNkkkMkkkzdzdzczqzqzpAzazbzH122111121111221111)1 ()1 ()1 ()1 ()(NkNkkkkMkkkMkkzzzczzz

7、pAzHkkkkkkkzHAzzzzAzH)(11)(221122112211221111zzzz1111 zz223113223113222112222112221111221111111111zzzzzzzzzzzz特點(diǎn)：特點(diǎn)：（1 1）調(diào)整一階、二階基本節(jié)的零極點(diǎn)不影響其它基）調(diào)整一階、二階基本節(jié)的零極點(diǎn)不影響其它基 本節(jié)，便于調(diào)整濾波器頻率響應(yīng)特性。本節(jié)，便于調(diào)整濾波器頻率響應(yīng)特性。（2 2）零、極點(diǎn)有不同的配對(duì)方式，因此對(duì)于配合與）零、極點(diǎn)有不同的配對(duì)方式，因此對(duì)于配合與 排列次序有最優(yōu)化問題。排列次序有最優(yōu)化問題。將因式分解的將因式分解的H(Z)H(Z)展成部分分式的形式，得到并聯(lián)

8、展成部分分式的形式，得到并聯(lián)IIRIIR的基本結(jié)構(gòu)：的基本結(jié)構(gòu)：當(dāng)當(dāng)M MN N時(shí)，時(shí)，H(z)H(z)表示為表示為NMkkkNkNkkkkkkkNkkkMkkkzGzdzdzgBzcAzazbzH01111111012)1)(1 ()1 (11)(121122111101011)(NkNkkkkkkkzzzzcAGzH111az22111101zazazrr并聯(lián)型特點(diǎn)：并聯(lián)型特點(diǎn)：各并聯(lián)基本節(jié)間的誤差相互沒有影響，比級(jí)聯(lián)型各并聯(lián)基本節(jié)間的誤差相互沒有影響，比級(jí)聯(lián)型的誤差稍小。的誤差稍小。轉(zhuǎn)置定理：轉(zhuǎn)置定理：如果將原網(wǎng)絡(luò)中如果將原網(wǎng)絡(luò)中所有去路方向倒所有去路方向倒轉(zhuǎn)，并將輸入轉(zhuǎn)，并將輸入x(n

9、)x(n)和輸出和輸出y(n)y(n)相互交換，則其相互交換，則其系統(tǒng)函數(shù)系統(tǒng)函數(shù)H(z)H(z)不不變。變。例：已知一個(gè)因果線性移不變?yōu)V波器的系統(tǒng)函數(shù)為例：已知一個(gè)因果線性移不變?yōu)V波器的系統(tǒng)函數(shù)為畫出該系統(tǒng)以下形式的流圖。畫出該系統(tǒng)以下形式的流圖。（1）直接）直接型型（2 2）直接）直接型型（3 3）級(jí)聯(lián)型）級(jí)聯(lián)型（4 4）并聯(lián)型）并聯(lián)型)7 . 01)(9 . 02 . 01 (875. 01)(1211zzzzzH（1 1）將系統(tǒng)函數(shù)表示為）將系統(tǒng)函數(shù)表示為z z-1-1的多項(xiàng)式的形式。的多項(xiàng)式的形式。321163. 076. 05 . 01875. 01)(zzzzzHx(n)x(n)

10、y(n)y(n)z z-1-1z z-1-1z z-1-1z z-1-10.8750.8750.50.5-0.76-0.760.630.63(2)(2)直接直接型型x(n)x(n)y(n)y(n)z z-1-1z z-1-1z z-1-10.8750.8750.50.5-0.76-0.760.630.63（3 3）級(jí)聯(lián)型）級(jí)聯(lián)型z z-1-1z z-1-1z z-1-10.70.70.8750.875-0.2-0.2-0.9-0.9x(n)x(n)y(n)y(n)（4 4）并聯(lián)型）并聯(lián)型對(duì)于并聯(lián)結(jié)構(gòu)，必須用部分分式展開。對(duì)于并聯(lián)結(jié)構(gòu)，必須用部分分式展開。121112121121112117 .

11、017206.09 .02 .019265.02794.0)(7206.09265.02794.007 .09 .0875.07 .02 .01)7 .01)(9 .02 .01 ()7 .09 .0()7 .02 .0()(7 .019 .02 .01)7 .01)(9 .02 .01 (875.01)(zzzzzHCBABCACBCAzzzzBCzACBCAzCzzBzAzzzzzHx(n)x(n)y(n)y(n)0.72060.7206z z-1-1z z-1-1z z-1-10.70.70.27940.27940.92650.9265-0.2-0.2-0.9-0.9例：求下列網(wǎng)絡(luò)的系統(tǒng)

12、函數(shù)，并畫出等價(jià)的直接例：求下列網(wǎng)絡(luò)的系統(tǒng)函數(shù)，并畫出等價(jià)的直接型型。x(n)x(n)y(n)y(n)2 22 2-1/2-1/21/21/2z z-1-1z z-1-122111111111114112324211211211211212112112)(2111211212)(zzzzzzzzzzzHzzzzHx(n)x(n)y(n)y(n)4 42 2-3/2-3/21/41/4z z-1-1z z-1-1有限長(zhǎng)單位沖激響應(yīng)有限長(zhǎng)單位沖激響應(yīng)h(n)h(n)的特點(diǎn)：的特點(diǎn)：（1 1）系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)）系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)h(n)h(n)有有限個(gè)有有限個(gè)n n值處不為零。值處不為零。（2 2

13、）系統(tǒng)函數(shù)）系統(tǒng)函數(shù)H(Z)H(Z)在在|z|0|z|0處收斂，在處收斂，在|z|0|z|0處只有零處只有零點(diǎn)，全部極點(diǎn)都在點(diǎn)，全部極點(diǎn)都在z=0z=0處。處。（3 3）主要是非遞歸結(jié)構(gòu)，沒有輸出到輸入的反饋。）主要是非遞歸結(jié)構(gòu)，沒有輸出到輸入的反饋。)1(110) 1() 1 ()0()()(NNnnzNhzhhznhzH系統(tǒng)差分方程為系統(tǒng)差分方程為是線性移不變系統(tǒng)的卷積和公式，是是線性移不變系統(tǒng)的卷積和公式，是x(n)x(n)延時(shí)鏈的延時(shí)鏈的橫向結(jié)構(gòu)，稱為橫截型結(jié)構(gòu)或卷積型結(jié)構(gòu)，也可稱橫向結(jié)構(gòu)，稱為橫截型結(jié)構(gòu)或卷積型結(jié)構(gòu)，也可稱直接型結(jié)構(gòu)。直接型結(jié)構(gòu)。)1() 1() 1() 1 ()()

14、0()()()(10NnxNhnxhnxhmnxmhnyNm將將H(z)H(z)分解成實(shí)二階因子的乘積形式：分解成實(shí)二階因子的乘積形式：若其中若其中N/2N/2是取是取N/2N/2的整數(shù)部分。的整數(shù)部分。特點(diǎn)：特點(diǎn)：（1 1）這種結(jié)構(gòu)的每一節(jié)控制一對(duì)零點(diǎn)，因而在需）這種結(jié)構(gòu)的每一節(jié)控制一對(duì)零點(diǎn)，因而在需 要控制傳輸零點(diǎn)時(shí)采用。要控制傳輸零點(diǎn)時(shí)采用。（2 2）其系數(shù)及需要的乘法次數(shù)比卷積型多。）其系數(shù)及需要的乘法次數(shù)比卷積型多。2122110101)()()(NkkkkNnzzznhzH例：一個(gè)例：一個(gè)FIRFIR濾波器的單位采樣響應(yīng)為濾波器的單位采樣響應(yīng)為（1 1）畫出該系統(tǒng)的直接型實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)）

15、畫出該系統(tǒng)的直接型實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)（2 2）計(jì)算系統(tǒng)函數(shù)）計(jì)算系統(tǒng)函數(shù)H(z),H(z),并利用系統(tǒng)函數(shù)畫出并利用系統(tǒng)函數(shù)畫出FIRFIR系統(tǒng)與一個(gè)系統(tǒng)與一個(gè)IIRIIR系統(tǒng)級(jí)聯(lián)的結(jié)構(gòu)圖。系統(tǒng)級(jí)聯(lián)的結(jié)構(gòu)圖。解解：（：（1 1） 直接型實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)圖如下所示：直接型實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)圖如下所示：其他060)(nanhn661601)()(zaazznhzHnnx(n)x(n)y(n)y(n)z z-1-1z z-1-1z z-1-1z z-1-1z z-1-1z z-1-1a aa a2 2a a3 3a a4 4a a5 5a a6 6azaz-1-1a a2 2z z-2-2a a6 6z z-6-61 1（2

16、2）系統(tǒng)函數(shù)為）系統(tǒng)函數(shù)為收斂域?yàn)槭諗坑驗(yàn)閨z|0|z|0，H(z)H(z)可以用一個(gè)可以用一個(gè)IIRIIR系統(tǒng)與一個(gè)系統(tǒng)與一個(gè)FIRFIR系統(tǒng)級(jí)聯(lián)來實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)級(jí)聯(lián)來實(shí)現(xiàn)IIRIIR系統(tǒng)為系統(tǒng)為FIRFIR系統(tǒng)為系統(tǒng)為因此該系統(tǒng)的另一種實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)如下：因此該系統(tǒng)的另一種實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)如下：772111)(11)(zazHazzH60171601)(1)()(nnnnnazazzaznhzHx(n)x(n)y(n)y(n)z z-1-1z z-6-6a aa a-7-7由由H(k)H(k)表示表示H(z)H(z)的內(nèi)插公式（書的內(nèi)插公式（書P112P112）上述公式提供了兩部分級(jí)聯(lián)組成的濾波器結(jié)構(gòu)上述公式

17、提供了兩部分級(jí)聯(lián)組成的濾波器結(jié)構(gòu)其中第一部分為其中第一部分為這是一個(gè)這是一個(gè)FIRFIR子系統(tǒng)，由子系統(tǒng)，由N N節(jié)延時(shí)單元構(gòu)成的梳狀濾節(jié)延時(shí)單元構(gòu)成的梳狀濾波器。波器。1011)(1)1()(NkkNNzWkHNzzHNczzH1)(10)()(1)(NkkczHzHNzH令令則有則有它的頻率響應(yīng)為它的頻率響應(yīng)為( )10NcHzz 20,1,1jiNizeiN)2sin(21)(2NjeeeHNjNjjc2sin222122222222222NjejeejeeeeeeeeeNjNjNjNjNjNjNjNjNjNjNjNj因而幅度響應(yīng)為因而幅度響應(yīng)為相角為相角為| )2sin(|2| )(|

18、NeHjc20,024arg(),1,2222(1),jcmtoNNH emmtoNNmmmmtoNN級(jí)聯(lián)的第二部分為級(jí)聯(lián)的第二部分為它是由它是由N N個(gè)一階網(wǎng)絡(luò)并聯(lián)組成，而這每一個(gè)一階個(gè)一階網(wǎng)絡(luò)并聯(lián)組成，而這每一個(gè)一階網(wǎng)絡(luò)都是一個(gè)諧振器網(wǎng)絡(luò)都是一個(gè)諧振器令的分母為零，即令令的分母為零，即令得到一階網(wǎng)絡(luò)在單位圓上有一個(gè)極點(diǎn)得到一階網(wǎng)絡(luò)在單位圓上有一個(gè)極點(diǎn)也就是說，此一階網(wǎng)絡(luò)在頻率為也就是說，此一階網(wǎng)絡(luò)在頻率為處響應(yīng)為無窮大。處響應(yīng)為無窮大。( )kHz101101)()(NkkNNkkzWkHzH11)()(zWkHzHkNk110kNWz2jkkNkNzWe2kN缺點(diǎn)：缺點(diǎn)：極點(diǎn)在單位圓上，

19、由系數(shù)極點(diǎn)在單位圓上，由系數(shù)W WN N-k-k決定，當(dāng)系數(shù)決定，當(dāng)系數(shù)量化時(shí)，極點(diǎn)會(huì)移動(dòng)，若極點(diǎn)移到量化時(shí)，極點(diǎn)會(huì)移動(dòng)，若極點(diǎn)移到Z Z平面的單位圓平面的單位圓外，系統(tǒng)就不穩(wěn)定了。外，系統(tǒng)就不穩(wěn)定了。頻率抽樣結(jié)構(gòu)修正：頻率抽樣結(jié)構(gòu)修正：即將所有零極點(diǎn)都移動(dòng)到單位即將所有零極點(diǎn)都移動(dòng)到單位圓內(nèi)某一靠近單位圓、半徑為圓內(nèi)某一靠近單位圓、半徑為r r的圓上。的圓上。利用利用“時(shí)域序列的圓周卷積等效于頻域的離散頻譜時(shí)域序列的圓周卷積等效于頻域的離散頻譜的乘積的乘積”這一性質(zhì)。具體方法如下：這一性質(zhì)。具體方法如下：1 1、將、將x(n)x(n)和和h(n)h(n)變成變成L L點(diǎn)序列，點(diǎn)序列，2 2、

20、求、求x(n)x(n)和和h(n)h(n)各自的各自的L L點(diǎn)點(diǎn)DETDET X(k)=DETx(n) X(k)=DETx(n)，L L點(diǎn)點(diǎn) H(k)=DETh(n)H(k)=DETh(n)，L L點(diǎn)點(diǎn)11( ),01( )01x nnNx nNnL22( ),01( )01h nnNh nNnL3.3.將將X(k)X(k)與與H(k)H(k)相乘得相乘得Y(k)Y(k)4.4.求求Y(k)Y(k)的的L L點(diǎn)點(diǎn)IDETIDET，得，得y(n)y(n)則則L L點(diǎn)的圓周卷積就能代表線性卷積點(diǎn)的圓周卷積就能代表線性卷積這就得到圖這就得到圖5.255.25的快速卷積結(jié)構(gòu)。的快速卷積結(jié)構(gòu)。( ) (

21、 )( )( )( )( )y nIDET y kIDET X k H kx nh n12( )( )( )( )* ( )02y nx nh nx nh nnNN如果如果FIRFIR濾波器單位沖激響應(yīng)濾波器單位沖激響應(yīng)h(n)h(n)為實(shí)數(shù)，為實(shí)數(shù)，且滿足下列條件且滿足下列條件偶對(duì)稱偶對(duì)稱奇對(duì)稱奇對(duì)稱則其對(duì)稱中心在，則其具有嚴(yán)格線則其對(duì)稱中心在，則其具有嚴(yán)格線性相位。性相位。01nN)1()(nNhnh)1()(nNhnh(1)/2nNn nh(n)h(n)n nh(n)h(n)N N為偶數(shù)，如圖中為偶數(shù)，如圖中N N1010N N為奇數(shù)，如圖中為奇數(shù)，如圖中N N9 9n nh(n)h(n)n nh(n)h(n)該濾波器結(jié)構(gòu)討論：該濾波器結(jié)構(gòu)討論：其沖激響應(yīng)為其沖激響應(yīng)為h(n), h(n), , ,滿足上述對(duì)稱條件，其滿足上述對(duì)稱條件，其系統(tǒng)函數(shù)為系統(tǒng)函數(shù)為當(dāng)當(dāng)N N為奇數(shù)時(shí)為奇數(shù)時(shí)在第二個(gè)和式中令在第二個(gè)和式中令n=N-1-m,n=N-1-m,再將再將m m換成換成n n，可得，可得代入線性相位奇偶對(duì)稱條件代入線性相位奇偶對(duì)稱條件 , ,可得可得01nN10)()(NnnznhzH112121121010)()21()()()(