微專題圓錐曲線中的范圍最值問題

1、微專題圓錐曲線中的范圍最值問題內(nèi)容回顧1 .形如yax2bxc(a0)的二次函數(shù)，可通過配方法求最值2 .利用基本不等式求最值(1)a0,b0,則ab普a0,b0,c0,貝Ua33abc3.圓錐曲線范圍和最值問題(1)S斤1%k4(觀察法,具備單調(diào)性)(2)S2k23(換元法，注意換元的范圍)(3)S(1k2)2(1k2)2.2.2.2(12k)(k2)避1k)22(基本不等式)(4)S(5)S4k413k292k23,2V14k412k29(分離常數(shù))n4m222kn2(基本不等式)4m1(6)Sk(k21)(3k21)(k23)k工丁-(上下同時除以k2,再換(3k1)(k4)kk元令(7

2、)求導(dǎo)法題型一構(gòu)建目標(biāo)函數(shù)求最值221 .已知橢圓C:，=1(a>b>0)的焦距為4且過點(寸22).求橢圓C的方程；(2)過橢圓焦點的直線l與橢圓C分別交于點E,F,求o1OF的取值范圍.22解：(1)橢圓C：/+?=1(a>b>0)的焦距是4,所以焦點坐標(biāo)是(0,2),(0,2),2a=%/2，0+寸2+(2+2)2=4戊,所以a=2V2,b=2,即橢圓C的方程是1.(2)若直線l垂直于x軸，則點E(0,2/)，F(xiàn)(0,2寸2),OE-<OF=-8.若直線l不垂直于x軸，不妨設(shè)l過該橢圓的上焦點，則l的方程為y=kx+2,設(shè)點E(Xi,yi),F(X2,y2)

3、,將直線l的方程代入橢圓C的方程得到(2+k2)x2+4kx-4=0,一4k一4則x1+x2=2+卜2,x1x2=2+卜2,u-、，N3一c-4-4k2,-8k2,.20八所以。E-OF=x1x2+y1y2=(1+k2)x1x2+2k(x1+x2)+4=2+2+k2+d=2+/一&'因為0螳1?O'所以8VOEOFw2,所以O(shè)EOF的取值范圍是8,2.題型二由判別式的限制求最值2 .已知點C為圓x12y28的圓心，P是圓上的動點，點Q在圓的半徑CP上，且有點A1,0和AP上的點M,滿足MQAP0,AP2AM.(1)當(dāng)點P在圓上運動時，判斷Q點的軌跡是什么？并求出其方程;

4、(2)若斜率為k的直線l與圓x2y21相切，與(1)中所求點Q的軌跡交于不同的兩點F,H,且3 4_,，-OFOH(其中O是坐標(biāo)原點)，求k的取值范圍.4 5【解析】(1)由題意MQ是線段AP的垂直平分線，所以CP|QC|QP|QC|QA22CA2,所以點Q的軌跡是以點C,A為焦點，焦距為2,長軸長為2點的橢圓,2x1,故點Q的軌跡方程是2(2)設(shè)直線lxi,yi,X2,y2直線l與圓x21相切，得bk21即b21,2x聯(lián)立2ykx消去y得:b12k24kbx2b20,A16k2b2412k22b2182k2b28k20,0,2b21-1OFOHx1x2y1y2xx2kbx1x2k22b222

5、k2kb14kb22b2k222221k22k24k2k212k212kk21k21212k1k2212k4,得5Y/噂，解得坐k#或?qū)慿乎，故所求范圍為q,、u?1.3223322332題型三構(gòu)建目標(biāo)函數(shù)用基本不等式求最值,、,x2m2(3-m2)<(m一3-)2=9,當(dāng)且僅當(dāng)m2=3-m2,即m2=時取等號,y22、一、.23.(2019武漢市武昌區(qū)倜研考試)已知橢圓C:不+#=1(a>b>0)經(jīng)過點P(1,),且離心率為.求橢圓C的方程;(2)若直線l:y=x+m與橢圓C交于兩個不同的點A,B,求OAB面積的最大值(O為坐標(biāo)原點).【解】(1)由題意，知1a2+2b解得

6、a2=2,b2=1，所以橢圓-x2CC的方程為5+y2=1.a2=b2+c2,(2)將直線l的方程y=x+m代入橢圓C的方程5+丫2=1,整理得3x2+4mx+2(m21)=0.則A=(4m)224(m21)>0,得m2<3.設(shè)A(x1,4m一y1),B(x2,y2),則xi+x2=z,Xix2=32(m2T)所以|AB|=版.V(xi+x2)24xix2=班.，手_42(71)=也,98m=4y3m2,又原點O(0,0)到直線AB：xy+m=0的距離d=矍,所以Saoab=2|ab|-d=3V3m2*裳=2(3m2).因為所以S”abW乎|=興即OAB面積的最大值為學(xué))B關(guān)于直線

7、y=kx+1對稱.題型四構(gòu)建目標(biāo)函數(shù)用配方法求最值4.已知橢圓x-+y2=1上兩個不同的點A,4(1)求實數(shù)k的取值范圍；(2)求AOB面積的最大值(O為坐標(biāo)原點解：(1)由題意知kw0,1.，、，一，1可設(shè)直線AB的方程為y=，+y=Hm,m32消去y，%y2=i,得(k2+4)x28mkx+4k2(m21)=0.因為直線y=；x+m與橢圓xr+y2=1有兩個不同的交點，所以A>0,解得m2<i+,一Lk2+4y=kx+1,解得m=汞-k4k將線段AB中點M(羋m-,_m-)代入直線方程k4k4由得k<一當(dāng)或喈方法二中點在橢圓內(nèi)423k迎142y。，A(x1，yjB(x2,

8、y2),AB的中點C(%,y0)1b2&x0ka2y0,解之得，ykx01y01-(2)令t=_/d，0)U(0,取,k則|AB|=41+±Ka生/x9r,當(dāng)且僅當(dāng)1694z8"二T2g'且O到直線AB的距離為d=7=31M.設(shè)1+k2,AOB的面積為S(t),所以S(t)=2|AB|-d=9寸一4t4+7t2+2=t2=7時，等號成立8故AOB面積的最大值為1.方法總結(jié)：1 .解決圓錐曲線中的取值范圍問題應(yīng)考慮的五個方面(1)利用圓錐曲線的幾何性質(zhì)或判別式構(gòu)造不等關(guān)系，從而確定參數(shù)的取值范圍.(2)利用已知參數(shù)的范圍，求新參數(shù)的范圍，解這類問題的核心是建立

9、兩個參數(shù)之間的等量關(guān)系.利用隱含的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍.(4)利用已知的不等關(guān)系構(gòu)造不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍.(5)利用求函數(shù)的值域的方法將待求量表示為其他變量的函數(shù)，求其值域，從而確定參數(shù)的取值范圍.2 .圓錐曲線最值問題的求解方法圓錐曲線中的最值問題類型較多，解法靈活多變，但總體上主要有兩種方法：一是幾何法，即通過利用曲線的定義、幾何性質(zhì)以及平面幾何中的定理、性質(zhì)等進(jìn)行求解；二是代數(shù)法，即把要求最值的幾何量或代數(shù)表達(dá)式表示為某個(些)參數(shù)的函數(shù)(解析式)，然后利用函數(shù)方法、不等式方法等進(jìn)行求解.高考鏈接：1.(2018高考浙江卷)如圖，已知點P是y軸左側(cè)(不含y

10、軸)一點，拋物線C:y2=4x上存在不同的兩點A,B滿足PA,PB的中點均在C上.(1)設(shè)AB中點為M,證明：PM垂直于y軸；(2)若P是半橢圓x2+f=1(x<0)上的動點，求PAB面積的取值范圍.22解：(1)設(shè)P(X0,y0),A(y-,y1)，B(-y2-1y2).12¥x0=4-244因為PA,PB的中點在拋物線上，所以y1，y2為方程(yy0)22即y22y0y+8x0y0=0的兩個不同的實根.所以y+y2=2y0,因此，PM垂直于y軸.y1+y2=2y0,(2)由(1)可知2y1y2=8x0y0,所以|PM|=8(y2+y2)x0=|y23x0,|y1y2|=2&

11、#171;2(y04x0)132c3因此，PAB的面積生pab=2|PM|-|y1-y2|=4(y2-4x0)2.y015%;，10因為x0+：=1(x0<0),所以y24x0=4x24x0+4e4,5,因此，PAB面積的取值范圍是6)2,2.(2017山東)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓E：x當(dāng)1ab0的離心率為,焦距為2.ab2(I)求橢圓E的方程；(n)如圖，動直線l：ylx立交橢圓E于A,B兩點，C是橢圓E上一點，直線OC的斜率為k2,2且kk,M是線段OC延長線上一點，且|MC:AB2:3,0M的半徑為|MC,OS,OT是。M的4兩條切線，切點分別為S,T.求SOT的最大值，并

12、求取得最大值時直線l的斜率.2【答案】(I)土yX2因此橢圓E的方程為一yi.2i.2(n)sot的最大值為-,取得最大值時直線1的斜率為ki1解析】試題分析士CD本小題由=2確定口力艮If導(dǎo).(II)通過聯(lián)立方程組J市化簡得到一元二次方程后應(yīng)用韋達(dá)定理，應(yīng)用弦長公式確定及121M的半隹尸表達(dá)式進(jìn)一步求得直線。的方程并與橢圖方程聯(lián)立，確定得到”的表達(dá)式，研究其取值范圍'這個過程中,r可考慮利用換元思想，應(yīng)用二次隹散的性質(zhì)及基本不等式.試題解析：(I)由題意知e-,a22c2,所以a<2,bi,(n)設(shè)Axi,yi,BX2,y2X22.312,XiX22kii所以AB|娟ki2Xi

13、X2由題意可知圓M的半徑r為rykixi,1_得4ki22X2、3,2i22kl2i1ki218ki22k；i2%2Jki2：i2kl28kl2一匚由題設(shè)知kik2i4v13kix10,匹，所以k244ki副直戈8的方麗的，V=rL十防一L-4行由題意可知由孝二扇LIOCOC18k114k123212kl24-14k1212k；1212k1,則t1,；0,1,因此OC3t22t2t13127口11當(dāng)且僅當(dāng)-萬，即t2時等號成立，此時ki所以2三22因此士孚n2o所以最大值為.一綜上所述：4SOT的最大值為y；取得最大值時直線1的斜率為用=二孝.【考點】1.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)；2.直線與

14、圓錐曲線的位置關(guān)系；3.二次函數(shù)的圖象和性質(zhì).【名師點睛】本題對考生計算能力要求較高，是一道難題.解答此類題目，利用a,b,c,e的關(guān)系，確定橢圓（圓口錐曲線）方程是基礎(chǔ)，通過聯(lián)立直線方程與橢圓（圓錐曲線）方程的方程組，應(yīng)用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，得到目標(biāo)函數(shù)”的解析式，應(yīng)用確定函數(shù)最值的方法-如二次函數(shù)的性質(zhì)、基本不等式、導(dǎo)數(shù)等求解.本題易錯點是復(fù)雜式子的變形能力不足，導(dǎo)致錯漏百出.本題能較好的考查考生的邏輯思維能力、運算求解能力、分析問題解決問題的能力等、一.一223.(2016新課標(biāo)1理)20(本小題滿分12分)設(shè)圓xy2x150的圓心為A,直線l過點B(1,0)且與x軸不重合，1交

15、圓A于C,D兩點，過B作AC的平行線交AD于點E.(I)證明EAEB為定值，并寫出點E的軌跡方程；(II)設(shè)點E的軌跡為曲線C1,直線1交C1于M,N兩點，過B且與1垂直的直線與圓A交于P,Q兩點,求四邊形MPNQ面積的取值范圍.解：圓A整理為x12y216,A坐標(biāo)1,0,如圖,；BE/ZAC,則/C/EBD,由ACAD,則/D/C,ZEBD/D,則EBEDAEEBAEEDAD422所以E的軌跡為一個橢圓，方程為二L1,(y0)4322C1:1;設(shè)l:xmy1,因為PQ±l,43xmy1設(shè)PQ:ymx1,聯(lián)立l與橢圓C1x2y2得3m21432236m2363m24則|MN|1m|y

16、MyN|1m224y6my90;212m1-T2，3m43m4圓心A到PQ距離d|m11|jm_L，1m21m2所以|PQ|2dAQ|2d22：；6m4'3m24.1m,1m2SMPNQ1-|MN|PQ|24,m2122xyr,C.2.212,834.(2015山東)平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓1(ab0)的離心率為近，左、右2焦點分別是F1、F2.以51為圓心以3為半徑的圓與以52為圓心以1為半徑的圓相交，且交點在橢圓C上.(I)求橢圓C的方程；22xy(n)設(shè)橢圓E：三1,P為橢圓C上任意一點，過點P的直線ykxm交橢圓E于A,B4a4b兩點，射線PO交橢圓E于點Q.(i)求|

17、OQ|OP|的值;(ii)求ABQ面積的最大值.【解析】(I)由題意知2a4,則a2,又c,a2c2b2,a22可得b1,所以橢圓C的方程為y21.422(n)由(I)知橢圓e的方程為上L1.164設(shè)P(xcy0),|OQ|OP|,由題意知Q(X0,yO),2因為包4y。21,又3°L16(y。)2421,即*y；)2,即JOQJ2.|OP|(ii)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),將ykxm代入橢圓E的方程,可得(14k2)x28kmx4m2160,由0,可得m2416k2,則有x1x228km4m162,x1x22-,所以|x114k14kx2|4.16k24m214k2因為

18、直線ykxm與y軸交點的坐標(biāo)為(0,m),12、16k24m2|m|所以O(shè)AB的面積S-|m|x1x2|-2214k22J16k24m2)m24m2.m214k214k214k22令m2t,將ykxm代入橢圓C的方程，14k可得(14k2)x28kmx4m240,由>0,可得m214k2,由可知0t1,因此S2<(4t)t2jt24t,故SW2«,當(dāng)且僅當(dāng)t1時，即m214k2時取得最大值2d3,由(i)知，ABQ面積為3S,所以ABQ面積的最大值為6v'3.5.12014課標(biāo)I,理20已知點A(0,2)橢圓E：、1(ab0)的離心率為;F是橢圓E的a2b22右焦

19、點，直線AF的斜率為迎，O為坐標(biāo)原點.3(I)求E的方程；(II)設(shè)過點A的動直線l與E相交于解析(I)設(shè)Fc,0,由條件知2cP,Q兩點。當(dāng)延，得c3OPQ的面積最大時，求l的直線方程.b22故E的方程y21.軸不合題意，故設(shè)直線l：ykx2,設(shè)PXi,yi,QX2,y2kx2代入1，得14k216kx120.當(dāng)16(4k23)23,0,即k一時，x1241,28k24k2314k2從而PQ線PQ的距離X24k214k2314k2.又點O到直設(shè)4k23立，且滿足石，所以O(shè)PQ的面積S"PQt,則t0,S"PQ4tt2444.因為ttt0,所以當(dāng)6.(2014浙江)如圖，設(shè)

20、橢圓一象限.(I)已知直線l的斜率為1.1d|PQ44k2314k24.34,t業(yè)時等號成2OPQ的面積最大時，l的方程為：y7x2.22C：x2a2與1ab0,動直線l與橢圓C只有一個公共點bk,用a,b,k表示點P的坐標(biāo);(n)若過原點O的直線:與l垂直，證明：點P到直線八的距離的最大值為ab.【解析】(I)設(shè)直線l的方程為y消去y得，b2a2k2x22a2kmxa2m22.2ab0,P,且點P在第解得點P的坐標(biāo)為?akm?_b2a2k2b2故點P的坐標(biāo)為a2kb2"b2=a2k2，-b2=a2k2由于直線l與橢圓C只有一個公共點P,故0,即b2m2a2k20,.2bm.,由點p

21、在第一象限,a2k2(n)由于直線11過原點O,且與l垂直，故直線11的方程為xky0,所以點P到直線11的距離da2kbb2a2k2b21k22.2ak整理得=,因為a2k2b2k2所以b2b2a2a2k2b：k22a一b2=b2-2a2abab,當(dāng)且僅當(dāng)k2b一時等號成立,a所以點P到直線ii的距離的最大值為ab.221(a>b>0)的焦距為4,其短軸的兩個端點與長軸的一個端一，一，一一xy7.(2014四川，理20)已知橢圓C:二、ab點構(gòu)成正三角形.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)設(shè)F為橢圓C的左焦點，T為直線x=-3上任意一點，過F作TF的垂線交橢圓C于點P,Q.證明：O

22、T平分線段PQ(其中O為坐標(biāo)原點)；當(dāng)也最小時，求點T的坐標(biāo).|PQ|(1)解：由已知可得a2b22b,2c2.a2b2解得a2=6,b2=2,所以橢圓4,2C的標(biāo)準(zhǔn)方程是6(2)證明：由(1)可得,則直線TF的斜率kTFxmy2,22上L162F的坐標(biāo)是(一2,0),設(shè)T點的坐標(biāo)為(一3,m).m0m.321當(dāng)mw0時，直線PQ的斜率kPQ.直線PQ的方程是x=my-2.m當(dāng)m=0時，直線PQ的方程是x=-2,也符合x=my2的形式.設(shè)P(X1,y1),Q(x2,y2),將直線PQ的方程與橢圓C的方程聯(lián)立，得消去x,得(m2+3)y24my2=0,11其判別式A=16m2+8(m2+3)&g

23、t;0.所以y1+y24m2，m23yy22，m23,、，12x1+x2=m(y1+y2)4=-2m2:所以PQ的中點M的坐標(biāo)為36-2-m32m-2-m3.所以直線OM的斜率koM又直線OT的斜率koTm,所以點3M在直線OT上,因此OT平分線段PQ.解:由可得,TF，m21,2222x2V1¥2=d(m1)(yy2)4丫佻(m21)(4mm3)24m2(m23)22324(m21)m23.1(m2124,24m214)24(44)當(dāng)且僅當(dāng)m2+1_,即m=+時，等號成立，此時1m_1取得最小值.|PQ|所以當(dāng)山最小時,|PQ|T點的坐標(biāo)是（一3,1）或（一3,-1）.鞏固提高:4

24、xm對稱x21.試確定m的取值范圍，使得橢圓一42y-1上有不同的兩點關(guān)于直線y3解法一：橢圓上兩點（x1,y1）,（x2,y2），代入方程,相減得3(xix2)(x1x2)4(yiy2)(yiy?)x12X2一，yyy2xx20。1-,，代入得y43x。又由y3xy4xm,3m）。交點在橢圓內(nèi)，則有(m)24(3m)232J3m132.1313解法二：設(shè)橢圓上關(guān)于直線y4x則根據(jù)對稱性可知線段AB被直線ym對稱的點A(x，y1),B(x2,y2),4xm垂直平分.可得直線AB的斜率k直線AB與橢圓有兩個交點，且AB的中點M(xo,yo)在直線y=4x+m,故可設(shè)直線AB的方程為x42y3b整

25、理可得13x2-8bx+16(b2-3)=0,1y2,8b所以x1x2,y113由=64b24X13X16b2-3)1241(x1x2)2b今b,41313,.13>0可得，b12213m-1312b4b213代入直線y4xm可得m所以，1313132x2.已知橢圓Fa24=1(a>b>0)經(jīng)過直線l:xy10與y軸的交點b(1)若橢圓C的離心率為告，求直線l被橢圓C所截得的弦的長度；(2)若橢圓上總存在不同的兩點關(guān)于直線l對稱，求其離心率e的取值范圍.解：(1)由x-y+1=0,令x=0,解得y=1.直線l:x-y+1=0與y軸的交點A(0,1).b=1,又一,a2=b2+

26、c2,解得c=1,a2=2.a-2+y2=1.設(shè)直線l被橢圓C所截得的弦為AB,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為:聯(lián)立,化為：3x2+4x=0,解得x=0或,可得A(0,1),+i=A(2)設(shè)與直線l:x-y+1=0垂直的直線m：y=-x+t,與橢圓相交于(x1,y1),N(x2,y2)兩點,，且此兩點關(guān)于直線l對稱，線段MN的中點為P(刈，y°).聯(lián)立,化為：(*+b2)x2-2a2tx+a2t2-a2b2=0,;直線m與橢圓相交于不同兩點，.=4a4t24(a2+b2)(a2t2a2b2)>0,化為：t2<a2+b2.2a2txi+X2=-a"+b2代入直線l的方程可得:a

27、2t8b之=2x0,解得x0.¥=-x0+t=>一1+/+1=0.化為：t=a2+b222代入。，可得：+b)2<a2+b2,已知b=1,化為：a2>3.b,又0<e<1,離心率e的取值范圍是33.已知橢圓G與雙曲線12x4y3有相同的焦點且過點P(1,-)2(1)求橢圓G的方程(2)設(shè)Fi,F2是橢圓G左右焦點，過F2的直線l:xmy1與橢圓G相交于A,B兩點，試問三角形ABF內(nèi)切圓面積是否存在最大值，若存在，求出這個最大值及直線l的方程，若不存在，說明理由。22解：(1)雙曲線12x4y3的焦點坐標(biāo)為(1,0),所以橢圓的焦點坐標(biāo)為Fi(1,0),F

28、2(1,0)1分設(shè)橢圓的長軸長為2a,則2a|PF1|PF214,即a2,又c1,所以b2c231322.橢圓G的方程y-143(2)如圖，設(shè)ABFi內(nèi)切圓M的半徑為+AFiM的面積+BFiM的面積.r,與直線l的切點為C,則三角形ABFi的面積等于ABM的面積即SAABF1當(dāng)S.ABAF1ABFi最大時,r也最大,設(shè)A(x1，y1)、B(x2,y2)(y1BFir(AFi|AF2)(BFi|BF2)ABFi內(nèi)切圓的面積也最大，0,y20)，則SAABF1r2ar4r-IF1F2I|yi|-IF1F2y2yi於,xmy得y13m6m21-SAABF13m2412.m"-，y23m6m

29、213m24有S/XABF13m212t1一，令t4,m21,則t1，且m2t21,12t12223(t21)43t213t,1,一令f(t)3t,則f(t)31tt當(dāng)t1時，f(t)0,f(t)在1,)上單調(diào)遞增，有f(t)f(1)4,SaABF139即當(dāng)t1,m0時，4r有最大值3,得rmax,這時所求內(nèi)切圓的面積為一4169存在直線l:x1,ABF月內(nèi)切圓M的面積最大值為一164.(2019石家莊模擬)已知以A為圓心的圓(x2)2+y2=64上有一個動點M,B(-2,0),線段BM的垂直平分線交AM于點P,點P的軌跡為乙(1)求軌跡Z的方程;(2)過A點作兩條相互垂直的直線l1,l2分別

30、交曲線Z于D,E,F,G四個點，求|DE|十|FG|的取值范圍.解：(1)連接PB,依題意得|PB|=|PM|,所以|PB|+|PA|=|AM|=8>|AB|,所以點P的軌跡Z是以A,B為焦點，4為長半軸長的橢圓，22所以a=4,c=2,則b=2«3.所以軌跡Z的方程是叁十為:1.(2)當(dāng)直線1i,l2中有一條直線的斜率不存在時，|DE|+|FG|=6+8=14;當(dāng)直線1i的斜率存在且不為0時，設(shè)直線1i的方程為y=k(x2),D(xi,y1)，E(x2,y2),1，得(3m24)y26my901y=kx2,聯(lián)立x2bc2,a28,所以橢圓方程為二工1.y2整理得(3+4k2)

31、x216k2x+16k248=0,16+12=1，22存1,16k216k-48所以x1+x2=3+4k2?x1x2=3+4k2'，je2i、j2241+k2所以|DE|=V1+k2x1一x22=，1+k2dx+x224x1x2=。一?，3十4k241+k2el168k2+12同理可得1FG4卡落，所以1DE|+|FG|=4+3k23+4k2,所以|DE|+|FG|=T8=：8,11IIx249-I2+7+12(-)一ttt24pc1112494996168又0v1,"一(；2)，開&1I2”<14,96(t2)了所以|DE|十|FG|的取值范圍是1,14).綜

32、上，|DE|十|FG|的取值范圍是/，皿.bx與橢圓相父于A、c225.已知橢圓二。1ab0的左、右焦點分別為E、F2,焦距為4,直線l1：yabB兩點，F(xiàn)2關(guān)于直線l1的對稱點E在橢圓上.斜率為1的直線12與線段AB相交于點P,與橢圓相交于C、D兩點.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)求四邊形ACBD面積的取值范圍.【解析】(1)由橢圓焦距為4,設(shè)F12,0,F22,0,連結(jié)EF1,設(shè)EF1F2則tanb22一，又abc2c2a_IF1F2EF1|EF22bc,得sin一asin90sinsin90ccos一a解得a2bcc2(2)設(shè)直線l2方程：yx+m,Cx，yi、Dx2,y22x由萬yXi

33、由(1)知直線l1：y段AB相交于點P,得CD而kl24mx2m280,所以X1X24x2-m2m83X2代入橢圓得A四邊形ACBD面積的取值范圍2x6.如圖，曲線由曲線C1：axix28x1x2SaCBD32八,0,3329323AB3-6,得|AB|8叵，由直線l2與線316m29242m8CD1693所以16jF32329,32yb21(a2x0,y0)和曲線C2：1a2yb21(a0,b0,y0)組成,其中點F1,F2為曲線G所在圓錐曲線的焦點，點F3,F4為曲線C2所在圓錐曲線的焦點.(1)若F2(2,0),F3(6,0),求曲線的方程；(2)如圖，作直線l平行于曲線C2的漸近線，交

34、曲線G于點A,B,求證：弦AB的中點M必在曲線C2的另一條漸近線上；(3)對于(1)中的曲線面積的最大值.,若直線l1過點F4交曲線G于點C,D,求CDF1的2a(I)2ab2b236則曲線2x的方程為202ab22y1620161(y2x0)和202y1(y160)(n)曲線C2的漸近線為y，如圖,設(shè)直線l：yb(xm)ay則2x2ab(xa2.y_b2m)22x2mx1(m2a2)0(2m)24?2?(m2a2)4(2a2m2)0,2am2a又由數(shù)形結(jié)合知ma,am2aXi設(shè)點A(Xi,yi),B(X2,y2),M(Xo,y0),則X1X2X2m22ma2XoX1X22my02（出）知，曲

35、線b(、(X0m)a2C1:X20bm,一?y。a2bb-x0,即點M在直線y-x上.aa2y16i(y0），點F4（6,0）設(shè)直線l1的方程為Xny6(n0)2X202y116ny6(48n)2,22_(4n5)y48ny4?64?(4n25)0設(shè)C(X3,y3),D(X4,y4),由韋達(dá)定理:,1y3y41(y3y4)4y3y464y3V448n4n之564SCDF11SCF1F4SDF1F41112斥4?%y4l2?8?1/?令tn210,n264.5?二4t94n2564,5?6454n25t0,4t當(dāng)且僅當(dāng)t.13一、n時等號成立214t9t13gon時，.S227.已知橢圓C:x2

36、aCDFmax64<5?1216x532y_b2.、一.、.1一一1ab0的焦距為2c,離心率為-，圓O:24是橢圓的左右頂點，AB是圓O的任意一條直徑，AAB面積的最大值為2.（1）求橢圓C及圓O的方程;（2）若l為圓O的任意一條切線，l與橢圓E交于兩點P,Q,求PQ的取值范圍.【解析】（1）設(shè)B點至ijx軸距離為h,則SAA,AB2s“OBAOhah,易知當(dāng)線段AB在y軸時,hmaxBO所以橢圓方程為圓的方程為17(2)當(dāng)直線L的斜率不存在時,直線L的方程為x1,此時PQ22bc3;a設(shè)直線L方程為:直線為圓的切線,1m21,1k12直線與橢圓聯(lián)立,y2x4kxm2匕13,得4k23x28kmx2一一4m120,XiX2判別式A483k20,由韋達(dá)定理得:XiX28km24k324m1224k3所以弦長PQ1k2x1x24,31k3k224k23令t4k23,c4.63,3所以|PQ點J1x2,y28.已知橢圓C:/+b2=1(a>b>0)的離心率為坐點M(2,1)在橢圓C上.求橢圓C的方程;(2)直線l