恒成立能成立題總結(jié)詳細(xì)

1、恒成立問(wèn)題的類型和能成立問(wèn)題及方法處理函數(shù)與不等式的恒成立、能成立、恰成立問(wèn)題是高中數(shù)學(xué)中的一個(gè)重點(diǎn)、難點(diǎn)問(wèn)題。這類問(wèn)題在各類考試以及高考中都屢見(jiàn)不鮮。感覺(jué)題型變化無(wú)常，沒(méi)有一個(gè)固定的思想方法去處理，一直困擾著學(xué)生，感到不知如何下手。在此為了更好的準(zhǔn)確地把握快速解決這類問(wèn)題，本文通過(guò)舉例說(shuō)明這類問(wèn)題的一些常規(guī)處理。一、函數(shù)法(一)構(gòu)造一次函數(shù)利用一次函數(shù)的圖象或單調(diào)性來(lái)解決對(duì)于一次函數(shù)f(x)=kx+b(k#0),xwm,n有：f(x)>0恒成立uf(x)<0何成立u%A0-或1J(m)>0f(m)<0f(n)<0<0/(n)>0f(m)>0J(

2、n)3例1若不等式2xlmx2m對(duì)滿足-2MmM2的所有m都成立，求x的范圍。2解析：將不等式化為：m(x-1)-(2x-1)<0,構(gòu)造一次型函數(shù)：g(m)=(x2-1)m-(2x-1)原命題等價(jià)于對(duì)滿足-2Em2的m,使g(m)<0恒成立。22g(2)<0-2(x2-1)-(2x-1)<0由函數(shù)圖象是一條線段，知應(yīng)g()之()(1g(2)<02(x2-1)-(2x-1)<0-1.71；3-1.713解得7<x<J一3,所以x的范圍是xW(7,13)。2222小結(jié)：解題的關(guān)鍵是將看來(lái)是解關(guān)于x的不等式問(wèn)題轉(zhuǎn)化為以m為變量，x為參數(shù)的一次函數(shù)恒成立

3、問(wèn)題，再利用一次函數(shù)的圖象或單調(diào)性解題。練習(xí)：(1)若不等式ax-1<0對(duì)xw1,2恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。(2)對(duì)于0Wp<4的一切實(shí)數(shù)，不等式x2+pxa4x+p-3恒成立，求x的取值范圍。(答案：>3或工e-1)(二)構(gòu)造二次函數(shù)利用二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)及二次方程根的分布來(lái)解決。2對(duì)于二次函數(shù)f(x)=ax+bx+ca0(a=0)有：(1) f(x)>0在xwr上恒成立仁a>0且<0;(2) f(x)<0在xwR上恒成立u2<0且4<0(3)當(dāng)a>0時(shí)，若f(x)A0在o(,P上恒成立u-口或"4日或喈小f(：)0

4、i.-：0f(。0若f(x)<0在U,P上恒成立uf(?<0f(a)>0J(P)>0J(P)<0(4)當(dāng)a<0時(shí)，若f(x)A0在a,P上恒成立ubbb阿b自若f(x)<0在U,P上恒成立u2T<a或a2r或2T>aa1aa八aaf(二)00f(二)；0例2若關(guān)于x的二次不等式：ax2+(a1)x+a-1<0的解集為R,求a的取值范圍解：由題意知，要使原不等式的解集為R,即對(duì)一切實(shí)數(shù)x原不等式都成立。a：0.一：0之a(chǎn)<0'a<02U42(a1)2-4a(a-1)<03a2-2a-1>0a二01 ，一一

5、11'u1-1仁a<.，a的取值氾圍是一0°,一一a>1或a<-13<3；3說(shuō)明：1、本題若無(wú)“三次不等式”的條件，還應(yīng)考慮a=0的情況，但對(duì)本題講a=0時(shí)式子不恒成立。2、只有定義在R上的恒二次不等式才能實(shí)施判別式法；否則，易造成失解。練習(xí)：1、已知函數(shù)y=Jmx2-6mx+m+8的定義域?yàn)镽,求實(shí)數(shù)m的取值范圍。(答案0WmW1)2 、已知函數(shù)f(x)=x2-2kx+2在(一1,也)時(shí)f(x)主k恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍。(答案-3EkW1)提示：構(gòu)造一個(gè)新函數(shù)F(x)=f(x)-k是解題的關(guān)鍵，再利用二次函數(shù)的圖象性質(zhì)進(jìn)行分類討論，使問(wèn)題得到圓

6、滿解決。(三)、利用函數(shù)的最值-分離參數(shù)法或值域法若在等式或不等式中出現(xiàn)兩個(gè)變量，其中一個(gè)變量的范圍已知，另一個(gè)變量的范圍為所求，且容易通過(guò)恒等變形將兩個(gè)變量分別置于等號(hào)或不等號(hào)的兩邊即分離參變量，則可將恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化成函數(shù)的最值問(wèn)題求解。注意參數(shù)的端點(diǎn)值能否取到需檢驗(yàn)。類型一："a之f(x)”型一、(恒成立)(1) VxWD,f(x)之m恒成立Uf(x)min之m；(2) X/xwD,f(x)Em恒成立=m之f(x)max;二、(能成立、有解)：(1)aWD,f(x)之m能成立umMf(x)在D內(nèi)有解uf(x)maxm；(3) zxeD,f(x)Wm能成立um之f(x)在D內(nèi)有解u

7、m>f(x)min;(恰成立)(1)不等式f(x)>A在區(qū)間D上恰成立u不等式f(x)A的解集為D;(2)不等式f(x)<B在區(qū)間D上恰成立u不等式f(x)<B的解集為D.四、(方程有解)方程m=f(x)在某個(gè)區(qū)間上有解，只需求出f(x)在區(qū)間上的值域A使mwA。12xa4x._.一,.、例3：設(shè)f(x)=lg,其中a=R,如果x=(-°°.1)時(shí)，f(x)恒有意乂，求a3的取值范圍。解：如果*53.1)時(shí)，f(x)恒有意義u不等式1+2x+a4x>0對(duì)xj3,1)恒一12x/2成立ua>=-(2+2),x=(-°0.1)恒成立

8、。令t=2,g(t)=(t+t),又xw(q.1),則tW(一，f)2,22J.aAg(t)又t文，")恒成立，又'/g(t)在tw一,")上為減函數(shù),g(t)max二g(二)二一，-a-244例4：若關(guān)于x的不等式x2-ax-a3的解集不是空集，則實(shí)數(shù)a的取值范圍。解：設(shè)f(x)=x2axa.則關(guān)于x的不等式x2axaE3的解集不是空集Uf(X)W4在R上能成立uf(x)min<-3,4aa2一即f(x)min=<-3,解得a<一6或a之24例5不等式kx2+k-2<0有解，求k的取值范圍。222斛：不等式kx+k2<0有解=k(x+

9、1)<2能成立仁k<能成立x1Uk<(f)max=2,所以kW(嗎2)。x1例6(2008年上海)已知函數(shù)f(x)=2x21x若不等式2tf(2t)+mf(t)>0對(duì)于tC1,2恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍解：本題可通過(guò)變量分離來(lái)解決.1 .1當(dāng)tw1,2時(shí)，2t(2)+m(21一下)20'222t'即m(22t1)之一(24t1),v22t-1>0,：m之一(22t+1)_2t.t1,2,.-(2+1盧-17,-5故m的取值范圍是-5,+=c)1x.2x3'：2一+(n1)xnxa例7(1990年全國(guó))設(shè)f(x)=lg1一2一3史一1)一U

10、,其中a為實(shí)數(shù)，nn為任意給定的自然數(shù)，且n22,如果f(x)當(dāng)xW(-，1時(shí)有意義，求a的取值范圍.解：本題即為對(duì)于xW(-«,1,有1x+2x+(n1)x+nxa>0恒成立.這里有三種元素交織在一起，結(jié)構(gòu)復(fù)雜，難以下手，若考慮到求a的范圍，可先將a分離出來(lái)，得aa-(1廠+(2)x+(匚1)x(n豈2),對(duì)于x乏(-%1恒成立.nnn1x2xn-1x構(gòu)造函數(shù)g(x)=-()+(一)*一十(),則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)g(x)在nnnkxx=(1上的值域，由于函數(shù)u(x)=(一)x(k=1,2,n-1)在nxw(-8，1上是單調(diào)增函數(shù)，1則g(x)在3,1上為單調(diào)增函數(shù).于是有g(shù)(

11、x)的最大值為g(l)=_(n_i),21 .從而可得a>-(n-1).2如何在區(qū)間D上求函數(shù)f(x)的最大值或者最小值問(wèn)題，我們可以通過(guò)習(xí)題的實(shí)際，采取合理有效的方法進(jìn)行求解，通?？梢钥紤]利用函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的圖像、二次函數(shù)的配方法、三角函數(shù)的有界性、均值定理、函數(shù)求導(dǎo)等等方法求函數(shù)f(x)的最值.類型二："f(x)<g(x)”型(1) VxD,f(x)>g(x)恒成立仁f(x)的圖象恒在g(x)的圖象的上方uf(x)min>g(x)max(xwD)恒成立uh(x)=f(x)-g(x)A0恒成立。例8已知f(x)=£lg(x+1),g(x)=lg

12、(2x+t),若當(dāng)x0,1時(shí)，f(x)Wg(x)恒成立,求實(shí)數(shù)t的取值范圍.解f(x)<g(x)在x0,1恒成立，即Jf+l-加-t口在x0,1恒成立O斤T-2工T在0,1上的最大值小于或等于零.令F(x)=國(guó)T-2XT,口八、Ln_1-Wx+1,.x0,1,F'(x)<0,即F(x)在0,1上單調(diào)遞減，F(xiàn)(0)是最大值.f(x)<F(0)=1-t<0,即t>1.類型三："f(x1)<g(x2)”型(恒成立和能成立交叉)：6(1)VXiWD,三X2WE,f(Xi)之g(X2)成立Uf(Xi)min之g(X2)=f(Xi)min-g(X2)=

13、f(Xi)min-g(X)min；例9已知兩個(gè)函數(shù)f(x)=8x2+i6X-k,g(X)=2x3+5x2+4x,其中k為實(shí)數(shù)。(i)對(duì)任意xw匚3,3，都有f(x)Wg(x)成立，求k的取值范圍；(2)存在xwL3,3,使f(x)Wg(x)成立，求k的取值范圍；(3)對(duì)任意xi,x2wf-3,3，都有f(x1)<g(x2),求k的取值范圍。解析：(i)設(shè)h(x)=g(x)f(x)=2x33x2i2x+k問(wèn)題轉(zhuǎn)化為xw3,3時(shí)，h(x)之0恒成立，故h(x)min之0。令h'(x)=6x26xi2=0,得x=i或x=2。由h(-i)=7+k,h(2)=20+k,h(3)=k45,h

14、(3)=k-9,故h(x)min至口5+k由k45>0nk之45。(2)據(jù)題意：存在xw£-3,3，使f(x)Eg(x)成立uh(x)=g(x)-f(x)>0在XWL3,3有解，故h(x)max之0,由(i)知h(x)max=k+7,于是得k之7。(3)分析：它與(D問(wèn)雖然都是不等式恒成立問(wèn)題，但卻有很大的區(qū)別。對(duì)任意Xi,X2匚3,3都有f(Xi)wg(X2)成立，不等式的左右兩端函數(shù)的自變量不同，Xi,X2的取值在1-3,31上具有任意性，因而要使原不等式恒成立的充要條件是：f(x)max-g(x)min,X,3,31，22由g(x)=6x+i0x+4=0,得x=-i

15、或x=一一,易得g(x)min=g(-3)=-2i,3又f(x)=8(x+1)28k,x=1-3,3),故f(X)max=f(3)=120k,令120k21nk父141。71 -a例10：(2010山東)已知函數(shù)f(x)=lnxax+1(aWR).x1.(i)當(dāng)aE時(shí)，討論f(x)的單調(diào)性；22 .1.(口)設(shè)g(x)=x-2bx+4.當(dāng)a=一時(shí)，右對(duì)任息x1w(0,2),存在x2w11,2，使4f(x1)>g(x2),求實(shí)數(shù)b取值范圍解析：(I)當(dāng)aE0時(shí)，函數(shù)f(x)在(0,1)單調(diào)遞減，(1,+資)單調(diào)遞增；1.一當(dāng)2=時(shí)改=*2,h(x)A0恒成立，此時(shí)f'(x)W0,函

16、數(shù)f(x)在2(0,依)單調(diào)遞減；1 _1當(dāng)0<a<時(shí)，函數(shù)f(x)在(0,1)單調(diào)遞減，(1,1)單調(diào)遞增，2 a1”(1,依)單倜遞減.a1(n)當(dāng)a=一時(shí)，f(x)在(0,1)上是減函數(shù)，在(1,2)上是增函數(shù)，41所以對(duì)任思x1W(0,2),有f(x1)之f(1)=-,21又已知存在x2u1,2,使f(x1)之g(x2)，所以之g(x2),&u1,2，()2又g(x)=(x-b)24-b2,x1,2當(dāng)b<1時(shí)，g(x)min=g(1)=52b>0與(X)矛盾；當(dāng)bw1,2】時(shí)，g(x)min=g(1)=4b220也與()矛盾；1 17當(dāng)b>2時(shí)，g

17、(x)min=g(2)=84bM二，b之二.2 8一，一一17綜上，實(shí)數(shù)b的取值范圍是U,).8f*-X-4-,g(xj=例11已知函數(shù)§32,若對(duì)任意xi,x2e-2,2,者B有f(x1)<g(x2),求c的范圍.解因?yàn)閷?duì)任意的xi,x2e-2,2,都有f(x1)<g(x2)成立，1- f(x)maxg(x)min.,f'(x)=x2-2x-3,令f'(x)>0得x>3或xv-1;f'(x)v0得-1vx<3.8.f(x)在-2,-1為增函數(shù)，在-1,2為減函數(shù). f(-1)=3,f(2)=-6,.f(X)max=3.2. .c

18、v-24.類型四：“f(x1)<f(xKf(x2)”型例12:已知函數(shù)25,若對(duì)任意xCR,都有f(x1)<f(x)<f(x2)成立，則|x1-x2|的最小值為.解,對(duì)任意xCR,不等式f(x1)<f(x)<f(x2)恒成立， .f(x1),f(x2)分別是f(x)的最小值和最大值.對(duì)于函數(shù)y=sinx,取得最大值和最小值的兩點(diǎn)之間最小距離是兀，即半個(gè)周期.又函數(shù)的周期為4, .|xi-X2|的最小值為2.晨町+犬2)、一式。+式*2)類型五：例13(2005湖北)在y=2x,y=log2x,y=x：y=cosx這四個(gè)函數(shù)中，當(dāng)0vxiVX2<1時(shí),使22恒

19、成立的函數(shù)的個(gè)數(shù)是()A.0B.1C.2D.3f產(chǎn)>f-D+f(K2)解本題實(shí)質(zhì)就是考察函數(shù)的凸凹性，即滿足條件aJ2的函數(shù)，應(yīng)是凸函數(shù)的性質(zhì)，畫(huà)草圖即知y=log2x符合題意.類型六：.“工廠工2>0”型例14已知函數(shù)f(x)定義域?yàn)?1,1,f(1)=1,若m,nC-1,1,m+nO時(shí)，都有解得tW-2或t=0或t>2.評(píng)注形如不等式“町T2>0”或“町一QV0”恒成立，實(shí)際上是函數(shù)的單調(diào)性的另一種表現(xiàn)形式，在解題時(shí)要注意此種類型不等式所蘊(yùn)涵的重要信息.類型七：“|f(x1)vf(x2)|<t(t為常數(shù))”型L例15已知函數(shù)f(x)=-x4+2x3,則對(duì)任意t

20、i,t2c-2,2(tIt2)都有|f(xi)-f(x2)|<恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)tl=,t2=時(shí)取等號(hào).解因?yàn)閨f(x1)-f(x2)|W|f(x)maHf(x)min|恒成立，由出)=-工4+x：-2,2,曰十曰式K)1Mx=吟=K易求得,fmin=工10.|f(x1)-f(x2)|<2.類型八："|f(x1)-f(x2)|<|x1-x2|”型忑例16已知函數(shù)f(x)=x3+ax+b,對(duì)于xi,X2C(0,3)(x1x2)時(shí)總有|f(x1)-f(x2)|<|x1-x2|成立，求實(shí)數(shù)a的范圍.解由f(x)=x3+ax+b,得f'(x)=3x2+a,布當(dāng)x

21、C(0,)時(shí)，avf'(x)v1+a.11-.1|f(x1)-f(X2)|<|x1-x2|,|其肛)式*2)匕a鼻-1.J+&WL.-1waW0.評(píng)注由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知道，函數(shù)y=f(x)圖像上任意兩點(diǎn)P(xi,y1),Q(X2,y2)連線k，一刃的斜率、2一勺(xiwxz)的取值范圍，就是曲線上任一點(diǎn)切線的斜率(如果有的話)的范圍,利用這個(gè)結(jié)論，可以解決形如|f(xi)-f(x2)|wm|xi-x2|或|f(xi)-f(x2)|>m|xi-x2|(m>0)型的不等式恒成立問(wèn)題.(四)數(shù)形結(jié)合法數(shù)學(xué)家華羅庚曾說(shuō)過(guò)：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形缺數(shù)時(shí)難入微”，這充分說(shuō)明

22、了數(shù)形結(jié)合思想的妙處，在不等式恒成立問(wèn)題中它同樣起著重要作用。我們知道，函數(shù)圖象和不等式有著密切的聯(lián)系，對(duì)一些不能把數(shù)放在一側(cè)的，可以利用構(gòu)造對(duì)應(yīng)兩個(gè)函數(shù)的圖象法求解。i)f(x)g(x)u函數(shù)f(x)圖象恒在函數(shù)g(x)圖象上方；2)f(x)<g(x)u函數(shù)f(x)圖象恒在函數(shù)g(x)圖象下上方。i例i7已知aA0,a#i,f(x)=x2ax,當(dāng)xw(i,i)時(shí)，有f(x)<T旦成立，求實(shí)數(shù)a2的取值范圍。解析：由f(x)=x2-ax<,得x2-<ax,構(gòu)造出兩個(gè)函數(shù)并在同一直角坐22標(biāo)系中作出它們的圖象，如果兩個(gè)函數(shù)分別在x=i和x=-1處相交，則由2i一211_x

23、_1x1一一=2及(-1)一一=a得到a分別等于2和0.5,并作出函數(shù)y=2及y=(1)2221的圖象，所以，要想使函數(shù)x2<ax在區(qū)間xw(1,1)中恒成立，只須y=2x在區(qū)21間x=(1,1)對(duì)應(yīng)的圖象在y=x2在區(qū)間x£(-1,1)對(duì)應(yīng)圖象的上面即可。當(dāng)2121.aa1時(shí)，只有aE2才能保證，而0<a<1時(shí)，只有a之一才可以，所以1F)LJ(1,2。24例18設(shè)f(x)=dx-4x,g(x)=3x+1-a,右恒有f(x)<g(x)成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍分析：在同一直角坐標(biāo)系中作出f(x)及g(x)的圖象如圖所示，f(x)的圖象是半圓(x+2)2+y2=

24、4(y20)g(x)的圖象是平行的直線系4x-3y+33a=0。要使f(x)<g(x)恒成立，滿足-8+3-3ad二則圓心(2,0)到直線4x3y+33a=0的距離5斛得a<-5或a之一(舍去)3練習(xí)：若對(duì)任意xWR,不等式xax恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。-1WaW1練習(xí)：1、已知二次函數(shù)滿足f(0)=1,而且f(x+1)-f(x)=2x,請(qǐng)解決下列問(wèn)題(1)求二次函數(shù)的解析式。f(x)=x2x+1若f(x)>2x+m在區(qū)間一1,1上恒成立，求m的取值范圍。(_,_1)(3) 若f(x)=2x+m在區(qū)間一1,1上恒成立，求m的取值范圍。一1,5】(4) 若f(x)>2x+m在區(qū)間1,1上有解，求m的取值范圍。(-00,5)2、已知函數(shù)f(x)=x2+a(x=0,awR),若f(x)在區(qū)間2,十無(wú)提增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值x范圍。答案：a161 23、已知函數(shù)f(x)=lnxax22x(a#0)存在單調(diào)遞減區(qū)間，求a的取值范圍。213答案：（一1,0）一（0,二）4、已知函數(shù)f(x)的值域0,4(xw2,2),函數(shù)g(x)=ax1,xw2,2,Vxiw2,2,a。w2,2使得g(xo)=f(%)成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是。一5,5一答：(-0°,U一,也)。22,一2,_2.一二、_一二_5、已知函數(shù)f(x)=x,(xw一2,2),g(x