易錯(cuò)題高中數(shù)學(xué)高中數(shù)學(xué)選修5重要的不等式測(cè)試含答案解析

1、、選擇題若實(shí)數(shù)x2y3z1,則22.一yz的最小值為（）A.14B.114C.292.已知a,R,b22b的取值范圍為（A.3a2bC.3a2bB.2133aD.不確定2b2133.若正實(shí)數(shù)a、c滿足abbcac2a2,則2abc的最小值為（）A.B.1C.2D.4.已知a,0,A.18B.9D.5.函數(shù)A.2j6x的最大值是B.5C.3D.6.已知Aa,0C0,c,AC2,BC1,ACBC0,O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則OB的最大值是a.2C.2B.2D.57.已知a,b,則3a13b13c1的最大值為（）A.3C.18D.8.已知空間向量OA(1,0,0),OB(1,1,0),OC(0,0,1),向量

2、OPxOAyOBzOC,且4x2yz4,則OP不可能是A.B.1C.D.9.二川三+9-'的最大值是（）A.B.C.10.函數(shù)fx1c,c、，-，-W2x（x0）的最小值為（xA.3B.4C.D.611.若a,b,cR,bc1,則VaJbVc的最大值是A.2B.C.35D.312.用反證法證明:”，應(yīng)假設(shè)（）A.a>bb.QWb、填空題13 .已知x,yR,且xy3,則41254的最小值是.222214 .已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，圓M：x1y1,圓N：x2y4.A,B分別為圓M和圓N上的動(dòng)點(diǎn)，則S,、oab的最大值為.15 .已知實(shí)數(shù)a,b,c,d滿足條件abcd1,求8a23b22c

3、2d2的最小值是16 .已知x,y,zCR有下列不等式：x2+y2+z2+3>2(x+y+z);|x+y|w陷+|y+2|;x2+y2+z2>xy+yz+zx.其中一定成立的不等式的序號(hào)是17 .已知a,b,c均為正數(shù)，且a+b+c=1,則J3a103b1J3c1的最大值為2.22.18 .已知正實(shí)數(shù)a,b,c,且abc1,則a14b9c的最小值為.11119 .已知3、C是三角形三個(gè)角的弧度數(shù)，則的最小值.國(guó)L20 .選彳4-5:不等式選講已知定義在R上的函數(shù)fxx1|x2的最小值為a.(i)求a的值；(n)若p,q,r為正實(shí)數(shù)，且pqra,求證：p2q2r23.三、解答題21

4、.已知函數(shù)fxx3x1.(1)求不等式fx4的解集；(2)設(shè)函數(shù)fx的最小值為n,若正實(shí)數(shù)a,b,c,滿足abcn,證明22,已知a,b,c為非負(fù)實(shí)數(shù)，函數(shù)f(x)|2xa|2xb|c(1)若a2,b6,c1,求不等式f(x)11的解集;，一、r149八(2)若函數(shù)f(x)的最小值為2,證明：923.已知函數(shù)fxa,當(dāng)x3時(shí)fx的最小值是2.求a；22,(2)若m2na,求證：5mn1.24 .已知函數(shù)f(x)收2x1|2x41的最大值為t.(1)求t的值；2，3，若存在，求出滿(2)是否存在正實(shí)數(shù)a,b,c滿足abct且a24b2c2足條件的一組解；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.25 .已知a,b,

5、c為正實(shí)數(shù)，且a+b+c=1.Illc(I)證明：一1118;abc(n)證明:26 .已知a、b、cCR+,且abc6.，、1(1)當(dāng)c5時(shí)，求1a1，一，:1的最小值;b2證明：a2b22bc24c2.【參考答案】*試卷處理標(biāo)記，請(qǐng)不要?jiǎng)h除一、選擇題1.B解析：B【分析】直接利用柯西不等式得到答案.【詳解】根據(jù)柯西不等式：x2y2z214922y3z1,即x2y2z2,14113當(dāng)且僅當(dāng)x,y-,z時(shí)等號(hào)成立.14714故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了柯西不等式，意在考查學(xué)生對(duì)于柯西不等式的應(yīng)用能力2. B解析：B【分析】首先分析題目已知a2b24,求3a2b的取值范圍.考慮到應(yīng)用柯西不等式，

6、首先構(gòu)造出柯西不等式求出(3a2b)2的最大值，開(kāi)平方根即可得到答案.【詳解】解：由柯西不等式得3a2b2a2b2322252,當(dāng)且僅當(dāng)2a3b時(shí)取等號(hào).則2.133a2b2.13故選：B.【點(diǎn)睛】此題主要考查柯西不等式的應(yīng)用問(wèn)題，對(duì)于柯西不等式的二維形式22.2、，2.2、計(jì)算量(acbd)W(ab)(cd)應(yīng)用廣泛需要同學(xué)們理解記憶，題目涵蓋知識(shí)點(diǎn)少,小，屬于基礎(chǔ)題.3. D解析：D【解析】分析：根據(jù)基本不等式的性質(zhì)求出2a+b+c的最小值即可.詳解：由題得：因?yàn)閍2+ac+ab+bc=2,(a+b)(a+c)=2,又a,b,c均為正實(shí)數(shù)，-2a+b+c=(a+b)+(a+c)>2j

7、'(a_b)(a)=2衣,當(dāng)且僅當(dāng)a+b=a+c時(shí)，即b=c取等號(hào).故選D.點(diǎn)睛：本題考查了絕對(duì)值的意義，考查基本不等式的性質(zhì)，是一道基礎(chǔ)題.4. C解析：C【分析】利用柯西不等式，即可求出4a1Jb3的最大值.【詳解】2由題意，Va1Vb311a1b318,當(dāng)且僅當(dāng)Jb3時(shí)等號(hào)成立,故.a1.13.的最大值為3.2.屬于較易題故選：C.本題考查了函數(shù)的最值，考查柯西不等式的運(yùn)用，正確運(yùn)用柯西不等式是關(guān)鍵5. B解析：B【分析】利用柯西不等式求解【詳解】.22_因?yàn)閥x526x,、x56x1222.5當(dāng)且僅當(dāng).x5-6x，即x26時(shí)，取等號(hào).25故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查柯西不等式的

8、應(yīng)用，還考查了轉(zhuǎn)化化歸的思想和運(yùn)算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.6. C解析：C【分析】設(shè)Bx,y，利用兩點(diǎn)間的距離公式可得x2y21axcy,再利用柯西不等式進(jìn)行放縮，從而求得,x2y2的最大值.【詳解】設(shè)Bx,y,則a2c24,x2yc21,2222222222xay5xy1axcy1.acxy12xy,取等號(hào)條件：aycx；令OBJx2y2d,則d212d,得d721.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查兩點(diǎn)間的距離公式，勾股定理、柯西不等式的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力，求解時(shí)注意不等式放縮時(shí)等號(hào)成立的條件7. B解析：B【分析】2先利用柯西不等式求得03a1V3b1J3c

9、1的最大值，由此求得43a173b1J3c1的最大值.【詳解】由柯西不等式得：121221,3a13b1、3c1121212.3a1、3b1,3c133abe318,所以J3a1J3b1J3c13質(zhì)，當(dāng)且僅當(dāng).1abc時(shí)，等號(hào)成立，故選B.3【點(diǎn)睛】本小題主要考查利用柯西不等式求最大值，屬于基礎(chǔ)題8. A解析：A【分析】由題求得OP的坐標(biāo)，求得OP,結(jié)合4x2yz4可得答案.【詳解】=+rOC=jr(1,0T0)-t-1J,O)(1,0,1)xy,y,z,OPJxy2y2z22_2,2222_2利用柯西不等式可得421xyyz4x2yz16,2OP1621故選A.【點(diǎn)睛】本題考查空間向量的線性

10、坐標(biāo)運(yùn)算及空間向量向量模的求法，屬基礎(chǔ)題9. D解析：D【解析】由柯西不等式可得y=5'R.+-?了=5Vx-1+寸3X43-*式；鼻5+3j(x-1+-x)=2#14故選D.10. A3,故選A.解析：A,11【解析】由題意得，因?yàn)閤0,則y方2x二xxx1當(dāng)且僅當(dāng)xx1時(shí)等號(hào)成立的，所以函數(shù)的最小值為x11. C解析：C【解析】bc3,因此，1,_一，八bc一時(shí)取等號(hào)，故選C.32一一一試題分析：1、a1、b1、-c111aa而點(diǎn)73,當(dāng)且僅當(dāng)«««,即a111考點(diǎn)：柯西不等式.12. B解析：B【解析】試題分析：反證法反設(shè)時(shí)要假設(shè)所要證明的結(jié)論反面成

11、立，因此需假設(shè)考點(diǎn)：反證法二、填空題13. 【分析】湊配進(jìn)而根據(jù)柯西不等式結(jié)合已知求解即可【詳解】解：根據(jù)柯西不等式得：當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)上述兩不等式取等號(hào)所以因?yàn)樗援?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查利用柯西不等式求最值問(wèn)題解題的關(guān)鍵在于解析：3.5【分析】湊配2212Jx2122421y2225、外2、5府12%5'y2-4,5,進(jìn)而根據(jù)柯西不等式結(jié)合已知求解即可.【詳解】解：根據(jù)柯西不等式得:_2222212x21_22_2_222x1,y222224222y8當(dāng)且僅當(dāng)x2,y1時(shí)，上述兩不等式取等號(hào)所以.?HM2x1，.22-421y222-2y8因?yàn)閤y3,所以了72

12、9;5附12、5'2453,52212x21、2242y2222x12y82xy95.55當(dāng)且僅當(dāng)x2,y1時(shí)，等號(hào)成立故答案為：3.5.【點(diǎn)睛】本題考查利用柯西不等式求最值問(wèn)題，解題的關(guān)鍵在于根據(jù)已知條件湊配使得R2k,再根據(jù)柯西不等式求解，考5查運(yùn)算求解能力，是中檔題14. 【分析】如圖所示以為直徑作圓延長(zhǎng)交新圓于點(diǎn)交新圓于點(diǎn)首先證得將題意轉(zhuǎn)化為求圓內(nèi)接三角形面積的最大值將基本不等式和琴生不等式相結(jié)合即可得結(jié)果【詳解】如圖所示以為直徑作圓延長(zhǎng)交新圓于點(diǎn)交新圓于點(diǎn)連接則與解析：3"32【分析】如圖所示，以O(shè)N為直徑作圓，延長(zhǎng)AO交新圓于E點(diǎn)，BO交新圓于F點(diǎn)，首先證得S.O

13、ABS,.OEB2SAOEF,將題意轉(zhuǎn)化為求圓內(nèi)接三角形面積的最大值，將基本不等式和琴生不等式相結(jié)合即可得結(jié)果.【詳解】如圖所示，以O(shè)N為直徑作圓，延長(zhǎng)AO交新圓于E點(diǎn)，BO交新圓于F點(diǎn)，連接FE,NF,則NF與OB垂直，又NB=NO，所以F為OB中點(diǎn)，由對(duì)稱性可知OAOE,C1.S,0AB=,OAOBsinc1一.Soeb=OBOEsin八1-八AOBOBOEsinAOB2所以S.，oab.OEB2S.OEF因此當(dāng)SOEF最大值時(shí)，S±OAB最大,故題意轉(zhuǎn)化為在半徑為1的圓內(nèi)求其內(nèi)接三角形AABC的面積最大值,_1,一圓內(nèi)接三角形的面積SaabsinC,由正弦定理得a2sinA,b

14、2sinB,S2sinAsinBsinC3sinAsinBsinC2-3由于fxsinx,x0,時(shí)為上凸函數(shù),可得3sinAsinBsinC3-3sinABC3即S.ABC當(dāng)且僅當(dāng)A【點(diǎn)睛】c3時(shí)等號(hào)成立，西，故答案為史22本題主要考查了圓內(nèi)接三角形面積最大值的求法，考查了解析幾何中的對(duì)稱思想以及等價(jià)轉(zhuǎn)化思想，用不等式求最值是難點(diǎn)，屬于難題15.-24【分析】設(shè)z=由柯西不等式可求得z的最小值為【詳解】設(shè)2=所以由柯西不等式即化簡(jiǎn)得而所以此時(shí)填-24【點(diǎn)睛】柯西不等式（1）設(shè)為實(shí)數(shù)則當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立（2）若（）為實(shí)數(shù)則當(dāng)且僅當(dāng)（）或存在一解析：-24【分析】設(shè)z=8a23b22c2d2,由柯

15、西不等式-2，111、，.、2C(8a3b2c)(-)(abc),可求得23zd248d24,z的最小值為8312Clc、(d48d24)min.23【詳解】設(shè)z=8a23b22c2d2,所以8a23b22c2zd2,22211122232由柯西不等式(8a23b22c2)(-)(abc)2,即(zd2)()(1d)2,83224化簡(jiǎn)得23zd248d24,而(d248d24)min2423,所以24,此時(shí)d24,8a3b2c24,填-24.【點(diǎn)睛】柯西不等式(1)設(shè)a,b,c,d為實(shí)數(shù)，則(a2b2)(c2d2)(acbd)2,當(dāng)且僅當(dāng)adbc時(shí)等號(hào)成立.(2)右a,bi(in)為實(shí)數(shù)，則2

16、222222(aa?an)(bb2bn)(aqa2b2anbn),當(dāng)且僅當(dāng)h0(in)或存在一個(gè)數(shù)k,使得aikb(in)時(shí)，等號(hào)成立.16.【解析】【分析】由題意逐一考查所給的四個(gè)說(shuō)法的正誤即可【詳解】逐一考查所給的四個(gè)說(shuō)法：則說(shuō)法正確；當(dāng)時(shí)不成立說(shuō)法錯(cuò)誤；由絕對(duì)值三角不等式的性質(zhì)可得：|x-2|+|y+2|?|（x-2）+（解析：【解析】【分析】由題意逐一考查所給的四個(gè)說(shuō)法的正誤即可.【詳解】逐一考查所給的四個(gè)說(shuō)法：222222xyz32xyzx1y1z10,222則xyz32xyz,說(shuō)法正確；當(dāng)xy1時(shí)，L_y.>y不成立，說(shuō)法錯(cuò)誤；由絕對(duì)值三角不等式的性質(zhì)可得：|x-2|+|y+

17、2|?|(x-2)+(y+2)|=|x+y|,說(shuō)法正確;2221222xyzxyyzzxxyyzzx0,2貝Ux2y2z2xyyzzx,說(shuō)法正確.綜上可得，一定成立的不等式的序號(hào)是.【點(diǎn)睛】本題主要考查不等式的性質(zhì)，利用不等式求最值，均值不等式成立的條件等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.17 .【解析】分析：根據(jù)柯西不等式將原式進(jìn)行配湊并結(jié)合已知條件加以計(jì)算即可得到的最大值詳解：根據(jù)柯西不等式可得當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)的最大值為18因此的最大值為點(diǎn)睛：該題考查的是應(yīng)用柯西不等式求最值的問(wèn)題在解題的過(guò)解析：32【解析】分析：根據(jù)柯西不等式(x1ylx2y2x3y3)2(x12x22x32)(y

18、12y22y32),將原式進(jìn)行配湊，并結(jié)合已知條件abc1加以計(jì)算，即可得到用FV3b-l痛的最大值.詳解：根據(jù)柯西不等式，可得(3a13b13c1)2(13a11.3b11.'3c1)2(121212)(J3a1)2(J3b1)2(J3c1)2313(abc)318,.一.-1當(dāng)且僅當(dāng)43a1J3b1J3c1,即abc時(shí)，3(J3a1J3b1J3c1)2的最大值為18,因此J3a1J3b1J3c1的最大值為麻34.點(diǎn)睛：該題考查的是應(yīng)用柯西不等式求最值的問(wèn)題，在解題的過(guò)程中，需要對(duì)柯西不等式的形式要熟悉，并能對(duì)式子進(jìn)行正確的配湊，從而求得結(jié)果18 .【解析】試題分析：因?yàn)樗缘卯?dāng)且僅

19、當(dāng)即時(shí)有最小值考點(diǎn)：柯西不等式解析:14449試題分析：因?yàn)閍,b,cR,abc1,所以111a124b29c24911a1-2b-3c23a124b29c2144tt_23u187,.當(dāng)且僅當(dāng)夕+14。一,即a,b,c時(shí)49494949222144a14b9c有最小值49考點(diǎn)：柯西不等式.19 .【解析】試題分析：所以原式轉(zhuǎn)化為根據(jù)基本不等式所以原式等號(hào)成立的條件是所以求原式的最小值轉(zhuǎn)化為求的最小值令當(dāng)時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減當(dāng)函數(shù)單調(diào)遞減所以當(dāng)時(shí)函數(shù)取得最小值當(dāng)時(shí)取得最小值最小值等于考點(diǎn)：1基本不等-9解析：死【解析】試題分析：.二二-.，所以，原式轉(zhuǎn)化為17i-A二-,所以原式-BC1+，根據(jù)基本

20、不等式,堂,襄一A“'14所以求原式的最小值轉(zhuǎn)化為求一-A甯一A1i的最小值，ft八二-.令/Q)=o/+二，一時(shí)，尸(川。，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng),-，函數(shù)單調(diào)遞減，所以當(dāng)H=J時(shí)，函數(shù)取得最小值，當(dāng)=三時(shí)，B=C二二，取得最小值，最小值等于3339無(wú)考點(diǎn)：1.基本不等式；2.導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值與最值.20 .(1)(2)見(jiàn)解析【解析】試題分析：(1)利用絕對(duì)值不等式的幾何意義可得從而得的值；(2)利用柯西不等式即可證明試題解析:1 1)a3(2)見(jiàn)解析析】試題利用絕對(duì)值不等式的幾何意義可得從而得a的值；2 )利用柯西不等式121212試題(1)因?yàn)?,當(dāng)且僅當(dāng)2時(shí),所以x的最小值等于3,

21、即a3.(2)證明：由(1)知pqr3,又因?yàn)閜,q,r是正實(shí)數(shù),222,2,2,2pqr111222cpqr3.考點(diǎn)：絕對(duì)值的幾何意義；不等式的證明三、解答題21.(1)4,0；(2)證明見(jiàn)解析(1)由X可得出答案;x14,分x3,3x1,x1三種情況，分別解不等式，進(jìn)而(2)先求出fX的最小值,進(jìn)而利用柯西不等式，可證明結(jié)論成立(1)fx4,即x3原不等式等價(jià)于14'解得0,綜上,原不等式的解集為4,0.因?yàn)閒X2,所以函數(shù)則正實(shí)數(shù)a,b,c,滿足a2,由柯西不等式，可得2二J61a1"b2工11c16,當(dāng)且僅當(dāng)bc時(shí)，等號(hào)成立.4所以一a【點(diǎn)睛】本題考查絕對(duì)值不等式的解

22、法,力，屬于中檔題.考查不等式的證明，考查學(xué)生的推理能力與計(jì)算求解能22.(1)X|X7二或x23.、;(2)證明見(jiàn)解析.(1)當(dāng)a2,段函數(shù)表示即可;1時(shí)，不等式化簡(jiǎn)得|x1|x3|5,結(jié)果分類討論用分(2)由絕對(duì)值三角不等式可得f(x)|2xa|2xb|c14abbc)(ac),借鑒柯西不到abc2,接下來(lái)解法不唯一，可將原式先拼湊為1149一(ab)(b4abbcac2222222等式abcdefadbecf進(jìn)行放縮即可求解；也可直接在第一ba八步的基礎(chǔ)上，借鑒基本不等式一一2的形式進(jìn)行化簡(jiǎn)，兩兩組合，再進(jìn)一步放縮即可ab【詳解】(1)當(dāng)a2,b6,c1時(shí)，不等式f(x)2x22x611

23、1,化簡(jiǎn)彳導(dǎo):|x1|x3|5,采用零點(diǎn)討論法，設(shè)g(x)x1|x3,當(dāng)x1時(shí)，gx2x2；當(dāng)3x1時(shí)，gx4；當(dāng)x1時(shí)，gx2x2；故g(x)2x2(x1)2x2(x1)4(3x1),由g(x)5,解得：x所以，不等式f(x)11的解集為x|x(2)因?yàn)閒(x)|2xa|2xb|c2.函數(shù)f(x)的最小值為2,abc證法一：根據(jù)柯西不等式可得：149_11abbcac4ab9(ab)(bc)(ac)ac.ac)2=-36=94一40,c一時(shí)等式成立.3，1當(dāng)且僅當(dāng)：ab211綜上，ab、,1證法二：ab9(ab)(bc)(ac)ac1彳/bc4(ab)ac9(ab)4(ac)9(bc)14+

24、4abbcabacbcac1一.八一八2.八4.一(14+4+6+12)=9,當(dāng)且僅當(dāng)a一，b0,c一等式成立.433綜上,本題考查分類討論解絕對(duì)值不等式，絕對(duì)值三角不等式的應(yīng)用，柯西不等式及基本不等式的應(yīng)用，其中柯西不等式的使用對(duì)于公式的理解和應(yīng)用要求較高，基本不等式的使用要注意幾種常見(jiàn)形式，形如：1 baab2Taba,bR,a-2a,bR，2ab0,解題時(shí)還需注意檢驗(yàn)aab等號(hào)成立的條件23. (1)a1或a5;(2)證明見(jiàn)解析.【分析】(1)因?yàn)閤3,所以fx3xxa,再分別求出a3和a3兩種情況下fx的最小值，據(jù)此列式求解即可;(2)由(1)知a1或a【詳解】5兩種情況下，分別利用柯

25、西不等式進(jìn)行證明(1)因?yàn)閤3,所以x30,所以fxx3xa3xxa,2xa3,xa當(dāng)a3時(shí)，fx,3a,ax3所以fx.fa3a,min由3a2,得a1；當(dāng)a3時(shí)，fx2x3a,所以fxminf33a,由3a2,得a5;綜上所述，a1或a5.(2)當(dāng)a1時(shí)，則m2n1,所以5m2n21222m2n2m2n21,12當(dāng)且僅當(dāng)n2m即m,n時(shí)上式取等號(hào)；55當(dāng)a5時(shí)，則m2n5,-222-222_2_所以5mn12mnm2n251,2時(shí)上式取等號(hào);當(dāng)且僅當(dāng)n2m即m1,n22綜上所述，5mn1.本題考查絕對(duì)值不等式及柯西不等式的應(yīng)用，考查學(xué)生的計(jì)算分析能力，難度不大24. (1)3；(2)不存在，理由見(jiàn)解析.【分析】(1)化簡(jiǎn)函數(shù)f(x)|x1|x2|x2|,結(jié)合絕對(duì)值三角不等式，即可求解(2)若存在正實(shí)數(shù)a,b,c滿足