自動控制系統(tǒng)的數(shù)學模型

1、第二章自動控制系統(tǒng)的數(shù)學模型教學目的：（1）建立動態(tài)模擬的概念，能編寫系統(tǒng)的微分方程。（2）掌握傳遞函數(shù)的概念及求法。（3）通過本課學習掌握電路或系統(tǒng)動態(tài)結(jié)構(gòu)圖的求法，并能應用各環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)，求系統(tǒng)的動態(tài)結(jié)構(gòu)圖。（4）通過本課學習掌握電路或自動控制系統(tǒng)動態(tài)結(jié)構(gòu)圖的求法，并對系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖進行變換。（5）掌握信號流圖的概念，會用梅遜公式求系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)。（6）通過本次課學習，使學生加深對以前所學的知識的理解，培養(yǎng)學生分析問題的能力教學要求：（1）正確理解數(shù)學模型的特點；（2）了解動態(tài)微分方程建立的一般步驟和方法；（3）牢固掌握傳遞函數(shù)的定義和性質(zhì)，掌握典型環(huán)節(jié)及傳遞函數(shù)；（4）掌握系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖的建

2、立、等效變換及其系統(tǒng)開環(huán)、閉環(huán)傳遞函數(shù)的求取，并對重要的傳遞函數(shù)如：控制輸入下的閉環(huán)傳遞函數(shù)、擾動輸入下的閉環(huán)傳遞函數(shù)、誤差傳遞函數(shù)，能夠熟練的掌握；（5）掌握運用梅遜公式求閉環(huán)傳遞函數(shù)的方法；（6）掌握結(jié)構(gòu)圖和信號流圖的定義和組成方法，熟練掌握等效變換代數(shù)法則，簡化圖形結(jié)構(gòu)，掌握從其它不同形式的數(shù)學模型求取系統(tǒng)傳遞函數(shù)的方法。教學重點：有源網(wǎng)絡和無源網(wǎng)絡微分方程的編寫；有源網(wǎng)絡和無源網(wǎng)絡求傳遞函數(shù)；傳遞函數(shù)的概念及求法；由各環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)，求系統(tǒng)的動態(tài)結(jié)構(gòu)圖；由各環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)對系統(tǒng)的動態(tài)結(jié)構(gòu)圖進行變換；梅遜增益公式的應用。教學難點：舉典型例題說明微分方程建立的方法；求高階系統(tǒng)響應；求復雜系

3、統(tǒng)的動態(tài)結(jié)構(gòu)圖；對復雜系統(tǒng)的動態(tài)結(jié)構(gòu)圖進行變換；求第K條前向通道特記式的余子式k。教學方法：講授本章學時：10學時主要內(nèi)容：引言動態(tài)微分方程的建立線性系統(tǒng)的傳遞函數(shù)典型環(huán)節(jié)及其傳遞函數(shù)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖信號流圖及梅遜公式引言：什么是數(shù)學模型為什么要建立系統(tǒng)的數(shù)學模型1. 系統(tǒng)的數(shù)學模型：描述系統(tǒng)輸入輸出變量以及各變量之間關(guān)系的數(shù)學表達式。1) 動態(tài)模型：描述系統(tǒng)處于暫態(tài)過程中個變量之間關(guān)系的表達式，他一般是時間函數(shù)。如：微分方程，傳遞函數(shù)，狀態(tài)方程等。2) 靜態(tài)模型：描述過程處于穩(wěn)態(tài)時各變量之間的關(guān)系。一般不是時間函數(shù)2. 建立動態(tài)模型的方法1) 機理分析法：用定律定理建立動態(tài)模型。2) 實驗法：運

4、用實驗數(shù)據(jù)提供的信息，采用辨識方法建模。3. 建立動態(tài)模型的意義：找出系統(tǒng)輸入輸出變量之間的相互關(guān)系，以便分析設計系統(tǒng)，使系統(tǒng)控制效果最優(yōu)。動態(tài)微分方程的建立無論什么系統(tǒng)，輸入輸出量在暫態(tài)過程中都遵循一定的規(guī)律，來反映該系統(tǒng)的特征。為了使系統(tǒng)滿足暫態(tài)性要求，必須對系統(tǒng)暫態(tài)過程進行分析，掌握其內(nèi)在規(guī)律，數(shù)學模型可以描述這一規(guī)律。一、編寫系統(tǒng)或元件微分方程的步驟：1. 根據(jù)實際情況，確定系統(tǒng)的輸入輸出變量。2. 從系統(tǒng)輸入端開始，按信號傳遞順序，以此寫出組成系統(tǒng)的各個元件的微分方程(或運動方程)。3. 消去中間變量，寫出輸入輸出變量的微分方程。二、舉例例1R-LC電路根據(jù)電路基本原理有：RUcUr

5、dUcIcdtd2ucducLc2Rcucurdtdt例2質(zhì)量-彈簧-阻尼系統(tǒng)M由牛頓定律:FmaFky比m噪dtdt2d2ym2dt2fdydtkyF3）電動機:KjLuIVt電總松制愉入J?:展控帑電路方程：UrEaLadt動力學方程：MMcJdtEakdMkdiaRaia(5)(1)得:得:kddtMkd(1)(5)LaJd2RaJd2kddtkddtUr5叫企MJRadtkd整理并定義兩個時間常數(shù)JRaTm機電時間常數(shù)Ta電磁時間常數(shù)電機方程TaTmd2dt2kdUr如果忽略阻力矩即Mc0，方程右邊只有電樞回路的控制量Ur，則電機方程是一典型二階方程如果忽略Ta（Ta0）電機方程就是一

6、階的ddt1Urkd小結(jié)：本節(jié)通過講授介紹了自動控制系統(tǒng)的數(shù)學模型，介紹了系統(tǒng)的動態(tài)以及靜態(tài)數(shù)學模型,描述了系統(tǒng)的動態(tài)微分方程，并通過幾個典型實例給出了求自動控制系統(tǒng)動態(tài)微分方程的步驟。線性系統(tǒng)的傳遞函數(shù)求解微分方程，可求出系統(tǒng)的輸出響應，但如果方程階次較高，則計算很繁，因此對系統(tǒng)的設計分析不便,所以應用傳遞函數(shù)將實數(shù)中的微分運算變成復數(shù)中的代數(shù)運算，可是問題分析大大簡化1. 傳遞函數(shù)的定義：傳遞函數(shù)：線性系統(tǒng)，在零初始條件下，輸出信號的拉氏變換與輸入拉氏變換之比，叫做系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。線性定?？刂葡到y(tǒng)微分方程的一般表達式：設線性定常系統(tǒng)由下述n階線性常微分方程描述：an1dc(t)anC(t)

7、dtplbm1r(t)bmr(t)dtdndn1a°dnc(t)d加c(t)dtdtdmdm1bo-mr(t)b1-mrr(t)dtdt式中c(t)是系統(tǒng)輸出量，r(t)是系統(tǒng)輸入量，ai(i1,2,3，n)和bj(j1,2,m)是與系統(tǒng)結(jié)構(gòu)和參數(shù)有關(guān)的常系數(shù)。設r(t)和c(t)及其各階系數(shù)在t=0是的值均為零，即零初始條件，則對上式中各項分別求拉氏變換，并令c(s)=Lc(t),R(s)=Lr(t),可得s的代數(shù)方程為：a°sna1sn1anisanC(s)bosm0sm1bm1samR(S)于是,G(s)由定義得系統(tǒng)傳遞函數(shù)為:C(s)b°smbiSm1nn

8、1R(s)aosa1sbmiSbmM(s)anisanN(s)式中M(S)b°Sm匕期1bm1Sbmnn1N(s)aosa1san1san2. 關(guān)于傳遞函數(shù)的幾點說明：1) 傳遞函數(shù)的概念只適應于線性定常系統(tǒng)。2) G(s雖然描述了輸出與輸入之間的關(guān)系，但它不提供任何該系統(tǒng)的物理結(jié)構(gòu)。因為許多不同的物理系統(tǒng)具有完全相同的傳遞函數(shù)。3) 傳遞函數(shù)只與系統(tǒng)本身的特性參數(shù)有關(guān)，與系統(tǒng)的輸入量無關(guān)。4) 傳遞函數(shù)不能反映系統(tǒng)非零初始條件下的運動規(guī)律。5) 傳遞函數(shù)分子多項式階次(m)小于等于分母多項式的階次(n)。6) 傳遞函數(shù)與微分方程之間的關(guān)系。G(s)滬R(s)如果將S置換傳遞函數(shù)微分

9、方程dt7)脈沖響應(脈沖過渡函數(shù))g(t)是系統(tǒng)在單位脈沖(t)輸入時的輸出響應因為R(s)L(t)111ttc(t)L1C(s)L1C(s)R(s)0r(t)g(t)d°r(t)g()d傳遞函數(shù)G(s的拉氏反變換是脈沖響應g(t)3. 傳遞函數(shù)的求法：i圖2-6輸入量Xr=u，輸出量Xc=。列回路電壓方程:diu=Ri+Ldt即Xr(s)=RXc(s)+LSXc(s)(227)(2-28)經(jīng)整理得：Xc(s)二丄定Xr(s)T1s1(229)其中Ti=R,為電路的時間常數(shù)。思考題:d2v(L-$s2y(s)sy(0)y'(0)，什么是零初始條件dt如何從該框圖求得與之間的

10、關(guān)系從微分方程傳遞函數(shù)典型環(huán)節(jié)及其傳遞函數(shù)任何系統(tǒng)都是由各環(huán)節(jié)構(gòu)成，知道了各典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)就不難求出系統(tǒng)的傳遞函數(shù),從而對系統(tǒng)進行分析。這些典型環(huán)節(jié)包括：比例環(huán)節(jié)、慣性環(huán)節(jié)、積分環(huán)節(jié)、微分環(huán)節(jié)、振蕩環(huán)節(jié)和時滯環(huán)節(jié)。下面分別加以介紹:1. 比例環(huán)節(jié)G(s)K式中K增益特點：輸入輸出量成比例，無失真和時間延遲。實例：電子放大器，齒輪，電阻(電位器)，感應式變送器等。2. 慣性環(huán)節(jié)1G(s)TS1式中T時間常數(shù)特點：含一個儲能元件，對突變的輸入其輸出不能立即復現(xiàn)，輸出無振蕩實例：圖2-4所示的RC網(wǎng)絡，直流伺服電動機的傳遞函數(shù)也包含這一環(huán)節(jié)。3. 微分環(huán)節(jié)理想微分G(s)KS一階微分G(s)S1

11、二階微分G(s)2S22S1特點：輸出量正比輸入量變化的速度，能預示輸入信號的變化趨勢實例：測速發(fā)電機輸出電壓與輸入角度間的傳遞函數(shù)即為微分環(huán)節(jié)4. 積分環(huán)節(jié)1G(s)S特點：輸出量與輸入量的積分成正比例，當輸入消失，輸出具有記憶功能實例：電動機角速度與角度間的傳遞函數(shù)，模擬計算機中的積分器等。5. 振蕩環(huán)節(jié)1T2S22TS12G(s)nS22nS式中E阻尼比(01)無阻尼自然振蕩頻率特點：環(huán)節(jié)中有兩個獨立的儲能元件，并可進行能量交換，其輸出出現(xiàn)振蕩實例：RLC電路的輸出與輸入電壓間的傳遞函數(shù)。6. 純時間延時環(huán)節(jié)c(t)r(t)G(s)es式中特點：延遲時間輸出量能準確復現(xiàn)輸入量，但須延遲一

12、固定的時間間隔。實例：管道壓力、流量等物理量的控制，其數(shù)學模型就包含有延遲環(huán)節(jié)。小結(jié)：通過本節(jié)的講授使學生掌握了傳遞函數(shù)的基本概念及典型環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)。并了解了典型二階環(huán)節(jié)各參數(shù)的物理意義。2.4系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖、結(jié)構(gòu)圖的定義及其組成1. 結(jié)構(gòu)圖：是描述系統(tǒng)各組成元件之間信號傳遞關(guān)系的數(shù)學圖形，它表示了系統(tǒng)的輸入輸出之間的關(guān)系。2. 結(jié)構(gòu)圖的組成：（1）信號線：帶箭頭的直線，箭頭表示信號傳遞方向。（2）分支點（引出點）：表示信號引出或測量的位置。2-7分支點示意圖注意：同一位置引出的信號大小和性質(zhì)完全一樣。（3）比較點：對兩個以上信號加減運算。T1T1+T2Ti+_Ti-T2T2(4)方框：方框圖內(nèi)

13、輸入環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)。3動態(tài)結(jié)構(gòu)圖的繪制步驟：(1) 建立控制系統(tǒng)各元件的微分方程(傳遞函數(shù))要標明輸入輸出量(2) 對元件的微分方程進行拉氏變換，并作出各元件的結(jié)構(gòu)圖。(3) 按系統(tǒng)各變量的傳遞順序，依次將各元件的結(jié)構(gòu)圖連接起來。系統(tǒng)動態(tài)結(jié)構(gòu)圖的求法例如圖2-9是閉環(huán)調(diào)速系統(tǒng)iCoSR12(一)求各環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)和方框圖1. 比較環(huán)節(jié)和速度調(diào)節(jié)器的傳遞函數(shù)和方框圖l(s)Uf(s)If()l(s)1CoSlc(s)lr(s)Ur(s)1Rolc(S)Uk(s)Ro12c1sCoSlglf(s)kc1邏(Ur(S)1sUf(s)1Tos式中To；RoCo為濾波常數(shù)iRiG為時間常數(shù)kc尺r為比例

14、系數(shù)Wi(s)為速度調(diào)節(jié)器函數(shù)W2(s)為速度反饋濾波傳遞函數(shù)方框圖如圖2-10圖2-142. 速度反饋傳遞函數(shù)Uf(s)kspn(s)ksp為速度反饋系數(shù)Uf(S)Ksp=n(S)圖2-113. 電動機及功率放大器裝置的傳遞函數(shù)函數(shù)：w(s)ksks為功放電壓放大系數(shù)Us(s)圖2-12電動機電框回路的微分方程：udRdid時也cendt零初始條件下拉氏變換：ld(s)Ud(s)Cen(s)Rd(1TdS)Ud(s)Cen(S)W4(S)W4（s）電框回路傳遞函數(shù)Ur(S)ld(S)W4(S)n(S)Ce4圖2-13電動機帶負載時運動方程:2GD2dn375dt拉氏變換:Id（S）Iz（S）

15、C咗沁）Id(s)lz(S)Ws(S)(2-47)Rdn(s)Id(s)Iz(s)CeTmS（二）系統(tǒng)動態(tài)結(jié)構(gòu)圖三、框圖的等效變換1.框圖幾種常見的連接方式(1)環(huán)節(jié)串聯(lián)連接的傳遞函數(shù)圖2-15證明：X!(S)wds)Xr(S)X2(S)w1(s)x1(s)X3(s)W3(S)X2(S)消去中間變量得幾個環(huán)節(jié)串聯(lián)的傳遞函數(shù)w(s)w(s)w2(s)w3(s)(2-50)若有幾個環(huán)節(jié)串聯(lián)，則等效函數(shù)：nw(s)w-i(s)w2(s)wn(s)wi(s)(2-51)i1(2)環(huán)節(jié)并聯(lián)的傳遞函數(shù)圖2-16(2-55)(2-52)(2-53)(2-54)證明:Xc(s)x,s)X2(s)X3(s)w1

16、(s)xr(s)w2(s)xr(s)xr(s)w3(s)W1(s)W2(s)W3(S)Xr(S)w(s)xr(s)xc(s)w(s)ws)w2(s)w3(s)Xr(s)n若有幾個環(huán)節(jié)并聯(lián)：w(s)w!(s)w2(s)wn(s)wi(s)i1(3) 反饋連接的等效傳遞函數(shù)圖2-17反饋通道)特點：將輸出量返回系統(tǒng)輸入形式閉環(huán)。有兩個通道(正向通道傳遞函數(shù)的推導：Xc(s)Wi(s)E(s)E(s)Xr(s)Xf(s)Xf(s)w2(s)Xc(s)E(s)Xr(s)w2(S)Xc(S)Xc(s)wi(S)X(S)w2(S)Xc(S)Xc(s)wi(S)W2(S)XjS)wi(s)Xr(s)傳遞函數(shù)

17、為w(s)W|(s)1w1(s)w2(s)2框圖的等效變換(1)相加點從單元輸入端移到輸出端圖變換后：X3(s)X1(S)W|(S)X2(S)W1(s)(2)相加點從單元輸出端移到輸入端Wi(s)xi(s)X2(s)Xi(S)*Wi(S)Xf(S)-*X2(S)圖2-30(4) 分支點從單元輸出端移到輸入端Xl(S)X2(S)”wi(S)nX2(S)圖2-31變換前：x3(s)w1(s)x1(s)x2(s)變換后：1X3(S)Xi(S)Wi(S)X2(S)Wi(S)Xi(S)Wi(S)X2(S)(3)分支點從單元輸入端移到輸出端(5)分支點及相加點可以互換圖2-33四、幾個基本概念及術(shù)語RCs

18、)打開反饋圖2-34反饋控制系統(tǒng)方框圖函數(shù)假設N(s)=OR(s)給定輸入C(s)輸出B(s)主反饋量E(s)誤差(1)前向通路傳遞打開反饋后，輸出C(s)與R(s)之比。在圖中等價于C(s)與誤差之比E(s),打開反饋后，輸出量拉氏與輸入量拉氏之比E(S)Gl(s)G2(s)G(s)反饋回路傳遞函數(shù)(FeedforwardTransferFunctior)假設N(s)=0主反饋信號B(s)與輸出信號C(s)之比。CS)H(s)開環(huán)傳遞函數(shù)(Open-loopTransferFunction)假設N(s)=0主反饋信號B(s)與誤差信號E(s)之比。(4)只有給定輸入作用(N(S)=0)Gr(

19、s)G,s)G2(s)1G1(s)G2(s)H(s)系統(tǒng)輸出：Cr(s)G1(S)G2(S)R(S)1G1(s)G2(s)H(s)(5) 只有擾動作用N(s)0Gn(s)G2(S)1G1(S)G2(S)H(S)Cn(s)G2(s)N(s)1G1(s)G2(s)H(s)C(s)Cr(s)Cn(s)G2(S)G1(s)G2(s)H(s)G(s)R(s)N(s)系統(tǒng)總輸出:小結(jié)：通過本課學習使學生掌握電路或系統(tǒng)動態(tài)結(jié)構(gòu)圖的求法，并能應用各環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù),求系統(tǒng)的動態(tài)結(jié)構(gòu)圖；掌握等效的概念及等效變換的基本原則，能夠求出復雜結(jié)構(gòu)圖的傳遞函數(shù)。2.5信號流圖及梅遜公式一、信號流圖由系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖可以求出系統(tǒng)

20、的傳遞函數(shù)，但是系統(tǒng)很復雜時，結(jié)構(gòu)圖簡化很繁，采用信號流圖，不必對信號流圖簡化，應用統(tǒng)一公式，可求出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。1繪制方法：(1)由代數(shù)方程繪制：例：描述系統(tǒng)的方程組為：廠X?=aX+bX2+gX5X3=cX2<,X4=dXl+lX3+fX4IXs=Xi+hX4信號流圖是由節(jié)點和支路組成的信號傳遞網(wǎng)絡，節(jié)點表示系統(tǒng)的變量或是信號用“0”表示，支路用有向線段表示。該系統(tǒng)的信號流圖：d由系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖繪制圖2-361圖2-372信號流圖使用術(shù)語源點；匯點；混合節(jié)點；閉通路（回環(huán)）；回路增益；前向通路；自回路回路。講法：結(jié)合信號流圖講述。3梅遜增益公式求傳遞函數(shù)利用梅遜增益公式，不用對系統(tǒng)結(jié)構(gòu)

21、圖變換，一點寫出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)XcXrTk(2-65)Xr-系統(tǒng)輸出量；Xc-系統(tǒng)的輸出量；T-系統(tǒng)總傳輸；Tk-第K條前向通路的傳輸;n從輸入節(jié)點到輸出節(jié)點的前向通路數(shù)；-信號流圖的特征式。1L!L2L3.(1)mLm(2-66)信號流圖中所有不同回環(huán)傳輸之和。L2信號流圖中每兩個互不接觸回環(huán)的傳輸乘積之和。L3-信號流圖中每三個互不接觸回環(huán)的傳輸乘積之和。Lm信號流圖中每m個互不接觸回環(huán)的傳輸乘積之和第K條前向通路特征式的余子式，是在中除去與第K條前向通路相接觸的各回環(huán)傳輸(即將其置零)例1:如圖求系統(tǒng)總的傳輸k1X4X5»o-Xc此系統(tǒng)有兩條前向通路n=2,其傳輸T|=abcd

22、,E=fd;三個回環(huán)：La=be,Lb=-abcdg,Lc=-fdg三個回環(huán)只有La和Lb互不接觸L2LaLc,L30系統(tǒng)的特征方程式1L1L2=1-(LaLbLc)LaLc=1-be+(abc+f-bef)dg為除去(在中)得T1特征余子式2在中除去與T2接觸回環(huán)Lb,Lc得特征余子式1be系統(tǒng)的傳輸為：T=12Tkkk1=abcdfd(1be)1be(fabcbef)dg例2:如圖求系統(tǒng)傳遞函數(shù)系統(tǒng)前向通路：T仁W1W3W5,T2=W2W4W5系統(tǒng)回環(huán)及傳輸：a=-W1W3W5H1b二W2W4W5c=-W3H2d=-W4H2L1LaLbLcLd=-(W1W3W5H1+W2W4W5H1+W3H2+W4H2)各回環(huán)相互接觸L2L3=01L11W1W3W5H1W2W4W5H1W3H1W4H2各回環(huán)與前向通路T1,T2接觸121系統(tǒng)傳遞函數(shù)：T11T22W1W3W5W2W4