泰勒公式及其應(yīng)用(數(shù)學(xué)考研)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上第2章 預(yù)備知識前面一章我們介紹了一下泰勒和他的成就，那他的主要杰作泰勒公式究竟在數(shù)學(xué)中有多大的用處呢？那么從這一章開始我們就要來學(xué)習(xí)一下所謂的泰勒公式，首先來了解一下它是在什么樣的背景下產(chǎn)生的給定一個函數(shù)在點處可微，則有：這樣當(dāng)時可得近似公式或 ，即在點附近，可以用一個的線形函數(shù)（一次多項式）去逼近函數(shù)，但這時有兩個問題沒有解決：（1） 近似的程度不好，精確度不高因為我們只是用一個簡單的函數(shù)一次多項式去替代可能是十分復(fù)雜的函數(shù)（2）近似所產(chǎn)生的誤差不能具體估計，只知道舍掉的是一個高階無窮小量，如果要求誤差不得超過，用去替代行嗎？因此就需要用新的逼近方法去替代函數(shù)在下

2、面這一節(jié)我們就來設(shè)法解決這兩個問題2.1Taylor公式 首先看第一個問題，為了提高近似的精確程度，我們可以設(shè)想用一個的次多項式在附近去逼近，即令 （2.1）從幾何上看，這表示不滿足在附近用一條直線（曲線在點的切線）去替代，而是想用一條次拋物線去替代它我們猜想在點附近這兩條曲線可能會擬合的更好些那么系數(shù)，如何確定呢？假設(shè)本身就是一個次多項式，顯然，要用一個次多項式去替代它，最好莫過它自身了，因此應(yīng)當(dāng)有于是得：求一次導(dǎo)數(shù)可得：又求一次導(dǎo)數(shù)可得：這樣進(jìn)行下去可得：， ，因此當(dāng)是一個次多項式時，它就可以表成： （2.2）即附近的點處的函數(shù)值可以通過點的函數(shù)值和各級導(dǎo)數(shù)值去計算通過這個特殊的情形，我們

3、得到一個啟示，對于一般的函數(shù)，只要它在點存在直到階的導(dǎo)數(shù)，由這些導(dǎo)數(shù)構(gòu)成一個次多項式稱為函數(shù)在點處的泰勒多項式，的各項系數(shù) ，稱為泰勒系數(shù)因而次多項式的次泰勒多項式就是它本身2.2 Taylor公式的各種余項對于一般的函數(shù)，其次多項式與函數(shù)本身又有什么關(guān)系呢？函數(shù)在某點附近能近似地用它在點的次泰勒多項式去替代嗎？如果可以，那怎樣估計誤差呢？下面的定理就是回答這個問題的定理1 (帶拉格朗日型余項的公式)假設(shè)函數(shù)在上存在直至階的連續(xù)導(dǎo)函數(shù)，則對任一,泰勒公式的余項為其中為與間的一個值.即有 (2.3) 推論1 當(dāng)，（2.3）式即為拉格朗日中值公式：所以，泰勒定理也可以看作是拉格朗日中值定理的推廣

4、推論2 在定理1中,若令則稱為一般形式的余項公式, 其中在上式中，即為拉格朗日型余項若令，則得,此式稱為柯西余項公式當(dāng)，得到泰勒公式：， （2.4）則（2.4）式稱為帶有拉格朗日型余項的麥克勞林公式定理 （帶皮亞諾型的余項的公式） 若函數(shù)在點處存在直至階導(dǎo)數(shù)，則有，則當(dāng)時，即有 （2.5）定理3所證的（2.5）公式稱為函數(shù)在點處的泰勒公式， 稱為泰勒公式的余項的，形如的余項稱為皮亞諾型余項，所以（2.5）式又稱為帶有皮亞諾型余項的泰勒公式當(dāng)（2.5）式中時，可得到 （2.6）（2.6）式稱為帶有皮亞諾型余項的麥克勞林公式，此展開式在一些求極限的題目中有重要應(yīng)用 由于，函數(shù)的各階泰勒公式事實上是

5、函數(shù)無窮小的一種精細(xì)分析，也是在無窮小領(lǐng)域?qū)⒊竭\(yùn)算轉(zhuǎn)化為整冪運(yùn)算的手段這一手段使得我們可能將無理的或超越函數(shù)的極限，轉(zhuǎn)化為有理式的極限，從而使得由超越函數(shù)所帶來的極限式的奇性或不定性，得以有效的約除，這就極大的簡化了極限的運(yùn)算這在后面的應(yīng)用中給以介紹定理 設(shè)，函數(shù)在內(nèi)具有階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且，在內(nèi)的泰勒公式為 （2.7）則證明：在內(nèi)的帶皮亞諾型余項的泰勒公式：將上式與（2.7）式兩邊分別相減，可得出，從而，令，得，故 由上面的證明我們可以看得出，當(dāng)趨近于無窮大時，泰勒公式的近似效果越好，擬合程度也越好專心-專注-專業(yè)第3章 泰勒公式的應(yīng)用由于泰勒公式涉及到的是某一定點及處函數(shù)及階導(dǎo)數(shù)值：，以及用這

6、些值表示動點處的函數(shù)值，本章研究泰勒公式的具體應(yīng)用，比如近似計算，證明中值公式，求極限等中的應(yīng)用3.1 應(yīng)用Taylor公式證明等式例3.1.1 設(shè)在上三次可導(dǎo)，試證： ，使得證明： (利用待定系數(shù)法)設(shè)為使下列式子成立的實數(shù)： （3.1）這時，我們的問題歸為證明：，使得：令，則根據(jù)羅爾定理，使得，即：這是關(guān)于的方程，注意到在點處的泰勒公式：其中，比較可得原命題成立例3.1.2 設(shè)在上有二階導(dǎo)數(shù)，試證：，使得 （3.2）證明：記，則在處泰勒公式展開式為： （3.3）對（3.3）式兩端同時取上的積分，注意右端第二項積分為0，對于第三項的積分，由于導(dǎo)數(shù)有介值性，第一積分中值定理成立：，使得因此原命

7、題式成立因此可以從上述兩個例子中得出泰勒公式可以用來證明一些恒等式，既可以證明微分中值等式，也可以證明積分中值等式以后在遇到一些等式的證明時，不妨可以嘗試用泰勒公式來證明證明等式后我們在思考，它能否用來證明不等式呢？經(jīng)研究是可以的，下面我們通過幾個例子來說明一下3.2 應(yīng)用Taylor公式證明不等式例3.4設(shè)在上二次可微，試證：，證明：取，將在處展開其中以乘此式兩端，然后個不等式相加，注意得：例3.2.2 設(shè)在上有二階導(dǎo)數(shù)，當(dāng)時，試證：當(dāng)時，證明：在處的泰勒展開式為：其中將分別換為，可得： （3.4） （3.5）所以（3.4）式減（3.5）式得：從而，例3.2.3 設(shè)在上二階可導(dǎo)，證明：，有證

8、明：在，處的泰勒展開式分別為：，令，則有， （3.6） ， （3.7）（3.7）（3.6）得：則有令，即有例3.2.4 設(shè)二次可微， ， ，試證：證明：因在上連續(xù)，故有最大值，最小值又因，故最大值在內(nèi)部達(dá)到，所以使得于是為極大值，由費馬定理有：，在處按Taylor公式展開：使得：， （3.8） （3.9）因此而時， 時，所以，由上述幾個例題可以看出泰勒公式還可以用來證明不等式，例3.2.1說明泰勒公式可以根據(jù)題目的條件來證明函數(shù)的凹凸性，例3.2.2說明可以對某些函數(shù)在一定范圍內(nèi)的界進(jìn)行估計，例3.2.3是用泰勒公式證明中值不等式，例3.2.4與例3.2.2很相似，只不過前者是界的估計，后者是

9、對導(dǎo)數(shù)的中值估計證明不等式有很多種方法，而學(xué)習(xí)了泰勒公式后，又增添了一種方法，在以后的學(xué)習(xí)中我們要會靈活應(yīng)用但前提是要滿足應(yīng)用的條件，那就是泰勒公式成立的條件3.3 應(yīng)用Taylor公式求極限例3.3.1求解：在這里我們用泰勒公式求解，考慮到極限，用帶皮亞諾型余項的麥克勞林公式展開，則有所以，像這類函數(shù)用泰勒公式求極限就比較簡單，因為使用洛畢達(dá)法則比較麻煩和復(fù)雜例3.3.2 設(shè)函數(shù)在上二次連續(xù)可微，如果存在，且在上有界，試證：證明：要證明，即要證明：，當(dāng)時利用公式， （3.10）即 （3.11）記，因有界，所以，使得， 故由（3.11）知 （3.12），首先可取充分小，使得， 然后將固定，因，

10、 所以，當(dāng)時從而由（3.12）式即得：即例3.3.3 判斷下列函數(shù)的曲線是否存在漸近線，若存在的話，求出漸近線方程（1）；（2）解：（1）首先設(shè)所求的漸近線為 ，并令 ，則有：從中解出：，所以有漸近線：（2）設(shè)，則有從中解出：，所以有漸近線： 從上面的例子中我們可以看得出泰勒公式在判斷函數(shù)漸近線時的作用，因而我們在判斷函數(shù)形態(tài)時可以考慮這個方法，通過求極限來求函數(shù)的漸進(jìn)線上述三個例子都是泰勒公式在求極限的題目上的應(yīng)用，例3.3.1是在具體點或者是特殊點的極限，而第二個例子是求無窮遠(yuǎn)處的極限，第三個是利用極限來求函數(shù)的漸近線，學(xué)習(xí)了數(shù)學(xué)分析，我們知道求極限的方法多種多樣，但對于有些復(fù)雜的題目我們

11、用洛必達(dá)法則或其他方法是很難求出，或者是比較復(fù)雜的，我們不妨用泰勒公式來解決3.4 應(yīng)用Taylor公式求中值點的極限例3.4.1 設(shè)(1)在內(nèi)是階連續(xù)可微函數(shù)，此處；(2)當(dāng)時，有 ，但是；(3)當(dāng)時有 （3.13）其中，證明：證明：要求出的極限必須設(shè)法解出，因此將（3.13）式左邊的及右端的在處展開，注意條件(2)，知使得 ， （3.14）， （3.15）于是（3.13）式變?yōu)閺亩?，利用的連續(xù)性，由此可得 這個例子可以作為定理來使用，但前提是要滿足條件以后只要遇到相關(guān)的題目就可以簡單應(yīng)用3.5 應(yīng)用Taylor公式近似計算由于泰勒公式主要是用一個多項式去逼近函數(shù)，因而可用于求某些函數(shù)的近

12、似值，或根據(jù)誤差確定變量范圍特別是計算機(jī)編程上的計算例3.5.1 求：（1）計算的值，使其誤差不超過；（2）用泰勒多項式逼近正弦函數(shù)，要求誤差不超過，以的情形討論的取值范圍解：(1) 由于的麥克勞林的泰勒展開式為： 當(dāng)時，有故 當(dāng)時，有從而省略而求得的近似值為： (2) 當(dāng)時， ，使其誤差滿足：只需（弧度），即大約在原點左右37°2938范圍內(nèi)，上述三次多項式逼近的誤差不超過3.6 應(yīng)用Taylor公式求極值定理3.1 設(shè)在附近有階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且， （1）如果為偶數(shù)，則不是的極值點（2）如果為奇數(shù)，則是的嚴(yán)格極值點，且當(dāng)時，是的嚴(yán)格極小值點；當(dāng) 時，是的嚴(yán)格極大值點證明：將在點處作帶皮

13、亞諾型余項的展開，即：于是由于故，中，與同號（1）如果為偶數(shù)，則由在附近變號知，也變號，故不是的極值點（2）如果為奇數(shù)，則為偶數(shù)，于是，在附近不變號，故與同號若，則，為的嚴(yán)格極小值點若，則，為的嚴(yán)格極大值點例3.6.1 試求函數(shù)的極值解：設(shè)，由于，因此是函數(shù)的三個穩(wěn)定點的二階導(dǎo)數(shù)為，由此得，及所以在時取得極小值求三階導(dǎo)數(shù)，有，由于，則為偶數(shù)，由定理3.1知在不取極值.再求的四階導(dǎo)數(shù)，有因為，則為奇數(shù)，由定理3.1知在處取得極大值綜上所述，為極大值，為極小值由上面的例題我們可以了解到定理3.1也是判斷極值的充分條件3.7 應(yīng)用Taylor公式研究函數(shù)圖形的局部形態(tài)定理3.2 設(shè)為任一非空集合，函

14、數(shù)在處階可導(dǎo)，且滿足條件：，（1）為偶數(shù)，如果，則曲線在點的鄰近位于曲線過此點的切線的上（下）方（2）為奇數(shù)，則曲線在點的鄰近位于該點切線的兩側(cè)，此時稱曲線在點處與該點的切線橫截相交證明：因為在處階可導(dǎo)，并且，所以在的開鄰域 內(nèi)的階公式為 于是由于由此可見：，有：與同號（1）當(dāng)為偶數(shù)，如果，則，這就表明在點鄰近，曲線位于切線的上方；如果，則有，因此，在點鄰近，曲線位于切線的下方（2）當(dāng)為奇數(shù)，這時若，則， ， 由此知，在的右側(cè)，曲線位于切線的上（下）方；而在的左側(cè)，曲線位于切線的下（上）方因此，曲線在點處與該點的切線橫截相交3.8 應(yīng)用Taylor公式研究線形插值例3.8.1（線形插值的誤差公式） 設(shè)為實一元函數(shù)，為兩點與所決定的線形函數(shù)，即，稱為在區(qū)間上的線形插值如果在區(qū)間上二階可導(dǎo)，在上連續(xù)，那么，我們可以對這種插值法帶來的誤差作出估計應(yīng)用帶Lagrange型余項Taylor公式：，使得其中，最后一個式子是由于，以及Darboux定理推得如果為的上界（特別當(dāng)在上連續(xù)時，根據(jù)最值定理，?。?，則誤差估計為，這表明，愈小線性插值的逼近效果就會愈好，當(dāng)很小時，曲線的切線改變得不劇烈，這也是符合幾何直觀的3.9 應(yīng)用Taylor公式