第七章 函數(shù)矩陣與矩陣微分方程

1、 第七章第七章 函數(shù)矩陣與矩陣微分方程函數(shù)矩陣與矩陣微分方程 定義：定義： 以實變量以實變量 的函數(shù)為元素的矩陣的函數(shù)為元素的矩陣 111212122212( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )nnmmmnaxaxaxaxaxaxA xaxaxaxx稱為函數(shù)矩陣，其中所有的元素稱為函數(shù)矩陣，其中所有的元素都是定義在閉區(qū)間都是定義在閉區(qū)間 上的實函數(shù)。上的實函數(shù)。函數(shù)矩陣與數(shù)字矩陣一樣也有加法，數(shù)乘，函數(shù)矩陣與數(shù)字矩陣一樣也有加法，數(shù)乘，乘法，轉(zhuǎn)置等幾種運算，并且運算法則完乘法，轉(zhuǎn)置等幾種運算，并且運算法則完全相同。全相同。例：例：已知已知( ),1,2,;1,2,ijax

2、im jn , a b1sin1cos,11xxxxxxABexex計算計算定義：定義：設(shè)設(shè) 為一個為一個 階函數(shù)矩陣，如果階函數(shù)矩陣，如果存在存在 階函數(shù)矩陣階函數(shù)矩陣 使得對于任何使得對于任何 都有都有那么我們稱那么我們稱 在區(qū)間在區(qū)間 是是可逆的可逆的。,2 ()TxAB AB AABn( )B x , xa bn( ) ( )( ) ( )A x B xB x A xI( )A x , a b( )A x稱稱 是是 的逆矩陣，一般記為的逆矩陣，一般記為例例 ：已知已知那么那么 在區(qū)間在區(qū)間 上是可逆的，其逆上是可逆的，其逆為為( )B x( )A x1( )Ax11( )0 xxA x

3、e ( )A x1( )10 xxxxeAxe3,5函數(shù)矩陣可逆的充分必要條件函數(shù)矩陣可逆的充分必要條件定理定理 : 階矩陣階矩陣 在區(qū)間在區(qū)間 上可逆的上可逆的充分必要條件是充分必要條件是 在在 上處處不為上處處不為零，并且零，并且其中其中 為矩陣為矩陣 的伴隨矩陣。的伴隨矩陣。定義：定義：區(qū)間區(qū)間 上的上的 型矩陣函數(shù)不型矩陣函數(shù)不恒等于零的子式的最高階數(shù)稱為恒等于零的子式的最高階數(shù)稱為 的的秩秩。mn( )A x , a b( )A x , a b1*1( )( )( )AxA xA x*( )A x( )A x , a b( )A x特別地，設(shè)特別地，設(shè) 為區(qū)間為區(qū)間 上的上的 階矩陣

4、階矩陣函數(shù)，如果函數(shù)，如果 的秩為的秩為 ，則稱，則稱 一個一個滿秩矩陣滿秩矩陣。注意：對于階矩陣函數(shù)而言，滿秩與可逆不注意：對于階矩陣函數(shù)而言，滿秩與可逆不是等價的。即：可逆的一定是滿秩的，但是是等價的。即：可逆的一定是滿秩的，但是滿秩的卻不一定是可逆的。滿秩的卻不一定是可逆的。例例 ：已知已知( )A x , a bn( )A xn( )A x201( )A xxx那么那么 。于是。于是 在任何區(qū)間在任何區(qū)間 上的秩都是上的秩都是2。即。即 是滿秩的。但是滿秩的。但是是 在在 上是否可逆，完全依賴于上是否可逆，完全依賴于 的取值。當區(qū)間的取值。當區(qū)間 包含有原點時，包含有原點時， 在在 上

5、有零點，從而上有零點，從而 是不可逆的是不可逆的 。 定義：定義：如果如果 的所有各元的所有各元素素 在在 處有極限，即處有極限，即 ( )A xx( )A x , a b( )A x( )A x , a b, a b , a b( )A x , a b( )A x( )( )ijm nA xax( )ijax0 xx0lim( )(1,;1, )ijijxxaxaim jn其中其中 為固定常數(shù)。則稱為固定常數(shù)。則稱 在在 處處有有極限極限，且記為，且記為其中其中ija0 xx0lim( )xxA xA111212122212nnmmmnaaaaaaAaaa( )A x如果如果 的各元素的各元

6、素 在在 處連續(xù)，處連續(xù)，即即則稱則稱 在在 處處連續(xù)連續(xù)，且記為，且記為其中其中( )A x( )ijax0 xx00lim( )()(1,;1, )ijijxxaxaxim jn( )A x0 xx00lim( )()xxA xA x1101201021022020010200()()()()()()()()()()nnmmmnaxaxaxaxaxaxA xaxaxax容易驗證下面的等式是成立的：容易驗證下面的等式是成立的：設(shè)設(shè)則則00lim( ),lim( )xxxxA xAB xB0(1)lim( ( )( )xxA xB xAB00(2)lim( )(3)lim( ( ) ( )xx

7、xxkA xkAA x B xAB定義定義：如果如果 的所有各元素的所有各元素 在點在點 處處(或在區(qū)間或在區(qū)間 上上)可導，便稱此函數(shù)矩陣可導，便稱此函數(shù)矩陣 在點在點 處處(或在區(qū)間或在區(qū)間 上上)可導可導，并且記為并且記為( )( )ijm nA xax( )(1,;1, )ijax im jn0 xx , a b( )A x0 xx , a b00000110120102102202010200d ( )()()()limd()()()()()()()()()xx xnnmmmnA xA xxA xA xxxaxaxaxaxaxaxaxaxax 函數(shù)矩陣的導數(shù)運算有下列性質(zhì)：函數(shù)矩陣的

8、導數(shù)運算有下列性質(zhì)：(1) 是常數(shù)矩陣的充分必要條件是是常數(shù)矩陣的充分必要條件是(2) 設(shè)設(shè)均可導，則均可導，則 ( )A xd ( )0dA xx( )( ), ( )( )ijm nijm nA xaxB xb xdd ( )d ( ) ( )( )dddA xB xA xB xxxxdd ( )d ( ) ( ) ( )( )( )dddk xA xk x A xA xk xxxx(3)設(shè)設(shè) 是是 的純量函數(shù)，的純量函數(shù)， 是函數(shù)矩是函數(shù)矩陣，陣， 與與 均可導，則均可導，則特別地，當特別地，當 是常數(shù)是常數(shù) 時有時有( )k xx( )A x( )k x( )A x( )k xkdd

9、( )( )ddA xkA xkxx(4) 設(shè)設(shè) 均可導，且均可導，且 與與 是是可乘的，則可乘的，則因為矩陣沒有交換律，所以因為矩陣沒有交換律，所以( ), ( )A x B x( )A x( )B xdd ( )d ( ) ( ) ( )( )( )dddA xB xA x B xB xA xxxx232dd ( )( )2 ( )dddd ( )( )3( )ddA xAxA xxxA xA xAxxx(5) 如果如果 與與 均可導，則均可導，則(6) 設(shè)設(shè) 為矩陣函數(shù)，為矩陣函數(shù)， 是是 的純量的純量函數(shù)，函數(shù)， 與與 均可導，則均可導，則( )A x1( )Ax111d( )d (

10、)( )( )ddAxA xAxAxxx ( )A x( )xf tt( )A x( )f tdd ( )d ( )( )( )( )dddA xA xA xf tf txxx定義：定義： 如果函數(shù)矩陣如果函數(shù)矩陣 的的所有各元素所有各元素 在在 上可積，則稱上可積，則稱 在在 上上可積可積，且且( )( )ijm nA xax( )(1,;1, )ijax im jn , a b( )A x , a b111212122212( )d( )d( )d( )d( )d( )d( )d( )d( )d( )dbbbnaaabbbbnaaaabbbmmmnaaaaxxaxxaxxaxxaxxaxx

11、A xxaxxaxxaxx( )d( )d ( )( )d( )d( )dbbaabbbaaakA xxkA xxkRA xB xxA xxB xx函數(shù)矩陣的定積分具有如下性質(zhì)：函數(shù)矩陣的定積分具有如下性質(zhì)：例例1 ：已知函數(shù)矩陣已知函數(shù)矩陣試計算試計算21( )0 xA xx23231(1)( ),( ),( )(2)( )(3)( )dddA xA xA xdxdxdxdA xdxdAxdx證明：證明：02( )10 xdA xdx220( )00 xdA xdx由于由于 ，所以，所以下面求下面求 。由伴隨矩陣公式可得。由伴隨矩陣公式可得 3300( )00dA xdx3( )A xx 2

12、( )3dA xxdx 1( )Ax1*23231( )( )( )1001111AxA xA xxxxxxx 再求再求1( )dAxdx213410( )23dxAxdxx例例2 ：已知函數(shù)矩陣已知函數(shù)矩陣23sincossin( )10 xxxxxA xexxx試求試求d(2)( )dA xx0(1)lim( )xA xd(5)( )dA xx22d(3)( )dA xxd(4)( )dA xx例例3 ：已知函數(shù)矩陣已知函數(shù)矩陣試求試求證明：證明：sincos( )cossinxxA xxx200( ),( )xxA x dxA x dx00000sincos( )cossin1cossi

13、nsin1cosxxxxxxdxxdxA x dxxdxxdxxxxx同樣可以求得同樣可以求得222220sincos( )2cossinxxxA x dxxxx例例4 ：已知函數(shù)矩陣已知函數(shù)矩陣試計算試計算22( )20300 xxxxexexA xeex3100( ),( )xA x dxA x dx定義定義：設(shè)有定義在區(qū)間設(shè)有定義在區(qū)間 上的上的 個連續(xù)的個連續(xù)的函數(shù)向量函數(shù)向量如果存在一組不全為零的常實數(shù)如果存在一組不全為零的常實數(shù)使得對于所有的使得對于所有的 等式等式成立，我們稱，在成立，我們稱，在 上上 , a bm12( )( ),( ),( )(1,2,)iiiinxax ax

14、axim12,mk kk , xa b1122( )( )( )0mmkxkxkx , a b12( ),( ),( )mxxx線性相關(guān)線性相關(guān)。12( ),( ),( )mxxx否則就說否則就說 線性無關(guān)。線性無關(guān)。即如果只有在即如果只有在 等式才成等式才成立，那么就說立，那么就說 線性無關(guān)。線性無關(guān)。定義定義：設(shè)設(shè) 是是 個定義個定義在區(qū)間在區(qū)間 上的連續(xù)函數(shù)向量上的連續(xù)函數(shù)向量記記120mkkk12( ),( ),( )mxxx12( ),( ),( )mxxxm , a b12( )( ),( ),( )(1,2,)iiiinxax axaxim( )( )d( ,1,2,)bTiji

15、jagxxxi jm以以 為元素的常數(shù)矩陣為元素的常數(shù)矩陣稱為稱為 的的Gram矩陣，矩陣， 稱為稱為Gram行列式行列式。定理定理：定義在區(qū)間定義在區(qū)間 上的連續(xù)函數(shù)向量上的連續(xù)函數(shù)向量 線性無關(guān)的充要條件線性無關(guān)的充要條件是它的是它的Gram矩陣為滿秩矩陣。矩陣為滿秩矩陣。 ijg()ijm nGg12( ),( ),( )mxxxdetG , a b12( ),( ),( )mxxx12( )(0, ),( )( ,0)xxxx例例 ： 設(shè)設(shè)則則于是于是 的的Gram矩陣為矩陣為233111221233221d()301d()3babagxxbagggxxba12( ),( )xx333

16、31()0310()3baGba所以所以故當故當 時，時， 在在 上是線性無關(guān)的。上是線性無關(guān)的。33 21det()9Gba12det0,( ),( )Gxxab , a b定義：定義： 設(shè)設(shè) 是是 個定義在區(qū)間個定義在區(qū)間 上的上的 有有 階導數(shù)的函數(shù)向量，記階導數(shù)的函數(shù)向量，記那么稱矩陣那么稱矩陣12( )( ),( ),( )iiiinxax axax(1,2,)imm1m , a b11112122122212( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )nnmmmmnxaxaxaxxaxaxaxA xxaxaxax(1)111212122212(1)

17、(1)(1)11121(1)(1)(1)21222(1)(1)12( )( ( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )mm mnnnmmmnmmmnmmmnmmmmW xA x A xAxaxaxaxaxaxaxaxaxaxaxaxaxaxaxaxaxaxa(1)( )mmnx是是 的的Wronski矩陣。矩陣。12( ),( ),( )mxxx(1)( ),( ),( )mA xA xAx其中其中 分別是分別是 的一階，二階，的一階，二階， 階導數(shù)矩陣。階導數(shù)矩陣。定理：定理： 設(shè)設(shè) 是是 的的Wronski矩陣。

18、如果在區(qū)間矩陣。如果在區(qū)間 上的某個點上的某個點 ，常數(shù)矩陣，常數(shù)矩陣 的秩等于的秩等于 ，則，則向量向量 在在 上線性上線性無關(guān)。無關(guān)。( )A x1m ( )W x12( ),( ),( )mxxx0 , xa b0()W xm12( ),( ),( )mxxx , a b , a b例例 ： 設(shè)設(shè)則則因為因為 的秩為的秩為2，所以，所以 與與 線性線性無關(guān)。無關(guān)。212( )(1, ,),( )(,1, )xxx xxex221( )1012( )011012( )101xxxxxxA xexxA xexxxW xexe(0)W1( )x2( )x 1111122112211222221

19、122( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )nnnnnnnnnnndxa t x ta t x ta t x tf tdtdxa t x ta t x ta t x tf tdtdxa t x ta t x ta t x tf tdt ( )( ) ( )( )dx tA t x tf tdt1 11 212 12 22121212( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( ),( ),( )( )( ),( ),( )nnnnn nTnTnatatatatata

20、tA tatatatx txtxtxtftftftft1112121222121212( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( ),( ),( )( )( ),( ),( )nnnnnnTnTnatatatatatatA tatatatx tx tx tx tf tf tf tft上述方程組的初始條件為上述方程組的初始條件為可以表示成可以表示成定理：定理：設(shè)設(shè) 是一個是一個 階常數(shù)矩陣，則微分階常數(shù)矩陣，則微分方程組方程組滿足初始條件滿足初始條件 的解為的解為1010202000( ),( ),( )nnx txx txx tx010200( ),Tnx txxxAn( )( )dx tAx tdt00( )x tx0()0A t txex定理：定理：設(shè)設(shè) 是一個是一個 階常數(shù)矩陣，則微分方階常數(shù)矩陣，則微分方程組程組滿足初始條件滿足初始條件 的解為的解為例例1 ：設(shè)設(shè)An( )( )( )dx tAx tf tdt00( )x tx000()()0(