高校力學(xué)經(jīng)典課件-理論力學(xué)II-第12-15次課

1、第五章第五章剛體定點(diǎn)運(yùn)動剛體定點(diǎn)運(yùn)動自由剛體運(yùn)動自由剛體運(yùn)動剛體運(yùn)動的合成剛體運(yùn)動的合成陀螺儀近似理論陀螺儀近似理論補(bǔ)充： 矢量運(yùn)算的矩陣形式一一 矢量的坐標(biāo)列陣和方陣矢量的坐標(biāo)列陣和方陣矢量a在坐標(biāo)軸上ox、oy和oz上的投影為a1、a2和a3，則 123Taaaa 323121000aaaaaaa為矢量a在坐標(biāo)系oxyz中的坐標(biāo)列陣為矢量a在坐標(biāo)系oxyz中的坐標(biāo)方陣二二 矢量運(yùn)算的矩陣形式矢量運(yùn)算的矩陣形式設(shè)任意矢量a、b、c在坐標(biāo)軸oxyz上的坐標(biāo)列陣為 、 、 ， , , cabc = abc = ab 若則則四種矢量運(yùn)算及其所對應(yīng)的矩陣形式為：在坐標(biāo)系oxyz中的坐標(biāo)方陣為 、 、

2、 a b c a b c , b , bbkak ak a 若則 , Tka bk = ab若則 , ca bc = ab若則圓盤的運(yùn)動分析 5 51 1 剛體繞定點(diǎn)運(yùn)動的運(yùn)動學(xué)描述剛體繞定點(diǎn)運(yùn)動的運(yùn)動學(xué)描述 剛體運(yùn)動時，若體內(nèi)或其外延部分上有一點(diǎn)在空間的位置剛體運(yùn)動時，若體內(nèi)或其外延部分上有一點(diǎn)在空間的位置 保持不變，則這種運(yùn)動稱為保持不變，則這種運(yùn)動稱為剛體繞定點(diǎn)運(yùn)動剛體繞定點(diǎn)運(yùn)動。1.1.運(yùn)動方程運(yùn)動方程 以定點(diǎn)以定點(diǎn)O為原點(diǎn)，為原點(diǎn)， 取定坐標(biāo)系取定坐標(biāo)系Oxyz 另取與剛體固結(jié)的動坐標(biāo)系另取與剛體固結(jié)的動坐標(biāo)系zyxOON節(jié)線節(jié)線 進(jìn)動角進(jìn)動角 自轉(zhuǎn)角自轉(zhuǎn)角 章動角章動角 歐拉角歐拉

3、角)()()(321tftftf，剛體繞定點(diǎn)運(yùn)動的運(yùn)動方剛體繞定點(diǎn)運(yùn)動的運(yùn)動方 程程 2. 歐拉角-節(jié)線ON相對坐標(biāo)軸Ox的夾角，稱為進(jìn)動角；-坐標(biāo)軸Oz相對坐標(biāo)軸Oz的夾角，稱為章動角； -坐標(biāo)軸Ox相對節(jié)線ON的夾角，稱為自轉(zhuǎn)角；節(jié)線ON: 動坐標(biāo)平面Oxy與定坐標(biāo)平面Oxy的交線；坐標(biāo)系Ox0y0z0到坐標(biāo)系Ox3y3z3，位置變化可以通過以下三次連續(xù)轉(zhuǎn)動來實(shí)現(xiàn)： Ox0y0z0首先繞Oz0軸轉(zhuǎn)動角，到達(dá)坐標(biāo)系Ox1y1z1 標(biāo)的位置；在此基礎(chǔ)上，坐標(biāo)系Ox1y1z1 繞Ox1軸轉(zhuǎn)動角,到達(dá)坐標(biāo)系Ox2y2z2的位置。最后，坐標(biāo)系Ox2y2z2繞Oz2軸轉(zhuǎn)動角到達(dá)坐標(biāo)系Ox3y3z3位置

4、。( )( )( )ttt012,00011 1222333OzOxOzOx y zOx y zOx y zOx y z 方向余弦矩陣及其性質(zhì)112131ccc設(shè)某剛體相對定坐標(biāo)系Oxiyizi繞O點(diǎn)運(yùn)動，坐標(biāo)系 Oxjyjzj為該剛體的連體坐標(biāo)系；坐標(biāo)系Oxjyjzj 位置可以用該坐標(biāo)系的三根坐標(biāo)軸在定參考系Oxiyizi的各方向余弦來刻畫。設(shè)Oxj、Oyj 、Ozj軸在定坐標(biāo)系Oxiyizi中的方向余弦為：122232ccc132333ccc排成矩陣111213212223313233ijcccccccccc 稱為方向余弦矩陣方向余弦矩陣及其性質(zhì)方向余弦矩陣的性質(zhì)1. 方向余弦矩陣為正交矩

5、陣，行列式值為11Tijijjicccdet1ijc 2. 任意矢量a在坐標(biāo)系 Oxiyizi和坐標(biāo)系Oxjyjzj中坐標(biāo)列陣（坐標(biāo)方陣）之間滿足關(guān)系 ijijaca Tijijijacac方向余弦矩陣及其性質(zhì)方向余弦矩陣的性質(zhì)4. 方向余弦矩陣存在等于1的特征值ikijjkccc3. 任意三套坐標(biāo)系 Oxiyizi、Oxiyjzj和Oxkykzk之間的方向余弦矩陣滿足 det0ijEc012,00011 1222333OzOxOzOx y zOx y zOx y zOx y z 歐拉與方向余弦矩陣的關(guān)系歐拉角和方向余弦之間的關(guān)系03011223cccc01cossin0sincos0001c

6、 121000cossin0sincosc 23cossin0sincos0001c 03coscossincos sincossinsincoscossinsinsincoscoscos sinsinsincoscoscoscossinsincossincoscosc 歐拉角的定義歐拉定理歐拉定理：做定點(diǎn)運(yùn)動的剛體的任何位移，可以由此剛體繞過某軸的一次轉(zhuǎn)動來實(shí)現(xiàn)。設(shè)O為定點(diǎn)，三角形OAB完全可以確定剛體位置。作三角形OAA及OBB的垂直平分面，交于直線OC，在直線OC上取一點(diǎn)D，則四面體ODAB與四面體ODAB全等整個剛體的方位變化可以看成是繞OC軸的一次轉(zhuǎn)動設(shè)任意兩套共原點(diǎn)的坐標(biāo)系OXiY

7、iZi和OXjYjZj，根據(jù)歐拉定理，從坐標(biāo)系OXiYiZi到OXjYjZj 的位置變化，可以由坐標(biāo)系OXiYiZi ，繞過點(diǎn)O的某軸線ON旋轉(zhuǎn)一角度來實(shí)現(xiàn)。稱軸線ON和轉(zhuǎn)角為坐標(biāo)系OXiYiZi到OXjYjZj 的歐拉軸線和歐拉轉(zhuǎn)角；可以將坐標(biāo)系OXjYjZj 相對坐標(biāo)系OXiYiZi的方向余弦矩陣用歐拉軸線和歐拉轉(zhuǎn)角表示。設(shè)ON的單位矢量在坐標(biāo)系OXiYiZi的列陣為 ，坐標(biāo)系OXjYjZj 相對坐標(biāo)系OXiYiZi的方向余弦矩陣 就是關(guān)于n1，n2，n3和的函數(shù)歐拉定理方向余弦矩陣與歐拉軸歐拉轉(zhuǎn)角的關(guān)系123TnnnijC211231322123223121322313(1 cos )c

8、os(1 cos )sin(1 cos )sin(1 cos )sin(1 cos )cos(1 cos )sin(1 cos )sin(1 cos )sin(1 cos )cosijnn nnn nncn nnnn nnn nnn nnn 剛體做定點(diǎn)運(yùn)動時，可將時間區(qū)間t0,T分成若干小段其分點(diǎn)為。01210 , , , , , iiitt tttTtti t 在每一小段時間間隔t內(nèi)，即剛體由ti時刻到ti+1時刻的剛體方位變化等價看成是繞某軸OC*i轉(zhuǎn)過*i角。*iit平均角速度為平均角速度方向?yàn)镺C*i瞬時角速度為*0limiitt 瞬時角速度的方向?yàn)镺C*i極限位置OCi， OCi為t

9、i瞬時轉(zhuǎn)軸位置結(jié)論：剛體繞定點(diǎn)運(yùn)動可以看成是一系列繞瞬時轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動合成。瞬時轉(zhuǎn)軸在空間不斷變化，它在定參考系空間形成以定點(diǎn)O為為頂點(diǎn)的錐面，稱為靜瞬時軸面，簡稱靜錐。同樣瞬時轉(zhuǎn)軸在剛體內(nèi)部的位置也不斷變化，它在剛體上留下的軌跡構(gòu)成動瞬時軸面，它也是以O(shè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的錐面，簡稱動錐。靜錐在定參考系中靜止不動，動錐與剛體相固結(jié)。剛體做定點(diǎn)運(yùn)動時可看成動錐在靜錐上做無滑動滾動。3.3.瞬時轉(zhuǎn)動軸瞬時轉(zhuǎn)動軸角速度角速度角加速度角加速度 為描述剛體角速度的變化快慢，引入剛體角加速度的概念。瞬時角加速度為0limtt 思考？瞬時角加速度的方向是什么？與角速度同向嗎3.3.瞬時轉(zhuǎn)動軸瞬時轉(zhuǎn)動軸角速度角速度角加速

10、度角加速度 3.3.瞬時轉(zhuǎn)動軸瞬時轉(zhuǎn)動軸角速度角速度角加速度角加速度 tttddlim0一般情況下一般情況下與與 不共線不共線 方向沿角速度矢量的矢端曲線的切線。方向沿角速度矢量的矢端曲線的切線。 定點(diǎn)運(yùn)動剛體上各點(diǎn)的速度和加速度設(shè)某剛體相對定參考系ox0y0z0繞定點(diǎn)O運(yùn)動，M是剛體上的任意一點(diǎn)。t時刻點(diǎn)M的矢徑為r，t+t時刻矢徑變?yōu)閞，根據(jù)歐拉定理，剛體從t時刻到t+t的位置變化可以由剛體繞某一軸線ON旋轉(zhuǎn)某一角度來實(shí)現(xiàn)。過M點(diǎn)做與軸線ON垂直的平面，垂足為O，顯然M也在平面內(nèi)。沿ON做單位矢n，過M點(diǎn)做單位矢e1,e22 nrenr1 MoeMo 12 sincos22rrere 設(shè)矢

11、量r與矢量n的夾角為 sinnrr直角三角形OOM中有： sinMor cosMOOOOMOO nrrnr 定點(diǎn)運(yùn)動剛體上各點(diǎn)的速度和加速度 cosoor 22sincossin2rrnrnr 等腰三角形OMM中有： 2sinsin2rr因此：0 limtrvt 20002sincossin2lim limlimtttrnrnrrvnrtttr 定點(diǎn)運(yùn)動剛體上各點(diǎn)的速度和加速度vr ()ddrardtdtrvrr矩陣表示，定參考系中 000vr vr 矩陣表示，連體坐標(biāo)系中角速度合成定理aavr點(diǎn)的合成運(yùn)動中的速度合成定理討論剛體相對不同參考系的角速度之間的關(guān)系如圖所示，某剛體相對固定坐標(biāo)系o

12、x0y0z0做定點(diǎn)運(yùn)動，另有一動坐標(biāo)系oxyz也相對固定坐標(biāo)系做定點(diǎn)運(yùn)動。剛體相對固定坐標(biāo)系和動坐標(biāo)系的的角速度為a和r，在該瞬時動坐標(biāo)系相對固定坐標(biāo)系的角速度為e。討論三個角速度之間的關(guān)系rrvreevraer連體矢量對時間的導(dǎo)數(shù)、絕對導(dǎo)數(shù)與相對導(dǎo)數(shù)BAABrr 連體矢量對時間的導(dǎo)數(shù)剛體上任意兩點(diǎn)的有向線段稱為剛體的連體矢量設(shè)某剛體相對固定坐標(biāo)系ox0y0z0做定點(diǎn)運(yùn)動，有向線段AB是剛體的任一連體矢量，rA和rB分別表示點(diǎn)A和點(diǎn)B的矢徑，有 ()BABABABAABdrdrd ABdtdtdtvvrrrrr 000000112233aa ea ea e絕對導(dǎo)數(shù)與相對導(dǎo)數(shù)的關(guān)系同一矢量對不同

13、參考系的變化率是不同的，那么這些變化率之間有什么關(guān)系？設(shè)某動坐標(biāo)系Oxyz相對固定坐標(biāo)系Ox0y0z0繞O做定點(diǎn)運(yùn)動，其角速度為，設(shè)一變矢量a，該矢量在固定坐標(biāo)系和動坐標(biāo)系中的表達(dá)式為1 12 23 3aa ea ea e矢量a的絕對導(dǎo)數(shù)矢量a的相對導(dǎo)數(shù)000000312123dadadadaeeedtdtdtdt312123dadadadaeeedtdtdtdtdadaadtdt連體矢量對時間的導(dǎo)數(shù)、絕對導(dǎo)數(shù)與相對導(dǎo)數(shù)角加速度合成定理aaddt點(diǎn)的合成運(yùn)動中的加速度合成定理討論剛體相對不同參考系的角加速度之間的關(guān)系某剛體相對固定坐標(biāo)系ox0y0z0做定點(diǎn)運(yùn)動，另有一動坐標(biāo)系oxyz也相對固定

14、坐標(biāo)系做定點(diǎn)運(yùn)動。剛體相對固定坐標(biāo)系和動坐標(biāo)系的的角速度為a和r，在該瞬時動坐標(biāo)系相對固定坐標(biāo)系的角速度為e。同樣，有絕對角加速度a 、相對角加速度r 、和牽連角加速度e aerrrddteeddtaerer4.4.剛體上各點(diǎn)的速度和加速度剛體上各點(diǎn)的速度和加速度 vrddddddvrartttarvra1轉(zhuǎn)動加速度轉(zhuǎn)動加速度 大小為大小為2h方向垂直于方向垂直于 和和r指向如上圖。指向如上圖。2av向軸加速度向軸加速度 其大小為其大小為12h方向垂直于方向垂直于 和和v指向瞬軸。指向瞬軸。 剛體繞定點(diǎn)運(yùn)動時，剛體內(nèi)任一點(diǎn)的速度等于繞瞬軸剛體繞定點(diǎn)運(yùn)動時，剛體內(nèi)任一點(diǎn)的速度等于繞瞬軸 轉(zhuǎn)動的角

15、速度與矢徑的矢量積；該點(diǎn)的加速度等于繞瞬軸轉(zhuǎn)動的角速度與矢徑的矢量積；該點(diǎn)的加速度等于繞瞬軸的向軸加速度與繞角加速度矢的轉(zhuǎn)動加速度的矢量和。的向軸加速度與繞角加速度矢的轉(zhuǎn)動加速度的矢量和。例例 5 51 1求：齒輪上點(diǎn)求：齒輪上點(diǎn)M 的速度和加速度。的速度和加速度。 設(shè)設(shè) OA=l， 已知：行星錐齒輪的軸已知：行星錐齒輪的軸OA以勻角速度以勻角速度 , ,繞鉛直軸繞鉛直軸OB 轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)動 1AC=r。解：解： 齒輪中心點(diǎn)齒輪中心點(diǎn)A 的速度為的速度為 sinAvOA 點(diǎn)點(diǎn)A 繞定點(diǎn)繞定點(diǎn)O 在水平面內(nèi)作圓周運(yùn)動在水平面內(nèi)作圓周運(yùn)動 1AvOA繞瞬軸繞瞬軸OC 轉(zhuǎn)動的角速度的大小為轉(zhuǎn)動的角速度的大

16、小為 sin1= =常量常量 它沿著它沿著OC 指向如圖所示指向如圖所示 點(diǎn)點(diǎn)M 的速度為的速度為 1112 cos2 sin2sinsinMvMErll它的方向垂直于平面它的方向垂直于平面 OMC 指向如圖指向如圖 行星齒輪的角速度為行星齒輪的角速度為 ddt因?yàn)橐驗(yàn)?只改變方向不改變大小只改變方向不改變大小 而且它和而且它和z z 軸間夾角軸間夾角的大小保的大小保 持不變，所以它的矢端曲線是持不變，所以它的矢端曲線是水平的圓周。水平的圓周。1ddt沿此圓周的切線，沿此圓周的切線， 指向指向 轉(zhuǎn)動的一轉(zhuǎn)動的一 方方 1的大小為的大小為cotcossinsin21111現(xiàn)在計算點(diǎn)現(xiàn)在計算點(diǎn)M的

17、加速度。的加速度。 轉(zhuǎn)動加速度轉(zhuǎn)動加速度 的大小的大小 為為 1a21211sincoscotllOMa它垂直由它垂直由 和和OM 形成的平面，形成的平面， 指向如圖指向如圖 向軸加速度向軸加速度 的大小為的大小為 2a21222sin2sin2llMEa它的方向自它的方向自M 指向點(diǎn)指向點(diǎn)E（在鉛直平面（在鉛直平面OAC 內(nèi)）內(nèi)） 21aaa2cos22122212aaaaa將將 值代入上式，值代入上式， 21aa 、并注意到并注意到 22sincotlrrrl和和得得221)(9rlla 5 52 2 自由剛體的運(yùn)動自由剛體的運(yùn)動)()()()()()(654321tftftftfztfy

18、tfxOOO，自由剛體運(yùn)動方程自由剛體運(yùn)動方程 自由剛體內(nèi)任一點(diǎn)自由剛體內(nèi)任一點(diǎn)M 的速度的速度 aervvvOv設(shè)動點(diǎn)設(shè)動點(diǎn)M M 在動坐標(biāo)系在動坐標(biāo)系 中的矢徑為中的矢徑為Or剛體繞基點(diǎn)剛體繞基點(diǎn) 轉(zhuǎn)動的瞬時角速度為轉(zhuǎn)動的瞬時角速度為Or則則vrrr自由剛體內(nèi)自由剛體內(nèi)任一點(diǎn)的速度公式任一點(diǎn)的速度公式為為 MOvvrr由于牽連運(yùn)動為平移，由于牽連運(yùn)動為平移， 自由剛體內(nèi)任一點(diǎn)的加速度合成式為自由剛體內(nèi)任一點(diǎn)的加速度合成式為 reaaaa其中其中Oaaerrrrraara為剛體繞基點(diǎn)為剛體繞基點(diǎn) 轉(zhuǎn)動的瞬時角加速度轉(zhuǎn)動的瞬時角加速度 O自由剛體內(nèi)自由剛體內(nèi)任一點(diǎn)的加速度公式任一點(diǎn)的加速度公式

19、為為 rr2r121araaaaaaOM， 5 53 3 剛體運(yùn)動的合成剛體運(yùn)動的合成剛體的任何復(fù)雜運(yùn)動都可以由幾個簡單運(yùn)動的合成而得到。剛體的任何復(fù)雜運(yùn)動都可以由幾個簡單運(yùn)動的合成而得到。 1.1.平移與平移的合成平移與平移的合成 小車上任一點(diǎn)的速度：小車上任一點(diǎn)的速度： 21vvvvver12reaaaaa當(dāng)剛體同時作兩個平移時，剛體的合成運(yùn)動仍為平移。當(dāng)剛體同時作兩個平移時，剛體的合成運(yùn)動仍為平移。 加速度：加速度： 2.2.繞兩個平行軸轉(zhuǎn)動的合成繞兩個平行軸轉(zhuǎn)動的合成 齒輪齒輪IIII上任一點(diǎn)上任一點(diǎn)M 的速度的速度 Mv牽連速度的大小為牽連速度的大小為 Mrvvvee1eMO方向垂直

20、于方向垂直于MO1相對速度的大小為相對速度的大小為 2vO Mrr方向垂直于方向垂直于MO2這時點(diǎn)這時點(diǎn)M 的速度等于的速度等于 與與 的矢量和。的矢量和。vevr瞬軸與兩軸間的距離分別為瞬軸與兩軸間的距離分別為 和和CO1CO2在點(diǎn)在點(diǎn)C reCOCO2r1eer21COCO與與 同向的情形如圖同向的情形如圖 er2122OvOOO Cea齒輪繞瞬軸轉(zhuǎn)動的角速度為齒輪繞瞬軸轉(zhuǎn)動的角速度為 21222OvOOO CO CaeCOCOOO2121era方向根據(jù)方向根據(jù) 的方向確定的方向確定 2O 當(dāng)剛體同時繞兩平行軸同向轉(zhuǎn)動時，剛體的合成運(yùn)動當(dāng)剛體同時繞兩平行軸同向轉(zhuǎn)動時，剛體的合成運(yùn)動 為繞瞬

21、軸的轉(zhuǎn)動，絕對角速度等于牽連角速度與相對角速為繞瞬軸的轉(zhuǎn)動，絕對角速度等于牽連角速度與相對角速度的和；瞬軸的位置內(nèi)分兩軸間的距離，內(nèi)分比與兩個角度的和；瞬軸的位置內(nèi)分兩軸間的距離，內(nèi)分比與兩個角速度成反比。速度成反比。當(dāng)當(dāng) 和和 反向時如圖反向時如圖erCOCOOO2121rea絕對角速度的轉(zhuǎn)向，絕對角速度的轉(zhuǎn)向，與與 中較大的一個相同。中較大的一個相同。 er 當(dāng)剛體同時繞兩平行軸反向轉(zhuǎn)動，當(dāng)剛體同時繞兩平行軸反向轉(zhuǎn)動， 剛體的合成運(yùn)動為繞瞬軸的轉(zhuǎn)動，絕對剛體的合成運(yùn)動為繞瞬軸的轉(zhuǎn)動，絕對 角速度等于牽連角速度與相對加速度之角速度等于牽連角速度與相對加速度之 差，它的轉(zhuǎn)向與較大的角速度的轉(zhuǎn)向

22、相差，它的轉(zhuǎn)向與較大的角速度的轉(zhuǎn)向相同；瞬軸的位置外分兩軸間的距離，在同；瞬軸的位置外分兩軸間的距離，在較大角速度的軸的外側(cè)，外分與兩個角較大角速度的軸的外側(cè)，外分與兩個角速度成反比。速度成反比。當(dāng)當(dāng) 和和 等值而反向時等值而反向時er0a 當(dāng)剛體以同樣大小的角速度，同時繞兩平行軸而反向轉(zhuǎn)當(dāng)剛體以同樣大小的角速度，同時繞兩平行軸而反向轉(zhuǎn) 動時，剛體的合成運(yùn)動為平移，這種運(yùn)動稱為動時，剛體的合成運(yùn)動為平移，這種運(yùn)動稱為轉(zhuǎn)動偶轉(zhuǎn)動偶。轉(zhuǎn)動偶3.3.繞相交軸轉(zhuǎn)動的合成繞相交軸轉(zhuǎn)動的合成 er1 12222COCBOACvvvhhAAOACOCBAA點(diǎn)點(diǎn)C 的絕對速度等于零。的絕對速度等于零。 直線直

23、線OC 是剛體的瞬軸。是剛體的瞬軸。 ADA1AEAa1aAEADOACBOACBAAEOCAAD，11AEADOCOCa角速度角速度 的指向可由點(diǎn)的指向可由點(diǎn)A A 的速度方向確定。的速度方向確定。 a21a 當(dāng)剛體同時繞兩相交軸轉(zhuǎn)動時，合成運(yùn)動為繞瞬軸的轉(zhuǎn)動，當(dāng)剛體同時繞兩相交軸轉(zhuǎn)動時，合成運(yùn)動為繞瞬軸的轉(zhuǎn)動， 繞瞬軸轉(zhuǎn)動的角速度等于繞兩軸轉(zhuǎn)動的角速度的矢量和。繞瞬軸轉(zhuǎn)動的角速度等于繞兩軸轉(zhuǎn)動的角速度的矢量和。如果剛體繞相交于一點(diǎn)的如果剛體繞相交于一點(diǎn)的3 3個軸或更多的軸轉(zhuǎn)動時個軸或更多的軸轉(zhuǎn)動時 niin121 當(dāng)剛體同時繞相交于一點(diǎn)的多軸轉(zhuǎn)動時，合成運(yùn)動為繞當(dāng)剛體同時繞相交于一點(diǎn)的多

24、軸轉(zhuǎn)動時，合成運(yùn)動為繞 瞬軸的轉(zhuǎn)動。繞瞬軸轉(zhuǎn)動的角速度等于繞各軸轉(zhuǎn)動的角速度瞬軸的轉(zhuǎn)動。繞瞬軸轉(zhuǎn)動的角速度等于繞各軸轉(zhuǎn)動的角速度的矢量和，而瞬軸則沿此合矢量方向。的矢量和，而瞬軸則沿此合矢量方向。4.4.平移與轉(zhuǎn)動的合成平移與轉(zhuǎn)動的合成 （1 1）平移速度矢與轉(zhuǎn)動角速度矢垂直的情形）平移速度矢與轉(zhuǎn)動角速度矢垂直的情形 OvO C繞瞬軸轉(zhuǎn)動的角速度繞瞬軸轉(zhuǎn)動的角速度a等于繞動軸等于繞動軸 轉(zhuǎn)動的角速度轉(zhuǎn)動的角速度zO （2 2）平移速度矢與轉(zhuǎn)動角速度矢平行的情形）平移速度矢與轉(zhuǎn)動角速度矢平行的情形 剛體繞軸剛體繞軸 轉(zhuǎn)動，同時又沿軸向運(yùn)動轉(zhuǎn)動，同時又沿軸向運(yùn)動 螺旋運(yùn)動。螺旋運(yùn)動。zO 平移速度

25、與轉(zhuǎn)動角速度的比值平移速度與轉(zhuǎn)動角速度的比值 螺旋率。螺旋率。Ovp若以若以s表示剛體沿軸表示剛體沿軸 的軸向位移的軸向位移 zO 為剛體繞軸為剛體繞軸 的轉(zhuǎn)角的轉(zhuǎn)角 zO ddddOsvtt，螺旋率可寫成螺旋率可寫成 ddsp 一般情況下，螺旋率為一恒值，上式積分一次：一般情況下，螺旋率為一恒值，上式積分一次： ps 2sp2s s表示剛體轉(zhuǎn)過一周沿軸前進(jìn)的距離表示剛體轉(zhuǎn)過一周沿軸前進(jìn)的距離螺距螺距。 （3 3）平移速度矢與轉(zhuǎn)動角速度矢成任意角的情形）平移速度矢與轉(zhuǎn)動角速度矢成任意角的情形 剛體以角速度剛體以角速度 繞動軸繞動軸 轉(zhuǎn)動，轉(zhuǎn)動，zO 同時又以速度同時又以速度 平移，平移，OvO

26、v和和 之間的夾角為之間的夾角為 。 剛體的運(yùn)動成為以剛體的運(yùn)動成為以 的平移，和以的平移，和以 繞瞬軸繞瞬軸CC 的轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動 的合成運(yùn)動的合成運(yùn)動瞬時螺旋運(yùn)動瞬時螺旋運(yùn)動。2v例例 5 52 2已知：如圖所示，系桿已知：如圖所示，系桿 以角速度以角速度 繞軸繞軸 轉(zhuǎn)動，半徑轉(zhuǎn)動，半徑 為為 的行星齒輪活動地套在與系桿一端固結(jié)的軸的行星齒輪活動地套在與系桿一端固結(jié)的軸 上，上， 并與半徑為并與半徑為 的固定齒輪相嚙合。的固定齒輪相嚙合。21OOe1O2r2O1r求：行星齒輪的絕對角速度求：行星齒輪的絕對角速度 。 2以及它相對于系桿的角速度以及它相對于系桿的角速度 。 r解：解：er21rr

27、行星齒輪相對于系桿的角速度為行星齒輪相對于系桿的角速度為 e21rrr行星齒輪的絕對角速度為行星齒輪的絕對角速度為 e21er2)1 (rr2.2. 以逆時針為正以逆時針為正 1.1.211r2rrrre2re2r1e10，r2rer1e21rrre212)1 (rr例例 5 53 3已知：行星齒輪已知：行星齒輪IIII與固定錐齒輪與固定錐齒輪I I相嚙合，可繞動軸相嚙合，可繞動軸 轉(zhuǎn)動，而動軸以角速度轉(zhuǎn)動，而動軸以角速度 繞定軸繞定軸 轉(zhuǎn)動。設(shè)在點(diǎn)轉(zhuǎn)動。設(shè)在點(diǎn)C 處輪處輪I I的半徑為的半徑為 ，輪，輪IIII的半徑為的半徑為 。 2OOe1OO1r2r求：錐齒輪求：錐齒輪IIII相對于動軸

28、的角速度相對于動軸的角速度 。 r解：解：1e2rOOOOe21e12rrrOOOO2.2.研究齒輪研究齒輪I I和和IIII相對于動軸相對于動軸 的運(yùn)動的運(yùn)動2OO如圖所示如圖所示 兩齒輪相對于動軸兩齒輪相對于動軸 的角速度分別為的角速度分別為 和和2OO1r2r傳動比傳動比211rr2rr將將 代入上式代入上式1er得得e21rr2rr1.1.例例 5 54 4已知：框架已知：框架K和軸和軸A一起以角速度一起以角速度繞軸繞軸I IIIII轉(zhuǎn)動，半徑轉(zhuǎn)動，半徑 為為 和和 彼此相固結(jié)的兩個傘齒輪彼此相固結(jié)的兩個傘齒輪B和和C 可在軸可在軸 A上自由轉(zhuǎn)動。傘齒輪上自由轉(zhuǎn)動。傘齒輪B與軸與軸I

29、I上半徑為上半徑為 的傘齒輪的傘齒輪 D 相嚙合，傘齒輪相嚙合，傘齒輪C與軸與軸IIII上半徑為上半徑為 的傘齒輪的傘齒輪E相相 嚙合。軸嚙合。軸I I的角速度的角速度 和軸和軸IIII的角速度的角速度 。1r2r1R2RIII求：框架的角速度求：框架的角速度和齒輪和齒輪B相對于框架的角速度相對于框架的角速度 。 Br解：解：IIIIrIIr，齒輪的傳動關(guān)系如下齒輪的傳動關(guān)系如下 22BrIIr11BrIrRrRr，和和 中必定有一個的轉(zhuǎn)向與圖示的轉(zhuǎn)向相反中必定有一個的轉(zhuǎn)向與圖示的轉(zhuǎn)向相反 IIrBr1221IIIRrRr2112II21I12RrRrRrRr)(I11Ir11BrrRrR)(

30、III211221BrRrRrRR例例 5 55 5求：求：t=1s時陀螺繞瞬軸轉(zhuǎn)動的角速度。時陀螺繞瞬軸轉(zhuǎn)動的角速度。 已知：陀螺繞定點(diǎn)運(yùn)動時，如圖所示已知：陀螺繞定點(diǎn)運(yùn)動時，如圖所示3 3個歐拉角表示的運(yùn)動個歐拉角表示的運(yùn)動 方程為方程為式中式中223246ttt，t以以s s計計 以以rad計計，解：解：24034t，當(dāng)當(dāng)t t=1s=1s時時2407，a因?yàn)橐驗(yàn)?rad/s27.30cos222a 332123)180sin(arcsinattt246322， 5 54 4 陀螺儀近似理論陀螺儀近似理論陀螺現(xiàn)象陀螺現(xiàn)象 工程中把具有一個固定點(diǎn)，并繞自身的工程中把具有一個固定點(diǎn)，并繞自身

31、的 對稱軸高速轉(zhuǎn)動的剛體對稱軸高速轉(zhuǎn)動的剛體陀螺陀螺。設(shè)陀螺以設(shè)陀螺以 繞對稱軸繞對稱軸 轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)動zO 軸又以角速度軸又以角速度 繞定軸繞定軸Oz 轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)動ezO ea)e(ddOOMtL自轉(zhuǎn)自轉(zhuǎn)進(jìn)動進(jìn)動在一般情況下，在一般情況下，與自轉(zhuǎn)軸與自轉(zhuǎn)軸 不重合。不重合。) e (OOML，zO 其中其中 是陀螺對于對稱軸是陀螺對于對稱軸 的轉(zhuǎn)動慣量的轉(zhuǎn)動慣量zJzO 動量矩矢近似與對稱軸動量矩矢近似與對稱軸 重合重合zO 其大小等于其大小等于zJtLuOdd)e(OMu質(zhì)點(diǎn)系動量定理的運(yùn)動學(xué)解釋質(zhì)點(diǎn)系動量定理的運(yùn)動學(xué)解釋 賴柴定理賴柴定理質(zhì)點(diǎn)系對某定點(diǎn)的動量矩矢端的速度等于外力對同一點(diǎn)的主矩。質(zhì)點(diǎn)

32、系對某定點(diǎn)的動量矩矢端的速度等于外力對同一點(diǎn)的主矩。 zOJL)e(ddOOMtL1.1.自由陀螺保持自身對稱軸在慣性參考系中的方位不變自由陀螺保持自身對稱軸在慣性參考系中的方位不變 不計摩擦，外力對其質(zhì)心不計摩擦，外力對其質(zhì)心O 的力矩為零的力矩為零 自由陀螺自由陀螺0dd0)e(tLMOO，OL恒量恒量2.2.陀螺受力矩的作用，當(dāng)力矩矢與對稱軸不重合，對稱軸將進(jìn)動陀螺受力矩的作用，當(dāng)力矩矢與對稱軸不重合，對稱軸將進(jìn)動 )(PMuO根據(jù)賴柴定理根據(jù)賴柴定理在重力在重力 的持續(xù)作用下，的持續(xù)作用下，P對稱軸對稱軸 將繞將繞Oz 轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)動 zO 這種運(yùn)動稱為進(jìn)動這種運(yùn)動稱為進(jìn)動 zOJLuee)e(eOzMJsin)e(ezOJM3.3.陀螺效應(yīng)和陀螺力矩陀螺效應(yīng)和陀螺力矩 陀螺效應(yīng)陀螺效應(yīng)是