吳第8章多元函數(shù)微分學-習題課ppt課件

1、多元函數(shù)微分法及其應用多元函數(shù)微分法及其應用第八章第八章習題課習題課一、關于多元函數(shù)極限的題類一、關于多元函數(shù)極限的題類二、關于多元函數(shù)連續(xù)、偏導數(shù)存在、可微的題類二、關于多元函數(shù)連續(xù)、偏導數(shù)存在、可微的題類三、關于復合函數(shù)求導、隱函數(shù)求導，全微分計算題三、關于復合函數(shù)求導、隱函數(shù)求導，全微分計算題類類四、關于多元函數(shù)極四、關于多元函數(shù)極(最最)值的題類值的題類一、關于多元函數(shù)極限的題類一、關于多元函數(shù)極限的題類【例【例1】【解】【解】2200limxyxyxy 求求故所求極限不存在故所求極限不存在.220limxy kxxyxy 21kk 極限與極限與k有關有關,22220limxkxxk

2、x 2201lim(1) 1 xxxyxyaex 【例【例2】求下列極限求下列極限2221(2)lim(1)xxyxyax 2244(3) limxyxyxy 2210ln()limyxyxexy ( (1 1) )2222223 200sinlim()xyxyxyxy (4) (4) 連續(xù)性代入法連續(xù)性代入法22224422221 110022xyxyxyx yxy 坐標變換或放縮坐標變換或放縮根式換元或坐標變換，化為一根式換元或坐標變換，化為一元函數(shù)的極限，用洛必達法則元函數(shù)的極限，用洛必達法則ln2 【說明】自變量分先后次序變，稱二次極限【說明】自變量分先后次序變，稱二次極限,這種極限是

3、這種極限是兩個極限過程；而二重極限是一個極限過程兩個極限過程；而二重極限是一個極限過程.兩者不同兩者不同.例如兩個二次極限例如兩個二次極限0limlimlimlim22002200 yxxyyxxyxyyx存在存在而二重極限不存在而二重極限不存在.又如又如 0, 00,1sin1sin),(yyxyyxyxf則重極限則重極限0),(lim00 yxfyx而兩個二次極限均不存在而兩個二次極限均不存在.【強調】本課程討論的極限均為重極限【強調】本課程討論的極限均為重極限.二、關于多元函數(shù)連續(xù)、偏導數(shù)存在、可微的題類二、關于多元函數(shù)連續(xù)、偏導數(shù)存在、可微的題類分段函數(shù)在分界點的上述分段函數(shù)在分界點的

4、上述“性態(tài)性態(tài)就是要用各自的定義就是要用各自的定義判斷判斷.連連 續(xù)續(xù)),(),(lim0000yxfyxfyyxx 可偏導可偏導hyxfyhxfyxfhx),(),(lim),(0000000 可可 微微0),(),(lim),( 0000000 yyxfxyxfzyxyx可可微微點點220000)()(, ),(),( yxyxfyyxxfz 其其中中內(nèi)含三條，缺一不可內(nèi)含三條，缺一不可【例【例3】【解】【解】 , 0, 00,),(2222222 yxyxyxyxyxf設設 )0 , 0(),(？處是否連續(xù)處是否連續(xù)在點在點問問yxf2220000lim),(limyxyxyxfyxyx

5、 )0 , 0(0),(lim00fyxfyx . )0 , 0(),(處處是是連連續(xù)續(xù)的的在在點點所所以以yxf3220cossinlim 0 cossinxy 【例【例4】設】設【解】【解】 , 0, 00,1sin)(),(22222222 yxyxyxyxyxf ) ( )0 , 0(),(處處在在點點函函數(shù)數(shù)yxfA. 偏導不存在偏導不存在B. 偏導存在但偏導存在但 f 不連續(xù)不連續(xù) C. 可微可微 D. 不可微不可微)0 , 0(0),(lim00fyxfyx 所以所以f 在在(0,0)點連續(xù)點連續(xù),故否故否B . 0)1sin(lim)0 , 0()0 ,(lim)0 , 0(2

6、200 xxxxfxffxxx0)1sin(lim)0 , 0()0 ,(lim)0 , 0(2200 yyyyfyffyyy偏導數(shù)存在偏導數(shù)存在, 否否A .220000)0 , 0(),(limyxyxfyxfyx 01sin)(lim22222200 yxyxyxyx所以所以f (x,y)在在(0,0)點可微點可微. 綜上所述，應選綜上所述，應選C.【例【例5】 設函數(shù)設函數(shù)【解】【解】( , ) | ( , ) , f x yxyx y )0 , 0(),(的的鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)，問問在在點點其其中中yx (0,0) , (0,0) xyff若若均均存存在在，(0,0)=( ) xf

7、xffxx)0 , 0()0 ,(lim)0 , 0( 0 由由0|0|( ,0)0lim xxxx 存存在在0|( ,0) lim(0,0) xxxx 有有0|( ,0)lim(0,0) xxxx )0 , 0()0 , 0( 0)0 , 0( 同理同理,由由fy(0,0)存在也可推出存在也可推出 0)0 , 0( 作業(yè)思考題作業(yè)思考題【例【例6】【解】【解】 ., 0, 0,求一階偏導求一階偏導設設 yxxuzy ;1 zyzxyxu );)(ln1 zyzyxxyuz)(ln)(lnyyxxzuzyz 【注意】【注意】 )( zyyzzyxxx 具體復合函數(shù)求導具體復合函數(shù)求導三、關于復

8、合函數(shù)求導、隱函數(shù)求導，全微分計算題類三、關于復合函數(shù)求導、隱函數(shù)求導，全微分計算題類() zzyyxx 【例【例7 7】【解】【解】，具有二階連續(xù)偏導數(shù)具有二階連續(xù)偏導數(shù)設設) (),(3fxyxyfxz )1(213xfxfxyz ,2214fxfx xyzyxz 22 2)(4221211413 xfxyfyfxfx)(2214fxfxx .2422114213f yf yxfxfx 2,.zzyx y 求求)(222212xyfyfx 抽象復合函數(shù)求導抽象復合函數(shù)求導34114 fx fxx 2222fxfxx 【例【例8 8】【解【解】 公式法公式法.),(22yzfyzyfzx 可

9、微，求可微，求其中其中設設),(),( 22yzyfzxzyxF 令令),()(yzfyzyzfFy ),(2yzfzFz 則則.)(2)()(yzf yyzyzf zyzyfFFyzzy 抽象函數(shù)隱函數(shù)求導抽象函數(shù)隱函數(shù)求導【例【例8 8】.),(22yzfyzyfzx 可微，求可微，求其中其中設設抽象函數(shù)隱函數(shù)求導抽象函數(shù)隱函數(shù)求導,)()(22yzyyzyzf yyzfyzz .)(2)()(yzf yyzyzf zyzyfyz 解得解得【解【解】（求導直接法）】（求導直接法）z是是x,y的函數(shù)的函數(shù)兩邊同時對兩邊同時對y求導求導 ,sin, 0),(),(2xyzexzyxfuy 設設

10、【例【例9 9】【解】【解】,dxdzzfdxdyyfxfdxdu cos ,dyxdx 2(, )0sinyxezyx ,02321 dxdzdxdyexy 可得可得),cos2(12sin13 xexdxdzx.)cos2(1cos2sin13zfxexyfxxfdxdux 故故., 0) ,(dxduzf求求且且，具具有有一一階階連連續(xù)續(xù)偏偏導導數(shù)數(shù) x兩兩邊邊對對求求導導 0),(),(0),(ytxftyxGtyxF )()(xttxyy .xttxttyf Ff FdydxFf F 解解得得方程組確定隱函數(shù)推導法方程組確定隱函數(shù)推導法【解】【解】兩邊同時對兩邊同時對x求導求導 00

11、dxdydxdtffdxdtFdxdyFFtxtyx【例【例10】. ,0),(),(dxdyFfyxtyxFttxfy試試求求具具有有一一階階連連續(xù)續(xù)偏偏導導數(shù)數(shù)，、函函數(shù)數(shù)，其其中中的的所所確確定定的的是是由由而而設設 之間的最短距離之間的最短距離與平面與平面求旋轉拋物面求旋轉拋物面2222 zyxyxz【例【例1111】【解】【解】.2261,022,),(22 zyxddzyxPyxzzyxP的距離為的距離為到平面到平面則則上任一點上任一點為拋物面為拋物面設設【分析】【分析】最最小小即即且且使使?jié)M滿足足，使使得得本本題題變變?yōu)闉榍笄笠灰稽c點)22(61(22610,),(2222 zyxdzyxdzyxzyxzyxP四、關于多元函數(shù)極四、關于多元函數(shù)極(最最)值值),()22(61),(222yxzzyxzyxF 令令 )4(,)3(, 0)2)(22(31)2(, 02)22(31)1(, 02)22(312