復合材料力學part 2

1、復合材料力學復合材料力學2復合材料力學重點內(nèi)容復合材料力學重點內(nèi)容簡單層合板的簡單層合板的宏觀力學性能宏觀力學性能簡單層合板簡單層合板的微觀力學的微觀力學性能性能簡單層合板簡單層合板的應力的應力-應變應變關系關系簡單層合板簡單層合板的強度問題的強度問題剛度的彈性剛度的彈性力學分析方力學分析方法法剛度的材料剛度的材料力學分析方力學分析方法法強度的材料強度的材料力學分析方力學分析方法法簡單層合板簡單層合板的力學性能的力學性能復合材料力學重點內(nèi)容復合材料力學重點內(nèi)容經(jīng)典經(jīng)典層合理論層合理論層合板的層合板的強度問題強度問題層合板的應層合板的應力應變關系力應變關系剛度的剛度的特殊情況特殊情況層間應力層間

2、應力強度分析方強度分析方法法層合板設計層合板設計層合板的宏層合板的宏觀力學性能觀力學性能層合板彎曲層合板彎曲振動與屈曲振動與屈曲復合材料力學重點內(nèi)容復合材料力學重點內(nèi)容首先要把注意力集中在宏觀力學上，因為它是最容易解決設計分析中的重要問題，其次對微觀力學也將進行研究，以便得到對復合材料組分如何配比和排列以適應特定的強度和剛度的評價使用宏觀力學和微觀力學相結(jié)合，能夠在少用材料的的情況下設計復合材料來滿足特定的結(jié)構(gòu)要求，復合材料的可設計性是其超過常規(guī)材料的最顯著的特點之一設計的復合材料可以只在給定的方向上有所需的強度和剛度，而各向同性材料則在不是最大需要的其他方向上也具有過剩的強度和剛度彈性力學基

3、本問題彈性力學基本問題彈性力學問題彈性力學問題6個應力分量個應力分量6個應變分量個應變分量3個位移分量個位移分量w w, ,v v, ,u u, , , , , , , , , , ,xyxyzxzxyzyzz zy yx xxyxyzxzxyzyzz zy yx x 簡單層合板的宏觀力學性能簡單層合板的宏觀力學性能引引 言言簡單層板：是單向纖維或交織纖維在基體中的平面排列（有時是曲面的，如在殼體中），是纖維增強層合復合材料的基本單元件引引 言言引引 言言宏觀力學性能：只考慮簡單層合板的平均表觀力學性能，不討論復合材料組分之間的相互作用對簡單層合板來說，由于厚度與其他方向尺寸相比較小，因此一般

4、按平面應力狀態(tài)進行分析，只考慮單層板面內(nèi)應力，不考慮面上應力，即認為它們很小，可忽略在線彈性范圍內(nèi) Anisotropic Orthotropy Isotropy Failure Criterion傳統(tǒng)材料傳統(tǒng)材料) )( (/ /E EG G 12獨立常數(shù)只有獨立常數(shù)只有2個個對各向同性材料來說，表征它們剛度性能的工程彈性常數(shù)有：E、G、v E：拉伸模量 G：剪切模量 V：泊松比 其中廣義虎克定律 各向異性材料的線性應力-應變關系 彈性理論中的一個基本原理，由彈性能推導而來621 ,.,., ,j j, , i iC Cj jijiji i 應力分量，剛度矩陣，應變分量應力分量，剛度矩陣，應

5、變分量621 ,.,., ,j j, , i iS Sj jijiji i 柔度矩陣柔度矩陣 各向異性材料的應力各向異性材料的應力-應變關系應變關系彈性力學知識彈性力學知識 123123321666564636261565554535251464544434241363534333231262524232221161514131211123123321C CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC C各向異性線彈性材料最通用的定律

6、，各向異性線彈性材料最通用的定律，要完整描述這種材料需要要完整描述這種材料需要36個分量或常數(shù)，該類材料個分量或常數(shù)，該類材料沒有材料對稱性，這種材料也叫做三斜晶系材料沒有材料對稱性，這種材料也叫做三斜晶系材料 各向異性材料的應力各向異性材料的應力-應變關系應變關系 123123321666564636261565554535251464544434241363534333231262524232221161514131211123123321C CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC

7、 CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC Cz zw wy yv vx xu u 321x xv vy yu uz zu ux xw wz zv vy yw w 123123簡寫了表簡寫了表達符號達符號幾何方程幾何方程彈性力學知識彈性力學知識xyzxzxz yzyz zdydyy yy yy y dydyy yzyzyzyzy dydyy yxyxyxyxy x xy yz zx xy yz zz zy yx x, , , , , , 六個應力分量六個應力分量主應力和主方向主應力和主方向材料往往在受力最大的面發(fā)生破壞，材料往往在受力最大的面發(fā)生破壞，物體內(nèi)每一點都有無窮多個

8、微面通物體內(nèi)每一點都有無窮多個微面通過，斜面上剪應力為零的面為主平過，斜面上剪應力為零的面為主平面，其法線方向為主方向，應力為面，其法線方向為主方向，應力為主應力，三個主應力，包括最大和主應力，三個主應力，包括最大和最小應力最小應力 xyxyzxzxyzyzz zy yx xxyxyzxzxyzyzz zy yx xS SS SS SS SS SS SS SS SS SS SS SS SS SS SS SS S66646463626151413121161514131211 j ji ij ji iC C 柔度分量、模量分量柔度分量、模量分量各向異性體彈性各向異性體彈性力學基本方程力學基本方程

9、平衡方程平衡方程彈性體受力變形的彈性體受力變形的應力與應變關系應力與應變關系本構(gòu)方程本構(gòu)方程36000 z zy yx xz zy yx xz zy yx xz zyzyzzxzxyzyzy yxyxyxzxzxyxyx x z zy yx xz zy yx xz zy yx xy yx xz zz zy yx xx xz zy yxyxyzxzxyzyzz zxyxyzxzxyzyzy yxyxyzxzxyzyzx x222222222222222222222y yz zz zy yx xz zz zx xx xy yy yx xz zy yy yz zz zx xz zx xy yx xx

10、 xy y xvyuzuxwzvywxyzxyz 幾何方程消除位移分量幾何方程消除位移分量連續(xù)性方程或變形協(xié)調(diào)方程連續(xù)性方程或變形協(xié)調(diào)方程6幾何方程幾何方程zwyvxuzyx 彈性力學問題的一般解法彈性力學問題的一般解法6個應力分量個應力分量6個應變分量個應變分量3個位移分量個位移分量w w, ,v v, ,u u, , , , , , , , , , ,xyxyzxzxyzyzz zy yx xxyxyzxzxyzyzz zy yx x 幾何關系（位移和應變關系）：幾何關系（位移和應變關系）：6物理關系（應力和應變關系）：物理關系（應力和應變關系）：6平衡方程（應力之間的關系）：平衡方程（應

11、力之間的關系）：315個方程求個方程求15個未知數(shù)個未知數(shù)可解可解(材料性質(zhì)已知材料性質(zhì)已知)難以實現(xiàn)難以實現(xiàn)簡化或數(shù)值解法簡化或數(shù)值解法彈性力學知識彈性力學知識彈性力學知識彈性力學知識位移法：幾何關系（位移和應變關系）代入物理關系（應力應變關系），再代入平衡方程，得到僅含有位移分量的偏微分方程，解出位移函數(shù) 較容易實現(xiàn)力法：僅含有應力函數(shù)混合法：確定某些位移和某些應力彈性力學知識彈性力學知識000 z zy yx xz zy yx xz zy yx xz zyzyzzxzxyzyzy yxyxyxzxzxyxyx xz zw wy yv vx xu u 321x xv vy yu uz zu

12、 ux xw wz zv vy yw w 123123 123123321666564636261565554535251464544434241363534333231262524232221161514131211123123321C CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC C三類基本問題三類基本問題第一類基本問題 在彈性體的全部表面上都給定了外力，要求確定彈性體內(nèi)部及表面任意一點的應力和位移n nz zyzyzxzxzn

13、 nzyzyy yxyxyn nzxzxyxyxx xZ Z) )z z, ,n ncos(cos() )y y, ,n ncos(cos() )x x, ,n ncos(cos(Y Y) )z z, ,n ncos(cos() )y y, ,n ncos(cos() )x x, ,n ncos(cos(X X) )z z, ,n ncos(cos() )y y, ,n ncos(cos() )x x, ,n ncos(cos( 三類基本問題三類基本問題第二類基本問題 在彈性體的全部表面上都給定了位移，要求確定彈性體內(nèi)部及表面任意一點的應力和位移* * * *w ww wv vv vu uu

14、u: :S Sonon s三類基本問題三類基本問題第三類基本問題 在彈性體的一部分表面上都給定了外力，在其余的表面上給定了位移，要求確定彈性體內(nèi)部及表面任意一點的應力和位移S SS SS Sw ww w, ,v vv v, ,u uu u: :S SononX Xn n: :S Sononu u* * * *u ui ij jijij SuS 三類基本問題三類基本問題解析解法：15方程+邊界條件得出15個未知量確定解存在數(shù)學上的障礙數(shù)值解法 計算力學 計算方法 有限元、有限差分、邊界元 計算機程序離散替代連續(xù)離散替代連續(xù)三類基本問題三類基本問題復合材料的力學問題復雜化 復合材料結(jié)構(gòu)的靜力學和動

15、力學方程、幾何關系、變形協(xié)調(diào)關系、邊界條件和初始條件等與各向同性的結(jié)構(gòu)相比，在基本概念和原理方面沒有多大變化 本構(gòu)關系和強度準則發(fā)生重大變化 幾何參數(shù)和材料性能數(shù)據(jù)大大增加 控制方程、邊界條件和初始條件數(shù)量增多、形式復雜 求解難度和工作量增加 出現(xiàn)許多新問題，原有力學原理和分析計算方法可以借鑒和參考 掌握和集成各向同性材料的結(jié)構(gòu)計算方法，并注意到復合材料及其結(jié)構(gòu)的特點三類基本問題三類基本問題復合材料結(jié)構(gòu)的力學問題 各種形式的復合材料結(jié)構(gòu)，在各種類型的載荷（沖擊、交變、長期載荷等）的各種分布情況下，在各種支撐和約束條件下，在結(jié)構(gòu)完好或有缺陷、損傷、裂紋和初始變形情況下，具有各種各樣的本構(gòu)關系時的

16、各種靜力學和動力學問題，其中包括應力分析、變形、屈曲、動力響應、震顫和疲勞等以及它們的某種組合各向異性 分析復雜、發(fā)揮優(yōu)勢不均勻性和某種程度上的不連續(xù)性 影響強度分析（局部）層間剪切模量較低、層間剪切和拉伸強度更低 孔口和邊界處拉壓強度和模量不同和非線性幾何非線性和物理非線性 123123321666564636261565554535251464544434241363534333231262524232221161514131211123123321C CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC

17、CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC C回來繼續(xù)關注剛度矩陣回來繼續(xù)關注剛度矩陣3636個分量個分量 各向異性材料的應力各向異性材料的應力-應變關系應變關系 在剛度矩陣在剛度矩陣Cij中有中有36個常數(shù)，但在材料中，實際常數(shù)個常數(shù)，但在材料中，實際常數(shù)小于小于36個。首先證明個。首先證明Cij的對稱性：的對稱性： 存在有彈性位能或應變能密度函數(shù)的彈性材料，當應存在有彈性位能或應變能密度函數(shù)的彈性材料，當應力力 i作用產(chǎn)生作用產(chǎn)生d i的增量時，單位體積的功的增量為：的增量時，單位體積的功的增量為： dW= i d i 由應力由應力-應變關系應變關系 i= Ci

18、j d j，功的增量為：，功的增量為： dW= Cij d j d i 沿整個應變積分，單位體積的功為：沿整個應變積分，單位體積的功為： W=1/2 Cij j i 證明：證明：Cij的對稱性的對稱性證明：證明：Cij的對稱性的對稱性ijijj ji ij jijiji iC Cw wC Cw w 2jijii ij jC Cw w 2Cij的腳標與微分次序無關：的腳標與微分次序無關： Cij=Cji同理同理廣義胡克定律關系式可由下式導出：廣義胡克定律關系式可由下式導出：W=1/2 Cij j i 621, ,. . . . . ., , ,j j, , i iS Sj ji ij ji i

19、Sij=Sji 123123321665646362616565545352515464544342414363534332313262524232212161514131211123123321C CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC C 各向異性的、全不對稱材料各向異性的、全不對稱材料21個常數(shù)個常數(shù) 剛度矩陣是對稱的，只有剛度矩陣是對稱的，只有21個常數(shù)是獨立的個常數(shù)是獨立的如果材料存在對稱面，則彈性常數(shù)將會減少，例如

20、z=0平面為對稱面，則所有與Z軸或3正方向有關的常數(shù)，必須與Z軸負方向有關的常數(shù)相同剪應變分量yz和xz僅與剪應力分量yzxz有關，則彈性常數(shù)的獨立常數(shù)變?yōu)?3個 12312332166362616554545443633231326232212161312111231233210000000000000000C CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC C單對稱材料（單斜晶系）單對稱材料（單斜晶系）隨著材料對稱性的提高，獨立常數(shù)的數(shù)目逐步減少如果材料有兩個正交的材料性能對稱面，則對于和這兩個相垂直的平面也有對稱面（第三個

21、）正交各向異性9個獨立常數(shù)正交各向異性材料正交各向異性材料正交各向異性9個獨立常數(shù) 123123321665544332331232221131211123123321000000000000000000000000C CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC C正應力與剪應變之間沒有耦合，正應力與剪應變之間沒有耦合，剪應力與正應變之間沒有耦合剪應力與正應變之間沒有耦合不同平面內(nèi)的剪應力和剪應變不同平面內(nèi)的剪應力和剪應變之間也沒有相互作用之間也沒有相互作用正交各向異性材料正交各向異性材料如果材料中每一點有一個方向的力學性能都相同，那么為橫觀各向同性材料5個獨立常數(shù)常常用

22、來描述各向異性纖維和單向復合材料的彈性常數(shù) 123123321121144443313131311121312111231233212000000000000000000000000C CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC C2121166C CC CC C 根據(jù)純剪切和拉伸與壓縮組合之間的等根據(jù)純剪切和拉伸與壓縮組合之間的等效推導而出效推導而出1-2平面平面1，2可互換可互換橫觀各向同性材料橫觀各向同性材料橫觀各向同性材料橫觀各向同性材料5 個材料常數(shù)如果材料完全是各向同性的，則2個獨立常數(shù)21211665544312312332211/ /) )C CC

23、C( (C CC CC CC CC CC CC CC CC C 123123321121112111211111212121112121211123123321200000020000002000000000000C CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC C各向同性材料各向同性材料 應變應變-應力關系（柔度矩陣）應力關系（柔度矩陣） 123123321665646362616565545352515464544342414363534332313262524232212161514131211123123321S SS SS SS SS SS SS

24、 SS SS SS SS SS SS SS SS SS SS SS SS SS SS SS SS SS SS SS SS SS SS SS SS SS SS SS SS SS S與剛度矩陣一樣有相似的性質(zhì)與剛度矩陣一樣有相似的性質(zhì)剛度矩陣與柔度矩陣互為逆矩陣剛度矩陣與柔度矩陣互為逆矩陣 應變應變-應力關系（柔度矩陣）應力關系（柔度矩陣） 12312332166362616554545443633231326232212161312111231233210000000000000000S SS SS SS SS SS SS SS SS SS SS SS SS SS SS SS SS SS SS

25、SS SZ=0的平面對稱，的平面對稱，13個獨立常數(shù)個獨立常數(shù) 應變應變-應力關系（柔度矩陣）應力關系（柔度矩陣） 123123321665544332313232212131211123123321000000000000000000000000S SS SS SS SS SS SS SS SS SS SS SS S正交各向異性，正交各向異性，9個獨立常數(shù)個獨立常數(shù) 應變應變-應力關系（柔度矩陣）應力關系（柔度矩陣） 123123321121144443323132322121312111231233212000000000000000000000000) )S SS S( (S SS SS

26、 SS SS SS SS SS SS SS SS S橫觀各向同性（橫觀各向同性（1-2平面是各向同性面），平面是各向同性面），5個獨立常數(shù)個獨立常數(shù) 應變應變-應力關系（柔度矩陣）應力關系（柔度矩陣） 123123321121112111211221212121112121211123123321200000020000002000000000000) )S SS S( () )S SS S( () )S SS S( (S SS SS SS SS SS SS SS SS S各向同性，各向同性，2個獨立常數(shù)個獨立常數(shù)正交各向異性、橫觀各向同性、各向同性正交各向異性、橫觀各向同性、各向同性對稱性對

27、稱性正交各向異性、橫觀各向同性、各向同性正交各向異性、橫觀各向同性、各向同性總結(jié)總結(jié)各向異性材料的性質(zhì)更多地取決于非零分量的個數(shù)各向異性材料的性質(zhì)更多地取決于非零分量的個數(shù) 正交各向異性材料的工程常數(shù)正交各向異性材料的工程常數(shù)工程常數(shù)： 可以用簡單試驗如拉伸、壓縮、剪切、彎曲等獲得 具有很明顯的物理解釋 這些常數(shù)比Cij或Sij中的各分量具有更明顯的物理意義、更直觀 最簡單的試驗是在已知載荷或應力的條件下測量相應的位移或應變，因此柔度矩陣比剛度矩陣更能直接測定 1231233216656463626165655453525154645443424143635343323132625242322

28、12161514131211123123321S SS SS SS SS SS SS SS SS SS SS SS SS SS SS SS SS SS SS SS SS SS SS SS SS SS SS SS SS SS SS SS SS SS SS SS S 正交各向異性材料的工程常數(shù)正交各向異性材料的工程常數(shù)最簡單的試驗是在已知載荷或應力下測量相應的位移或應變，這樣柔度矩陣比剛度矩陣更能直接確定 正交各向異性材料的工程常數(shù)正交各向異性材料的工程常數(shù)正交各向異性材料用工程常數(shù)表示正交各向異性材料用工程常數(shù)表示的柔度矩陣的柔度矩陣 123123322311333221123312211100

29、000010000001000000100010001G GG GG GE EE EE EE EE EE EE EE EE ES Si ij jE1、E2、E3為為1，2，3方向上的彈性模量方向上的彈性模量 ij為應力在為應力在i方向上作用時方向上作用時j方向的橫向應變的泊松比方向的橫向應變的泊松比G23,G31,G12為為2-3，3-1，1-2平面的剪切應變平面的剪切應變正交各向異性材料用工程常數(shù)表示正交各向異性材料用工程常數(shù)表示的柔度矩陣的柔度矩陣i ij jijij 321 , , ,j j, , i iE EE Ej jjijii iijij ij為應力在為應力在i方向上作用力時引方向

30、上作用力時引起起j方向的橫向應變的泊松比方向的橫向應變的泊松比正交各向異性材料只有九個獨立常數(shù)，現(xiàn)在有正交各向異性材料只有九個獨立常數(shù)，現(xiàn)在有12個常數(shù)個常數(shù)根據(jù)根據(jù)S矩陣的對稱性，有：矩陣的對稱性，有： 123123322311333221123312211100000010000001000000100010001G GG GG GE EE EE EE EE EE EE EE EE ES Sijij剛度矩陣與柔度矩陣互為逆矩陣剛度矩陣與柔度矩陣互為逆矩陣 12312332166564636261656554535251546454434241436353433231326252423221

31、2161514131211123123321S SS SS SS SS SS SS SS SS SS SS SS SS SS SS SS SS SS SS SS SS SS SS SS SS SS SS SS SS SS SS SS SS SS SS SS S621, ,. . . . . ., , ,j j, ,i iC Cj ji ij ji i 621, ,. . . . . ., , ,j j, , i iS Sj ji ij ji i 剛度矩陣與柔度矩陣互為逆矩陣剛度矩陣與柔度矩陣互為逆矩陣23231221233213222231133221166665555444411231312

32、23212221133221323121321311332233122313122233322112111S SS SS SS SS SS SS SS SS SS SS SS SS SC CS SC CS SC CS SS SS SS SC CS SS SS SC CS SS SS SS SC CS SS SS SC CS SS SS SS SC CS SS SS SC C 在此方程中，符號在此方程中，符號C和和S在每一處都可以互換的在每一處都可以互換的 正交各向異性材料的工程常數(shù)正交各向異性材料的工程常數(shù) 1231233223113332211233122111000000100000010

33、00000100010001G GG GG GE EE EE EE EE EE EE EE EE ES Si ij j 正交各向異性材料的工程常數(shù)正交各向異性材料的工程常數(shù)32113322131133223211221211233442113212331311232233131132255212312133232213113663113321232233121123232231121111E EE EE EE EE EC CC CE EE EE EE EC CE EE EC CC CE EE EE EE EC CC CE EE EE EE EC CE EE EC C 各向同性材料工程常數(shù)的轉(zhuǎn)換

34、各向同性材料工程常數(shù)的轉(zhuǎn)換 彈性常數(shù)的限制彈性常數(shù)的限制各向同性材料各向同性材料)1( 2/EG1 為保證為保證E和和G為正值，即正應力或剪應力乘以正應變?yōu)檎?，即正應力或剪應力乘以正應變或剪應變產(chǎn)生正功或剪應變產(chǎn)生正功 各向同性材料，彈性常數(shù)滿足某些關系式，如剪切各向同性材料，彈性常數(shù)滿足某些關系式，如剪切模量模量G可以有彈性模量可以有彈性模量E和泊松比和泊松比v給出給出 彈性常數(shù)的限制彈性常數(shù)的限制各向同性材料各向同性材料 213/ /E EK K同樣對于各向同性體承受靜壓力同樣對于各向同性體承受靜壓力P的作用，體積應變（三的作用，體積應變（三個正應變或拉伸應變之和）可定義為：個正應變或拉

35、伸應變之和）可定義為： K KP P/ /E EP Pz zy yx x 213) )( (E EP PE EE EE E) )( (E EP PE EE EE E) )( (E EP PE EE EE EP Px xy yz zz zz zx xy yy yz zy yx xx xz zy yx x 21212121121/ / / K為正值（如果為正值（如果K為負，為負，靜壓力將引起體積膨脹）靜壓力將引起體積膨脹）彈性常數(shù)的限制彈性常數(shù)的限制正交各向異性材料正交各向異性材料正交各向異性材料的情況很復雜（熱力學分析和能量的角度分析，要符合） 應力分量和對應的應變分量的乘積表示應力所做的功，所

36、有應力分量所做的功的和必須是正值，以免產(chǎn)生能量，該條件提供了彈性常數(shù)的熱力學限制 倫普里爾將這個限制推廣到正交各向異性材料，要求聯(lián)系應力-應變的矩陣應該是正定的，即有正的主值或不變量 剛度和柔度矩陣都是正定的（主對角線元素為正）621 ,.,., ,j j, , i iC Cj jijiji i 621 ,.,., ,j j, , i iS Sj jijiji i 彈性常數(shù)的限制彈性常數(shù)的限制正交各向異性材料正交各向異性材料0665544332211 S S, ,S S, ,S S, ,S S, ,S S, ,S S0121323321 G G, ,G G, ,G G, ,E E, ,E E,

37、 ,E E 123123322311333221123312211100000010000001000000100010001G GG GG GE EE EE EE EE EE EE EE EE ES Si ij j 彈性常數(shù)的限制彈性常數(shù)的限制正交各向異性材料正交各向異性材料0665544332211 C C, ,C C, ,C C, ,C C, ,C C, ,C C010101211231133223 ) )( () )( () )( (021133221311332232112 由于正定矩陣的行列由于正定矩陣的行列式必須為正式必須為正321133221311332232112212112

38、33442113212331311232233131132255212312133232213113663113321232233121123232231121111E EE EE EE EE EC CC CE EE EE EE EC CE EE EC CC CE EE EE EE EC CC CE EE EE EE EC CE EE EC C 彈性常數(shù)的限制彈性常數(shù)的限制正交各向異性材料正交各向異性材料211211122133111321332223/ / / /) )S SS S( (S S) )S SS S( (S S) )S SS S( (S S 6666555544441123131

39、22321222113322132312132131133223312231312223332211111S SC CS SC CS SC CS SS SS SS SC CS SS SS SC CS SS SS SS SC CS SS SS SC CS SS SS SS SC CS SS SS SC C C為正定為正定彈性常數(shù)的限制彈性常數(shù)的限制正交各向異性材料正交各向異性材料321 , , ,j j, , i iE EE Ej jjijii iijij 211331213113213223212332212112211221/ / / / / / /E EE EE EE EE EE EE E

40、E EE EE EE EE E 010101211231133223 ) )( () )( () )( (211211122133111321332223/ / / /) )S SS S( (S S) )S SS S( (S S) )S SS S( (S S 代入工程常數(shù)也可得到代入工程常數(shù)也可得到彈性常數(shù)的限制彈性常數(shù)的限制正交各向異性材料正交各向異性材料2121132133223221221133221/ /E EE EE EE EE EE E 021133221311332232112 0112211321322113211321332232 / / /E EE EE EE EE EE

41、EE EE E 211221132132132232121332212112211321321322321213321111/ / / / / / /E EE EE EE EE EE EE EE EE EE EE EE EE EE EE EE E為了用另外兩個泊松比表達為了用另外兩個泊松比表達 2121的界限，繼續(xù)轉(zhuǎn)化的界限，繼續(xù)轉(zhuǎn)化對對 3232 1313可得可得相似的表達相似的表達式式彈性常數(shù)的限制彈性常數(shù)的限制作用作用對正交各向異性材料工程常數(shù)的限制，可以用來檢驗試驗數(shù)據(jù)，看他們在數(shù)學彈性模型的范圍內(nèi)是否與實際一致 Dickerson和Dimartino（1966）在硼/環(huán)氧復合材料的實

42、驗中發(fā)現(xiàn)v12=1.97，這對各向同性材料來說是難以接受的（v1/2） 但：E1=11.86x106磅/平方英寸、E2=1.33x106磅/平方英寸992971212112. .E EE E. ./ / 是合理的數(shù)據(jù)是合理的數(shù)據(jù)彈性常數(shù)的限制彈性常數(shù)的限制作用作用只有測定的材料性能滿足限制條件，我們才有信心著手用這種材料設計，否則我們就有理由懷疑材料模型或試驗數(shù)據(jù)工程常數(shù)的限制也可以用來解決實際的工程分析問題，例如考慮有幾個解的微分方程，這些解依賴于微分方程中系數(shù)的相對值，在變形體物理問題中這些系數(shù)包含著彈性常數(shù)，于是可以用來決定微分方程的哪些解是適用的突破傳統(tǒng)材料的概念，大膽設計復合材料 平

43、面應力狀態(tài)與平面應變狀態(tài)平面應力狀態(tài)與平面應變狀態(tài)對包括復合材料層合板的許多材料來說，應力分析是在二維空間進行的平面應力和平面應變問題是最普遍的二維情況對這些情況，廣義胡克定律可被大大地簡化 對簡單層合板來說，由于厚度與其他方向尺寸相比較小，因此一般按平面應力狀態(tài)進行分析 只考慮單層面內(nèi)應力，不考慮單層面上應力平面應力狀態(tài)平面應力狀態(tài)00031233 平面應變狀態(tài)平面應變狀態(tài)13213213200031233 正交各向異性材料正交各向異性材料平面應力問題平面應力問題的應力應變關系的應力應變關系00031233 正交各向異性材料正交各向異性材料平面應力問題平面應力問題的應力應變關系的應力應變關系

44、00031233 1221665544332313232212131211123123321000000000000000000000000000S SS SS SS SS SS SS SS SS SS SS SS S00SS31232231133 1221662212121112210000S SS SS SS SS S正交各向異性材料正交各向異性材料平面應力問題平面應力問題的應力應變關系的應力應變關系126622222111212111111G GS S, ,E ES SE EE ES SE ES S 其中其中正交各向異性材料正交各向異性材料平面應力問題的應力應變關系平面應力問題的應力應變

45、關系 12216655443323132322121312111232100000000000000000000000000000S SS SS SS SS SS SS SS SS SS SS SS S2231133 S SS S正交各向異性材料正交各向異性材料平面應力問題的應力應變關系平面應力問題的應力應變關系 123123322311333221123312211100000010000001000000100010001G GG GG GE EE EE EE EE EE EE EE EE ES Si ij j2231133 S SS S12121222222112211112121111

46、111 G GE EE EE EE E) )( () )( () )( () )( (121 2 12 1 2 12 引起的引起的可以從受力關系上推導正交各向異可以從受力關系上推導正交各向異性材料平面應力問題的應力應變關性材料平面應力問題的應力應變關系系正交各向異性材料正交各向異性材料平面應力問題的應力應變關系平面應力問題的應力應變關系正交各向異性材料正交各向異性材料平面應力問題的應力應變關系平面應力問題的應力應變關系利用疊加原理：利用疊加原理：1212122211122212221121121111111 G GE EE EE EE E) )( () )( () )( () )( ( 122

47、1122112221112211000101G GE EE EE EE E 1221662212121112210000S SS SS SS SS S126622222111212111111G GS SE ES SE EE ES SE ES S 正交各向異性材料正交各向異性材料平面應力問題的應力應變關系平面應力問題的應力應變關系 1221662212121112210000Q QQ QQ QQ QQ Q66662122211112221222111212212221122111S SQ QS SS SS SS SQ QS SS SS SS SQ QS SS SS SS SQ Q 126621

48、12222211212121122121221121111111G GQ QE EQ QE EE EQ QE EQ Q 1221662212121112210000S SS SS SS SS S126622222111212111111G GS S, ,E ES SE EE ES SE ES S 221112E EE E E ES SE ES S) )S SS S( (S SS SS SS S 121112211211111212111221120000 1221661112121112210000Q QQ QQ QQ QQ QG G) )( (E EQ QE EQ QE EQ Q 12116

49、62122114個獨立的常數(shù)，個獨立的常數(shù)，E1、E2、 12和和G12對于各向同性材料：對于各向同性材料：正交各向異性材料正交各向異性材料平面應力問題的應力應變關系平面應力問題的應力應變關系已知已知T300/648單層板的工程彈性常數(shù)為單層板的工程彈性常數(shù)為3408055083134121221. ., ,G GP Pa a. .G G, ,G GP Pa a. .E E, ,G GP Pa a. .E E 試求它的正軸柔量和正軸模量試求它的正軸柔量和正軸模量例題例題12662112222211212121122121221121111111G GQ QE EQ QE EE EQ QE EQ

50、 Q 126622222111212111111G GS S, ,E ES SE EE ES SE ES S 1122121211211 ) )E EE E( () )( (m mG GP Pa a. .G GQ QG GP Pa a. .E Em mQ QQ QG GP Pa a. .m mE EQ QG GP Pa a. .m mE EQ Q. .) )E EE E( (m mT TP Pa a. .G G/ /S ST TP Pa a. .E E/ /S SS ST TP Pa a. .E E/ /S ST TP Pa a. .E E/ /S S805912568313500741141

51、72153261171457112662122112222111112212112661112211212221111 例題例題簡單層板在任意方向上的應力簡單層板在任意方向上的應力-應變關系應變關系上述定義是在正交各向異性材料的主方向上的，但材料的主方向往往和幾何上適應解題要求的坐標軸方向不一致 斜鋪或纏繞簡單層板在任意方向上的應力簡單層板在任意方向上的應力-應變關系應變關系簡單層板在任意方向上的應力簡單層板在任意方向上的應力-應變關系應變關系 122122222222sinsincoscoscoscossinsincoscossinsincoscossinsincoscossinsincos

52、cossinsinsinsincoscosxyxyy yx x 22221221222222sinsincoscoscoscossinsincoscossinsincoscossinsincoscossinsincoscossinsinsinsincoscosxyxyy yx x用用1-2坐標系中的應力來表示坐標系中的應力來表示x-y坐標系中的應力的轉(zhuǎn)換方程為坐標系中的應力的轉(zhuǎn)換方程為很麻煩！很麻煩！簡單層板在任意方向上的應力簡單層板在任意方向上的應力-應變關系應變關系 222222122sinsincoscoscoscossinsincoscossinsincoscossinsincosco

53、ssinsincoscossinsinsinsincoscosT T 12211T Txyxyy yx x 2212211T Txyxyy yx x簡單層板在任意方向上的應力簡單層板在任意方向上的應力-應變關系應變關系 22222222sinsincoscoscoscossinsincoscossinsincoscossinsincoscossinsincoscossinsinsinsincoscosT T xyxyy yx xT T1221 221221xyxyy yx xT T 200010001R R 2xyxyy yx xxyxyy yx xR R 212211221R R 12211

54、T Txyxyy yx x 2212111T Txyxyy yx x如果應用剪應變的張量定義（等于工程剪應變的一半），應如果應用剪應變的張量定義（等于工程剪應變的一半），應變和應力的轉(zhuǎn)換關系式是一致的。我們引入變和應力的轉(zhuǎn)換關系式是一致的。我們引入Router矩陣矩陣Router矩陣轉(zhuǎn)換的優(yōu)點消除了剛度或柔度矩陣表達式矩陣轉(zhuǎn)換的優(yōu)點消除了剛度或柔度矩陣表達式中的很麻煩的中的很麻煩的1/2 或或2，推導或計算方便！，推導或計算方便！簡單層板在任意方向上的應力簡單層板在任意方向上的應力-應變關系應變關系 1221661112121112210000Q QQ QQ QQ QQ Qxyxyy yx x

55、 12211221Q Q 1221112211Q QT TT Tx xy yy yx x對于材料主軸和坐標系一致的特殊正交各向異性簡單層板對于材料主軸和坐標系一致的特殊正交各向異性簡單層板可簡寫可簡寫簡單層板在任意方向上的應力簡單層板在任意方向上的應力-應變關系應變關系 1TRTRT T TT TQ QT TQ Q 1Q的轉(zhuǎn)換矩陣的轉(zhuǎn)換矩陣簡單層板在任意方向上的應力簡單層板在任意方向上的應力-應變關系應變關系 x xy yy yx xx xy yy yx xx xy yy yx xR RT TR RQ QT TT TR RQ QT TR RQ QT TQ QT TT T111122111221

56、11221122矩陣逆轉(zhuǎn)置矩陣逆轉(zhuǎn)置 xyxyy yx xxyxyy yx xxyxyy yx xQ QQ QQ QQ QQ QQ QQ QQ QQ QQ Q662616262212161211) )sinsin(cos(cosQ Qcoscossinsin) )Q QQ QQ QQ Q( (Q Qcoscossinsin) )Q QQ QQ Q( (coscossinsin) )Q QQ QQ Q( (Q Qcoscossinsin) )Q QQ QQ Q( (coscossinsin) )Q QQ QQ Q( (Q QcoscosQ Qcoscossinsin) )Q QQ Q( (sin

57、sinQ QQ Q) )sinsin(cos(cosQ Qcoscossinsin) )Q QQ QQ Q( (Q QsinsinQ Qcoscossinsin) )Q QQ Q( (coscosQ QQ Q 44662266122211663662212366121126366221236612111642222661241122441222662211124222266124111122222222422九個非零分量，四個獨立常數(shù)，但是廣義的正交各向異九個非零分量，四個獨立常數(shù)，但是廣義的正交各向異性層板剪應變和正應力，剪應力和正應變存在耦合性層板剪應變和正應力，剪應力和正應變存在耦合簡單

58、層板在任意方向上的應力簡單層板在任意方向上的應力-應變關系應變關系 T TT TQ QT TQ Q 1簡單層板在任意方向上的應力簡單層板在任意方向上的應力-應變關系應變關系廣義正交各向異性簡單層板和各向異性簡單層板存在不同，容易由試驗來表征如果不知道材料的主方向，廣義正交各向異性簡單層板和各向異性簡單層板就無法區(qū)別了 xyxyy yx xxyxyy yx xxyxyy yx xQ QQ QQ QQ QQ QQ QQ QQ QQ QQ Q662616262212161211 122166221212111221S000SS0SS xyyx662616262212161211xyyxTxyyxSS

59、SSSSSSSTST我們也可以用應力來表示應變我們也可以用應力來表示應變簡單層板在任意方向上的應力簡單層板在任意方向上的應力-應變關系應變關系 12211T Txyxyy yx x 2212111T Txyxyy yx x 11 R RT TR RT TT T xyxyy yx xxyxyy yx xS SS SS SS SS SS SS SS SS S662616262212161211) )sinsin(cos(cosS Scoscossinsin) )S SS SS SS S( (S Scoscossinsin) )S SS SS S( (coscossinsin) )S SS SS S

60、( (S Scoscossinsin) )S SS SS S( (coscossinsin) )S SS SS S( (S ScoscosS Scoscossinsin) )S SS S( (sinsinS SS S) )sinsin(cos(cosS Scoscossinsin) )S SS SS S( (S SsinsinS Scoscossinsin) )S SS S( (coscosS SS S 446622661222116636612223661211263661222366121116422226612411224412226622111242222661241111422222