空間面板隨機(jī)前沿模型及技術(shù)效率估計(jì)

1、空間面板隨機(jī)前沿模型及技術(shù)效率估計(jì)空間面板隨機(jī)前沿模型及 技術(shù)效率估計(jì) 林佳顯 , 龍志 和 , 林 光平1 12 ( 1. 華南理工大學(xué) 經(jīng)濟(jì)與 貿(mào) 易 學(xué) 院 , 廣 東 廣 州 510006; 摘 要 : 隨機(jī)前沿模型是測(cè)算技術(shù)效率 的重要方法之一 。通常 ,模型假設(shè)生產(chǎn) 單元之間彼此 獨(dú)立 ,然而在技術(shù)擴(kuò)散過 程中 ,空間外部性起著重要作用 。文章 結(jié)合隨機(jī)前沿模型理論與空間經(jīng) 濟(jì)計(jì) 量分析方法 ,構(gòu)建空間面板隨機(jī)前沿模 型 , 同時(shí)考慮空間滯后因變量和空間誤 差自相關(guān) ,并 逐步放松模型設(shè)定條件 , 首先考慮技術(shù)效率時(shí)變 ,接著引入技術(shù) 無效率項(xiàng)的異方差性 ,之后考慮 觀察數(shù) 據(jù)中潛

2、在的截面異質(zhì)性 ,分別以引入隨 機(jī)截面特有項(xiàng)和設(shè)定隨機(jī)系數(shù)的形式來 表示截面 中圖分類號(hào) : F064. 1文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼 : A 文章編號(hào) : 100022154 ( 2010 ) 05 20071 20、引言 隨機(jī)前沿模型 ( SFM ) 的理論 最初 A igne r、Love ll 和 Schm id t (ALS) ( 1977 ) 2 1 , Meeu sen 和 V an denB roeck (MB )( 1977 ) 提出 , 并很快成為計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué) 中一個(gè)引人注目的分支 ,被廣泛應(yīng)用于效率測(cè)算和生 3 產(chǎn)率分析 尤其是在 Jond row 等 ( JLM S) ( 1982 )指

3、出各個(gè)生產(chǎn)單元的技術(shù)無效率可以通 過條 件分布 u |i vi - ui 的期望 E ui | vi - ui 或模 M ode ui | vi - ui 來 估算以后 。隨機(jī)前沿分析 ( SFA ) 始于 對(duì)生產(chǎn)最優(yōu) 化的研究 , 經(jīng)過 30 多年的發(fā)展 , 其在理論研究與實(shí)踐應(yīng)用 方面都得到了深入的發(fā)展 , 已被嘗試性 地應(yīng)用于 生產(chǎn)經(jīng)濟(jì)學(xué)以外的領(lǐng)域 , 如 勞動(dòng)經(jīng)濟(jì)學(xué) 、公共經(jīng)濟(jì)學(xué)以及金融經(jīng)濟(jì) 學(xué)等 。 SFM 假定 , 生產(chǎn)單位于各 種組織 、管理及制度等非價(jià)格性因素導(dǎo)致生 產(chǎn)過程 中效率 的損耗 , 而 達(dá)不 到最佳的前沿技術(shù)水平。 SFM 的基本模型表述如下： Yi = f ( X

4、i ; B ) exp ( vi - ui ) 4 i = 1,2, ?, N ( 1 ) T Ei = exp ( - ui ) ( 2 ) 其中 ： Yi 代表第 i 個(gè)生產(chǎn)單 位的產(chǎn)出 ; Xi 代表第 i 個(gè)生產(chǎn)單位的 k X 維投入向量；f ( Xi ; B ) exp 是Vi ) 隨機(jī) 生產(chǎn)前沿；B為待估計(jì)的參數(shù)向 量 ； T Ei = exp ( - ui ) 表示技術(shù)效 率 ； vi 是隨機(jī)干擾項(xiàng) 。 通常 , SFM 假設(shè) vi 、ui 都是獨(dú)立同分布的 , 然而 ,空間和區(qū)域經(jīng)濟(jì)學(xué)的研究都指出 , 地理接近性是產(chǎn)生 外部性和一系列相 鄰效應(yīng)的關(guān)鍵因素 。在技術(shù)擴(kuò)散過程 中

5、,空間外部性起著重要作用,生產(chǎn)單元彼此獨(dú)立 的假設(shè)存在著很大漏洞 。 胡晶 、魏傳華和吳喜之 ( 2007 )提 到 , “任何一個(gè)地區(qū)的經(jīng)濟(jì)都不可能獨(dú)立 存在 ,它收稿日期 ： 2009 - 03 - ( 08JA790045 ) 基金項(xiàng)目 育部人文社會(huì)科學(xué)研究規(guī)劃基金項(xiàng)目“面板數(shù)據(jù)隨機(jī)前沿模型的空間計(jì)量經(jīng)濟(jì) 分 析 ” 作 者 簡 介 : 林 佳 顯( 1983 - ) , 男 , 廣東陸豐人 , 華南理工大 學(xué)經(jīng)濟(jì)與貿(mào)易學(xué)院博士研究生 ,主要從事隨機(jī)前沿分析和空 間經(jīng)濟(jì)計(jì)量的研究 ; 龍志和 ( 1954 - ) , 男 ,湖南安化人 , 華南理工大學(xué)經(jīng)濟(jì)與貿(mào)易學(xué)院教授,博士生導(dǎo)師 ,主

6、要從事空間經(jīng)濟(jì) 計(jì)量理論 籍華人 ,美國波特蘭州立大學(xué)經(jīng)濟(jì)系教和實(shí)證的研究;林光平 ( 1948 - ) ,男,美授 , 主要從事空間經(jīng)濟(jì)計(jì)量學(xué) 、數(shù)理 經(jīng) 濟(jì) 學(xué) 、 計(jì) 算 經(jīng) 濟(jì) 學(xué) 等 研 究 ?？偸桥c其他經(jīng)濟(jì)區(qū)域間存在著各種各樣 的聯(lián)系 。當(dāng)某外生干擾對(duì)一個(gè)地區(qū)的經(jīng) 濟(jì)造成沖擊時(shí) ,其產(chǎn)生的影 5 響往往會(huì)向外擴(kuò)散 ,波及臨近地區(qū)甚至 更遠(yuǎn)的區(qū)域 。 ”如果生產(chǎn)單元間存在空 間相互作用 , SFM 中沒引 入空間計(jì)量 分 析 可 能 會(huì) 導(dǎo) 致 模 型 設(shè) 定 偏 誤 。 因此 ,本研究認(rèn)為有必要把空間效應(yīng)引 入 SFM 分析框架中 , 將一般 SFM 擴(kuò)展到空間 SFM ,避免于

7、忽略空間效應(yīng)所產(chǎn)生的模型估計(jì)偏誤等問題 ,從而 能更加客觀地評(píng)估生產(chǎn)單元的效率 ,且 進(jìn)一步有助于開 展以效率測(cè)算為基礎(chǔ) 的后續(xù)相關(guān)研究( 如全要素生產(chǎn)率增長的研究等 ) 。 當(dāng)前文獻(xiàn)上 , SFM 中引入空間因素的計(jì)量分析鮮見。D ru ska和Ho rrace ( 2004 )提出空間誤差自相關(guān)固 定效應(yīng)面板模型的 GMM 估 計(jì) , 隨之將其引入SFA 框架中 , 并對(duì)印度尼西亞的米業(yè)農(nóng)場(chǎng)進(jìn)行實(shí)證分析 , 結(jié) 果發(fā)現(xiàn)空間相關(guān)性確實(shí)影響農(nóng)場(chǎng)效 率的估計(jì)和排名 6 ; Iglio ri( 2005 ) 測(cè)算巴西亞馬遜區(qū)域各市農(nóng)業(yè) 和牧 7 業(yè)的技術(shù)效率 ,并將空 間計(jì)量分析引入技術(shù)效率外生決

8、定因素 的研究中 的重要性Schm id t 等 ( 2009 )分析巴西中西部地區(qū) 370 個(gè)市區(qū)農(nóng)場(chǎng)的生產(chǎn)率 ,將潛 在的空間結(jié)構(gòu)引入 SFM 的單邊誤差項(xiàng)中 ,研究結(jié)果支持空間效應(yīng);胡晶 、魏傳華和吳喜之 ( 2007 )構(gòu)建了基 于橫截面數(shù)據(jù)的空間誤差自相關(guān) SFM ,并采用極大似然方法對(duì)模型參數(shù)進(jìn)行估計(jì) 。綜合目前國內(nèi)外關(guān)于SFM 空間計(jì)量分析的研究情況 ,尚存在 以下不足 : ( 1 ) 已有的空間 SFM 僅 考慮 空間誤差自相關(guān) ,缺乏對(duì)空間滯后 模型的研究 ; ( 2 ) 已有的面板模型僅采 用 GMM 估計(jì)方法研究固定效應(yīng) 的 情形 ,未見涉及隨機(jī)效應(yīng)模型和極大似 然法 (

9、ML ) 的研究 ; ( 3 ) 當(dāng)面板的時(shí)間 維度 T 較大時(shí) ,技術(shù)效率非 時(shí)變 ( tim e2inva rian t) 的假設(shè)顯得與實(shí)際不符 ; ( 4 ) 當(dāng)技術(shù)無效率項(xiàng)存在異方差性時(shí) , 其同方差的設(shè)定會(huì)使 模型參數(shù)估計(jì)有 偏 , 導(dǎo)致技術(shù)效率測(cè)算不可靠 ; ( 5 ) 如 果觀察數(shù)據(jù)中存在非時(shí)變的潛在截面異 質(zhì)性 ( la ten t c ro ss un it he te rogene ity) 與技術(shù)效率不相關(guān) ,忽略截面 異質(zhì)性的模型設(shè)定就會(huì)將這部分異質(zhì)引 入技術(shù)無效 率項(xiàng)的估計(jì)值中 ,此得 出的技術(shù)效率測(cè)算有偏 。 有鑒于 此 ,作者在已有研究的基礎(chǔ)上 , 進(jìn)一步 將空間

10、效應(yīng)引入 SFM 分析框架中 ,完善空間面板 SFM 的理論基礎(chǔ) ,同時(shí)考 慮空間滯后因變量和空間誤差自相關(guān) , 并逐步放松模型設(shè)定條件,建立若干不同形式 的空間面板 SFM。首先考慮技 術(shù)效率時(shí)變 ,接著引入技術(shù)無效率項(xiàng)的 異方差性 ,之后考慮觀察數(shù)據(jù)中潛在 的 截面異質(zhì)性 ,分別以引入隨機(jī)截面特有 項(xiàng) ( random firm sp ec ific te rm ) 和設(shè) 定隨機(jī)系數(shù)的形式來表示 截面 異質(zhì) 性 。針對(duì)各種模型設(shè)定形式提出相應(yīng)的 參數(shù)估計(jì)方法 ,最后給出各種模型相應(yīng) 技術(shù)效率的估計(jì) 。 二 、空間面板 隨機(jī)前沿模型及其估計(jì)(一 ) 基本模型及其 M L 估計(jì) 在 SFM 中

11、 與橫截 面 數(shù) 據(jù) 相 比 較 , 面 板 數(shù) 據(jù)更能提供生產(chǎn)單元技術(shù) 效 率 可 靠 的 估 算 。 P itt 和 L ee( 1981 )Sick le s ( 19面 SFM 擴(kuò)展到面板, Schm id t 和 10 將橫截 SFM。早期的面板模型都基于技術(shù)效率非時(shí)變的 假設(shè) ,當(dāng)面板的時(shí)間維度 T 較大時(shí) ,這一假設(shè)顯得與實(shí)際不符 。隨后 , Co rnwe ll 、 Schm id t 和 Sick le s ( 1990 ) , Kum bhaka r ( 1990 ) , L ee 和 Schm id t ( 1993 ) , B a tte se 和 Coe lli (

12、1995 ) , L ee ( 2006 ) , A hn、 L ee 和 這 些有關(guān)技術(shù)效率時(shí)變的假設(shè)都遵從一個(gè) 嚴(yán)格的函數(shù)結(jié)構(gòu) ,如 L ee 和 Schm id t (1993 )建議 uit =8 ( t) ui某S 中3 ( t)= 刀虛擬變量；Kum bhaka r ( 1990 ) 提 出 8 (t) t dt , dt 是 t8 = 1+ exp (tte se 和 1 t +8 2t ) ； B a 2 - 1 Coe lli( 1995 ) 建議 8 (t)= exp - 8 (t -T ) 。 胡晶 、魏傳華和吳喜之 ( 2007 )構(gòu)建了基于橫截面數(shù)據(jù)的空間誤 差自相關(guān)

13、 SFM ,并采用極大似然方法 對(duì)模型參數(shù)進(jìn)行估計(jì) 。現(xiàn)在本研究提出 以下基于面板數(shù)據(jù)的空間 SFM ,同時(shí) 考慮空間滯后因變量和空間 誤差自相 關(guān) ,并放松了技術(shù)效率非時(shí)變的約束,且不賦予時(shí)變技術(shù)效率一定的函數(shù)結(jié) 構(gòu) 。為了便于描述 ,f(x,B采取對(duì)數(shù)線性 Cobb - Dougla s函數(shù)形式： yt = a + xt B + 入 W 1 yt + vt - u t vt = p W2 vt + n t( 3 )( 4 ) 其中：yt=y1 t , y2 t , ?, yN t 表示 N 個(gè)生 產(chǎn)單位在第t時(shí)段NX1維的產(chǎn)出(取對(duì)數(shù) ) 向量 , xt 是 N 個(gè)生產(chǎn)單位 在第t時(shí)段K

14、X1維投入(取對(duì)數(shù))向 量組成的N X維矩陣，t = 1,2, ?, T; B 為待估計(jì)的 K X1 維參數(shù)向量 ;a= aX 1, 1, ?, 1 是N X維的截距項(xiàng)向 量；u t = u1 t , u2 t , ?, uN t 0 是NX維的技術(shù)無 效率項(xiàng)向量，代 表生產(chǎn)單位在第 t 時(shí)段的技術(shù)無效率 程度 ; vt = v1 t , v2 t , ?, vN t 是 N X1 維的雙邊誤差項(xiàng) 向量 , 代表不 可控的經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)外部影響因素和數(shù)據(jù)測(cè) 度誤差等；nt = n是N X1維的 隨機(jī)干擾項(xiàng)向量；W 1、W 1 t , n 2 t , ?, n N '2是空間權(quán)重矩陣 , 表示

15、不同生產(chǎn)單位之間的空間相關(guān) 性 , W 1 yt 為空間滯后因變量 , W 2 vt為空間滯后誤 差項(xiàng)；入是待估計(jì)的 空間自回歸系數(shù)；P是待估計(jì)的空間誤 差自相關(guān)系數(shù) 。為了進(jìn)行 ML 估計(jì) , 模型假定：2 + u tiid N(0, Z U), E ( u t u z ) = 0, t1 工 t2 ; vt iid N ( 0, Z v 1 t 2 2 2 W ) E ),刀=(I - p 2-1( I - p z W2 )- 1,n it和xit相互之間不相關(guān) 。E ( vt v' )= 0, t1 工 t2 ; n it iid N(0, Z v , i = 1,2, ?, N

16、 , t = 1,2, ?, T。另 外 , uit 、1 t 2 根據(jù)以上的假 定 , 可得到如下的分布密度函數(shù) ： f ( u t )= 2 N冗挈N2exp - u - 1 / 2 u'u t Zu 2v't 2( 5 ) f ( vt )= 1 n Z 21 2 v NE E ex-pE Z2-21 v t - 1 ( 6 ) v f (u t , vt )= - 1 / 2 nZZ vexp - u 'ut t Z u 2-2v' t E 2 vt Z v 2( 7 ) 設(shè) £則(u t , et= vt - u t , t ) 的聯(lián)合分布密

17、度函數(shù) 為： f(u t , e )= 1 NnZZ u nZ uZ v2 1 - 1-t ' t a u ' u t 刀(£ +2 exp - 刀-1zu2 2N2 exp2)t2u t ) 21z 2 & t u I + z2+z 對(duì) 函數(shù)0- 1|Q = z2u I - 1 ( 10 )v 刀)u t 求積分 , 得到f (£t) u ,£)du1 Nu2 exp - 1 +z 2 v1( u t -du t刀expooa)t( 11 )1刀 2- 1 / 2z v z u- 122/ u t -ttt tuzv2uQ -t 0( u

18、t zI z2- 1(- 1u( 8 )刀jnZ'z t 2 - 1 / 2 刀-1 exp -1) Q ( u exp - u ) t ' t t +z 2 v 其中 :at£ ( 9 ) zu (zu I 將式 ( 8 ) 的分布密度= = ot N|I 1- a)t z v 't 2+uv刀 Q -2 口 e O tt)是多元標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù),其中：(Q-1 / 2 卩t= - Zu2 2ZuI +Z v 刀Zv- - 1- 1 /2-1 /2e t( 12 )基于式 (11 )， 可得到模型的對(duì)數(shù)似然函數(shù) ：)=N T ln ( 2 )- ll (a，

19、B，Zuv， X，p NT2n )ln( 2vTlnZu 2 I +Zv22 - 1/ 21 T 2 2e-'ZI t +Z2ut = 1Tet+刀ln O (Qt1卩)t ( 13 ) FM 框架中顯得更加突出 ,尤其是 當(dāng)異方差性存在于單邊誤差項(xiàng) uit 中 時(shí)。異方差性可以出 現(xiàn)在單邊誤差項(xiàng) uit 或雙邊誤差項(xiàng) vit 中 ,將之忽略不但 會(huì)影響生產(chǎn)技術(shù)參數(shù)和誤差項(xiàng)參數(shù)的估 計(jì)推斷，也E ( yt )= ( I -入W 1 )1-1 a - n 2 Zi u N + (I - X W 1)- 1 xt B( 14 ) 其中 ：iN =1 ?1 N X1 ,其它變量、參數(shù)定義參見

20、前文。 + 2 下面假設(shè)技術(shù)無效率項(xiàng) uit 存在異方差，uit iid N ( 0, Z u i ), 觀察忽略異方差性所產(chǎn)生的問題 。此 時(shí), 式(14 )將變成： n其 中：ei是N X1維向量,第i個(gè)分 量為 1, 其它分量為 0。比較式( 14 ) 和式 ( 15 ) , 忽略 uit 中的異方 差性將導(dǎo)致截距項(xiàng)的估計(jì)是有偏的 , 而 此導(dǎo)致生產(chǎn)技術(shù)參 數(shù)的估計(jì)也是有偏 的。此時(shí) , 技術(shù)無效率項(xiàng) uit 的估計(jì) 式中 (參見第三部分 ) ,Zui 將代替 Zu。i = 1 E ( yt )= ( I -入 W1 )- 1 Na - 刀2Z + ( I -入 W u i ei 1)

21、- 1xt B ( 15 ) 當(dāng)然，正如Kum bhaka r 和 Love ll ( 2000 ) 所說的，在 僅有橫截面數(shù)據(jù)的情形下 , 估計(jì)每個(gè)生 產(chǎn)單位的Z u i顯然不可能，而當(dāng)面板數(shù)據(jù)的截面維 N 遠(yuǎn) 大于時(shí)間維 T 時(shí) ,Zui 的估計(jì) 也 不 大 可 行 。 Kum bhaka r 和)代替Z u i ,這樣可大大有效減少待估計(jì)的參數(shù) , 而又不會(huì) Love ll ( 2000 ) 建議采用相關(guān)變量 zi 的函數(shù) g ( zi ; S 222 忽略u(píng)it 的異方差性。 2 2 +) ,在前文模型假設(shè)的基礎(chǔ)上 , 考慮技術(shù)無 效率項(xiàng) uit的異方差性,令uitiid N ( 0，

22、Zu i ) ，=Zgu( izi ;下面給出模型的 ML 估計(jì)。+) ， u t于 uit iid N( 0， g ( ziSN= u1 t ， u2 t ， ?， uN t的分布密度函數(shù)式 ( 5 )變?yōu)?:= f ( ut )=n i = 12 2uit exp -) 2g(zi ;Sng ( zi ;S) 2N2 N1Nn 2 exp - ni = 1 NS)g ( z i ;刀2g ( z; S)i =1uiti2( 16 )因此Ju t 與 vt 的聯(lián)合分布密度函數(shù)式 ( 7 ) 變?yōu)?:f ( u t , vt ) =1 NN 1 ) g ( zi ;SnvZ ni = 1刀 0

23、- 1 / 2 exp - 刀 i = 1v v v u t t - 2 ) 2 g ( zi ;SZ 2 i2刀-1(17 )1 Z 同樣地，令 £t = vt - u t ,并且 Q = 2U1? 31 ;3? 3exp - 1 ) g ( zN ;3則式變?yōu)? uN N f ( u t , e )t =1 NN 1 ) g ( zi ; 3 nZ v n i = 1 刀-1 / 2 刀 i = 12(e t + U t )'(zi ; 3Z v 2 刀-1t u+ )ut i t- 2 ) 2 g= 1NN 1 ) g ( zi ; 3 nZ vn i = 1 刀-1

24、/ 2exp1 ( u O ( u- i ) t ' 2 tt -y)texp - 1e其中 :t-QQ O- 1 Q e t 2O = Q + 刀 2ZvQ + - 1( 19 )I e t ( 20 ) 刀 Z 2 v同樣地將式( 18 ) 對(duì)積分,式(11 ) e的分布密度函數(shù)變?yōu)椋?f ( e t ) =*0(u , e d u/ ttnZ 2 刀 Q + 2 v -1- 1exp -1f£t2©p 12Q -Q© Qet t- 1(21)其中 :© 2 pt=1Q +刀zv-11 2Q + 2zv -1 2 Q -Iet( 22 )因此

25、 ,可得到模型的似然函數(shù)：a , B ,ZZu入,p)= -ll (,2T NnZ V -ln( 2ln2T刀Q+ z2v- 11Te(Qt -f2t =1TE-Q©Q ) et+- 1ln (© 口) 21t t =1( 23 ) ) 可通過對(duì)式 ( 23 ) 求最大化而得到。參數(shù)向量(a , B , z u , z v ,入,p (三 ) 引入潛在的截面異質(zhì)性 如果 觀察數(shù)據(jù)中存在非時(shí)變的潛在截面異質(zhì) 性 (可能是于遺漏非時(shí)變的投入變量或 忽視難于量化 或無法獲得觀測(cè)數(shù)據(jù)的 解釋變量等而造成的)與技術(shù)效率不相關(guān) ,忽略截面異質(zhì)性的模型設(shè)定將會(huì)把 部分異質(zhì)引入技術(shù)無效率項(xiàng)

26、 uit 中 , 此得出的 uit 的估計(jì)不僅包含真正意義 上的技術(shù)無效率 ,同時(shí)也測(cè)算了模型所忽略的截面異質(zhì)性 ,這樣勢(shì)必會(huì)影響到 最后有關(guān)技術(shù)效率的估算 般 SFM 中 , Greene ( 2005 )的實(shí)證結(jié)果支持了以 上論述。 下面所建立的空間面板 SFM ,不僅考慮技術(shù)無效率項(xiàng)uit 的異方差性 ,還進(jìn)一步將潛在的截面異 質(zhì)性 引入模型中 ,分別以引入隨機(jī)截面特有 項(xiàng)和設(shè)定隨機(jī)系數(shù)的形式來表示截面異 質(zhì)性 ,并采用模擬 ML ( sim u la ted ML )進(jìn)行估計(jì) ,給出模擬對(duì)數(shù)似然函 數(shù) ( sim u la ted log like lihood func tion)

27、1. 引入隨機(jī)截面特有項(xiàng) yt = a + 3+ x B W 1 yt+ vt - u t t + 入 ut與£ t的條件聯(lián)合分布密度為： 2 it 12 - 15 12 ,13 。在不考慮空間相關(guān)性的一。(24 )其中 ：3=31 , 32,?,3n將3看作已知的向量, 以3為條件, 則f ( U t , £ t| 3)=1 NvN 1 ) g(Zi ; 3nZNn i = i刀-1 / 2exp-N刀 i = 1u) 2 g ( zi ;)'(£ t + U t刀-1(£t+ u t )Zv 22= 1N1 ) g ( zi；S i= 1nZ

28、 vn刀-1 / 2exp-1 ( u，(u -1 t" a ) t0)2ttexp -1£(-01Q ) £ Q t - Q2t(25)1t 的表達(dá)式參見式(19 )及式(20 )。其中： 以3 為條件,£的條件分布密度函數(shù)為：£f (t|3)0ft( u ,£|3 ) du=tttoo1 Nn2Q +v刀Z2 v - 1-1211 - 1o1t 2 e-xp(Q-Q0Q)£ £t2 t( 26)其中：02 t的表達(dá)式參見式(22 )于 f (£)t =3t3等價(jià)于E(£|3) g (3f (

29、£ t |3 ),從率分布g ( 3 ； 9中模擬抽取1 f/1 N3的聯(lián)合概£3) 充分精確的估計(jì) 。足夠多的樣本 , 代入式 ( 26 ) , 并對(duì)其取平均 , 能夠得到 E用3( r) 表示從 g (3;3 f (t|9)中的第r次抽樣，r= 1, 2 ?, R, 可得:1 & f(t )=R r= 1R刀 nZ 2Q + E Z2 v- 1- 2 1exp - 1e 2 t3r Q-QQ-1e t 3 r 2口 |3t1 r ( 27 )基于式 ( 27 ) ,可得到模擬對(duì)數(shù)似然函數(shù)如下: Ta , 3 ,W P,IIS ,9=) EInt =1 1 Rr

30、= 1RE 1NnZ v 2( r)Q +EZ2-v11 -2 x2 ) exp -1 ( e| 3t) (Q -Q© Q) (e| t3- 11( r) t3 ( r)( 28)30, 其中30當(dāng)然 , 為了使模擬 ML 實(shí)際可行 , 能夠 在3的聯(lián)合分布g ( 3 ； 9中抽取樣本, 我們令 3 = 9的分布參數(shù)已知 ,比如 , 3服從聯(lián)合正態(tài)分布 , 那么9就是其標(biāo)準(zhǔn)差,而 3 0N 0, I 。只要式( 28 ) 是平滑并且連續(xù)二階可微的 , 以上模擬方法是可行的2.隨機(jī)系數(shù)模型 12, 14, 15 。 于實(shí)際上積分不需要運(yùn)算 , 一般來說 , 假設(shè)任何3的 分布都可以進(jìn)行

31、模 擬抽樣 , 構(gòu)建模擬對(duì)數(shù)似然函數(shù) 。 在模型式 ( 24) 的基礎(chǔ)上 ,放寬確定性 斜率系數(shù) 3的設(shè)定,讓其具有隨機(jī)性+ vt - u tyt = a +w +xti + 入 W 1 y t3 i iidN( 3 , S )變量、參數(shù)定義及其它假設(shè)參見前文 。實(shí)質(zhì)上 , 上述模型可等價(jià)于 :- u tyt = a + 3 + xt 3 + X W1 yt + vt vt iid N ( 0, Z v2 16 ,進(jìn)一步考慮截面異質(zhì)性 :(29 )( 30 )( 31 ) 刀+ M )( 32 )S xt 。其中 :M = x 't模擬似然函數(shù)的求解采 用刀 + Z 1( ) ( )

32、2 M代替式 25 至式28 中的然,在進(jìn)行實(shí)證研究刀即可。 2 時(shí),還需對(duì)3 i的方差協(xié)方差陣此 3 I,S的設(shè)定做進(jìn)一步的研究,譬如一種簡單可行的處理方法是令 S = Z時(shí)式(30 )變?yōu)锽 iiid N ( B，模型新增 一個(gè)待估計(jì)的參數(shù) Z而當(dāng)S = Ok模型k時(shí),的形如果不就回復(fù)到式 ( 24 ) B I) 。, 式 , 不再具有隨機(jī)系數(shù) ?？紤]空間相關(guān)性,即刀=I,此時(shí)隨機(jī) 系數(shù)模型相當(dāng)于一般雙異方差面板SFM , 同時(shí)考慮 vit 和 uit 的異方 差性。 22三、技術(shù)效率估計(jì)上述所有模型的參數(shù)估計(jì)不是最終目的,令人感興趣的還有生產(chǎn)單位技術(shù)效率的估計(jì) 。AL S建議采用 1 -

33、 E ( u ) 來估計(jì)所有生產(chǎn) 單位的平均技術(shù)效率 ; L ee 和 Tyle r( 1978 ) 提出TE = E ( exp -JLM S( 1982 )指出各個(gè)生產(chǎn)單元的技術(shù)無效率項(xiàng) u i 可以通 過 E ( u i | £ 或)Mode ( u i |i )來估算，第i個(gè)生產(chǎn)單位，其中u= E ( u i | £的技術(shù)效率 TEi = exp uu iae se 和 Coe lli ( 19) 則提出 TEi = E ( exp i ) 或 Mode ( i ) ; B基于 JLM S ( 1982 )的方法 ,給出針對(duì)前文所述各種模型的 技術(shù)效率估計(jì)。首先估計(jì)

34、模型式 ( 3 ) 及式 ( 4 )的技術(shù)效率 , u t 的條件分布 密度函數(shù)為： f ( u t ,£ 1 t1)=exp f ( u t |& = ( u- i t ) -'t1Q 2 f(& 2 t nN / 2| Q |愆 1 / 2 i t t )21 / 2=其中，| Q |- 1(u t - 11)( 33 ) ( 34 )1 Z u Z v(Z uI +Z 2 2 v 刀 ) 1 / 2 刀 -1 / 2 i Q、Q-1 / 2it分別參見式(9 )、式(10 )及式 ( 12 ) 。 ( 35 )+) 。易見式 ( 33 ) 是一個(gè) N 維截尾正態(tài)分布 N (i ,t 因此匕, M ode ( uit |& = 1