空間解析幾何復(fù)習(xí)資料匯總

1、空間解析幾何練習(xí)題1. 求點(diǎn)M (a, b, c)分別關(guān)于(1) xz坐標(biāo)面(2) x軸(3)原點(diǎn) 對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo).2. 設(shè) A(-3, x, 2)與B(1, -2, 4)兩點(diǎn)間的距離為.29，試求x .3. 證明 A(1,2,3) B(3, 1, 5) C(2,4, 3)是一個(gè)直角三角形的三個(gè)頂點(diǎn).4. 設(shè) ABC的三邊BC =a , CA=b, AB=c，三邊的中點(diǎn)依次為 D, E, F，試用向量 a b c表示 AD , BE , CF，并證明：AD BE CF = 0 .5. 已知：a=i-j 2k, b=3i j-k 求 2a 3b, 2a-3b .6. 已知：向量a與x軸，y軸間的夾

2、角分別為=60，: =120求該向量a與z軸間 的夾角 .*J*7. 設(shè)向量a的模是5,它與x軸的夾角為一，求向量a在x軸上的投影.48. 已知：空間中的三點(diǎn) A(0,-1, 2) , B(-1, 3,5) , C(3,-1,-2)計(jì)算：2AB-3AC, AB 4AC.9. 設(shè) a =2, 0, b=：1, -2, -2試求 a-b, 2a 5b, 3a b .10. 設(shè)：a = 2, -2, 1，試求與a同方向的單位向量.#*K+*f11. 設(shè)：a=3i5j2k, b = 2i -4j-17k, c = 5ij -4k ,u= 4a3b-c試求(1) u在y軸上的投影；(2) u在x軸和z軸

3、上的分向量；(3) u .- - - - 2 212. 證明：(a b) (a -b)二 a -b .“_ A13. 設(shè)：a3, 0, b=-2, -1, 求 a b , (a b).fTTTT TTTtT14. 設(shè) a=2i x j - k , b=3i-j 2k 且 a_b 求 x15. 設(shè)a = 0, 1, -2, b = 2, -1, 1求與a和b都垂直的單位向量.16. 已知：空間中的三點(diǎn) A(1, 1,0) , B(-2,1,3), C(2,-1,2)求 ABC 的面積.17. (1)設(shè) a / b 求 a b(2)若 a =|b| =1 求 a b18. 設(shè)5=3 , b =5，

4、試確定常數(shù)k使a+kb, a-kb相互垂直.、，.*-込 兀-込 兀_19. 設(shè)向量 a 與 b 互相垂直，(ac)= , (bc)=，且 a=l, b=2 ,3 6|c|=3 求 a+b+c -20. 設(shè)：a二 i -3j 5k ,b= -2i- j3k 求 abH-b-h+I-I-21. 設(shè)：a=3i-6j-k , b = i 4 j - 5k 求(1) a a ；(2) (3a2b) ( 3b) ; (3) a 與 b 的夾角.、A-ji_、22. 設(shè)：(a b)=且 a =1， b = J3，求 a xb -623. 設(shè)：a = 1, -1, 2, b = !-1, -2,仁，試求：(

5、1) a b ； (2) a b ；A(3) cos(a b).24. 已知：a =3 ,=26 , 3 x b = 72，求 a b .25. 設(shè)a與b相互垂直，且 a =3，科=4，試求(1) (a +bx(a -b)；(2) (3：-百x(a -2b).26. 設(shè)：a b 亠 c = 0 證明：a b=b c=c a*F*十27. 已知：a=3i2j- k ,b=i-j2k，求(1) a b；(2) (a 2b) (2a -3b) ； (3)宿 b) i (4) a i b.28. 求與a =22,1：b八-8,-10,-6：都垂直的單位向量.29. 已知：a - 3, - 6, b -

6、 1, 4, - 5, c = *3, - 4, 12求*(a c)b (a b)c在向量c上的投影.30. 設(shè)：a b=c d , a c=b d 且 bc , ad 證明 a - d 與 b - c 必共線(xiàn).31. 設(shè)：a 3b與7a -5b垂直，a - 4b與7a-2b垂直，求非零向量 a與b的夾角.32.設(shè)：a =2-3,6?b1,2,-2?向量c在向量a與b的角平分線(xiàn)上，且IC = 3 . 42，求向量c的坐標(biāo)._|r|兀r r r r33. 設(shè)：冋=4 ,冋=3 , (a b-求以a+2b和a3b為邊的平行四邊形面積.34. 求過(guò)點(diǎn)P0(7, 2, -1)，且以n二；2,-4, 3

7、為法向量的平面方程.35. 過(guò)點(diǎn)Po (1,0,-1)且平行于平面x - y - 3z= 5的平面方程.36. 過(guò)點(diǎn)M(1,-3,2)且垂直于過(guò)點(diǎn)A(2,2,-1)與B(3,2,1)的平面方程.37. 過(guò)點(diǎn)A(3,-1,2), B(4,-1,-1) ,C(2,0,2)的平面方程.38. 過(guò)點(diǎn)P(2,1,1)且平行于向量a2,1,1和b3,-2,3?的平面方程.39. 過(guò)點(diǎn)Mo (1, -1, 1)且垂直于平面 x - y - z 1 = 0及2x y z T二0的平面方程.40. 將平面方程 2x 3y - z 18 =0化為截距式方程，并指出在各坐標(biāo)軸上的截距.41. 建立下列平面方程(1)

8、 過(guò)點(diǎn)(3 , 1, - 2 )及 z 軸；(2) 過(guò)點(diǎn)A (- 3 , 1, - 2 )和B ( 3, 0, 5)且平行于x軸；(3) 平行于x y面，且過(guò)點(diǎn)A ( 3 , 1, -5)；(4) 過(guò)點(diǎn) P1 (1, - 5 , 1)和 P2 (3, 2, - 2 )且垂直于 x z 面.42. 求下列各對(duì)平面間的夾角(1) 2x-y z=6, x y 2z=3 ；(2) 3x 4y-5z-9=0 , 2x 6y 6z-7=0 .43. 求下列直線(xiàn)方程(1) 過(guò)點(diǎn)(2, -1, -3)且平行于向量2,*；(2) 過(guò)點(diǎn)Mo(3, 4, -2)且平行z軸；(3) 過(guò)點(diǎn) M1 (1, 2, 3) 和

9、 M2 (1, 0, 4)；(4) 過(guò)原點(diǎn)，且與平面 3x - y 2z -6 =0垂直.44. 將下列直線(xiàn)方程化為點(diǎn)向試方程(2)丿x =2y 2y = z - 4x 2y +3z 4 = 0(1)丿3x + 2y -4z -8 = 03x+2z 1=0(3) 丿y + z = 045. 將下列直線(xiàn)方程化成參數(shù)式方程(1)X -5y +2z-1 =05y = z _2x_6 z+12 _5-I y - 2 = 046. 求過(guò)點(diǎn)(1, 1, 1)且同時(shí)平行于平面 x - y-2z T=0及x，2y-z *1 = 0的直線(xiàn) 方程.x 4 v + 3 z47. 求過(guò)點(diǎn)(3, 1, - 2 )且通過(guò)

10、直線(xiàn)的平面方程.5 21亠、它 一,x -1 y+1z1 一 x 一1y十1z 1砧w占亠工口48. 求通過(guò)兩直線(xiàn)與的平面萬(wàn)程.1 -1 2 -1 2 164.求下列各對(duì)直線(xiàn)的夾角x1yz+4x+6y2z3(1) ，5x 3y +3z 9 = 0 丿3x_2y+z_1=01-2751-12x 2y - z 23 = 03x 8y z-18 = 049.證明直線(xiàn)x _1 _ y4 一 -1x + 7y + z = 0相互平行. x+yz2=0x-1 v 一3 z + 450. 設(shè)直線(xiàn)I的方程為：求n為何值時(shí)，直線(xiàn)I與平面1-2 n2x - y - z 5 =0 平行?51. 作一平面，使它通過(guò)z

11、軸，且與平面2xy5z-7=0的夾角為-.52.設(shè)直線(xiàn)I在平面兀：x +y +z+1 =0內(nèi)，通過(guò)直線(xiàn)l1 :y+ Z + 1 一0、x + 2z = 0與平面二的交點(diǎn)，且與直線(xiàn)I1垂直、求直線(xiàn)I的方程.x+2y _z+1=0丿與K _y + z T = 053.求過(guò)點(diǎn)（1，2，1）而且與直線(xiàn)2x_y + z_0平行的平面方程.iX _ y + z = 054. 一動(dòng)點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離等于它到平面z-4=0的距離，求它的軌跡方程.”2x + y 1 = 055.直線(xiàn)I ： ：3x +z -2 =0與平面:x W 一是否平行？若不平行，求直線(xiàn)I與平面二的交點(diǎn)，若平行，求直線(xiàn) I與平面二的距離.5

12、6.設(shè)直線(xiàn)I經(jīng)過(guò)兩直線(xiàn)liX -1-1z -5-3x = 3 4t12 r y = 21 + 5t的交點(diǎn)，而且與直線(xiàn)z = 11 10tl1與l2都垂直，求直線(xiàn)I的方程.x+y_z + 1=0十亠,57.已知直線(xiàn)：h :丿及點(diǎn) p(3, -1,2)過(guò)點(diǎn)p作直線(xiàn)I與直線(xiàn)I1垂直相2x_y + z_4 = 0交，求直線(xiàn)I的方程.58. 方程：x(3) z = 4x ; y2 z2 -4x-2y 2z-19 = 0是否為球面方程，若是球面方程，求其 球心坐標(biāo)及半徑.2 2 259. 判斷方程：x y - z -2x，6y-4z = 11是否為球面方程，若是球面方程，求其 球心坐標(biāo)及半徑.z2 =5x

13、60. 將曲線(xiàn)：繞x軸旋轉(zhuǎn)一周，求所成的旋轉(zhuǎn)曲面方程.y = 061.將曲線(xiàn): 2 24x 9y =36繞 yz =0軸旋轉(zhuǎn)一周，求所成的旋轉(zhuǎn)曲面方程.62.說(shuō)明下列旋轉(zhuǎn)曲面是怎樣形成的2x(1) 72-10 ；32(2) X2 -丄z24=2 ；63.2 2 2 ,(3) x - y -z 1；z 、2 2(4) (z-a) x指出下列方程在空間中表示什么樣的幾何圖形2(1) 3x2 4y2 =1 ;x(2)2(4) 4y2自測(cè)題（A）(一) 選擇題1點(diǎn)M(4,-1,5)到x y坐標(biāo)面的距離為()A. 5B. 4C. 1D. 422點(diǎn)A(2,-1,3)關(guān)于y z坐標(biāo)面的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)坐標(biāo)()A (2

14、,-1,-3) B (-2,-1,3)C. (2,1,-3)D (-2,1,-3)3. 已知向量 ab，2,2,2c =，則 2a-3b，4c 二()A.空0,0,16?B .反4,一20?C . 16,0,-20?D .- 20,0,16?4. 設(shè)向量 a =4i -2j -4k , b =6i -3j 2k，貝U (3a -2b)(a 3b)=()A . 20B . -16C . 32D . -325. 已知：A(1,2,3),B(5,_1,7),C(1,1,1),D(3,3,2),則 prD AB =()1A . 4B . 1C . D . 226. 設(shè) a =2i 一 j k,b -i

15、 2j -k，貝U(a b) (a b)=()A . -i 3j 5kB . -2i 6j 10k*C . 26j -10kD . 3i 4j 5k7. 設(shè)平面方程為 x - y = 0,則其位置()A.平行于x 軸 B.平行于y 軸 C.平行于z 軸 D.過(guò)z 軸.&平面x-2y，7z，3=0與平面3x，5y，z-1=0的位置關(guān)系()A .平行B.垂直C.相交D .重合x(chóng)亠3y亠4z9.直線(xiàn)與平面4x-2y-2z-3=0的位置關(guān)系()-2-73A .平行B.垂直C .斜交D .直線(xiàn)在平面內(nèi)+1=010.設(shè)點(diǎn)A(0,1,0)到直線(xiàn)丿的距離為()x + 2z - 7 = 0111A. . 5B.

16、C.D.-V658(二) 填空題1. 設(shè)A(-3,x,2)與B(1,2,4)，兩點(diǎn)間的距離為 29,則x二.F-F-*f-P*-F2. 設(shè) u = a+3b 2c, v= 2a b + c，貝U2u 3v=.3. 當(dāng) m=時(shí)，2i 3j +5k與3i +mj 2k互相垂直.4. 設(shè)2i j k , b = i 2j 2k , c =3i 4j 2k，貝Uh-to-prjc(a b) =.4. 設(shè) a=2ij+k , b = i+ 2j3k，貝U (2a + b)漢(a 2b) =.5. 與A(3,2,1)和B(4,-3,0)等距離的點(diǎn)的軌跡方程為 .6. 過(guò)點(diǎn)(5,7) , (4,0,-2)且

17、平行于z軸的平面方程 .7. 設(shè)平面：x y - z 1 =0,與2x 2y - 2z - 3 = 0平行，則它們之間的距離& 過(guò)點(diǎn)(2,8,3)且垂直平面x+2y3z 2 = 0直線(xiàn)方程為 .2 2 210.曲面方程為： x +y +4z =4，它是由曲線(xiàn) 繞旋轉(zhuǎn)而成的.(三) 解答題1. 求平行于a 6,3,-2的單位向量.2. 已知作用于一點(diǎn)的三個(gè)力R -2,3,-4：丁2 =1,2,31F3-4,5：求合力的大小與方向.3. 如果a2,-11 - b = 1,2,-1求a在b上的投影.4. 用向量方法，求頂點(diǎn)在(2,-1,1),(1,-3,-5),(3,-4廠4)的三角形的三個(gè)內(nèi)角.5

18、. 設(shè)a二-i 2k - 2i j - k - i 2j 2k，試將下列各式用i, j, k表示.OBMlsrir-Ml(1)(a b) c ；(2) (a b) (a c).6. 求經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1,2,0）且通過(guò)z軸的平面方程.7. 在平面x-y-2z=0上找一點(diǎn)p,使它與點(diǎn)（2,1,5）, （4,-3,1）及（-2,-1,3）之間的 距離相等.8. 求過(guò)（1,0,0）,（0,1,0）, （0,0,1）的圓的方程，并求該圓在坐標(biāo)平面x y上的投影 曲線(xiàn)方程.9. 求過(guò)點(diǎn)（1,2,1）且同時(shí)平行2x 3y z -1 = 0和3x y - z 5二0兩平面的直線(xiàn) 方程.10. 方程：2x2y2z2

19、=1表示什么圖形？自測(cè)題（B）(一) 選擇題1設(shè)2,一3,1沽 J1,1,3：,c1,2,0則(a b) c=(B . 10C. b,-1,-1lD. 2,1,21?2設(shè)=1,-1,2”;b = *2-2,2，,則同時(shí)垂直于a和b的單位向量（1111廠 L,0 B.-2,2,0 C. - -2, .2,0-2,2,03.若a =6i 3j -2k,b/a,且= 14,則 b=(_(6j -4k)_(12i 6j -4k) B. - (12i6j) C. _(12i-4k)4. 若 M1(1,1,1),M2(2,2,1),M3(2,1,2),則 MM 與 MM 的夾角()TtTtTtTtA .B

20、 .C .D .-6 2345. 過(guò) MM2,-1,4),M2(T,3, -2)和皿3(0,23)，的平面方程()A . 14x 9y -z T5 = 0C . 14x -9y z T5 二 0B . 2x 7y-8z-6=0D . 14x 9y z - 15 = 06.求平面 x - y 2z -6 = 0與平面2x y z - 5 = 0的夾角（ji3ji7 .直線(xiàn)丿）條件，使它與y軸相交.Ax By Gz Dj = 0各系數(shù)滿(mǎn)足(Ax B2y C2z D2 = 0B1D1A. Aj = A2 =0 B.G. Cj = C2 = 0 D. Di=D2=0b2d2x + yz+1 = 0&設(shè)

21、點(diǎn)Mo(3,1,2)，直線(xiàn)I y，則Mo到I的距離為()2x_y + z _4 = 03、. 23、53.5. 2A .B .C .D .25429.直線(xiàn):y _3 z-4與平面2x y6夾角為（)112A . 30oB . 60oC . 90o.5D . arcs in610 .過(guò)點(diǎn)（-1,-2,-5）且和三個(gè)坐標(biāo)平面都相切的球面方程（）A. (x 1)&動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)(0,0,5)的距離等于它到 x軸的距離的曲面方程為 . 2 29.曲面方程：16x -9y -9z =25則曲面名稱(chēng)為 . (y 1)2 (z 1) -52 B. (x 5)2 (y 5)2 (z 5) -52C. (x 2)2

22、(y 2)2 (z 2)2 =52 D. (x - 5)2 (y - 5)2 (z - 5) = 52(二) 填空題1 .設(shè) a=i2j+3k , b=2i+j , c = i+j+k，則 a + b與c 是否平行.2設(shè) a =3,5,8, b 二2,-4,-7 , c 二5,1,-4，則 4a 3b-c在 x 軸上的投影3. 化簡(jiǎn)：(a+b+c) =b)3b ,求(1) ab +c) ；(2) c ；(3) b與C的夾角余弦.*-Rfr*+5. 求以向量i j, j k,k i為棱的平行六面體的體積.6垂直平分連接 A(4,3,-1), B(2,5,3)的線(xiàn)段的平面方程.7求與平面2x-6y

23、，3z=4平行平面，使點(diǎn)(3,2,8)為這兩個(gè)平面公垂線(xiàn)中點(diǎn).&在平面x-y-2z=0上找一點(diǎn)p使它與點(diǎn)(2,1,5),(4,-3,1)及(-2,-1,3)之間的距離 相等.2 29.方程：4x y -8x，4y-4=0表示什么曲面？廠 222x + y + z 6x4y=09.方程組y 圖形是什么？若是一個(gè)圓，求出它的中心與2x +y + 2z _1 =0半徑.參考答案練習(xí)題1. (1 )第掛限；(2)第V掛限；(3)第四掛限；(4)第切掛限.2. 可能在第n、w、v、掛限.3. (1) (a,-b,c);(2) (a, -b,-c);(3) (一a, -b, -c).4. X = 1 或X

24、 = -5.5. 略6 算出距離后，證明滿(mǎn)足勾股定理7. M(0,-3,0).& a.9. AA2=u ;A2A；3= u v ;A3A4=v ;A4A5-u ;A5A= -(u v)； Ai - -v .10當(dāng)a與b方向相同時(shí)等號(hào)成立112. AD (AB AC).2 1 -13. AA = (AB AC)；2-8a 9b -7c.1 一 一 1 一 一，BB= (AC-2AB) ； CC= (AB-2AC).2 2abc14. AD =c ； BE 二 a ； CF 二 b .2 22Ir* !-to-N15. 2a 3b =11i j k ； 2a -3b - -7i -5j 7k .1

25、6. =45 或 135 .17.,x1中點(diǎn) x -X22,y =y1y2Z1Z2218.19. A( -2,3,0).20. 2AB -3AC 二-11,8,18, AB 4AC 二11,4,-13.21. a _b =1,2,1, 2a 5b 二9廠 10,-12,3a b 二7,-2,-5.22.2 2 1單位向量為5-3,3.23. ( 1) 7；(2)u在x軸的分向量13i , u在Z軸的分向量-9k ；(3) u =%299 .24. 利用數(shù)量積運(yùn)算法則.25. a b 一 -9 ；“/35(a b)二二-arccos26.27.28.29.30.31 .32.33.34.35.3

26、6.37.38.39.40.41 .42.43.44.45.46.47.x =4.單位向量:1(i 4j 2k).(1)若a與b同向，則a b = a .b，若 a與b反向，貝y a b = _a .b(2) cos(a b).3k =二5a + b + c = *17 + 6巧.a b =16.8(1) 46；(2) -2 ；(3) (a b)-二-arccosf 483仝2 1(1) 3;(2) 3i - 3j - 3k ;(3).2-30 .(1) 24;(2) 60 .略一 一 一 一 一 (1) 3i -7j -5k ；(2) -21i49j 35k ；(3) - k ；(4) i

27、-2 .14 .1 2 2違，22423713提示：驗(yàn)證(a - d) (b - c)是否為0 .z it- (a b)，提示：c - d則c d = 0 .3c 門(mén)-3,15,12,或c =3. -15. -12.2x -4y 3z -3 = 0 .48.49.50.51 .52.53.54.55.56.58.59.60.61 .62.63.64.66.67.68.69.x -y -3z -4 = 0.x 2z -3 = 0 .3x 3y z - 8 = 0 .5x3y7z 二 0 .y - z 2=0 .截距式：一蘭 1，在x y ,z軸截距分別是 - 9,-6,18 .9618（1）平行

28、于x z面；（2）過(guò)原點(diǎn)；（3）平行于z軸； 平行于x軸且過(guò)原點(diǎn).(1) x 3y=0 ; (2) y z-5 = 0 ;(3) z 5 = 0 ； (4) 3x 2z5 = 0 .(1)Jt；3x -2(2)y 1兀2 z _3 .(1) ；-3-21x -1y -2z -3；0-21x -4y -6z -4(1)= = ；2138x -1y -1z 123-3x-3y-4z 2 ；001x yzJ=3-12x -2yz-4211x = 6 2ty = 2z - -1 5tx _ y _ z3 1-1 8x -9y - 22z -59 = 0 .5x 3y - z -1 = 0 .22兀(1

29、) arccos ；(2)272n=4.x 3y=0 或 3x-y=0.x _ y 1 _ z-23-1 .x _y z = 0 .2 270. x y - -8(z - 2).171. I/I與二間的距離為.6x+1y16z+172.-65-22-37x 3y+1z273.4 -1174 球心：(2,1,-1)，半徑 5 .75 .球心:(1, -3,2)，半徑 5.2 2 _76 . y - z =5x .77 .4x22 29y 4z =36.2 278 .i_=10(1)4繞y軸旋轉(zhuǎn)而成.z = 0(3)2y4z =0x2=2繞y軸旋轉(zhuǎn)而成.-y=0軸旋轉(zhuǎn)而成.2(Z -a)y = 0軸旋轉(zhuǎn)而成.79 .(1)(3)母線(xiàn)平行于母線(xiàn)平行于軸的橢圓