高等數(shù)學(xué) 上下冊(cè)5_1 定積分的概念和性質(zhì)ppt課件

1、第五章第五章 定積分及其運(yùn)用定積分及其運(yùn)用第一節(jié)第一節(jié) 定積分的概念與性質(zhì)定積分的概念與性質(zhì) 第二節(jié)第二節(jié) 微積分根本定理微積分根本定理 第三節(jié)第三節(jié) 定積分的換元積分法和定積分的換元積分法和分部積分法分部積分法 第四節(jié)第四節(jié) 定積分的運(yùn)用舉例定積分的運(yùn)用舉例 第五節(jié)第五節(jié) 反常積分反常積分 定積分是積分學(xué)的又一個(gè)重要概念，它在幾何、物定積分是積分學(xué)的又一個(gè)重要概念，它在幾何、物理、力學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)等各學(xué)科中有廣泛的運(yùn)用理、力學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)等各學(xué)科中有廣泛的運(yùn)用.本章先由典本章先由典型實(shí)例中引入定積分的概念，然后討論定積分的性質(zhì)和型實(shí)例中引入定積分的概念，然后討論定積分的性質(zhì)和計(jì)算方法，舉例闡明定積分

2、在實(shí)踐問(wèn)題中的一些運(yùn)用，計(jì)算方法，舉例闡明定積分在實(shí)踐問(wèn)題中的一些運(yùn)用，最后簡(jiǎn)要引見(jiàn)反常積分的概念和計(jì)算最后簡(jiǎn)要引見(jiàn)反常積分的概念和計(jì)算.第一節(jié)第一節(jié) 定積分的概念與性質(zhì)定積分的概念與性質(zhì) 一、定積分問(wèn)題實(shí)例分析一、定積分問(wèn)題實(shí)例分析 1x 1ixi ix nnx 1( )f( )if()nfOxy0 x圖圖 5-1 5-1動(dòng)畫(huà)演示動(dòng)畫(huà)演示我們知道，矩形的高是不變的，它的面積可按公式我們知道，矩形的高是不變的，它的面積可按公式 矩形面積矩形面積= =高底高底 定義和計(jì)算定義和計(jì)算. .而曲邊梯形在底邊上各點(diǎn)處的高而曲邊梯形在底邊上各點(diǎn)處的高( )f x在區(qū)間在區(qū)間, a b上是變動(dòng)的，故它的面

3、積不能直接按上述公式定義和上是變動(dòng)的，故它的面積不能直接按上述公式定義和計(jì)算計(jì)算. .然而，由于曲邊梯形的高然而，由于曲邊梯形的高( )f x在區(qū)間在區(qū)間, a b上是連續(xù)變上是連續(xù)變化的，在化的，在, a b的一個(gè)很小子區(qū)的一個(gè)很小子區(qū)間上，間上，( )f x的變化將是很小的變化將是很小的， 近似于不變的， 近似于不變. .因此， 如果把區(qū)間因此， 如果把區(qū)間, a b劃分為許多小區(qū)間，劃分為許多小區(qū)間，在每個(gè)小區(qū)間上用其中某一點(diǎn)處的高來(lái)近似代替同一個(gè)小在每個(gè)小區(qū)間上用其中某一點(diǎn)處的高來(lái)近似代替同一個(gè)小區(qū)間上的窄曲邊梯形的變動(dòng)的高，那么，每個(gè)窄曲邊梯形區(qū)間上的窄曲邊梯形的變動(dòng)的高，那么，每個(gè)

4、窄曲邊梯形的面積就可以近似地看成這樣得到的窄矩形的面積就可以近似地看成這樣得到的窄矩形. .基于這一事基于這一事實(shí)，我們通過(guò)如下的步驟來(lái)計(jì)算曲邊梯形的面積：實(shí)，我們通過(guò)如下的步驟來(lái)計(jì)算曲邊梯形的面積： 第一步：分割第一步：分割. .在區(qū)間在區(qū)間, a b內(nèi)任意插入內(nèi)任意插入1n個(gè)分點(diǎn)：個(gè)分點(diǎn)： 012inaxxxxxb 把把區(qū)區(qū)間間, a b分分割割成成 n 個(gè)個(gè)小小區(qū)區(qū)間間1,iixx（i= =1 1，2 2，n）（稱(chēng)稱(chēng)為為, a b的的一一個(gè)個(gè)分分割割） ，并并分分別別記記小小區(qū)區(qū)間間的的長(zhǎng)長(zhǎng)度度為為1iiixxx（i= =1 1，2 2，n）. .相相應(yīng)應(yīng)地地把把曲曲邊邊梯梯形形分分割割

5、成成 n個(gè)個(gè)窄窄曲曲邊邊梯梯形形. . 第第二二步步：近近似似. .即即“以以直直代代曲曲” ，在在小小區(qū)區(qū)間間1,iixx上上任任取取一一點(diǎn)點(diǎn)i，以以( )if為為高高，以以ix為為底底的的小小矩矩形形面面積積( )ifix作作為為窄窄曲曲邊邊梯梯形形面面積積ix的的近近似似值值，從從而而在在1,iixx上上以以直直線(xiàn)線(xiàn) ( )iyf代代替替曲曲線(xiàn)線(xiàn)( )yf x，有有 iA ( )ifix，i=1，2，n. 第第三三步步：作作和和. .把把所所有有小小矩矩形形面面積積相相加加，得得整整個(gè)個(gè)曲曲邊邊梯梯形形面面積積 A 的的近近似似值值，即即 A= =1niiA1( )niifix. . 第

6、第四四步步：逼逼近近. .顯顯然然，隨隨著著區(qū)區(qū)間間,a b內(nèi)內(nèi)的的分分點(diǎn)點(diǎn)不不斷斷增增加加，第第三三步步所所得得近近似似值值的的精精確確度度將將不不斷斷提提高高，并并不不斷斷逼逼近近曲曲邊邊梯梯形形面面積積的的精精確確值值. .記記最最大大的的小小區(qū)區(qū)間間長(zhǎng)長(zhǎng)度度為為 ，即即12max,nxxx，并并令令0，取取上上述述和和式式極極限限，就就得得到到了了曲曲邊邊梯梯形形的的面面積積 A= =0lim1()niifix. . 2 2變力沿直線(xiàn)作功變力沿直線(xiàn)作功 設(shè)質(zhì)點(diǎn)設(shè)質(zhì)點(diǎn) m 在一個(gè)與在一個(gè)與 Ox 軸平行，大小為軸平行，大小為 F 的力作用的力作用下，沿下，沿 Ox 軸從點(diǎn)軸從點(diǎn) x=a

7、移動(dòng)到點(diǎn)移動(dòng)到點(diǎn)xb，求該力所作的功，求該力所作的功. 如果如果 F 是常量，則由物理學(xué)知，所作的功為是常量，則由物理學(xué)知，所作的功為 W =力力距離距離=()Fba. 如果如果F不是常量， 而是與質(zhì)點(diǎn)所處的位置不是常量， 而是與質(zhì)點(diǎn)所處的位置 x 有關(guān)的函數(shù)有關(guān)的函數(shù)( )Ff x，這是變力作功問(wèn)題，上面公式就不能使用，這是變力作功問(wèn)題，上面公式就不能使用. . 問(wèn)題的困難在于質(zhì)點(diǎn)在不同位置上，所受到的力大小問(wèn)題的困難在于質(zhì)點(diǎn)在不同位置上，所受到的力大小不同，類(lèi)似于曲邊梯形的面積的作法，采取以下步驟不同，類(lèi)似于曲邊梯形的面積的作法，采取以下步驟： 第一步：分割第一步：分割. .在區(qū)間在區(qū)間,

8、 a b內(nèi)任意插入內(nèi)任意插入1n個(gè)分點(diǎn)：個(gè)分點(diǎn)： a = =012inxxxxxb 把把, a b分割成分割成 n 個(gè)小區(qū)間，小區(qū)間的長(zhǎng)度分別記為個(gè)小區(qū)間，小區(qū)間的長(zhǎng)度分別記為 ix, i=1，2，n. 第二步： 近似第二步： 近似.即 “以不變代變” ， 在小區(qū)間即 “以不變代變” ， 在小區(qū)間1,iixx上上任取一點(diǎn)任取一點(diǎn)i，以該點(diǎn)處的力，以該點(diǎn)處的力( )if代替小區(qū)間代替小區(qū)間1,iixx上的上的變力變力( )f x，則區(qū)間，則區(qū)間1,iixx上所作的功上所作的功iW有近似值有近似值 iW( )iifx， （， （i=1，2，n）. 第三步： 作和第三步： 作和. .在在, a b上

9、所作的功上所作的功 W 的近似值是的近似值是所有小區(qū)間上所作功的近似值之和，即所有小區(qū)間上所作功的近似值之和，即 1( )niiiWfx. . 第四步：逼近第四步：逼近. .讓讓, a b區(qū)間內(nèi)的分點(diǎn)無(wú)限增加，區(qū)間內(nèi)的分點(diǎn)無(wú)限增加，令最大的令最大的小小區(qū)間的長(zhǎng)度區(qū)間的長(zhǎng)度1max0ii nx ，則上面，則上面和式的極限，就是變力和式的極限，就是變力( )Ff x使質(zhì)點(diǎn)使質(zhì)點(diǎn) m 從點(diǎn)從點(diǎn) x=a移到點(diǎn)移到點(diǎn)xb所做的功所做的功. . 定定義義 設(shè)設(shè)( )f x為為定定義義在在區(qū)區(qū)間間, a b上上的的有有界界函函數(shù)數(shù)，在在 , a b中中任任意意插插入入1n個(gè)個(gè)分分點(diǎn)點(diǎn)： 011iinaxxx

10、xxb 將將區(qū)區(qū)間間, a b分分為為 n 個(gè)個(gè)小小區(qū)區(qū)間間1,(1,2, )iixxin， 小小區(qū)區(qū)間間的的長(zhǎng)長(zhǎng)度度分分別別記記為為1(1,2, )iiixxxin， 在在小小區(qū)區(qū)間間1,iixx上上任任取取一一點(diǎn)點(diǎn)i，作作和和式式 1( )niiifx， 上上述述兩兩個(gè)個(gè)問(wèn)問(wèn)題題，一一個(gè)個(gè)是是面面積積問(wèn)問(wèn)題題，一一個(gè)個(gè)是是作作功功問(wèn)問(wèn)題題，具具體體內(nèi)內(nèi)容容雖雖然然不不同同，但但是是描描述述這這兩兩個(gè)個(gè)量量的的數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)模模型型是是完完全全一一樣樣的的，都都是是“和和式式”的的極極限限可可以以用用這這一一方方法法描描述述的的量量在在各各個(gè)個(gè)科科學(xué)學(xué)技技術(shù)術(shù)領(lǐng)領(lǐng)域域中中是是很很廣廣泛泛的的. .

11、如如旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)體體的的體體積積、曲曲線(xiàn)線(xiàn)的的長(zhǎng)長(zhǎng)度度、變變速速直直線(xiàn)線(xiàn)運(yùn)運(yùn)動(dòng)動(dòng)的的路路程程、液液體體中中閘閘門(mén)門(mén)的的靜靜壓壓力力以以及及經(jīng)經(jīng)濟(jì)濟(jì)學(xué)學(xué)中中的的某某些些量量等等等等拋拋開(kāi)開(kāi)這這些些問(wèn)問(wèn)題題的的具具體體意意義義，抓抓住住它它們們?cè)谠跀?shù)數(shù)量量關(guān)關(guān)系系上上共共同同的的特特征征與與本本質(zhì)質(zhì)加加以以概概括括，我我們們可可以以抽抽象象出出下下述述積積分分的的定定義義 二、定積分的概念二、定積分的概念 質(zhì)點(diǎn)在變力質(zhì)點(diǎn)在變力( )Ff x作用下， 沿作用下， 沿Ox軸從點(diǎn)軸從點(diǎn)xa移動(dòng)移動(dòng)到點(diǎn)到點(diǎn)xb，變力沿直線(xiàn)所作的功，變力沿直線(xiàn)所作的功 W 等于函數(shù)等于函數(shù)( )f x在區(qū)在區(qū)間間, a b上的

12、定積分即上的定積分即 ( )dbaWf xx 對(duì)于定積分的定義，應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：對(duì)于定積分的定義，應(yīng)注意以下幾點(diǎn)： (1)(1) 定積分是一種和式的極限，其值是一個(gè)實(shí)數(shù)，定積分是一種和式的極限，其值是一個(gè)實(shí)數(shù)，其大小與被積函數(shù)其大小與被積函數(shù)( )f x和積分區(qū)間和積分區(qū)間, a b有關(guān)， 而與積分有關(guān)， 而與積分變量的記號(hào)無(wú)關(guān)，如變量的記號(hào)無(wú)關(guān)，如( )dbaf xx，( )dbaf tt，( )dbaf uu等等都表示同一個(gè)定積分，這是因?yàn)楹褪蕉急硎就粋€(gè)定積分，這是因?yàn)楹褪?( )niiifx中變量中變量采用采用什么記號(hào)與其極限無(wú)關(guān)什么記號(hào)與其極限無(wú)關(guān) Oybxa( )yf x( )db

13、aAf xx圖圖5-25-2yObxa圖圖 5-3( )dbaAf x x圖圖5-4bOaxy( )yf x(3)(3)定義中規(guī)定定義中規(guī)定ab這一限制， 對(duì)定積分的應(yīng)用帶來(lái)不這一限制， 對(duì)定積分的應(yīng)用帶來(lái)不便， 如變力便， 如變力( )Ff x把質(zhì)點(diǎn)把質(zhì)點(diǎn) m 從點(diǎn)從點(diǎn) a 移動(dòng)到點(diǎn)移動(dòng)到點(diǎn) b 是作正功，是作正功，則從點(diǎn)則從點(diǎn) b 移動(dòng)到點(diǎn)移動(dòng)到點(diǎn) a 是作負(fù)功由此，我們補(bǔ)充規(guī)定：是作負(fù)功由此，我們補(bǔ)充規(guī)定： 當(dāng)當(dāng)ba時(shí)，時(shí)， ( )d( )dbaabf xxf xx 當(dāng)當(dāng)ab時(shí)，時(shí)， ( )d( )d0baaaf xxf xx ( (4 4) )如如果果函函數(shù)數(shù)( )f x在在區(qū)區(qū)間間,

14、 a b上上的的定定積積分分存存在在， 即即和和式式極極限限存存在在，就就說(shuō)說(shuō)( )f x在在區(qū)區(qū)間間, a b上上是是可可積積的的怎怎樣樣的的函函數(shù)數(shù)才才可可積積呢呢？要要求求和和式式極極限限存存在在，且且與與, a b的的分分法法無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)，與與 i的的取取法法無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)，這這樣樣一一個(gè)個(gè)和和式式極極限限問(wèn)問(wèn)題題比比一一般般極極限限要要復(fù)復(fù)雜雜得得多多這這里里僅僅指指出出： (i)( )f x在在, a b上上有有界界是是( )f x在在, a b上上可可積積的的必必要要條條件件； (ii)( )f x在在, a b上上連連續(xù)續(xù)是是( )f x在在, a b上上可可積積的的充充分分條條件件；

15、(iii)( )f x在在, a b上上只只有有有有限限個(gè)個(gè)間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)得得有有界界函函數(shù)數(shù)是是( )f x在在, a b上上可可積積的的充充分分條條件件； 例例1 利用定積分的定義計(jì)算定積分利用定積分的定義計(jì)算定積分10dxx 解解 由于被積函數(shù)由于被積函數(shù)(x)f 在區(qū)間在區(qū)間0,10,1上延續(xù)，故一定上延續(xù)，故一定可積，因此定義中的和式的極限，與區(qū)間的分法及點(diǎn)可積，因此定義中的和式的極限，與區(qū)間的分法及點(diǎn) 的的i取法無(wú)關(guān)取法無(wú)關(guān). .為計(jì)算簡(jiǎn)便，把區(qū)間為計(jì)算簡(jiǎn)便，把區(qū)間0,1 n 0,1 n 等分，取等分，取 =xi, =xi, 那么那么，于是有，于是有 i,nxi1 ,iiixn111

16、1( )nnniiiiiiiifxxn n22111(1 2)niinnn21(1)11(1)22n nnn而當(dāng)而當(dāng) 時(shí)，時(shí)， (因因 )，所以，所以0 n1n1001111limlim(1).22niinixdxxn2O1-33xy圖圖5-5當(dāng)當(dāng) 0，即，即n 時(shí)（現(xiàn)在時(shí)（現(xiàn)在1n)，上式兩端取極限，上式兩端取極限即得即得 1220011111dlimlim(1)(2)63niinixxxnn 例例 3 由由定定積積分分的的幾幾何何意意義義，求求21(3)dxx 例例2 按定積分的定義，即通過(guò)積分和的極限求定積分按定積分的定義，即通過(guò)積分和的極限求定積分是是十十分困難的，必須尋求定積分的有效

17、計(jì)算方法，下面介紹的分困難的，必須尋求定積分的有效計(jì)算方法，下面介紹的定積分的基本性質(zhì)定積分的基本性質(zhì)有有助于定積分的計(jì)算，也有助于對(duì)定積助于定積分的計(jì)算，也有助于對(duì)定積分的理解假定函數(shù)在所討論的區(qū)間上可積，則有分的理解假定函數(shù)在所討論的區(qū)間上可積，則有 性質(zhì)性質(zhì) 1 1 ( )d( )d ()bbaakf x xkf x x k為常數(shù) 性質(zhì)性質(zhì) 2 2 ( )( ) d( )d( )dbbbaaaf xg xxf x xg x x 以上兩個(gè)性質(zhì)，由定積分的定義不難證明，請(qǐng)讀者自行完以上兩個(gè)性質(zhì)，由定積分的定義不難證明，請(qǐng)讀者自行完成成 性質(zhì)性質(zhì) 3 3 對(duì)任意實(shí)數(shù)對(duì)任意實(shí)數(shù) c，( )d(

18、)d( )dbcbaacf x xf x xf x x 性質(zhì)性質(zhì) 4 4 若若ab且在且在, a b區(qū)間上區(qū)間上( )0,f x 則則 ( )d0baf x x 三、定積分的性質(zhì)三、定積分的性質(zhì) 三、定積分的性質(zhì)三、定積分的性質(zhì) 按定積分的定義，即經(jīng)過(guò)積分和的極限求定積分按定積分的定義，即經(jīng)過(guò)積分和的極限求定積分是是十十分困難的，必需尋求定積分的有效計(jì)算方法，下面引見(jiàn)的分困難的，必需尋求定積分的有效計(jì)算方法，下面引見(jiàn)的定積分的根本性質(zhì)定積分的根本性質(zhì)有有助于定積分的計(jì)算，也有助于對(duì)定積助于定積分的計(jì)算，也有助于對(duì)定積分的了解假定函數(shù)在所討論的區(qū)間上可積，那么有分的了解假定函數(shù)在所討論的區(qū)間上可

19、積，那么有 babadxxfkdxxkf)()(以上性質(zhì)均可直接由定積分的定義得到以上性質(zhì)均可直接由定積分的定義得到. .性質(zhì)性質(zhì) 1 (k(k為常數(shù)為常數(shù)).). 性質(zhì)性質(zhì) 2 假設(shè)在區(qū)間假設(shè)在區(qū)間a, b上上f (x) 1, 那么那么 性質(zhì)性質(zhì) 3 ( )( )( )( ).bbbaaaf xg x dxf x dxg x dx1.badxba假設(shè)假設(shè)a ba b且在且在a, ba, b區(qū)間上區(qū)間上 ，那么，那么性質(zhì)性質(zhì) 5 ( )0f x( )0.baf x dx性質(zhì)性質(zhì)4 4和性質(zhì)和性質(zhì)5 5證明從略證明從略. .對(duì)恣意實(shí)數(shù)對(duì)恣意實(shí)數(shù)c, c, 性質(zhì)性質(zhì) 4 ( )( )( ).bcb

20、aacf x dxf x dxf x dx證證 由由( )( )( )f xf xf x，利利用用性性質(zhì)質(zhì) 5 得得 ( )d( )d( )dbbbaaaf xxf x xf xx， 即即 ( )d( )dbbaaf x xf xx 6定積分估值定理定積分估值定理性質(zhì)性質(zhì)8 設(shè)設(shè)M M及及m m分別是在區(qū)間分別是在區(qū)間a, ba, b上的最大值及最小值，那么上的最大值及最小值，那么 ()( )().bam baf x dxM ba證證由于由于 故由性質(zhì)故由性質(zhì)6，得，得( ),mf xM( ).bbbaaamdxf x dxMdx而由性質(zhì)而由性質(zhì)1和性質(zhì)和性質(zhì)3，得，得(),bbaamdxmdxm ba定積分中值定理定積分中值定理性質(zhì)性質(zhì)9 設(shè)設(shè)f (x)f (x)在閉區(qū)間在閉區(qū)間a, ba, b上連上連續(xù)，那么在區(qū)間續(xù)，那么在區(qū)間a, ba, b上至少存在一點(diǎn)上至少存在一點(diǎn) ，使得，使得( )( ) (),.baf x dxfbaab由閉區(qū)間上延續(xù)函數(shù)的最大值和最小值定理，由閉區(qū)間上延續(xù)函數(shù)的最大值和最小值定理，證證 或或f (x)上有最大值M及最小值m，根據(jù)性質(zhì)8，有 ()( )(),bam