數學課標十個核心概念解讀

1、解讀課標十個核心概念在數學課程中，應當注重發(fā)展學生的數感、符號意識、空間觀念、幾何直觀、數據分析觀念、運算能力、推理能力和模型思想。為了適應時代發(fā)展對人才培養(yǎng)的需要，數學課程還要特別注重發(fā)展學生的應用意識和創(chuàng)新意識。課程標準提出了數感符號意識等核心概念，為什么提出這些核心概念？首先，核心概念是課程目標的支點，起著溝通課程目標與具體數學內容之間聯系的作用。我們知道，課程標準設計了知識技能數學思考問題解決情感態(tài)度四個方面的培養(yǎng)目標，同時選擇編排了大量的數學知識。如數的知識、運算的知識、圖形的知識、測量的知識、統(tǒng)計和概率的知識、解決問題的知識等。這些知識又各有許多具體的內容，如數的知識就有整數、小數

2、、分數，其中的整數知識有數字符號、計數方法、數的順序、數之間的大小關系、用數表示和交流等。再如測量的知識包括長度、面積、體積（容積）的意義，常用的長度單位、面積單位、體積（容積）單位，常用的測量工具和測量方法，基本圖形的周長、面積、體積的計算公式等。如何把比較宏觀的培養(yǎng)目標與眾多十分具體的數學知識有組織地聯系起來？核心概念就起這方面的作用。在中小學數學課程這個結構里，核心概念介于課程目標與眾多具體數學內容之間，是課程目標的落腳點。課程目標通過有關的核心概念得到比較清楚的描述，也通過相關核心概念的教學和形成得以實現。如，課程標準關于數學思考方面的培養(yǎng)目標是如下表述的，這樣的敘述指出了數學思考的培

3、養(yǎng)應該往什么方向去落實，也使數學思考的培養(yǎng)目標具有可行性和可操作性。-建立數感、符號意識和空間觀念，初步形成幾何直觀和運算能力，發(fā)展形象思維與抽象思維。-體會統(tǒng)計方法的意義，發(fā)展數據分析意識，感受隨機現象。-在參與觀察、實驗、猜想、證明、綜合實踐等數學活動中，發(fā)展合情推理和演繹推理的能力，清晰地表達自己的想法。-學會獨立思考，體會數學的基本思想和思維方式。其次，核心概念起著統(tǒng)領眾多具體數學內容，導向其教育價值的作用。課程標準提出的核心概念，有些和數與代數領域的內容聯系密切，有些和圖形與幾何領域的內容聯系密切，有些和統(tǒng)計與概率領域的聯系密切，有些和綜合與實踐領域的內容聯系密切。圍繞每一個核心概念

4、都有許多具體的數學內容，通過這些數學內容的教學才能在學生頭腦里形成核心概念。使學生形成必要的核心概念是數學教學的重要任務，也是有效的數學教學的歸宿。核心概念起著統(tǒng)領具體數學內容及其教學的作用，使眾多數學知識之間不是隔裂的，每個數學知識不是孤立的，而是相互聯系、相互作用、相互影響的。課程標準提出核心概念，一方面指出了某個核心概念需要哪些數學知識，另方面指出了這些數學知識的教學應該形成核心概念，成為學生的意識與能力。 如數感主要和數與代數領域里的數的認識數的運算以及數量關系有著聯系，課程標準指出：數感主要是指關于數與數量、數量關系、運算結果估計等方面的感悟。學生的數感是他們認數學習和計算學習中的智

5、慧結晶，是他們經常接觸并領悟常見數量關系的經驗升化。數感的形成使數的知識、運算的知識、數量關系的知識轉化成個體的數學素養(yǎng)。小學生的數感主要表現在：能夠用數刻畫客觀對象的量的多少或大小，能夠估計客觀對象有多大、有多少；能夠估計運算的結果大約是多少，能夠評價筆算或計算器計算結果的合理性；能夠用常見數量關系描述實際問題里的數學內容，能夠體會到常見數量關系里的簡單函數關系。數感就這樣把與認數和計算有關的教學內容有機組織起來了，教學數及其運算的知識應該歸結到培養(yǎng)和形成數感的上面。 再如，課程標準指出符號意識主要是指能夠理解并且運用符號表示數、數量關系和變化規(guī)律；知道使用符號可以進行運算和推理，得到的結論

6、具有一般性。小學數學里有數字符號09，運算符號、×、÷，關系符號、，字母符號h表示形體的高、s表示圖形的面積（有時表示路程）、v表示立體的體積（有時表示速度），這些都是人們約定俗成、共同使用的符號。人們學習數學、應用數學時，還可以使用個體的符號。如用一橫、一豎或者一個表示一個物體，用字母A、B、C分別表示某些對象等。符號具有簡單明了、使用方便等優(yōu)點，學習數學離不開它。小學數學初步培養(yǎng)學生的符號意識，讓他們知道并使用人類已經共同使用的一些符號，用符號表示運算律、求積公式、常見數量關系；鼓勵學生用自己設定的符號進行記錄，開展統(tǒng)計活動，不僅方便交流與表達，還體會到符號的價值。符號

7、意識就這樣把用字母表示數（數量關系或運算規(guī)律）、對含有字母式子的運算、方程以及解決實際問題等數學內容組織起來，有效解決眾多知識相互割裂、過于分散的現象，并且給于它們明確的教學方向。 又如，空間觀念主要是指根據物體特征抽象出幾何圖形，根據幾何圖形想象出所描述的實際物體；想象出物體的方位和相互之間的位置關系；描述圖形的運動和變化；依據語言的描述畫出圖形等?？臻g形式是數學的研究對象，客觀世界存在著各種各樣、大大小小的物體，物體在運動變化，物體之間有著相互聯系。這些內容反映在人的頭腦里，形成的有關概念、模型，產生的想象、引發(fā)的形象思維，就是個體的空間觀念。小學數學教學許多基本的形體知識，學生應該形成初

8、步的空間觀念。小學生的空間觀念一般表現為：頭腦里有常見平面圖形和立體圖形的數學模型，知道這些形體的名稱、形狀、結構特點，看到某個物體能夠想到其數學模型和數學名稱，想到某個模型或者聽到某個名稱，能夠在身邊找到相應的物體；從正面、側面和上面觀察某個簡單的物體，能夠用分別看到的圖形表示這個物體的形狀與結構；能夠想象出簡單幾何體的表面展開圖，能夠根據表面展開圖想象出幾何體；能夠把稍復雜的組合形體分解成若干簡單形體；能夠數學地描述物體的運動方式以及所在位置?？梢姡诵母拍畈皇侵改骋粋€或某幾個具體的數學知識，而是許多相關數學知識的概括提升；核心概念不是另外教學的數學內容，而是蘊涵在相關數學知識的教學之中的

9、上位概念。正如課程標準修訂組核心成員、東北師范大學教授馬云鵬所說的：核心概念體現數學內容的本質。核心概念本質上體現了數學的基本思想，反映了數學內容的本質特征以及數學思維方式。數學內容的四個方面都以10個核心概念中的一個或幾個為統(tǒng)領，學生對這些核心概念的體驗與把握，是對這些內容的真正理解和掌握的標志。課程標準（實驗稿）提出六個核心概念，分別是數感符號感空間觀念統(tǒng)計觀念應用意識推理能力。課程標準（2011）提出十個核心概念，分別是數感符號意識運算能力空間觀念幾何直觀數據分析觀念模型思想推理能力應用意識創(chuàng)新意識。把課程標準修改前后的核心概念比一比，可以看到：新增加了四個運算能力幾何直觀模型思想創(chuàng)新意

10、識；較大改動了三個數據分析意識推理能力應用意識；另外三個數感符號意識空間觀念的修改不大。下面我們看一看新增加的和較大改動的七個核心概念。1.運算能力。運算能力主要是指能夠根據法則和運算律正確地進行運算的能力。培養(yǎng)運算能力有助于學生理解運算的算理，尋求合理簡潔的運算途徑解決問題。重視運算能力是我國小學數學教學的優(yōu)秀傳統(tǒng)，我國學生的運算能力受到世界矚目。有關運算的知識主要是四則計算的意義、法則，四則混合運算順序，運算律和運算性質等。有關運算教學的要求是學生獲得重要的計算知識，能夠正確、熟練、合理、靈活地應用運算知識，解決相應的問題，包括計算題和實際問題。進入新課程，數學教學的內容發(fā)生了很大變化。增

11、加了許多十分有意義的數學知識，如圖形的運動、圖形的位置、數據統(tǒng)計活動、事件發(fā)生的可能性、探索規(guī)律和實踐活動等。有關計算的教學內容也有很大變動，一是精簡了大數目的計算，整數加、減法一般不超過三位數的加或減，整數乘、除法只到三位數乘或除以兩位數；二是重視口算、加強估算；三是使用計算器進行較繁瑣的計算。而且，用于計算教學的時間比過去少了。所以，培養(yǎng)學生的運算能力是數學教學面臨的一個課題。學生的運算能力一般表現為：能夠選擇恰當的計算形式解決問題，做到可以口算就口算，需要筆算就筆數，不要精確得數就估算，遇到大數目的計算就使用計算器；追求計算結果正確，有及時檢驗得數的習慣，能夠采用合適的方法進行驗算并隨時

12、糾正計算錯誤；有簡便運算的意識，能夠根據具體情況，合理而靈活地利用運算律或運算性質，提高計算效率。課程標準重新提出運算能力，是對數學教學的要求。計算畢竟是數學內容的一部分，是常用的數學活動之一，是學習和應用其它數學知識不可缺少的工具。既不能因為增加了許多其它數學內容而忽視計算教學，也不能以傳統(tǒng)的計算教學來要求和衡量新課程的計算教學。學生的計算應該達到適當的速度要求。課程標準提出：20以內加減法和表內乘除法口算，810題分；百以內加減法和一位數乘除兩位數口算，34題分；兩位數和三位數加減法筆算，23題分；一位數乘除兩位數和三位數筆算，兩位數乘兩位數筆算，12題分。這些速度要求，是大多數學生經過適

13、量練習就能夠達到的，不會耗費過量的教學資源，而影響其它數學內容的教學。這些速度要求，能夠基本滿足繼續(xù)學習數學和解決實際問題的需要。這些速度水平，一但形成，能夠維持，不會有過大的衰退。2. 幾何直觀。幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問題。借助幾何直觀可以把復雜的數學問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預測結果。幾何直觀可以幫助學生直觀地理解數學，在整個數學學習過程中都發(fā)揮著重要作用。幾何直觀可以看成數形結合的手段與方法。數形結合是一種數學思想方法，指利用代數里的模型來抽象地表示幾何圖形的本質內容，利用幾何圖形來形象直觀地表示代數里的關系。數學是抽象的，兒童喜歡具體形象的思維，幾何直觀

14、經常能夠解決抽象與形象之間的矛盾。數學教學往往會利用簡單的圖形來表示比較抽象的數學問題或數量關系，如用線段圖表示相差關系和倍數關系，用線段圖表示相遇問題的已知、未知和數量關系，用簡單圖形表示田地面積的變化等，這些都十分有助于學生理解題意、找到問題的解法。幾何直觀是人們理解復雜的數學問題，探索其解法的手段，是人們解決問題時經常采用的策略。課程標準提出幾何直觀，不僅教師要充分利用這個手段教學數學知識，還應該培養(yǎng)學生自己運用幾何直觀的習慣和能力。要聯系實例讓學生體會什么是幾何直觀，感受幾何直觀對解決問題的積極作用；要指導學生畫圖，初步學會幾何直觀；要鼓勵學生經常運用幾何直觀，逐步成為個體的解決問題策

15、略之一。3. 模型思想模型思想的建立是學生體會和理解數學與外部世界聯系的基本途徑。建立和求解模型的過程包括：從現實生活或具體情境中抽象出數學問題，用數學符號建立方程、不等式、函數等表示數學問題中的數量關系和變化規(guī)律，求出結果并討論結果的意義。這些內容的學習有助于學生初步形成模型思想，提高學習數學的興趣和應用意識。模型是一種表達形式。數學模型表達的是客觀現象里的數學內容，是對數學內容的高度抽象與概括，最本質且最簡練的表達。所以，人們還把數學定義為模式的科學。數學關系式或者數學圖像都是數學模型，如小學數學里的正比例關系就是用關系式 k（一定）表示的；或者在直角坐標系里，用從原點（0點）出發(fā)向右上方

16、的射線表示。這些就是數學模型。弗賴登塔爾指出：學習數學就是學習數學化。所謂數學化，是指從數學的角度看現象、用數學思維想問題，用數學方法解決和解釋問題，建立數學模型就是數學化。建立和求解模型的過程大致由三部分構成：一是從具體對象里抽象出數學問題；二是用數學形式表示變化規(guī)律或各種關系；三是求出結果、解釋其意義?？梢?，建模過程是數學化過程，模型思想有助于學習數學，有利于發(fā)展數學思維，數學教學應該重視模型思想的培養(yǎng)。小學數學里稱得上數學模型的不是很多，但含有模型思想的數學內容卻不少。如從每小時行駛的千米數×行駛的小時數一共行駛的千米數每分鐘走的米數×走的分鐘數一共走的米數等具體的數

17、量關系式，概括出速度×時間路程，再用字母公式svt表示，這個過程里就有模型思想。又如從大量事實概括出交換兩個加數的位置，和不變，并用字母式子abba表示這條運算律，也是富有模型思想的過程。再如方程就是數學模型，列方程解決實際問題就是建立模型、應用模型的活動。小學數學培養(yǎng)模型思想，不一定要學生寫出十分規(guī)范的關系式或畫出十分規(guī)范的圖像。讓他們用自己的語言或喜歡的其它方式表示發(fā)現的數學規(guī)律、認識的數學現象，都能促進模型思想的發(fā)展。4創(chuàng)新意識。創(chuàng)新意識的培養(yǎng)是現代數學教育的基本任務，應體現在數學教與學的過程之中。學生自己發(fā)現和提出問題是創(chuàng)新的基礎；獨立思考、學會思考是創(chuàng)新的核心；歸納概括得到

18、猜想和規(guī)律，并加以驗證，是創(chuàng)新的重要方法。創(chuàng)新意識的培養(yǎng)應該從義務教育階段做起，貫穿數學教育的始終。歷史告訴我們，創(chuàng)新精神對于振興中華民族是十分重要的。民族的創(chuàng)新精神，源于其每一個成員的創(chuàng)新意識和創(chuàng)新能力。創(chuàng)新在不同范疇有不同內容。創(chuàng)新的狹義含義是指創(chuàng)造出人類從未有的、完全嶄新的成果，包括新的理論、新的作品、新的工藝、新的方法等，這些創(chuàng)新是對全人類的貢獻。創(chuàng)新的廣義含義是指某個群體或某個人創(chuàng)造出對自己而言的的新認識、新發(fā)現。如果說，對于全人類的創(chuàng)新經常是科學家、發(fā)明家和少數優(yōu)秀人才的成就，那么屬于個體的創(chuàng)新則是每一個人的可作可為。而科學家、發(fā)明家的創(chuàng)新能力，也是在個體的、初步的創(chuàng)新意識基礎上發(fā)

19、展出來的。所以，培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識，既直接關系到每一個學生的精神面貌，也間接關系著若干年以后的人類新創(chuàng)造。在現有的數學教學中培養(yǎng)創(chuàng)新意識，要改變教與學的方式。使一些數學內容的教學，由教師傳授變?yōu)閷W生探索。鼓勵學生猜想、驗證；實驗、發(fā)現；質疑、探索；合作、交流。經常在教師的引導和組織下發(fā)現新知識、建構新認識，他們的創(chuàng)新意識就得到了應有的培養(yǎng)。5. 數據分析觀念。數據分析觀念包括：了解在現實生活中有許多問題應當先做調查研究，收集數據，通過分析做出判斷，體會數據中蘊涵著信息；了解對于同樣的數據可以有多種分析的方法，需要根據問題的背景選擇合適的方法；通過數據分析體驗隨機性，一方面對于同樣的事情每次收集

20、到的數據可能不同，另一方面只要有足夠的數據就可能從中發(fā)現規(guī)律。進入新課程以來，小學數學的統(tǒng)計教學發(fā)生了很大的變化。從過去以制作統(tǒng)計圖表為主要教學內容，變成以統(tǒng)計活動為主要教學內容。提出數據分析觀念要促進統(tǒng)計教學的進一步改革。首先，統(tǒng)計是人們認識現象、解決問題的一種重要方法。如，要了解一個單位的員工年齡結構和文化程度結構，就可以就這兩個內容進行統(tǒng)計；要了解物價的情況以及對人們生活的影響，需要進行有關的統(tǒng)計；要了解兒童的體質狀況和生活方式的變化，也可以通過統(tǒng)計其次，統(tǒng)計總是圍繞數據而進行的，統(tǒng)計的主要活動是關于數據的活動，統(tǒng)計過程一般是收集和整理數據、分析和利用數據的過程。統(tǒng)計結果一方面有其客觀性

21、，另方面有其局限性。所謂統(tǒng)計結果的客觀性，是指數據都是真實的，一般是經過調查得到的；統(tǒng)計結論是根據實實在在的數據得出的。人們常說沒有調查就沒有發(fā)言權用數據說明問題，都是肯定了數據的客觀性。所謂統(tǒng)計結果的局限性，是因為分析數據要在現實的背景下進行，同一組數據，在不同的背景下會表達出不同的意思，引起人們不同的思考。如某所學校對教師的課堂教學水平進行了調查，隨堂聽課的優(yōu)課率15、良好課50、合格課25、較差課10。這組數據如果與該校過去的課堂教學水平比，可能看到有了明顯進步；如果與所在地區(qū)各學校的整體課堂教學水平比，可以看到該學校處于什么位置上；如果與其他高水平學校比，可以看出還存在的差距。這是同一

22、組數據在不同背景下，反映出不同的信息。離開了現實背景的數據并不能說明什么問題。另外，數據還是隨機的，需要有足夠的數據才能比較客觀地反映出事實或規(guī)律。如評價一位教師的課堂教學水平，如果只考察他的一堂課，往往會有片面性。如果考察幾堂甚至幾十堂課，得出的評價就會客觀一些；如果對這位教師教學各類知識的課堂分別進行充分的考察，得出的評價就更加可信。統(tǒng)計教學的目的在于培養(yǎng)學生的數據分析意識與能力，具體些說，一要學生關注數據、重視數據，體會到數據不是枯燥的數字，而是蘊含著豐富的信息內容；二要學生收集信息，通過整理獲得有用的數據，并用適當的統(tǒng)計圖表呈現數據，直觀反映出數據特征；三要學生對數據進行深入的分析，用

23、數據解釋事實、判斷是非、預測未來。6. 推理能力。推理能力的發(fā)展應貫穿在整個數學學習過程中。推理是數學的基本思維方式，也是人們學習和生活中經常使用的思維方式。推理一般包括合情推理和演繹推理,合情推理是從已有的事實出發(fā)，憑借經驗和直覺，通過歸納和類比等推斷某些結果；演繹推理是從已有的事實（包括定義、公理、定理等）和確定的規(guī)則（包括運算的定義、法則、順序等）出發(fā)，按照邏輯推理的法則證明和計算。在解決問題的過程中，兩種推理功能不同，相輔相成：合情推理用于探索思路，發(fā)現結論；演繹推理用于證明結論。從已有的判斷得出新判斷的思維形式叫做推理，推理是常用的思維形式，人們經常通過推理，實現由此及彼的思考跨越。

24、數學教育歷來很重視演繹推理，因為它十分嚴密。演繹推理是從一般到特殊的推理，它根據已有的事實，按照邏輯的規(guī)則，得出新的結論。例如，前面提到的六年級（上冊）教科書里的分數乘整數×3的算法就是通過演繹推理得出的。從個別例題得出分數乘整數的計算法則以后，再進行其它的分數乘整數，只要按照法則進行。這時，按已有法則進行同類計算，可以看作演繹推理。再如，認識運算律以后的簡便運算，其思考是按照因為所以進行的，也是演繹推理。數學教育應該培養(yǎng)學生的演繹推理能力，也確實有著許多培養(yǎng)機會。推理不只是演繹推理，合情推理也很常見，主要有歸納推理、類比推理。歸納推理是從特殊到一般的推理，它根據部分實際例子，形成具

25、有普遍意義的概念或規(guī)則。例如，對小學生來說，分數除以分數的計算法則很難通過演繹推理得出，教科書采用合情推理，鼓勵學生猜想并驗證，給予學生很大的自主探索空間，避免了直接灌輸式的機械學習。再如通過對若干個長方形的研究，得出所有長方形都具有對邊相等、四個直角的特點。通過12道兩位數乘兩位數的算法探索，得出計算法則。這些都是不完全歸納在小學數學教學中的的具體應用。歸納推理有完全歸納和不完全歸納，小學數學里一般都是不完全歸納。類比推理是特殊到特殊的推理，它根據個案之間已經存在的一些關系，聯想還會有其它的共同點或相似點。如已經知道比與除法有聯系，除法與分數有聯系，于是認為比和分數也會有聯系，認為比也可以寫

26、成分數的形式；已經知道除法有商不變性質，分數有基本性質，于是認為比也有類似的性質。這些認為都是類比推理的結果。數學教育只重視演繹推理是不夠的，合情推理也十分重要。合情推理比較開放、比較活潑，往往含有猜想、估計、預測的成分，人類的許多發(fā)明、發(fā)現都起源于合情推理。合情推理得出的估計、猜想，經過演繹推理的驗證，如果是正確的，就是人們的創(chuàng)新。如果不正確，還可以修正或者放棄。所以說，演繹推理與合情推理的功能不同，卻相輔相成，缺一不可。既然數學教育曾經忽略了合情推理，那么應該注意加強。新課程重視合情推理，并不意味輕視演繹推理，而是在繼續(xù)重視演繹推理的同時，也關注學生的合情推理能力。心理學認為，演繹推理是必

27、然性推理，只要推理的前提和線索正確，結果就一定正確。合情推理是或然性推理，即使前提正確，結論未必一定正確，其正確性需要證明。小學數學里的不完全歸納推理和類比推理，雖然難以進行嚴格的證明，還是應該讓學生充分經歷兩個過程：一是廣泛地列舉具體事例，即學生人人舉例，各人具的例子不同，從眾多的實例中歸納出來的結論，可靠性和說服力會強些。二是積極尋找反例，只要能夠找到一件反例，就否定了原來的結論。如果實在找不到反例，才能看成正確的結論（嚴格地講，還只是猜想）。7. 應用意識。應用意識有兩個方面的含義，一方面有意識利用數學的概念、原理和方法解釋現實世界中的現象，解決現實世界中問題；另一方面，認識到現實生活中蘊涵著大量與數量和圖形有關的問題，這些問題可以抽象成數學問題，用數學的方法予以解決。在整個數學教育的過程