高等數(shù)學(xué)第三節(jié)_任意項(xiàng)級數(shù)ppt課件

1、定義定義: : 稱正負(fù)相間或負(fù)正相間的級數(shù)為交錯(cuò)級數(shù)稱正負(fù)相間或負(fù)正相間的級數(shù)為交錯(cuò)級數(shù). .nnnv 11)1( )1(1nnnv 或或,321 uuu,321 uuu).0( nv其其中中形如：形如：定理一：萊布尼茨定理定理一：萊布尼茨定理:)1()1(111滿滿足足或或若若交交錯(cuò)錯(cuò)級級數(shù)數(shù) nnnnnnvv);, 2 , 1( ) i (1 nvvnn, 0lim)ii( nnv,則則交交錯(cuò)錯(cuò)級級數(shù)數(shù)收收斂斂,1vs 且且其其和和的的絕絕對對值值定義定義: :nnnv 11)1( )1(1nnnv 或或).0( nv其其中中形如：形如：證明：證明：mmmmvvvvvvs212223212

2、)()( 又又0)()()(21243212 mmmvvvvvvs1v , 0 :) i (1 nnvv知知由由條條件件,lim12vssmm 即即, 0lim)ii12 mmv知知由（由（;2是單調(diào)增加是單調(diào)增加數(shù)列數(shù)列ms;2有有上上界界數(shù)數(shù)列列ms)(limlim12212 mmmmmvss得：得：, s .,1vss 且且所以級數(shù)收斂于和所以級數(shù)收斂于和.)1(11的情形的情形考慮考慮 nnnv., 01vsss 則則又又解解,1,11,1nvnvnn 且且這是交錯(cuò)級數(shù)這是交錯(cuò)級數(shù)由萊布尼茨定理知由萊布尼茨定理知, , 0lim ,1111 nnnnvvnnv且且有有. 1)1(11的

3、的收收斂斂性性判判斷斷級級數(shù)數(shù) nnn例例1 1原萊布尼茨型級數(shù)收斂原萊布尼茨型級數(shù)收斂. .解解且且這是交錯(cuò)級數(shù)這是交錯(cuò)級數(shù),由萊布尼茨定理知由萊布尼茨定理知, ,1nnvv 則則. )1(12)1(11的的收收斂斂性性判判斷斷級級數(shù)數(shù) nnnnn例例2 2原萊布尼茨型級數(shù)收斂原萊布尼茨型級數(shù)收斂. .)1(12)2)(1(321 nnnnnnvvnn)111(2111 nnnnnn121 0 nnv lim 且且)1(12lim nnnn, 0 恣意項(xiàng)級數(shù)恣意項(xiàng)級數(shù)證明證明,nnnuuu 顯顯然然有有),11nnnnnnuuuu 而而二、絕對收斂與條件收斂二、絕對收斂與條件收斂.1收斂收斂

4、則則 nnu定理二定理二, |1收斂收斂若若 nnu:1 nnu.1也收斂也收斂則則 nnu，從從而而有有nnnuuu20 收斂收斂由由 1nnu收收斂斂 12nnu收斂收斂)(1 nnnuu二、絕對收斂與條件收斂二、絕對收斂與條件收斂.,未必成立未必成立反之反之定理二定理二, |1收收斂斂若若 nnu.1也也收收斂斂則則 nnu,)1(11收斂收斂 nnn本定理的作用：本定理的作用：恣意項(xiàng)級數(shù)恣意項(xiàng)級數(shù)正項(xiàng)級數(shù)正項(xiàng)級數(shù).1)1(111發(fā)散發(fā)散但但 nnnnn定義定義: :, 1收收斂斂若若 nnu.1絕對收斂絕對收斂則稱級數(shù)則稱級數(shù) nnu, 11收收斂斂發(fā)發(fā)散散若若 nnnnuu.1條件收

5、斂條件收斂則稱級數(shù)則稱級數(shù) nnu例例3 3.2)1(13的的收收斂斂性性判判斷斷級級數(shù)數(shù) nnnn解解 1nnu故原級數(shù)收斂故原級數(shù)收斂. .,213 nnnnnnnnnnnuu22)1(limlim3131 121 收斂，收斂，則則 1nnu例例4 4. 1122)1(的收斂性的收斂性）（判斷級數(shù)判斷級數(shù) nnnn解解,收斂收斂 1122)1( nnnn）（因?yàn)橐驗(yàn)?112 nn. 1122)1(收收斂斂）（所所以以級級數(shù)數(shù) nnnn例例5 5收收斂斂嗎嗎？）（問問級級數(shù)數(shù) 11tan1nnn解解還還是是絕絕對對收收斂斂？則則是是條條件件收收斂斂若若收收斂斂, 01tan, nvn且且這這

6、是是交交錯(cuò)錯(cuò)級級數(shù)數(shù) ,1nnvv 有有原萊布尼茨型級數(shù)原萊布尼茨型級數(shù), ,是收斂的是收斂的. .nnv lim 且且nn1tanlim 0 解解, 01tan, nvn且且這這是是交交錯(cuò)錯(cuò)級級數(shù)數(shù) ,1nnvv 有有原萊布尼茨型級數(shù)原萊布尼茨型級數(shù), ,是收斂的是收斂的. .nnv lim 且且nn1tanlim 0 111tannnnnu又又)2, 0(,tan xxx且且由由nn11tan 得得 11nn發(fā)散，發(fā)散，而而發(fā)發(fā)散散，則則 11tannn.原級數(shù)條件收斂原級數(shù)條件收斂級數(shù)乘積：級數(shù)乘積：)()(00 nnnnvu13vu4321 vvvv1u2u3u4u 14vu21vu2

7、2vu23vu31vu32vu41vu24vu33vu34vu42vu43vu44vu11vu12vu11vu )(2112vuvu )(312213vuvuvu ，與與且且其其和和分分別別為為 s定理三定理三, 11均為絕對收斂均為絕對收斂和和級數(shù)級數(shù)若若 nnnnvu,收斂收斂則其乘積的級數(shù)也絕對則其乘積的級數(shù)也絕對. s且且其其和和為為. )1cos1()2( ; )1cos1()1(: 11 nnnn判定下列級數(shù)的收斂性判定下列級數(shù)的收斂性解解)1(nn1cos1lim 故原級數(shù)發(fā)散故原級數(shù)發(fā)散. .n1 nnn1)1(21lim2 ,21 ,11發(fā)散發(fā)散又又 nn解解)2(nn1co

8、s1lim 故原級數(shù)收斂故原級數(shù)收斂. .21n 221)1(21limnnn ,21 ,112收收斂斂又又 nn. )1cos1()2( ; )1cos1()1(: 11 nnnn判判定定下下列列級級數(shù)數(shù)的的收收斂斂性性解解)1cos1(limxnnn 0 x, 1cos, 10 x,不存在不存在0 x, 0)1cos1(lim, xnnnx.,原原級級數(shù)數(shù)發(fā)發(fā)散散因因此此對對任任意意 x.)1cos1( 1級級數(shù)數(shù)的的收收斂斂性性判判定定 nxnn思索題思索題1.1.交錯(cuò)級數(shù)的萊布尼茨審斂法交錯(cuò)級數(shù)的萊布尼茨審斂法; ;2.2.絕對收斂絕對收斂, ,條件收斂的概念條件收斂的概念; ;3.3.絕對收斂必收斂絕對收斂必收斂; ;4.4.絕對收斂級數(shù)用比值審斂法斷定為發(fā)散時(shí)絕對收斂級數(shù)用比