數(shù)學(xué)物理方程小結(jié)

1、 數(shù)學(xué)物理方程小結(jié) 第七章 數(shù)學(xué)物理定解問(wèn)題數(shù)學(xué)物理定解問(wèn)題包含兩個(gè)部分：數(shù)學(xué)物理方程（即泛定方程）和定解條件。7.1數(shù)學(xué)物理方程的導(dǎo)出一般方法： 第一確定所要研究的物理量u ,第二 分析體系中的任意一個(gè)小的部分與鄰近部分的相互作用,根據(jù)物理規(guī)律, 抓住主要矛盾, 忽略次要矛盾。（在數(shù)學(xué)上為忽略高級(jí)小量.）第三 然后再把物理量u隨時(shí)間，空間的變?yōu)橥ㄟ^(guò)數(shù)學(xué)算式表示出來(lái), 此表示式即為數(shù)學(xué)物理方程。（一） 三類(lèi)典型的數(shù)學(xué)物理方程（1）波動(dòng)方程： 此方程 適用于各類(lèi)波動(dòng)問(wèn)題。（特別是微小振動(dòng)情況.）（2）輸運(yùn)方程： 此方程 適用于熱傳導(dǎo)問(wèn)題、擴(kuò)散問(wèn)題。（3）Laplace 方程： 穩(wěn)定的溫度和濃度分

2、布適用的數(shù)學(xué)物理方程為L(zhǎng)aplace 方程, 靜電勢(shì)u在電荷密度為零處也滿足Laplace 方程 。7.2定解條件定解條件包含初始條件與邊界條件。（1） 初始條件的個(gè)數(shù)等于方程中對(duì)時(shí)間最高次導(dǎo)數(shù)的次數(shù)。例如波動(dòng)方程應(yīng)有二個(gè)初始條件, 一般選初始位移u（x,o）和初始速度ut（x,0）。而輸運(yùn)方程只有一個(gè)初始條件選為初始分布u（x,o）,而Laplace 方程沒(méi)有初始條件。（2） 三類(lèi)邊界條件第一類(lèi)邊界條件： u( r ,t)| = f （1）第二類(lèi)邊界條件： u n| = f （2）第三類(lèi)邊界條件： ( u+Hun)|= f （3） 其中H為常數(shù).7.3 二階線性偏微分方程分類(lèi) 判別式 波動(dòng)方

3、程是雙曲型的,輸運(yùn)方程為拋物型的,而拉普拉斯方程為橢圓型的.7.4 達(dá)朗貝爾公式對(duì)一維無(wú)界的波動(dòng)方程,當(dāng)不考慮外力時(shí),定解問(wèn)題為對(duì)半無(wú)界問(wèn)題作延拓處理:對(duì)第一類(lèi)齊次邊界條件作奇延拓,而對(duì)第二類(lèi)齊次邊界條件作偶延拓.第八章 分離變量法8.1 分離變量法 主要步驟: 1.邊界條件齊次化,對(duì)非齊次邊界條件首先把它化為齊次的.2.分離變量 u(x,t) =X(x) T(t) （1）以后對(duì)三維問(wèn)題也是如此3. 將（1）式代入原方程得出含任意常數(shù)的常微分方程, (稱(chēng)為本征方程) 而為本征值.4.由齊次邊界條件確定本征值,并求出本征方程.(得出的解為本征函數(shù))5.根據(jù)迭加原理把所有滿足方程的線性無(wú)關(guān)解迭加后

4、,就能得通解.6.再由初始條件確定系數(shù).一維波動(dòng)方程在第一類(lèi)齊次邊界條件下的一維波動(dòng)方程在第二類(lèi)齊次邊界條件下的通解:一維輸運(yùn)方程在第一類(lèi)齊次邊界條件下的通解:一維輸運(yùn)方程在第二類(lèi)齊次邊界條件下的通解: 對(duì)其他的齊次邊界條件,如本征函數(shù)已知也可直接求解,而對(duì)本征函數(shù)不熟則只能用分離變量法來(lái)求解.8.2 非齊次邊界條件的處理 常用方法有 1) 直線法 :對(duì)邊界條件為: u(0,t)=g(t), u(L,t)=h(t) .令 ,可把邊界條件化為齊次,但一般情況下方程變?yōu)榉驱R次. 只有當(dāng)g,h為常數(shù)時(shí),方程才不變.2) 特解法把 u化為兩部分,令 u=v+w 使v滿足齊次邊界條件與齊次方程,而使w滿

5、足齊次方程與非齊次邊界條件.下面通過(guò)實(shí)例來(lái)介紹此方法.例題求解下列定解問(wèn)題 Utta2 Uxx = 0 U|x=0 =0, U|x=L= ASint U|t=0 = 0 , Utt=0 = 0( 其中A 、為常數(shù), 0xL , 0 t ）解：令 u=v+w ,使w滿足波動(dòng)方程與非齊次邊界條件,得出 第九章 二階常微分方程的級(jí)數(shù)解法本征值問(wèn)題一.拉普拉斯方程與亥姆霍斯方程在球坐標(biāo)與柱坐標(biāo)下分 離變量結(jié)果.1. 拉普拉斯方程在球坐標(biāo)下的通解:其中Ylm為球函數(shù),拉普拉斯方程在球坐標(biāo)下的解不依賴(lài)于邊界條件.在軸對(duì)稱(chēng)時(shí)(1)式退化為2. 拉普拉斯方程在柱坐標(biāo)下:(5)式其解為m階Bessel函數(shù),解依

6、賴(lài)于邊界條件,當(dāng)上下底為邊界條件是齊次時(shí),0.對(duì)應(yīng)的解是虛貝塞爾函數(shù).3） 亥姆霍斯方程在球坐標(biāo)與柱坐標(biāo)下分離變量結(jié)果.在球坐標(biāo)下: 其中Y為球函數(shù),R為球貝塞爾函數(shù).在柱坐標(biāo)下: .(5)式其解為m階Bessel函數(shù),二、常微分方程的級(jí)數(shù)解法1. 掌握常點(diǎn)鄰域的級(jí)數(shù)解法.2. 掌握正則奇點(diǎn)鄰域的級(jí)數(shù)解法. 3.知道無(wú)窮級(jí)數(shù)退化為多項(xiàng)式的方法.三. 知道Sturm-Livouville本征值問(wèn)題的共同性質(zhì)當(dāng)k(x),q(x)和(x)都只取非負(fù)的值(0), Sturm-Livouville方程共同性質(zhì)為:1)當(dāng)k(x),k(x)和q(x)連續(xù)且x=a和x=b最多為一階極點(diǎn)時(shí),存在無(wú)限多個(gè)本征值及

7、對(duì)應(yīng)的本征函數(shù):2)所有本征值n03)對(duì)應(yīng)于不同本征值的本征函數(shù)帶權(quán)正交4)本征函數(shù)族構(gòu)成完備系第十章 球函數(shù)1. 軸對(duì)稱(chēng)的球函數(shù)當(dāng)物理問(wèn)題繞某一軸轉(zhuǎn)動(dòng)不變時(shí),選此軸為z軸這時(shí)物理量u就與無(wú)關(guān),m=0.此時(shí)球函數(shù)Y(,)就為L(zhǎng)階勒讓德多項(xiàng)式.即Y=Pl (cos)1) 勒讓德多項(xiàng)式1. 勒讓德多項(xiàng)式級(jí)數(shù)形式:2. 勒讓德多項(xiàng)式微分形式:3.前幾項(xiàng)為:P0(x)= 1,P1(x) =x=cos,P2(x)=(3x2-1)/2, .一般勒讓德多項(xiàng)式的冪次取決L當(dāng)L為偶數(shù)時(shí)都為偶次冪項(xiàng),L為奇數(shù)時(shí)都為奇次冪項(xiàng). 對(duì)特殊點(diǎn)x=1,0.4.勒讓德多項(xiàng)式正交關(guān)系(3)5.勒讓德多項(xiàng)式的模 (4)6.廣義傅

8、里葉級(jí)數(shù) :當(dāng)f(x)在-1,1連續(xù)可導(dǎo),且在x=-1與1有限時(shí). (5)7.在球坐標(biāo)下Laplace方程: u= 0的通解為:軸對(duì)稱(chēng) (6)式有兩系數(shù)需要兩條件來(lái)確定,對(duì)球坐標(biāo)有兩自然邊界條件,r=0與r,球內(nèi)解包含r=0,u有限, (7)而Al由球面的邊界條件確定,同樣對(duì)球外區(qū)域兩系數(shù)由球面的邊界條件與r, 兩個(gè)條件確定.8. 母函數(shù) (8)9. 遞推公式二.連帶勒讓德函數(shù)在一般情況下,物理量u與有關(guān),故球函數(shù)Y是連帶勒讓德函數(shù)與周期函數(shù)的乘積.1. 連帶勒讓德函數(shù) (1)2.連帶勒讓德函數(shù)的微分表示 (2)從(2)可得當(dāng)L一定時(shí),m的取值為 m=0,1,2L.共有L+1個(gè)值.而三角形式球

9、函數(shù)Y（,）中,cosm,sinm為不同態(tài),共有2L+1個(gè)態(tài).3.正交關(guān)系4. 球函數(shù)Y的兩種表示形式. 第十一章 柱函數(shù)一、 掌握三類(lèi)柱函數(shù)的基本性質(zhì)一般我們稱(chēng)Bessel函數(shù)Jm(x)為第一類(lèi)柱函數(shù).而把Neumann函數(shù)Nm(x)稱(chēng)為第二類(lèi)柱函數(shù) .1）對(duì)于第一類(lèi)柱函數(shù)與第二類(lèi)柱函數(shù)的線性組合.稱(chēng)為第一種與第二種漢克爾函數(shù).而漢克爾函數(shù)稱(chēng)為第三類(lèi)柱函數(shù) 2) x0和x時(shí)的行為3) 遞推公式4） 貝塞爾函數(shù)的零點(diǎn)對(duì)m階貝塞爾方程對(duì)第一類(lèi)齊次邊界條件 得出第n個(gè)零點(diǎn)對(duì)第二類(lèi)齊次邊界條件二貝塞爾函數(shù)的正交關(guān)系. 對(duì)于不同本征值的同階貝塞爾函數(shù)在區(qū)間 0,0上帶權(quán)重正交. 2）廣義傅里葉- 貝塞

10、爾級(jí)數(shù) 3）Laplace在柱坐標(biāo)下的通解 軸對(duì)稱(chēng)m=0,柱內(nèi)解為 在側(cè)面為第一類(lèi)齊次邊界條件時(shí) 其中系數(shù)An,Bn由上下底邊界條件確定. 在上下底為齊次邊界條件時(shí), 0,R的解為虛宗量貝塞爾函數(shù).記為Im(x) 同樣可得Laplace方程在柱內(nèi)解 當(dāng)軸對(duì)稱(chēng)時(shí)m=0 上下底滿足第一類(lèi)齊次邊界條件時(shí)解為 輸運(yùn)方程與波動(dòng)方程在柱坐標(biāo)下的解 1) 解的形式: u(r,t)=T(t)v(r) V滿足亥姆霍茲方程.在側(cè)面與上下底齊次邊界條件下能完全確定本征值,例如上下底滿足第一類(lèi)齊次邊界條件.在軸對(duì)稱(chēng)情況下m=0對(duì)輸運(yùn)方程柱內(nèi)的解:上下底滿足第一類(lèi)齊次邊界條件波動(dòng)方程在柱內(nèi)的解: 在上下底滿足第一類(lèi)齊次邊界條件下 二維極坐標(biāo)下的解: 側(cè)面滿足第一類(lèi)齊次邊界條件 （3） 側(cè)面滿足第二類(lèi)齊次邊界條件 第十二章 積分變換法 一、傅里葉變換法 1。掌握傅里葉變換法的適用條件，即方程中的一個(gè)變量是在 (-,)范圍內(nèi)時(shí),可用Fourier 變換法. 2。能用傅里葉變換法