數(shù)學(xué)經(jīng)典例題同角三角函數(shù)的基本關(guān)系

1、1已知某角的一個(gè)三角函數(shù)值，求該角的其他三角函數(shù)值解  sin0角在第三或第四象限(不可能在y軸的負(fù)半軸上)(2)若在第四象限，則說(shuō)明  在解決此類(lèi)問(wèn)題時(shí)，要注意：(1)盡可能地確定所在的象限，以便確定三角函數(shù)值的符號(hào)(2)盡可能地避免使用平方關(guān)系(在一般情況下只要使用一次)(3)必要時(shí)進(jìn)行討論 例2  已知sin=m(|m|1)，求tg的值(2)當(dāng)m=±1時(shí)，的終邊在y軸上，tg無(wú)意義(3)當(dāng)在、象限時(shí)，cos0當(dāng)在第、象限時(shí)，cos0，說(shuō)明  (1)在對(duì)角的范圍進(jìn)行討論時(shí)，不可遺漏終邊在坐標(biāo)軸上的情況(2)本題在進(jìn)行討論時(shí)，為什么以cos的

2、符號(hào)作為分類(lèi)的標(biāo)準(zhǔn)，而不按sin的符號(hào)(即m的符號(hào))來(lái)分類(lèi)討論呢？你能找到這里的原因并概括出所用的技巧嗎？2三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)的結(jié)果應(yīng)滿足下述要求：(1)函數(shù)種類(lèi)盡可能地少(2)次數(shù)盡可能地低(3)項(xiàng)數(shù)盡可能地少(4)盡可能地不含分母(5)盡可能地將根號(hào)中的因式移到根號(hào)外面來(lái)化簡(jiǎn)的總思路是：盡可能地化為同類(lèi)函數(shù)再化簡(jiǎn)例3  化簡(jiǎn)sin2·tg+cos2·ctg+2sincos=sec·csc解2  原式=(sin2·tg+sin·cos)+(cos2·ctg+sincos)=tg·(sin2

3、+cos2)+ctg(sin2+cos2)=tg+ctg=sec·csc說(shuō)明  (1)在解1中，將正切、余切化為正弦、余弦再化簡(jiǎn)，仍然是循著減少函數(shù)種類(lèi)的思路進(jìn)行的(2)解2中的逆用公式將sin·cos用tg表示，較為靈活，解1與解2相比，思路更自然，因而更實(shí)用例4  化簡(jiǎn)：分析  將被開(kāi)方式配成完全平方式，脫去根號(hào)，進(jìn)行化簡(jiǎn)3三角恒等式的證明證明三角恒等式的過(guò)程，實(shí)際上是化異為同的過(guò)程，即化去形式上的異，而呈現(xiàn)實(shí)質(zhì)上的同，這個(gè)過(guò)程，往往是從化簡(jiǎn)開(kāi)始的這就是說(shuō)，在證明三角恒等式時(shí)，我們可以從最復(fù)雜處開(kāi)始例5  求證 cos(2sec+

4、tg)(sec-2tg)=2cos-3tg分析  從復(fù)雜的左邊開(kāi)始證得右邊=2cos-3tg=右邊例6  證明恒等式(1)1+3sin2sec4+tg6=sec6(2)(sinA+ secA)3+(cosA+cscA)2=(1+secAcscA)2分析  (1)的左、右兩邊均較復(fù)雜，所以可以從左、右兩邊同時(shí)化簡(jiǎn)證明  (1)右邊-左邊=sec6-tg6-3sin2sec4-1=(sec2-tg2)(sec4+sec2·tg2+tg2)-3sin2sec4-1=(sec4-2sec2tg2+tg2)-1=(sec2-tg2)2-1=0等式成立=s

5、in2A+cos2A=1故原式成立在解題時(shí)，要全面地理解“繁”與“簡(jiǎn)”的關(guān)系實(shí)際上，將不同的角化為同角，以減少角的數(shù)目，將不同的函數(shù)名稱(chēng)，化為同名函數(shù)，以減少函數(shù)的種類(lèi)，都是化繁為簡(jiǎn)，以上兩點(diǎn)在三角變換中有著廣泛的應(yīng)用分析1  從右端向左端變形，將“切”化為“弦”，以減少函數(shù)的種類(lèi)分析2  由1+2sinxcosx立即想到(sinx+cosx)2，進(jìn)而可以約分，達(dá)到化簡(jiǎn)的目的說(shuō)明  (1)當(dāng)題目中涉及多種名稱(chēng)的函數(shù)時(shí)，常常將切、割化為弦(如解法1)，或?qū)⑾一癁榍?如解法2)以減少函數(shù)的種類(lèi)(2)要熟悉公式的各種變形，以便迅速地找到解題的突破口，請(qǐng)看下列=sec+tg等式成立說(shuō)明  以上證明中采用了“1的代換”的技巧，即將1用sec2-tg2代換，可是解題者怎么會(huì)想到這種代換的呢？很可能，解題者在采用這種代換時(shí)，已經(jīng)預(yù)見(jiàn)到代換后