數(shù)學(xué)建模減肥計(jì)劃

1、減肥計(jì)劃節(jié)食與運(yùn)動(dòng)摘要：肥胖已成為公眾日益關(guān)注的衛(wèi)生健康問(wèn)題。肥胖是與目前嚴(yán)重危害人類(lèi)健康疾病，如糖尿病、高血壓、冠心病、血脂異常、膽囊疾病、痛風(fēng)、骨關(guān)節(jié)病、阻塞性睡眠呼吸暫停、某些癌癥等的發(fā)病有明顯相關(guān)的危險(xiǎn)因素之一。但是實(shí)際情況確是違禁廣告屢禁不止。之所以造成這種情況的原因很多，但是有一個(gè)重要原因就是科學(xué)素質(zhì)低，不知道應(yīng)該從生理機(jī)理，特別是從數(shù)學(xué)模型的角度來(lái)考慮和認(rèn)識(shí)問(wèn)題。數(shù)學(xué)模型的優(yōu)點(diǎn)是科學(xué)的解釋了肥胖的機(jī)理，引導(dǎo)群眾合理科學(xué)的減肥。關(guān)鍵詞：減肥 飲食 合理運(yùn)動(dòng)一、問(wèn)題重述聯(lián)合國(guó)世界衛(wèi)生組織頒布的體重指數(shù)（簡(jiǎn)記BMI）定義為體重（單位：kg）除以身高（單位：m）的平方，規(guī)定BMI在18.

2、5至25為正常，大于25為超重，超過(guò)30則為肥胖。據(jù)悉，我國(guó)有關(guān)機(jī)構(gòu)對(duì)東方人的特點(diǎn)，擬將上述規(guī)定中的25改為24，30改為29。在國(guó)人初步過(guò)上小康生活以后，不少自感肥胖的人紛紛奔向減肥食品的柜臺(tái)?？墒谴罅渴聦?shí)說(shuō)明，多數(shù)減肥食品達(dá)不到減肥的目標(biāo)，或者即使能減肥一時(shí)，也難以維持下去。許多醫(yī)生和專(zhuān)家的意見(jiàn)是，只有通過(guò)控制飲食和適當(dāng)?shù)倪\(yùn)動(dòng)，才能在不傷害身體的條件下，達(dá)到減輕體重并維持下去的目的。肥胖是與目前嚴(yán)重危害人類(lèi)健康疾病，如糖尿病、高血壓、冠心病、血脂異常、膽囊疾病、痛風(fēng)、骨關(guān)節(jié)病、阻塞性睡眠呼吸暫停、某些癌癥等的發(fā)病有明顯相關(guān)的危險(xiǎn)因素之一。肥胖也是身體健康的晴雨表，反映著體內(nèi)多方面的變化。很

3、多人在心理上害怕自己變得肥胖，追求苗條，因而減肥不僅是人們經(jīng)常聽(tīng)到的話題，更有人花很多的時(shí)間和金錢(qián)去付諸實(shí)踐的活動(dòng)，從而也就造成了各種減肥藥、器械和治療方法的巨大的市場(chǎng)。各種假藥或?qū)ι眢w有害的藥品和治療方法、夸大療效的虛假?gòu)V告等等就應(yīng)運(yùn)而生了，對(duì)老百姓造成了不應(yīng)有的傷害。情況的嚴(yán)重使得國(guó)家廣電總局、新聞出版總署等不得不發(fā)出通知，命令所有電視臺(tái)自2006年8月1日起停止播出豐胸、減肥等產(chǎn)品的電視購(gòu)物節(jié)目。但是實(shí)際情況確是違禁廣告屢禁不止。之所以造成這種情況的原因很多，但是有一個(gè)重要原因就是科學(xué)素質(zhì)低，不知道應(yīng)該從生理機(jī)理，特別是從數(shù)學(xué)模型的角度來(lái)考慮和認(rèn)識(shí)問(wèn)題。二、模型分析通常，當(dāng)體內(nèi)能量守恒被

4、破壞時(shí)就會(huì)引起體重的變化。人們通過(guò)飲食吸收熱量，轉(zhuǎn)化為脂肪等，導(dǎo)致體重增加；又由于代謝和運(yùn)動(dòng)消耗熱量，引起體重減少。只要作適當(dāng)?shù)暮?jiǎn)化假設(shè)就可得到體重變化的關(guān)系。減肥計(jì)劃應(yīng)以不傷害身體為前提，這可以用吸收熱量不要過(guò)少、減少體重不要過(guò)快來(lái)表達(dá)。當(dāng)然，增加運(yùn)動(dòng)量是加速減肥的有效手段，也要在模型中加以考慮。每日膳食中，營(yíng)養(yǎng)的供給是作為保證正常人身體健康而提出的膳食質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)，營(yíng)養(yǎng)素的要求量是指維持身體正常的生理能所需的營(yíng)養(yǎng)素的數(shù)量，如果人們?cè)陲嬍持袛z入營(yíng)養(yǎng)素的數(shù)量低于這個(gè)數(shù)量，將使身體產(chǎn)生不利的影響。(每天膳食提供的熱量不少于50007500J這是維持正常命活動(dòng)的最少熱量) 通常，制定減肥計(jì)劃以周為時(shí)間

5、單位比較方便，所以這里用離散時(shí)間模型差分方程模型來(lái)談?wù)?。三、模型假設(shè)根據(jù)上述分析，參考有關(guān)生理數(shù)據(jù)，作出以下簡(jiǎn)化假設(shè)：1.體重增加正比于吸收的熱量，平均每8000kcal增加體重1kg（kcal為非國(guó)際單位制單位1kcal=4.2kj）；2.正常代謝引起的體重減少正比于體重，每周每公斤體重消耗熱量一般在200kcal至320kcal之間，且因人而異，這相當(dāng)于體重70kg的人每天消耗2000kcal3200kcal；3.運(yùn)動(dòng)引起的體重減少正比于體重，且與運(yùn)動(dòng)形式有關(guān)；4.為了安全與健康，每周體重減少不宜超過(guò)1.5kg，每周吸收熱量不要小于10000kcal。符號(hào)說(shuō)明：（k）第k周末的體重c（k）

6、第k周吸收的熱量熱量轉(zhuǎn)換系數(shù)代謝消耗系數(shù)c每周吸收的熱量cmin吸收熱量的下限運(yùn)動(dòng)熱消耗t運(yùn)動(dòng)時(shí)間四、基本模型記第k周末體重為（k），第k周吸收熱量為c（k），熱量轉(zhuǎn)換系數(shù)=1/8000（kg/kcal），代謝消耗系數(shù)（因人而異），則在不考慮運(yùn)動(dòng)情況下體重變化的基本方程為(k+1)= (k)+ c(k+1)(k),k=0，1，2，（1）增加運(yùn)動(dòng)時(shí)只需將改為+1，1由運(yùn)動(dòng)的形式和時(shí)間決定。五、減肥計(jì)劃的提出某甲身高1.7m，體重100kg，BMI高達(dá)34.6。自述目前每周吸收20000kcal熱量，體重長(zhǎng)期不變。試為他按照以下方式制訂減肥計(jì)劃，使其體重減至75kg并維持下去：1）在基本上不運(yùn)動(dòng)的

7、情況下安排一個(gè)兩階段計(jì)劃，第一階段：每周減肥1kg，每周吸收熱量逐漸減少，直至達(dá)到安全的下限（10000kcal）；第二階段：每周吸收熱量保持下限，減肥達(dá)到目標(biāo)。2）若要加快進(jìn)程，第二階段增加運(yùn)動(dòng)，重新安排第二階段計(jì)劃。3）給出達(dá)到目標(biāo)后維持體重的方案。六、減肥計(jì)劃的制訂1）首先應(yīng)確定某甲的代謝消耗系數(shù)。根據(jù)他每周吸收c=20000kcal熱量，體重=100kg不變，由（1）式得=+c， =c/=20000/8000/100=0.025相當(dāng)每周每公斤體重消耗熱量20000/100=200kcal。從假設(shè)2可以知道，某甲屬于代謝消耗相當(dāng)弱的人，他又吃得那么多，難怪如此之胖。第一階段要求體重每周減

8、少b=1kg，吸收熱量減至下限cmin=10000kcal，即(k)(k+1)=b，(k)= (0)bk由基本模型（1）式可得c(k+1)= (k)b= (0) (1+k)將，b的數(shù)值代入，并考慮下限cmin，有c(k+1)=12000200kcmin=10000得k10，即第一階段共10周，按照c(k+1)=12000200k，k=0，1，9（2）吸收熱量，可使體重每周減少1kg，至10周末達(dá)到90kg。第二階段要求每周吸收熱量保持下限cmin，由基本模型（1）式可得(k+1)=(1) (k)+ cmin（3）為了得到體重減至75kg所需的周數(shù)，將（3）式遞推可得(k+n)=(1)n(k)+

9、 cmin1+(1) +(1)n-1= (1)n(k)cmin/+ cmin/已知(k)=90，要求(k+n)=75，再以，cmin的數(shù)值代入，（4）式給出75=0.975n(9050)+50（5）得到n=19，即每周吸收熱量保持下限10000kcal，再有19周體重可減至75kg。配餐方案：常見(jiàn)食物熱量：食物數(shù)量熱量（kcal）米飯1碗（135g）200面條1碗（135g）280煎蛋1只136大餅雞蛋1個(gè)165饅頭1個(gè)280小米粥100g46豆腐100g57青椒土豆絲100g72草魚(yú)100g113西紅柿雞蛋湯100g14豆腐腦100g47烤饃片100g221炸雞腿100g261什錦炒飯1份8

10、00蘋(píng)果1個(gè)55梨1個(gè)45方便面1份470花卷100g217豬肉水餃一個(gè)40燒餅100g326水煮土豆100g67土豆粉100g337素什錦100g173韭菜包子100g199煎餅100g304配餐方案：星期一星期二星期三星期四星期五星期六星期日早餐小米粥、大餅雞蛋豆腐腦、烤饃片西紅柿雞蛋湯、饅頭方便面湯、花卷小米粥、燒餅豆腐腦、烤饃片西紅柿雞蛋湯、烤饃片午餐米飯、豆腐、煎蛋、草魚(yú)西紅柿刀削面、蘋(píng)果米飯、炸雞腿、梨豬肉水餃、蘋(píng)果米飯、水煮土豆、豆腐西紅柿刀削面、炸雞腿米飯、草魚(yú)、煎蛋、蘋(píng)果晚餐西紅柿雞蛋湯、烤饃片小米粥、饅頭小米粥、什錦炒飯豆腐腦、大餅雞蛋、饅頭西紅柿雞蛋湯、烤饃片小米粥、素什

11、錦、饅頭小米粥、韭菜包子、煎餅2）為加快進(jìn)程，第二階段增加運(yùn)動(dòng)。經(jīng)過(guò)調(diào)查資料得到以下各項(xiàng)運(yùn)動(dòng)每小時(shí)每公斤體重消耗的熱量：運(yùn)動(dòng)跑步跳舞乒乓自行車(chē)（中速）游泳（50m/min）熱量消耗（kcal）7.03.04.42.57.9記表中熱量消耗，每周運(yùn)動(dòng)時(shí)間t，為利用基本模型（1）式，只需將改為+t，即(k+1)= (k)+ c(k+1)(+t) (k)（6）試取t=0.003，即t=24，則（4）式中的=0.025應(yīng)改成+t=0.028，（5）式為75=0.0972n(9044.6)+44.6（7）得到n=14，即若增加t=24的運(yùn)動(dòng)，就可將第二階段的時(shí)間縮短為14周。3）最簡(jiǎn)單的維持體重75kg的方案，是尋求每周吸收熱量保持某常數(shù)c，使(k)不變。由（6）式得=+c(+t) c=(+t) /（8）若不運(yùn)動(dòng)，容易算出c=15000kcal；若運(yùn)動(dòng)（內(nèi)容同上），則c=16800kcal。七、評(píng)注人體體重的變化是有規(guī)律可循的，減肥也應(yīng)科學(xué)化、定量化。這個(gè)模型雖然只考慮了一個(gè)非常簡(jiǎn)單的情況，但是它對(duì)專(zhuān)門(mén)從事減肥這項(xiàng)活動(dòng)（甚至作為一項(xiàng)事業(yè)）的人來(lái)說(shuō)也不無(wú)參考價(jià)值。體重的變化與每個(gè)