數(shù)學(xué)模型論文

1、東 北 大 學(xué)研 究 生 考 試 試 卷評(píng)分考試科目： 數(shù)學(xué)模型 課程編號(hào)： 閱 卷 人： 考試日期： 2011.12 姓 名： 王艷超 2班 學(xué) 號(hào)： 1170380 注 意 事 項(xiàng)1考 前 研 究 生 將 上 述 項(xiàng) 目 填 寫 清 楚2字 跡 要 清 楚，保 持 卷 面 清 潔3交 卷 時(shí) 請(qǐng) 將 本 試 卷 和 題 簽 一 起 上 交東北大學(xué)研究生院數(shù)學(xué)模型在人口預(yù)測(cè)中的應(yīng)用緒論隨著社會(huì)的發(fā)展和科技的進(jìn)步，數(shù)學(xué)愈來愈向其它科技領(lǐng)域滲透，數(shù)學(xué)模型的研究愈來愈廣泛和深入.物理和力學(xué)是數(shù)學(xué)應(yīng)用的傳統(tǒng)領(lǐng)域，其中有許多著名的數(shù)學(xué)模型.然而，以前數(shù)學(xué)在化學(xué)、生物等自然學(xué)科中應(yīng)用的很少.近年來，情況

2、發(fā)生了變化.最近幾個(gè)世紀(jì)以來世界的人口增加的很快，數(shù)學(xué)模型的方法在研究人口的預(yù)測(cè)的領(lǐng)域得到了越來越廣泛的重視.有人預(yù)計(jì)到21世界的中葉，人類將超過100億.地球上可供人類利用的資源是十分有限的，世界人口的迅速膨脹，特別是發(fā)展中國家過高的人孔增長率成為一個(gè)十分嚴(yán)峻的問題.另一方面，當(dāng)前許多國家人口的年齡結(jié)構(gòu)不合理，出現(xiàn)人口老齡化的趨勢(shì)，產(chǎn)生了一系列新的社會(huì)問題.面臨這樣的形勢(shì)，人類必須進(jìn)行自我控制，既要抑制人口增長的過快形勢(shì)又要使人口的年齡結(jié)構(gòu)有一個(gè)合理的分布.要實(shí)現(xiàn)此目標(biāo)必須建立人口的預(yù)測(cè)和控制的數(shù)學(xué)模型，為正確的的人口政策提供科學(xué)的依據(jù).一 人口預(yù)測(cè)模型綜述人口預(yù)測(cè)是指以人口現(xiàn)狀為基礎(chǔ)，對(duì)未

3、來人口的發(fā)展趨勢(shì)提出合理的控制要求和假定條件即參數(shù)條件，來獲得對(duì)未來人口數(shù)據(jù)提出預(yù)報(bào)的技術(shù)或方法.未來人口規(guī)模是土地利用規(guī)劃中確定各類土地需求量控制性指標(biāo)、調(diào)整土地利用結(jié)構(gòu)，實(shí)現(xiàn)土地供需平衡，解決人地矛盾的重要依據(jù).因此，探討人口預(yù)測(cè)方法在土地利用規(guī)劃中的合理應(yīng)用，對(duì)土地利用規(guī)劃和土地可持續(xù)發(fā)展有著十分重要的意義.常用人口預(yù)測(cè)方法有人口自然增長法、線性回歸法、移動(dòng)平均法、指數(shù)平滑法、灰色預(yù)測(cè)法、系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方法、人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測(cè)法、馬爾薩斯（Malthus）模型、Logistic人口預(yù)測(cè)模型、Leslie人口預(yù)測(cè)模型預(yù)測(cè)、宋健人口預(yù)測(cè)模型、王廣州系統(tǒng)仿真結(jié)構(gòu)功能模型等.除以上方法外，一些學(xué)者還利

4、用SPSS統(tǒng)計(jì)軟件、資源環(huán)境容量、土地承載力、生命表法、Berta lanffy模型、數(shù)學(xué)期望等對(duì)人口預(yù)測(cè)進(jìn)行了一些研究.另外，由于預(yù)測(cè)方法種類繁多，運(yùn)用組合預(yù)測(cè)的的方法也有研究.下面分別敘述之.（1） 人口自然增長法 自然增長法是土地利用規(guī)劃中人口預(yù)測(cè)最常用的方法.自然增長法是以現(xiàn)有人口為基數(shù)，根據(jù)人口的年平均增長率，自然增長率和人口機(jī)械增長數(shù)來確定規(guī)劃目標(biāo)年的總?cè)丝跀?shù).常采用的公式有兩種，即： (1) (2)式中：P為規(guī)劃目標(biāo)年的總?cè)丝跀?shù)；N為規(guī)劃基礎(chǔ)年的總?cè)丝跀?shù)；R為規(guī)劃期人口年平均增長率；r 為規(guī)劃期人口自然增長率；n 為規(guī)劃年限；G為人口機(jī)械增長數(shù)（遷入與遷出之間的差數(shù)）.利用以上兩

5、個(gè)公式預(yù)測(cè)時(shí)，關(guān)鍵是要指定各個(gè)參數(shù)的值，在以上參數(shù)值準(zhǔn)確的前提下，自然增長法具有普遍的適用性.（二）線性回歸法 1.一元線性回歸.用一元線性回歸法預(yù)測(cè)的基本思想是:：按照兩個(gè)變量X、Y的現(xiàn)有數(shù)據(jù)，把X、Y作為已知數(shù)，根據(jù)回歸方程尋求合理的a、b，確定回歸曲線.再把a(bǔ)、b作為已知數(shù)，去確定X、Y的未來演變.一元線性回歸方程為： （3）一元回歸模型在短時(shí)期內(nèi)精度最好，但對(duì)于中長期外推預(yù)測(cè)，由于置信區(qū)間在擴(kuò)大，誤差較大，尤其在轉(zhuǎn)折時(shí)期，函數(shù)形式發(fā)生變化，誤差更大.一元線性回歸一般適用于人口數(shù)據(jù)變動(dòng)平穩(wěn)、直線趨勢(shì)較明顯的預(yù)測(cè).2. 多元線性回歸.人類社會(huì)系統(tǒng)是由人口和其他多種要素組成，同時(shí)與各要素之間

6、相互聯(lián)系、相互影響和相互制約.因此可以根據(jù)人口與其他多種要素之間的定量關(guān)系，預(yù)測(cè)出未來不同發(fā)展階段的人口.模型為： (4)利用最小二乘法估計(jì)偏回歸系數(shù)、.多元回歸分析方法通過研究人口數(shù)量的變化與有關(guān)經(jīng)濟(jì)社會(huì)變量的關(guān)系探討人口變化的規(guī)律，預(yù)測(cè)人口的變化趨勢(shì).優(yōu)點(diǎn)是考慮了人口發(fā)展與社會(huì)經(jīng)濟(jì)的密切關(guān)系，通過探索他們之間的關(guān)系來間接推算人口走勢(shì)，比較符合實(shí)際.缺點(diǎn)是人口與社會(huì)經(jīng)濟(jì)變量之間的關(guān)系并非直接的關(guān)系，而且各變量之間又相互關(guān)聯(lián)，選擇最佳的指標(biāo)、模型都比較困難.（3） 移動(dòng)平均法 一次移動(dòng)平均數(shù).一次移動(dòng)平均數(shù)計(jì)算公式： (5)式中：為第t周期的一次移動(dòng)平均數(shù)；為第t周期的人口數(shù)據(jù)；n為計(jì)算移動(dòng)平

7、均數(shù)所選周期個(gè)數(shù).一般而言，如果實(shí)際數(shù)據(jù)沒有明顯周期變化和趨勢(shì)變化，則可用作為t+1周期預(yù)測(cè)值.在實(shí)際應(yīng)用移動(dòng)平均法時(shí)，移動(dòng)平均項(xiàng)數(shù)N的選擇十分關(guān)鍵，它取決于預(yù)測(cè)目標(biāo)和實(shí)際數(shù)據(jù)的變化規(guī)律.如果N值（周期）選擇較大，則預(yù)測(cè)的結(jié)果較小，反之預(yù)測(cè)值較大.在選擇值的時(shí)候，要通過多個(gè)N值進(jìn)行試算比較而定，哪個(gè)N值引起的預(yù)測(cè)誤差小，就采用哪個(gè).（4） 指數(shù)平滑法一次指數(shù)平滑法的計(jì)算公式為： （6）式中：為第t 周期的一次指數(shù)平滑值；為第t周期的實(shí)際人口值；為平滑系數(shù)，01.在指數(shù)平滑法中，預(yù)測(cè)成功的關(guān)鍵是的選擇.的大小規(guī)定了在新預(yù)測(cè)值中新數(shù)據(jù)和原預(yù)測(cè)值所占的比例. 值愈大，新數(shù)據(jù)所占的比重就愈大，原預(yù)測(cè)值

8、所占比重就愈小，反之亦然.從其方法原理上可以看出，移動(dòng)平均法和指數(shù)平滑法適用于歷史人口數(shù)據(jù)較少，人口發(fā)展趨勢(shì)與過去相同的情形下的人口預(yù)測(cè).（5） 灰色預(yù)測(cè)法灰色系統(tǒng)理論把受眾多因素影響，而又無法確定那些復(fù)雜關(guān)系的量，稱為灰色量.對(duì)灰色量進(jìn)行預(yù)測(cè)，不必拼湊一堆數(shù)據(jù)不準(zhǔn)、關(guān)系不清、變化不明的參數(shù)，而是從自身的時(shí)間序列中尋找有用信息，建立和利用模型，發(fā)現(xiàn)和認(rèn)識(shí)內(nèi)在規(guī)律，并進(jìn)行預(yù)測(cè).在土地利用規(guī)劃中通常采用最簡(jiǎn)單的灰色模型GM（1,1）來進(jìn)行人口預(yù)測(cè).灰色預(yù)測(cè)最大的特點(diǎn)在于不必追求大量歷史數(shù)據(jù)，也不苛求它的典型分布.而是對(duì)已掌握的部分信息進(jìn)行合理的技術(shù)處理，通過建立模型，在更高的層次上，對(duì)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)過程

9、進(jìn)行科學(xué)的描述，甚至利用幾個(gè)數(shù)據(jù)即可建模進(jìn)行預(yù)測(cè).因此當(dāng)人口發(fā)展規(guī)律呈非線性、無規(guī)律可循或資料不全的情況下可用此方法進(jìn)行預(yù)測(cè).（6） 系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方法系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)的模型是按照系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)理論建立起來的數(shù)學(xué)模型，采用專用語言，借助計(jì)算機(jī)進(jìn)行系統(tǒng)模擬，并通過運(yùn)行得出由多項(xiàng)指標(biāo)組合而成的預(yù)測(cè)值后，根據(jù)需要與可能選擇最優(yōu)的預(yù)測(cè)值和相應(yīng)的實(shí)施方案.系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)法是研究系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)行為和評(píng)價(jià)系統(tǒng)采用各種不同策略所產(chǎn)生的行動(dòng)效果的行之有效的方法.它是預(yù)測(cè)人口長期趨勢(shì)、確定人口政策的定性結(jié)合定量的最先進(jìn)的模擬實(shí)驗(yàn)技術(shù)，但也有缺點(diǎn)和困難之處.分析問題、收集資料、建立模型和求證的過程都要消耗一定的財(cái)力、物力和人力，還需要占

10、用大量的計(jì)算機(jī)工作時(shí)間；建模人的專業(yè)水平直接影響模型的質(zhì)量和結(jié)果.由于人們往往對(duì)系統(tǒng)的基本結(jié)構(gòu)缺乏足夠的了解，在建模過程中對(duì)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)作一些簡(jiǎn)單化的假設(shè)；很難驗(yàn)證預(yù)測(cè)結(jié)果的真實(shí)性.因?yàn)榻Ｕ叩闹鲗?dǎo)思想和諸多變量都影響著預(yù)測(cè)結(jié)果，而這些影響因素的正確性經(jīng)過實(shí)踐才能得到驗(yàn)證.（7） 人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測(cè)法人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)理論是一種人工智能理論，它力圖模擬人腦的一些基本特征，可以進(jìn)行并行計(jì)算、分布式信息存儲(chǔ)，具有很強(qiáng)的自適應(yīng)性、自組織性.特別是能處理任意類數(shù)據(jù)，這是其它傳統(tǒng)方法所無法比擬的.通過不斷的學(xué)習(xí)，能夠從未知模式的大量復(fù)雜數(shù)據(jù)中發(fā)現(xiàn)其規(guī)律，進(jìn)行模擬、預(yù)測(cè).自20 世紀(jì)80年代以來，人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行非

11、線性復(fù)雜系統(tǒng)模擬一直是一個(gè)非常有效的手段，就方法和原理的本身來看，非?？茖W(xué)合理.但是要使預(yù)測(cè)的結(jié)果合理可靠，因素的選取，隱含層的設(shè)計(jì)，原始數(shù)據(jù)選擇的可靠性等因素是關(guān)鍵.（8） 馬爾薩斯（Malthus）模型 Malthus人口增長模型： （7）式中：為t年預(yù)測(cè)人口數(shù)；為基期年人口數(shù)；r為人口年增長率.顯然，這個(gè)模型是不很精確的，因?yàn)樗雎粤擞邢薜纳尜Y源及空間、生產(chǎn)力水平、文化水平、傳統(tǒng)意識(shí)等對(duì)出生率有重要影響的因素， 簡(jiǎn)單假定了出生率關(guān)于時(shí)間是常量.所以有必要修正此模型.當(dāng)然，若考慮因素過多，對(duì)所考慮因素的量化也過于復(fù)雜，則模型就會(huì)十分復(fù)雜，使得求解及分析模型極為困難甚至不可能，這樣的模型將

12、失去意義.因此，必須精練地選取所考慮因素，并對(duì)諸因素作盡可能簡(jiǎn)潔的數(shù)量化.在人口基數(shù)小，增長速度快的情況下運(yùn)用馬爾薩斯（Malthus）模型一般比較合適.（9） Logistic人口預(yù)測(cè)模型 Logistic增長公式： （8）式中：為t時(shí)刻的人口總數(shù)；為人口極限規(guī)模（特定參數(shù)）；t為時(shí)刻長度；a、b為待定參數(shù).這一公式考慮到人口總數(shù)增長的有限性，且提出了人口總數(shù)增長的規(guī)律即隨著人口總數(shù)的增長，人口增長率逐漸下降.缺點(diǎn)在于在短期內(nèi)如30-50年內(nèi)人口增長可能呈上升趨勢(shì)（如人口生育率上升、死亡率下降等原因而導(dǎo)致人口呈上升趨勢(shì)），因此誤差較大且不穩(wěn)定.Logistic模型一般適用于人口增長率開始下降

13、的情況.（10） 王廣州系統(tǒng)仿真結(jié)構(gòu)功能模型我國學(xué)者王廣州于2002年開發(fā)研制完成的中國人口預(yù)測(cè)軟件（CPPS），為人口普查資料的開發(fā)與利用和社會(huì)經(jīng)濟(jì)對(duì)人口預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)的需求，提供了先進(jìn)的手段和條件.模型研制者認(rèn)為，社會(huì)經(jīng)濟(jì)實(shí)踐所需求的基本人口數(shù)據(jù)，是人口結(jié)構(gòu)（如性別、年齡結(jié)構(gòu)等）數(shù)據(jù)，有了基本結(jié)構(gòu)數(shù)據(jù)，其他數(shù)據(jù)即可以此為基礎(chǔ)而得到派生和組合，從而滿足社會(huì)經(jīng)濟(jì)實(shí)踐和科學(xué)研究等各個(gè)方面的需要.模型研制者依據(jù)系統(tǒng)仿真思想所設(shè)計(jì)與研制的結(jié)構(gòu)功能模型和相應(yīng)的軟件開發(fā)，在計(jì)算機(jī)操作上，從基礎(chǔ)數(shù)據(jù)的輸入、預(yù)測(cè)參數(shù)的設(shè)置（包括預(yù)測(cè)期內(nèi)參數(shù)變化的自動(dòng)插值功能）、預(yù)測(cè)時(shí)間的設(shè)置等一系列技術(shù)過程，均用圖示和文字一一進(jìn)

14、行了解讀和說明.并且CPPS 系統(tǒng)還包含對(duì)人口數(shù)據(jù)資料的質(zhì)量評(píng)價(jià)、生命表的編制、各類人口數(shù)據(jù)的分析及圖示繪制等軟件應(yīng)用功能，極大地方便了人口預(yù)測(cè)實(shí)踐與分析.因此，該軟件問世后，立即在國內(nèi)引起很大反響，受到歡迎.此方法現(xiàn)已在計(jì)生系統(tǒng)得到了廣泛應(yīng)用，在土地規(guī)劃方面也有很高的利用價(jià)值.二 對(duì)人口預(yù)測(cè)模型的思考人口預(yù)測(cè)模型種類繁多， 在實(shí)際應(yīng)用中，往往存在著如何取舍、選擇的問題.如何進(jìn)行合理選擇從而得到合理的人口預(yù)測(cè)數(shù)字，為土地利用規(guī)劃打下一個(gè)良好的基礎(chǔ)，筆者認(rèn)為應(yīng)遵循以下原則：（1） 要根據(jù)土地利用規(guī)劃以及所在地區(qū)的實(shí)際情況，選用合適的人口預(yù)測(cè)方法.在采用多種預(yù)測(cè)方法得到數(shù)據(jù)后，可以根據(jù)一定權(quán)重進(jìn)行

15、加權(quán)取一個(gè)合適的數(shù)字.侯建中在相關(guān)文獻(xiàn)中提出，組合預(yù)測(cè)法得到的數(shù)據(jù)跟實(shí)際數(shù)據(jù)非常接近，在實(shí)際作中可以借鑒這種方法.（2）人口預(yù)測(cè)模型應(yīng)符合人口繁衍變化的自然特征.由于未來人口的變化總是由生育、死亡和人口遷移三大基本要素所決定，因此，人口預(yù)測(cè)模型的研制與設(shè)計(jì)，通常都是以這三大要素來確立其模型的構(gòu)建元素的.而人口變動(dòng)的三大要素自身又有其各自的變化特點(diǎn).由于人口變化趨勢(shì)的復(fù)雜性，人口預(yù)測(cè)模型的多樣性，而且在預(yù)測(cè)模型的構(gòu)造上及其在元素的設(shè)置上都有其差異性，因而增加了對(duì)模型選擇的困難性.但最根本的是，人口預(yù)測(cè)模型所能描述的人口變化過程，必須符合人口變動(dòng)的自然特征.（3）人口預(yù)測(cè)模型應(yīng)對(duì)社會(huì)經(jīng)濟(jì)發(fā)展情況有

16、一定的前瞻性.人口預(yù)測(cè)的目的是為社會(huì)經(jīng)濟(jì)實(shí)踐提供預(yù)期信息，因此，在人口預(yù)測(cè)模型選擇上，就應(yīng)依據(jù)社會(huì)經(jīng)濟(jì)的客觀需求，具體確定模型的選擇.對(duì)人口預(yù)測(cè)模型的選擇，既要求對(duì)人口預(yù)測(cè)技術(shù)有深刻的把握，又要求對(duì)社會(huì)經(jīng)濟(jì)實(shí)踐有透徹的分析，由此方能選擇優(yōu)秀與實(shí)用的預(yù)測(cè)模型.三 對(duì)人口的預(yù)測(cè)方法展望（一）人口預(yù)測(cè)處理方法的復(fù)雜化決定了人口預(yù)測(cè)不僅是一門科學(xué)，而且還是一門藝術(shù)，既依賴于科學(xué)的理論、方法和可靠的數(shù)據(jù)，還依賴于預(yù)測(cè)者的經(jīng)驗(yàn)、學(xué)識(shí)和判斷力.因此，在進(jìn)一步預(yù)測(cè)方法研究中，應(yīng)充分注意將預(yù)測(cè)數(shù)學(xué)模型和相關(guān)專家經(jīng)驗(yàn)相結(jié)合，建立和發(fā)展智能預(yù)測(cè)技術(shù).（二）各種預(yù)測(cè)方法都存在一定的優(yōu)點(diǎn)和局限性.近年來預(yù)測(cè)科學(xué)中出現(xiàn)一

17、種傾向， 即將多種方法綜合集成.今后應(yīng)該在分析各種預(yù)測(cè)方法特點(diǎn)及適用范圍的基礎(chǔ)上，有選擇地發(fā)展組合預(yù)測(cè)技術(shù).（三）上述介紹的大多預(yù)測(cè)方法所需的數(shù)據(jù)量都很大，如果采取傳統(tǒng)的人工計(jì)算的方法，必將耗費(fèi)大量的人力、物力和時(shí)間，而且正確性也得不到保證.所以在今后的工作中，要進(jìn)一步摸索運(yùn)用計(jì)算機(jī)進(jìn)行處理的方法.但是根據(jù)目前的現(xiàn)狀，人口預(yù)測(cè)要在計(jì)算機(jī)上進(jìn)行實(shí)現(xiàn)， 大多借助OFFICE、SPSS、SAS 等國外軟件中的數(shù)據(jù)分析模塊.這些軟件獲得的成本很高，而且各軟件之間的兼容性還不夠好，國內(nèi)用戶入門不易.因此，期待能有土地利用規(guī)劃專家參與設(shè)計(jì)面向土地利用規(guī)劃的專用人口預(yù)測(cè)軟件出現(xiàn)并普及. 參考文獻(xiàn)1. 熊肇煜，等.對(duì)人口預(yù)測(cè)方法的思考J.統(tǒng)計(jì)與預(yù)測(cè)，2001,(4):35-36.2. 付營.回歸分析在人口