泰勒公式與麥克勞林公式推導證明

1、泰勒公式及麥克勞林公式推導證明麥克勞林公式 是泰勒公式（在x。=0下）的一種特殊形式。若函數(shù)f(x)在開區(qū)間（a，b）有直到n+1階的導數(shù)，則當函數(shù)在此區(qū)間內(nèi)時，可以展開為一個關于x多項式和一個余項的和：f(x)=f(0)+f'(0)x+f''(0)/2!·x2,+f'''(0)/3!·x3+f(n)(0)/n!·xn+Rn其中Rn是公式的余項，可以是如下：1.佩亞諾(Peano)余項：Rn(x) = o(xn)2.爾希-羅什(Schlomilch-Roche)余項：Rn(x) = f(n+1)(x)(1-

2、)(n+1-p)x(n+1)/(n!p)f(n+1)是f的n+1階導數(shù)，(0,1)3.拉格朗日(Lagrange)余項：Rn(x) = f(n+1)(x)x(n+1)/(n+1)!f(n+1)是f的n+1階導數(shù)，(0,1)4.柯西(Cauchy)余項：Rn(x) = f(n+1)(x)(1-)n x(n+1)/n!f(n+1)是f的n+1階導數(shù)，(0,1)5.積分余項：Rn(x) = f(n+1)(t)(x-t)n在a到x上的積分/n!f(n+1)是f的n+1階導數(shù)泰勒公式在數(shù)學中，泰勒公式是一個用函數(shù)在某點的信息描述其附近取值的公式。如果函數(shù)足夠光滑的話，在已知函數(shù)在某一點的各階導數(shù)值的情況

3、之下，泰勒公式可以用這些導數(shù)值做系數(shù)構建一個多項式來近似函數(shù)在這一點的鄰域中的值。泰勒公式還給出了這個多項式和實際的函數(shù)值之間的偏差。泰勒公式（Taylor's formula）帶Peano余項的Taylor公式（Maclaurin公式）：可以反復利用L'Hospital法則來推導，f(x)=f(x0)+f'(x0)/1!*(x-x0)+f''(x0)/2!*(x-x0)2+f(n) (x0)/n!(x-x0)n+o(x-x0)n)泰勒中值定理（帶拉格郎日余項的泰勒公式）：若函數(shù)f(x）在含有x的開區(qū)間（a，b）有直到n+1階的導數(shù)，則當函數(shù)在此區(qū)間內(nèi)時

4、，可以展開為一個關于(x-x0)多項式和一個余項的和：f(x)=f(x0)+f'(x0)*(x-x0）+f''(x0)/2!*(x-x0)2,+f'''(x0)/3!*(x-x0)3+f(n)(x0)/n!*(x-x0)n+Rn(x)其中Rn(x)=f(n+1)()/(n+1)！*(x-x0)(n+1)，這里在x和x0之間，該余項稱為拉格朗日型的余項。（注：f(n)(x0)是f(x0)的n階導數(shù)，不是f(n)與x0的相乘。）使用Taylor公式的條件是：f(x)n階可導。其中o(x-x0)n）表示比無窮小(x-x0)n更高階的無窮小。Taylor

5、公式最典型的應用就是求任意函數(shù)的近似值。Taylor公式還可以求等價無窮小，證明不等式，求極限等推導證明我們知道f(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+（根據(jù)拉格朗日中值定理導出的有限增量定理有l(wèi)imx0 f(x.+x)-f(x.)=f'(x.）x），其中誤差是在limx0 即limxx.的前提下才趨向于0，所以在近似計算中往往不夠精確；于是我們需要一個能夠足夠精確的且能估計出誤差的多項式：P(x)=A0+A1(x-x.)+A2(x-x.)2+An(x-x.)n來近似地表示函數(shù)f(x）且要寫出其誤差f(x)-P(x）的具體表達式。設函數(shù)P(x）滿足P(x.)=f(x.)

6、,P'(x.)=f'(x.),P''(x.)=f''(x.），P(n)(x.)=f(n)(x.），于是可以依次求出A0、A1、A2、An。顯然，P(x.)=A0，所以A0=f(x.）；P'(x.)=A1,A1=f'(x.）；P''(x.)=2!A2,A2=f''(x.)/2！P(n)(x.)=n!An,An=f(n)(x.)/n！。至此，多項的各項系數(shù)都已求出，得：P(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+f''(x.)/2!?(x-x.)2+f(n)(x.)/n!?(

7、x-x.)n.接下來就要求誤差的具體表達式了。設Rn(x)=f(x)-P(x），于是有Rn(x.)=f(x.)-P(x.)=0。所以可以得出Rn(x.)=Rn'(x.)=Rn''(x.)=Rn(n)(x.)=0。根據(jù)柯西中值定理可得Rn(x)/(x-x.)(n+1）=（Rn(x)-Rn(x.）/（x-x.)(n+1）-0）=Rn'（1）/(n+1）（1-x.)n（注：（x.-x.)(n+1）=0），這里1在x和x.之間；繼續(xù)使用柯西中值定理得（Rn'（1）-Rn'(x.）/（n+1）（1-x.)n-0）=Rn''（2）/n(n+1

8、）（2-x.)(n-1）這里2在1與x.之間；連續(xù)使用n+1次后得出Rn(x)/(x-x.)(n+1）=Rn(n+1）（）/(n+1）！，這里在x.和x之間。但Rn(n+1）（x)=f(n+1）（x)-P(n+1）（x），由于P(n)(x)=n!An,n!An是一個常數(shù)，故P(n+1）（x)=0，于是得Rn(n+1）（x)=f(n+1）（x）。綜上可得，余項Rn(x)=f(n+1）（）/(n+1）！?(x-x.)(n+1）。一般來說展開函數(shù)時都是為了計算的需要，故x往往要取一個定值，此時也可把Rn(x）寫為Rn。折疊麥克勞林展開式：若函數(shù)f(x）在開區(qū)間（a，b）有直到n+1階的導數(shù)，則當函數(shù)

9、在此區(qū)間內(nèi)時，可以展開為一個關于x多項式和一個余項的和：f(x)=f(0)+f'(0)x+f''(0)/2!?x2,+f'''(0)/3!?x3+f(n)(0)/n!?xn+Rn其中Rn=f(n+1）（x)/(n+1）！?x(n+1），這里0<；<1。證明：如果我們要用一個多項式P(x)=A0+A1x+A2x2+Anxn來近似表示函數(shù)f(x）且要獲得其誤差的具體表達式，就可以把泰勒公式改寫為比較簡單的形式即當x.=0時的特殊形式：f(x)=f(0)+f'(0)x+f''(0)/2!?x2,+f''

10、;'(0)/3!?x3+f(n)(0)/n!?xn+f(n+1）（）/(n+1）！?x(n+1）由于在0到x之間，故可寫作x，0<；<1。折疊麥克勞林展開式的應用：1、展開三角函數(shù)y=sinx和y=cosx。解：根據(jù)導數(shù)表得：f(x)=sinx,f'(x)=cosx,f''(x)=-sinx,f'''(x)=-cosx,f（x)=sinx于是得出了周期規(guī)律。分別算出f(0)=0，f'(0)=1,f''(x)=0,f'''(0)=-1,f=0最后可得：sinx=x-x3/3!+x5

11、/5!-x7/7!+x9/9!-（這里就寫成無窮級數(shù)的形式了。）類似地，可以展開y=cosx。2、計算近似值e=lim x （1+1/x)x。解：對指數(shù)函數(shù)y=ex運用麥克勞林展開式并舍棄余項：ex1+x+x2/2!+x3/3!+xn/n!當x=1時，e1+1+1/2!+1/3!+1/n!取n=10，即可算出近似值e2.7182818。3、歐拉公式：eix=cosx+isinx（i為-1的開方，即一個虛數(shù)單位）證明：這個公式把復數(shù)寫為了冪指數(shù)形式，其實它也是由麥克勞林展開式確切地說是麥克勞林級數(shù)證明的。過程具體不寫了，就把思路講一下：先展開指數(shù)函數(shù)ez，然后把各項中的z寫成ix。由于i的冪周期

12、性，可已把系數(shù)中含有土i的項用乘法分配律寫在一起，剩余的項寫在一起，剛好是cosx,sinx的展開式。然后讓sinx乘上提出的i，即可導出歐拉公式。有興趣的話可自行證明一下。公式展開折疊原理e的發(fā)現(xiàn)始于微分，當 h 逐漸接近零時，計算 之值，其結(jié)果無限接近一定值 2.71828.，這個定值就是 e，最早發(fā)現(xiàn)此值的人是瑞士著名數(shù)學家歐拉，他以自己姓名的字頭小寫 e 來命名此無理數(shù).計算對數(shù)函數(shù) 的導數(shù)，得，當 a=e 時，的導數(shù)為，因而有理由使用以 e 為底的對數(shù)，這叫作自然對數(shù).若將指數(shù)函數(shù) ex 作泰勒展開，則得以 x=1 代入上式得此級數(shù)收斂迅速，e 近似到小數(shù)點后 40 位的數(shù)

13、值是將指數(shù)函數(shù) ex 擴大它的定義域到復數(shù) z=x+yi 時，由透過這個級數(shù)的計算，可得由此，De Moivre 定理，三角函數(shù)的和差角公式等等都可以輕易地導出.譬如說，z1=x1+y1i,z2=x2+y2i,另方面，所以，我們不僅可以證明 e 是無理數(shù)，而且它還是個超越數(shù)，即它不是任何一個整系數(shù)多項式的根，這個結(jié)果是 Hermite 在1873年得到的.甲）差分.考慮一個離散函數(shù)（即數(shù)列） R，它在 n 所取的值 u(n) 記成 un，通常我們就把這個函數(shù)書成 或 (un).數(shù)列 u 的差分 還是一個數(shù)列，它在 n 所取的值以定義為以后我們干脆就把 簡記為（例）：數(shù)列 1,4,8,7,6,-

14、2,. 的差分數(shù)列為 3,4,-1,-1,-8 .注：我們說數(shù)列是定義在離散點上的函數(shù)如果在高中，這樣的說法就很惡劣.但在此地，卻很恰當，因為這樣才跟連續(xù)型的函數(shù)具有完全平行的類推.差分算子的性質(zhì)（i) 合稱線性（ii) （常數(shù)） 差分方程根本定理（iii)其中，而 (n(k) 叫做排列數(shù)列.（iv) 叫做自然等比數(shù)列.（iv)' 一般的指數(shù)數(shù)列（幾何數(shù)列）rn 之差分數(shù)列（即導函數(shù)）為 rn(r-1）（乙）.和分給一個數(shù)列 (un).和分的問題就是要算和 . 怎么算呢 我們有下面重要的結(jié)果：定理1 （差和分根本定理） 如果我們能夠找到一個數(shù)列 (vn），使得，則和分也具有線性的性質(zhì)：

15、甲）微分給一個函數(shù) f，若牛頓商（或差分商） 的極限 存在，則我們就稱此極限值為 f 為點 x0 的導數(shù)，記為 f'(x0) 或 Df(x），亦即若 f 在定義區(qū)域上每一點導數(shù)都存在，則稱 f 為可導微函數(shù).我們稱 為 f 的導函數(shù)，而 叫做微分算子.微分算子的性質(zhì)：（i) 合稱線性（ii) （常數(shù)） 差分方程根本定理（iii) Dxn=nxn-1（iv) Dex=ex（iv)' 一般的指數(shù)數(shù)列 ax 之導函數(shù)為（乙）積分.設 f 為定義在 a,b 上的函數(shù)，積分的問題就是要算陰影的面積.我們的辦法是對 a,b 作分割：；其次對每一小段 xi-1,xi 取一個樣本點 ；再求近似

16、和 ；最后再取極限 （讓每一小段的長度都趨近于 0).若這個極限值存在，我們就記為 的幾何意義就是陰影的面積.（事實上，連續(xù)性也差不多是積分存在的必要條件.)積分算子也具有線性的性質(zhì)：定理2 若 f 為一連續(xù)函數(shù)，則 存在.（事實上，連續(xù)性也差不多是積分存在的必要條件.)定理3 (微積分根本定理） 設 f 為定義在閉區(qū)間 a,b 上的連續(xù)函數(shù)，我們欲求積分 如果我們可以找到另一個函數(shù) g，使得 g'=f，則注：兩式雖是類推，但有一點點差異，即和分的上限要很小心！上面定理1及定理3基本上都表述著差分與和分，微分與積分，是兩個互逆的操作，就好像加法與減法，乘法與除法是互逆的操作一樣.我們都

17、知道差分與微分的操作比和分與積分簡單多了，而上面定理1及定理3告訴我們，要計算 (un) 的和分及 f 的積分，只要去找另一個 (vn) 及 g 滿足，g'=f （這是差分及微分的問題），那么對 vn 及 g 代入上下限就得到答案了.換句話說，我們可以用較簡單的差分及微分操作來掌握較難的和分及積分操作，這就是"以簡御繁"的精神.牛頓與萊布尼慈對微積分最大的貢獻就在此.甲）Taylor展開公式這分別有離散與連續(xù)的類推.它是數(shù)學中逼近這個重要想法的一個特例.逼近想法的意思是這樣的：給一個函數(shù) f，我們要研究 f 的行為，但 f 本身可能很復雜而不易對付，于是我們就想法子

18、去找一個較簡單的函數(shù) g，使其跟 f 很靠近，那么我們就用 g 來取代 f.這又是以簡御繁的精神表現(xiàn).由上述我們看出，要使用逼近想法，我們還需要澄清兩個問題：即如何選取簡單函數(shù)及逼近的尺度.（一） 對于連續(xù)世界的情形，Taylor 展式的逼近想法是選取多項函數(shù)作為簡單函數(shù)，并且用局部的切近作為逼近尺度.說得更明白一點，給一個直到到 n 階都可導微的函數(shù) f，我們要找一個 n 次多項函數(shù) g，使其跟 f 在點 x0 具有 n 階的切近，即，答案就是此式就叫做 f 在點 x0 的 n 階 Taylor 展式.g 在 x0 點附近跟 f 很靠近，于是我們就用 g 局部地來取代 f.從而用 g 來求得

19、 f 的一些局部的定性行為.因此 Taylor 展式只是局部的逼近.當f是足夠好的一個函數(shù)，即是所謂解析的函數(shù)時，則 f可展成 Taylor 級數(shù)，而且這個 Taylor 級數(shù)就等于 f 自身.值得注意的是，一階 Taylor 展式的特殊情形，此時 g(x)=f(x0）+f'(x0)(x-x0) 的圖形正好是一條通過點 (x0,f(x0) 而且切于 f 的圖形之直線.因此 f 在點 x0 的一階 Taylor 展式的意義就是，我們用過點 (x0,f(x0) 的切線局部地來取代原來 f 曲線.這種局部化用平直取代彎曲的精神，是微分學的精義所在.利用 Taylor 展式，可以幫忙我們做很多

20、事情，比如判別函數(shù)的極大值與極小值，求積分的近似值，作函數(shù)表（如三角函數(shù)表，對數(shù)表等)，這些都是意料中事.事實上，我們可以用逼近的想法將微積分一以貫之.復次我們注意到，我們選取多項函數(shù)作為逼近的簡單函數(shù)，理由很簡單：在眾多初等函數(shù)中，如三角函數(shù)，指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)，多項函數(shù)等，從算術的觀點來看，以多項函數(shù)最為簡單，因為要計算多項函數(shù)的值，只牽涉到加減乘除四則運算，其它函數(shù)就沒有這么簡單.當然，從別的解析觀點來看，在某些情形下還另有更有用更重要的簡單函數(shù).例如，三角多項式，再配合上某種逼近尺度，我們就得到 Fourier 級數(shù)展開，這在應用數(shù)學上占有舉足輕重的地位.（事實上，F(xiàn)ourier 級數(shù)

21、展開是采用最小方差的逼近尺度，這在高等數(shù)學中經(jīng)常出現(xiàn)，而且在統(tǒng)計學中也有應用.)注：取 x0=0 的特例，此時 Taylor 展式又叫做 Maclaurin 展式.不過只要會做特例的展開，欲求一般的 Taylor 展式，作一下平移（或變數(shù)代換）就好了.因此我們大可從頭就只對 x=0 點作 Taylor 展式.（二） 對于離散的情形，Taylor 展開就是：給一個數(shù)列，我們要找一個 n 次多項式數(shù)列 (gt），使得 gt 與 ft 在 t=0 點具有 n 階的差近.所謂在 0 點具有 n 階差近是指：答案是 此式就是離散情形的 Maclaurin 公式.乙）分部積分公式與Abel分部和分公式的類

22、推（一） 分部積分公式：設 u(x),v(x) 在 a,b 上連續(xù)，則（二） Abel分部和分公式：設（un),(v）為兩個數(shù)列，令 sn=u1+.+un，則上面兩個公式分別是萊布尼慈導微公式 D(uv)=(Du)v+u(Dv），及萊布尼慈差分公式 的結(jié)論.注意到，這兩個萊布尼慈公式，一個很對稱，另一個則不然.（?。屠c連續(xù)復利 （這也分別是離散與連續(xù)之間的類推）（一） 復利的問題是這樣的：有本金 y0，年利率 r，每年復利一次，要問 n 年后的本利和 yn= 顯然這個數(shù)列滿足差分方程 yn+1=yn（1+r)根據(jù)（丙）之（二）得知 yn=y0（1+r)n 這就是復利的公式.（二） 若考慮每

23、年復利 m 次，則 t 年后的本利和應為令，就得到連續(xù)復利的概念，此時本利和為y(t)=y0ert換句話說，連續(xù)復利時，t 時刻的本利和 y(t)=y0ert 就是微分方程 y'=ry 的解答.由上述我們看出離散復利問題由差分方程來描述，而連續(xù)復利的問題由微分方程來描述.對于常系數(shù)線性的差分方程及微分方程，解方程式的整個要點就是疊合原理，因此求解的辦法具有完全平行的類推.（戊）Fubini 重和分定理與 Fubini 重積分定理（也是離散與連續(xù)之間的類推）（一） Fubini 重和分定理：給一個兩重指標的數(shù)列 (ars），我們要從 r=1 到 m,s=1到 n，對 (ars) 作和，則這個和可以這樣求得：光對 r 作和再對 s 作和（反過來亦然）.亦即我們有（二）Fubini 重積分定理：設 f(x,y) 為定義在 上之可積分函數(shù)，則當然，變數(shù)再多