行程多次相遇問題

1、行程多次相遇冋題秒殺技巧“多次相遇”問題有直線型和環(huán)型兩種模型。相對(duì)來講，直線型出題的模型更加復(fù)雜。環(huán)型只是單純的周期問題?，F(xiàn)在我們分開一一進(jìn)行講解。首先，來看直線型多次相遇問題。一、直線型直線型多次相遇問題宏觀上分“兩岸型”和“單岸型”兩種?！皟砂缎汀笔侵讣?、乙兩人從路的兩端同時(shí)出發(fā)相向而行；“單岸型”是指甲、乙兩人從路的一端同時(shí)出發(fā)同向而行?，F(xiàn)在分開向大家一一介紹：（一）兩岸型兩岸型甲、乙兩人相遇分兩種情況，可以是迎面碰頭相遇，也可以是背面追及相遇。題干如果沒有明確說明是哪種相遇，考生對(duì)兩種情況均應(yīng)做出思考。1迎面碰頭相遇：如下圖，甲、乙兩人從AB兩地同時(shí)相向而行，第一次迎面相遇在a處，（

2、為清楚表示兩人走的路程，將兩人的路線分開畫出）則共走了1個(gè)全程，到達(dá)對(duì)岸b后兩人轉(zhuǎn)向第二次迎面相遇在c處，共走了3個(gè)全程，則從第一次相遇到第二次相遇走過的路程是第一次相遇的2倍。之后的每次相遇都多走了2個(gè)全程。所以第三次相遇共走了5個(gè)全程，依次類推得出：第n次相遇兩人走的路程和為（2n-1）S,S為全程。而第二次相遇多走的路程是第一次相遇的2倍，分開看每個(gè)人都是2倍關(guān)系，經(jīng)?？梢杂眠@個(gè)2倍關(guān)系解題。即對(duì)于甲和乙而言從a到c走過的路程是從起點(diǎn)到a的2倍。Fffrfb二1a1£bFaX.相遇次數(shù)全程個(gè)數(shù)再走全程數(shù)111232n2n-122、背面追及相遇與迎面相遇類似，背面相遇同樣是甲、乙

3、兩人從A、B兩地同時(shí)出發(fā)，如下圖，此時(shí)可假設(shè)全程為4份，甲1分鐘走1份，乙1分鐘走5份。則第一次背面追及相遇在a處，再經(jīng)過1分鐘，兩人在b處迎面相遇，到第3分鐘，甲走3份，乙走15份，兩人在c處相遇。我們可以觀察，第一次背面相遇時(shí)，兩人的路程差是1個(gè)全程，第二次背面相遇時(shí)，兩人的路程差為3個(gè)全程。同樣第二次相遇多走的路程是第一次相遇的2倍，單看每個(gè)人多走的路程也是第一次的2倍。依次類推，得：第n次背面追及相遇兩人的路程差為（2n-1）S。（二）單岸型單岸型是兩人同時(shí)從一端出發(fā)，與兩岸型相似，單岸型也有迎面碰頭相遇和背面追及相遇兩種情況。1、迎面碰頭相遇：如下圖，假設(shè)甲、乙兩人同時(shí)從A端出發(fā)，假

4、設(shè)全程為3份，甲每分鐘走2份，乙每分鐘走4份，則甲乙第一次迎面相遇在a處，此時(shí)甲走了2份，乙走了4份，再過1分鐘，甲共走了4份，乙共走了8份，在b處迎面相遇，則第二次相遇多走的跟第一次相遇相同，依次類推，可得出：當(dāng)?shù)趎次碰頭相遇時(shí)，兩人的路程和為2ns。b巴I祚+衛(wèi)B苕乞I1滸b2、背面追及相遇與迎面相遇相似，假設(shè)全程為3份，甲每分鐘走1份，乙每分鐘走7份，則第一次背面相遇在a處，2分鐘后甲走了2份，乙走了14份，兩人在b處相遇。第一次相遇，兩人走的路程差為2S,第二次相遇兩人走的路程差為4S,依次類推，可以得出：當(dāng)?shù)趎次追及相遇時(shí)，兩人的路程差為2ns?！爸本€型”總結(jié)（熟記）兩岸型:第n次迎

5、面碰頭相遇，兩人的路程和是（2n-1)So第n次背面追及相遇，兩人的路程差是（2n-1)So單岸型:第n次迎面碰頭相遇，兩人的路程和為2nso第n次背面追及相遇，兩人的路程差為2nso下面列出幾種今后可能會(huì)考到的直線型多次相遇問題常見的模型：模型一:根據(jù)2倍關(guān)系求AB兩地的距離。【例1】甲、乙兩人在AB兩地間往返散步，甲從A,乙從B同時(shí)出發(fā)，第一次相遇點(diǎn)距B60米，當(dāng)乙從A處返回時(shí)走了10米第二次與甲相遇。AB相距多少米A、150B、170C、180D、200【答案及解析】Bo如下圖，第一次相遇在a處，第二次相遇在b處，aB的距離為60,Ab的距離為10o以乙為研究對(duì)象，根據(jù)2倍關(guān)系，乙從a到

6、A,再到b共走了第一次相遇的2倍，即為60X2=120米,Ab為10,則Aa的距離為120-10=110米,則AB距離為110+60=170米。模型二:告訴兩人的速度和給定時(shí)間，求相遇次數(shù)?！纠?】甲、乙兩人在長(zhǎng)30米的泳池內(nèi)游泳，甲每分鐘游米，乙每分鐘游米。兩人同時(shí)分別從泳池的兩端出發(fā)，觸壁后原路返回，如是往返。如果不計(jì)轉(zhuǎn)向的時(shí)間，則從出發(fā)開始計(jì)算的1分50秒內(nèi)兩人共相遇多少次A、2B、3C、4D、5【答案及解析】B。題目沒說是迎面還是背面，所以兩種相遇的次數(shù)都應(yīng)該計(jì)算。分開討論,如是是迎面相遇，則走的全程的個(gè)數(shù)為60個(gè)，根據(jù)迎面相遇n次，走的全程為2n-仁5，求得n=3；如果是背面相遇，則

7、走的全程數(shù)為3052.5-37.5)=110-120<160，故在1分50秒內(nèi)，不能背面相遇。所以共相遇3次。模型三:告訴兩人的速度和任意兩次迎面相遇的距離，求AB兩地的距離?！纠?】甲、乙兩車分別從A、B兩地同時(shí)出發(fā)，在A、B間不斷往返行駛。甲車每小時(shí)行20千米，乙車每小時(shí)行50千米，已知兩車第10次與第18次迎面相遇的地點(diǎn)相距60千米，則A、B相距多少千米A、95B、100C、105D、110【答案及解析】C。走相同時(shí)間內(nèi)，甲乙走的路程比為20：50=2：5。將全程看成7份，則第一次相遇走1個(gè)全程時(shí)，甲走2份，乙走5份。以甲為研究對(duì)象（也可以以乙），第10次迎面相遇走的全程數(shù)為2X1

8、0-1=19個(gè)，甲走1個(gè)全程走2份，則走19個(gè)全程可走19X2=38份。7份是一個(gè)全程，則38份共有38十7=53份（當(dāng)商是偶數(shù)時(shí)從甲的一端數(shù)，0也是偶數(shù)；當(dāng)商是奇數(shù)時(shí)從乙的一端數(shù)，比如第1個(gè)全程在乙的一端，第2個(gè)全程在甲的一端）從乙端數(shù)3份。同理當(dāng)?shù)?8次相遇，甲走的份數(shù)為（2X18-1）X2=70份。共有70-7=10個(gè)全程，10為偶數(shù)在甲的端點(diǎn)。如下圖：甲乙A111*11B1810X?=105千米。則第10次相遇與第18次相遇共有4份為60千米，所以AB長(zhǎng)為Jw點(diǎn)評(píng)：對(duì)于給定任意兩次的距離，主要是根據(jù)速度轉(zhuǎn)化為全程的份數(shù)，找一個(gè)為研究對(duì)象，看在相遇次數(shù)內(nèi)走的全程數(shù)，從而轉(zhuǎn)化為份數(shù)，然后根

9、據(jù)一個(gè)全程的份數(shù)，將研究對(duì)象走的總份數(shù)去掉全程的個(gè)數(shù)看剩余的份數(shù)，注意由全程的個(gè)數(shù)決定剩余的份數(shù)從哪一端數(shù)?！纠?】甲、乙兩車分別從A、B兩地同時(shí)出發(fā)，在A、B間不斷往返行駛。甲車每小時(shí)行45千米，乙車每小時(shí)行36千米，已知兩車第2次與第3次迎面相遇的地點(diǎn)相距40千米，則A、B相距多少千米A、90B、180C、270D、110【答案及解析】A。法一：同上題。相同時(shí)間，甲、乙路程比為45:36=5:4,則將全程分成9份。則一個(gè)全程時(shí)甲走5份，乙走4份。以甲為研究對(duì)象，第2次相遇，走的全程數(shù)為2X2-1=3個(gè)，則甲走的份數(shù)為3X5=15份，一個(gè)全程為9份，則第2次相遇甲走的份數(shù)轉(zhuǎn)化為全程的個(gè)數(shù)為1

10、5十9=16份，則從乙端數(shù)6份。第3次相遇走的份數(shù)為（2X3-1）X5=25份，轉(zhuǎn)化為全程的個(gè)數(shù)為25-9=27,則從甲端數(shù)7份。如下圖：由圖第2次和第3次相遇之間共有4份為40千米，則AB相距=90千米。法二：在此引入“沙漏模型”。利用沙漏模型解題的前提是題干中已知兩人的速度。將速度轉(zhuǎn)化為相同路程的條件下兩人的時(shí)間比，則以時(shí)間為刻度，畫出兩人到達(dá)對(duì)岸的路線圖，兩人走的路線圖相交的點(diǎn)即為兩人相遇的地點(diǎn)。s-t圖中的路線因像古代記時(shí)間的沙漏故稱為“沙漏模型”。本題中，甲、乙走到端點(diǎn)用的時(shí)間比為36：45=4:5。如下圖：（5）45910仁1116S4圖根據(jù)路線圖看出甲乙第2次相遇和第3次相遇的交

11、點(diǎn)E和O,根據(jù)三角形相似，可得CE:EG=3:6=1:2，則求得第2次相遇距A地的比例為S/3，同理DO:ON=72,則第3次相遇ISSAS二距A地的比例為7S/9，則兩次相遇比例為為40千米，則S=90千米。w點(diǎn)評(píng)：考生如果能掌握“沙漏”模型，則會(huì)直觀快速的提高解題速度。用交點(diǎn)判斷是迎面相遇還是背面相遇的技巧：看相交的兩條線是由同一岸引出還是兩岸，同一岸則說明是背面相遇，不同岸則說明是迎面相遇。用時(shí)注意：一般題干涉及到的相遇次數(shù)較少時(shí)可畫，相遇次數(shù)太多，則會(huì)花費(fèi)大量時(shí)間，不利于提高速度；畫時(shí)的單位刻度要看時(shí)間比，如果時(shí)間比中的數(shù)據(jù)較大可把刻度畫大。模型四:告訴兩人的速度，相遇次數(shù)較少時(shí)，利用

12、s-t圖形成“沙漏”模型速解。【例5】AB兩地相距950米。甲、乙兩人同時(shí)由A地出發(fā)往返鍛煉半小時(shí)。甲步行，每分鐘走40米；乙跑步，每分鐘行150米。則甲、乙二人第幾次迎面相遇時(shí)距B地最近。A、1B、2C、3D、4【答案及解析】B。利用“沙漏模型”。甲乙走到端點(diǎn)用的時(shí)間比為150:40=15:4,半小30-=30-5=6時(shí)兩人共走的全程數(shù)為-二個(gè)。對(duì)于單岸型，相遇6個(gè)全程，則是迎面第三次相遇（由前邊公式推出）畫出s-t圖：觀察上圖可知，可第3次迎面相遇的過程中，甲乙有一次背面相遇（交點(diǎn)由同一點(diǎn)引出）而在三次迎面相遇中第2次相遇離B地最近，并且可根據(jù)三角形相似求出離B地的距離?！纠?】河道賽道長(zhǎng)

13、120米，水流速度為2米/秒，甲船靜水速度為6米/秒，乙船靜水速度為4米/秒。比賽進(jìn)行兩次往返，甲、乙同時(shí)從起點(diǎn)出發(fā)，先順?biāo)叫?，問多少秒后甲、乙船第二次迎面相遇A、48B、50C、52D、54【答案及解析】C。由題知，得出如下關(guān)系:逆流順流甲8(15)4(30)乙6(20)2(60)注：（）中為走完全程的時(shí)間。假設(shè)A到B是順流，由上表可知甲、乙兩人第2次迎面相遇共有4個(gè)全程。由于甲的速度快，則第2次相遇前甲已走了2個(gè)全程。共15+30=45秒。當(dāng)?shù)?5秒時(shí)乙走了一個(gè)順流全程20秒和25秒的逆流，走的路程為25X2=50米，則在剩余的70米內(nèi)，甲乙分別以順流和逆流相遇時(shí)間為t，則有70=（8+

14、2）Xt，求得t=7秒，則共用時(shí)間45+7=52秒。本題同樣可用“沙漏模型”解決。根據(jù)上表中的速度關(guān)系，可得出一個(gè)全程時(shí)的時(shí)間關(guān)系如甲f釘日L乙門2)24M66101甲a（4）S-t圖（甲為實(shí)瓠乙為虛踱）下:順流逆流甲36乙412根據(jù)時(shí)間的關(guān)系，得出s-t圖像，如下：觀察上圖，可看出第二次迎面相遇在P點(diǎn)，以甲為研究對(duì)象計(jì)算時(shí)間，此時(shí)甲走了一個(gè)順流，一個(gè)逆流，另外EP段為順流，根據(jù)三角形相似可求出走EP用的時(shí)間EP:PN=EF:MN=7：8由上表，求出走EP用的時(shí)間為則甲共走的時(shí)間為15+30+7=52。、環(huán)型,一種環(huán)型主要分兩種情況，一種是甲、乙兩人同地同時(shí)反向迎面相遇（不可能背面相遇）是甲、

15、乙兩人同地同時(shí)同向背面追及相遇（不可能迎面相遇）。分開討論如下:（一）甲、乙兩人從A地同時(shí)反向出發(fā)：如下圖，一個(gè)周長(zhǎng)分成4份，假設(shè)甲是順時(shí)針每分鐘走1份到B,乙是逆時(shí)針每分鐘走3份到B,則第一次相遇兩人走了1個(gè)周長(zhǎng)，則再過1分仲，甲再走1份到C,同樣乙走3份也到C,則第二次相遇共走了2個(gè)周長(zhǎng)，依次類推，可得出：第n次迎面相遇共走了n圈。乙庖甲C（二）甲、乙兩人從A地同時(shí)同向出發(fā)：如下圖，全程分成4份。假設(shè)甲、乙兩人都是順時(shí)針同時(shí)出發(fā)，甲每分鐘走1份，乙每分鐘走5份，則1分鐘后兩人在B處第一次背面追及相遇，兩人走的路程差為1個(gè)周長(zhǎng)。再過1分鐘后，甲到C處，乙也到C處，兩人第二次背面追及相遇，多走

16、的路程差同樣為一個(gè)周長(zhǎng)，依次類推，可以得出：第n次背面追及相遇，路程差為n圈。C環(huán)型多次相遇問題相對(duì)比較簡(jiǎn)單，當(dāng)甲、乙不在同一地點(diǎn)出發(fā)時(shí)相對(duì)具有難度。比如在直徑兩端出發(fā)?？忌赏ㄟ^下面的例題把握?！纠?】老張和老王兩個(gè)人在周長(zhǎng)為400米的圓形池塘邊散步。老張每分鐘走9米，老王每分鐘走16米?，F(xiàn)在兩個(gè)人從同一點(diǎn)反方向行走，那么出發(fā)后多少分鐘他們第三次相遇A、33B、45C、48D、56【答案及解析】Co第一次迎面相遇時(shí)間為400+（9+16）=16,則第三次迎面相遇時(shí)間為16X3=48?！纠?】小明、小亮從400米環(huán)形跑道的同一點(diǎn)出發(fā)，背向而行。當(dāng)他們第一次相遇時(shí)，小明轉(zhuǎn)身往回跑；再次相遇時(shí)，小

17、亮轉(zhuǎn)身往回跑；以后的每次相遇分別是小明和小亮兩人交替調(diào)轉(zhuǎn)方向，小明速度3米/秒，小亮速度5米/秒，則在兩人第30次相遇時(shí)小明共跑了多少米A、11250B、11350C、11420D、11480【答案及解析】A。由題意知，第1次是迎面相遇，第2次是背面追及相遇，之后都是迎面與背面相遇交替。則在30次相遇中，迎面相遇15次，背面相遇15次。迎面相遇一次用時(shí)為400+(3+5)=50,背面相遇一次用時(shí)為400+(5-3)=200,則30次相遇共用時(shí)為15X(50+200)=3750s，則小時(shí)在這段時(shí)間里跑的路程為3750X3=11250米?！纠?】甲、乙兩人分別從一圓形場(chǎng)地的直徑兩端點(diǎn)同時(shí)開始以勻速按相反方向繞此圓形路線運(yùn)動(dòng)，當(dāng)乙走了100米