工程數(shù)學(xué)(16)復(fù)化求積法

1、工程數(shù)學(xué)工程數(shù)學(xué)工程數(shù)學(xué)工程數(shù)學(xué)第第 二二 節(jié)節(jié) 復(fù)化求積公式復(fù)化求積公式復(fù)化求積公式的基本思想：復(fù)化求積公式的基本思想： 將區(qū)間將區(qū)間 a , ba , b 分為若干個小子區(qū)間，在每個分為若干個小子區(qū)間，在每個小子區(qū)間上使用低階的小子區(qū)間上使用低階的Newton-CotesNewton-Cotes公式。然后公式。然后把它們加起來，作為整個區(qū)間上的求積公式。把它們加起來，作為整個區(qū)間上的求積公式。 一、一、復(fù)化求積公式復(fù)化求積公式工程數(shù)學(xué)工程數(shù)學(xué)工程數(shù)學(xué)工程數(shù)學(xué) 1、復(fù)化梯形公式復(fù)化梯形公式 1, (0,1, ),0,1,1kkka b nbahxakhknnxxkn 將將區(qū)區(qū)間間等等分分,

2、,在在每每個個小小區(qū)區(qū)間間, ,（）上上用用梯梯形形公公式式: :1( ()()0,1,12kkkhTf xf xkn 1101( ( )( )()2nnnkkkkhTTf af bhf x 復(fù)化梯形公式復(fù)化梯形公式為為工程數(shù)學(xué)工程數(shù)學(xué)工程數(shù)學(xué)工程數(shù)學(xué)截斷誤差分析：截斷誤差分析： 311,(),12kkkkkkkhxxRfxx 在在區(qū)區(qū)間間上上， 101()( ),nkkbahffa bnn 利利用用和和22()( )()12nbaR Th fO h 得得到到復(fù)復(fù)化化梯梯形形公公式式的的截截斷斷誤誤差差是是：31100()()12nnnkkkkhRRf 整整體體誤誤差差為為工程數(shù)學(xué)工程數(shù)學(xué)工程

3、數(shù)學(xué)工程數(shù)學(xué)2 2、復(fù)化、復(fù)化SimpsonSimpson公式公式 1112,( () 4 ()()6kkkkkkxxSimpsonhSf xf xf x 在在每每個個小小區(qū)區(qū)間間上上用用公公式式11110012110221( ( )( )()()63312()33nnnnkkkkkknnnnkkhSSf af bhf xhf xTHHhf x , ,其其中中復(fù)化復(fù)化SimpsonSimpson公式的截斷誤差為公式的截斷誤差為 4(4)4()()( )(),2880nb aR Sh fO ha b 復(fù)化復(fù)化SimpsonSimpson公式公式為為工程數(shù)學(xué)工程數(shù)學(xué)工程數(shù)學(xué)工程數(shù)學(xué)1012xe d

4、x - -4 4當(dāng)當(dāng)用用復(fù)復(fù)化化梯梯形形公公式式與與復(fù)復(fù)化化辛辛卜卜生生公公式式計計算算積積分分的的近近似似例例：值值時時，若若要要求求誤誤差差不不超超過過1 10 0 ，問問至至少少各各取取多多少少個個節(jié)節(jié)點點？(4)( ),( )( ),xxf xefxfxe：（1 1解解）由由得得2242()1|()| |( )| |( )|12121110122nbaR Th ffnen 67.3n 解解得得68169nn 用用復(fù)復(fù)化化梯梯形形公公式式 至至少少取取，節(jié)節(jié)點點至至少少取取個個。(4)240101max( ),max( )xxfxeMfxeM 工程數(shù)學(xué)工程數(shù)學(xué)工程數(shù)學(xué)工程數(shù)學(xué)1012xe

5、 dx - -4 4當(dāng)當(dāng)用用復(fù)復(fù)化化梯梯形形公公式式與與復(fù)復(fù)化化辛辛卜卜生生公公式式計計算算積積分分的的近近似似例例：值值時時，若若要要求求誤誤差差不不超超過過1 10 0 ，問問至至少少各各取取多多少少個個節(jié)節(jié)點點？4(4)(4)444()1|()| |( )| |( )|28802880111028802nbaR Sh ffnen 2.1n 解解得得317nn 用用復(fù)復(fù)化化辛辛卜卜生生公公式式 至至少少取取 ，節(jié)節(jié)點點至至少少取取2 2個個。(4)( ),( )( ),xxf xefxfxe：（2 2解解）由由得得(4)240101max( ),max( )xxfxeMfxeM 工程數(shù)學(xué)工

6、程數(shù)學(xué)工程數(shù)學(xué)工程數(shù)學(xué)二、變步長復(fù)化求積公式二、變步長復(fù)化求積公式變步長復(fù)化求積公式的基本思想：變步長復(fù)化求積公式的基本思想： 將區(qū)間將區(qū)間 a , b 逐次分半，建立遞推公式，按遞逐次分半，建立遞推公式，按遞推公式計算，直到滿足精度要求。推公式計算，直到滿足精度要求。1.1.變步長復(fù)化梯形公式變步長復(fù)化梯形公式11,( )( ( )( )2hnhbaTT hf af b，222, , 1,22na bTbahh 將將分分半半，用用復(fù)復(fù)化化梯梯形形公公式式得得，44214,24banThh 再再將將區(qū)區(qū)間間分分半半得得 ，22,nnnTTT 直直到到為為止止 將將作作為為積積分分的的近近似似值

7、值。工程數(shù)學(xué)工程數(shù)學(xué)工程數(shù)學(xué)工程數(shù)學(xué)下面推導(dǎo)由下面推導(dǎo)由n n到到2n2n的復(fù)化梯形公式的復(fù)化梯形公式,nbaa b nhn 給給出出誤誤差差限限 ，將將 , , 等等分分，步步長長用用復(fù)復(fù)化化梯梯形形公公式式：11111101,( ()()2 , ()( ( )( )()2nkkkkknnnnnknkkkhxxTf xf xa bhT hTTf af bhf x 在在 上上，在在上上，工程數(shù)學(xué)工程數(shù)學(xué)工程數(shù)學(xué)工程數(shù)學(xué) 111222112,2 ,2kkkkkkknnnnxxxxxxxhnn hh 將將原原 等等分分區(qū)區(qū)間間，再再次次分分半半，每每個個小小區(qū)區(qū)間間上上取取中中點點分分成成兩兩個個

8、區(qū)區(qū)間間和和，于于是是，。11221212122211112200,( ()()( ()()221()22, 11()()22222kknnkkkkknkknnnnnnknnkkkxxhhTf xf xf xf xhTf xa bhhHTTTTf xT 在在 上上，在在 上上, ,1102()nnnkkHhf x 記記工程數(shù)學(xué)工程數(shù)學(xué)工程數(shù)學(xué)工程數(shù)學(xué)2122nnnHTT 111102( ( )( )()2()nnnnkknnnkkhTf af bhf xHhf x 其其中中變步長復(fù)化梯形公式的遞推公式變步長復(fù)化梯形公式的遞推公式： （由由n n到到2n2n）1120 ( )( )21(21),

9、1,2,222nnnjbaTf af bbabaTTf ajnnn 實際計算中的遞推公式為實際計算中的遞推公式為22|nnnTTT 直直到到為為止止，作作為為積積分分的的近近似似值值。工程數(shù)學(xué)工程數(shù)學(xué)工程數(shù)學(xué)工程數(shù)學(xué)2|nnTT 用用事事后后誤誤差差分分析析法法說說明明，為為什什么么可可以以作作為為迭迭代代終終例例：止止條條件件？21222()()12()( )()122nnbaITh fbahITf 解解：12( ) , ,()()fxa bff 假假定定在在上上變變化化不不大大 即即有有，于于是是得得24nnITIT 222211()()33nnnnnnITTTITTT或或2213nnnT

10、TIT 當(dāng)當(dāng)時時，。工程數(shù)學(xué)工程數(shù)學(xué)工程數(shù)學(xué)工程數(shù)學(xué)變步長復(fù)化變步長復(fù)化梯形梯形求積公式的算法求積公式的算法 11111.,( )( )22.0,23.( ),3.15.*26.,7.,2bahba Tf af bhHxaHHf xxxhxbTThHTTITIhhTT 4 4. .若若，則則轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)若若則則，輸輸出出 , ,停停機(jī)機(jī)。轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)2 2. .1210 ( )( )211222(21)221,2,nnnnnjbaTf af bHTTTbabaf ajnnn 工程數(shù)學(xué)工程數(shù)學(xué)工程數(shù)學(xué)工程數(shù)學(xué)2.2.變步長復(fù)化變步長復(fù)化SimpsonSimpson公式公式2221233112212124333nnnnnnnnnnnnSTHTTHSTTTTT 已已知知又又有有兩兩式式聯(lián)聯(lián)立立解解得得：（） （）42242128421)4(312121hhTTSSSSHTTTTTTnnnnnn 實實際際計計算算過過程程如如下下：工程數(shù)