復(fù)變函數(shù)級(jí)數(shù)泰勒級(jí)數(shù)和洛朗級(jí)數(shù)孤立奇點(diǎn)的分類(lèi)本章討論

1、第四章復(fù)變函數(shù)級(jí)數(shù)泰勒級(jí)數(shù)和洛朗級(jí)數(shù)孤立奇點(diǎn)的分類(lèi)本章討論解析函數(shù)的級(jí)數(shù)性質(zhì)，先介紹復(fù)變函數(shù)級(jí)數(shù)的基本概念特別是哥級(jí)數(shù)的有關(guān)概念；然后討論解析函數(shù)展開(kāi)為泰勒級(jí)數(shù)和洛朗級(jí)數(shù)的問(wèn)題；最后討論單值函數(shù)孤立奇點(diǎn)的分類(lèi)這也是為第五章討論定積分的計(jì)算作準(zhǔn)備。§ 4.1 復(fù)變函數(shù)級(jí)數(shù)和解析函數(shù)級(jí)數(shù)復(fù)變函數(shù)級(jí)數(shù)的基本概念有很多地方與實(shí)變函數(shù)級(jí)數(shù)相同，這里僅作扼要的介紹，其中有關(guān)定理將不予證明。一個(gè)復(fù)變函數(shù)級(jí)數(shù)Ui(z)+U2(z)+Uk(z)+=£Uk(z)(4.1)k1如果它的部分和odSn(z)=£Uk(z)(4.2)k=1的極限limSn(z)在一點(diǎn)z存在，則稱(chēng)級(jí)數(shù)(3.1

2、)在z點(diǎn)收斂，而這個(gè)n：極限為級(jí)數(shù)在z點(diǎn)的和；否則稱(chēng)級(jí)數(shù)在z點(diǎn)發(fā)散。由于Uk(z)=ReUk(z)+iImUk(z)(k=1,2,),所以級(jí)數(shù)(3.1)的收斂和發(fā)散問(wèn)題就歸結(jié)為兩個(gè)實(shí)變函數(shù)級(jí)數(shù)/ReUk(z)和ImUk(z)的收斂和發(fā)散k1k1問(wèn)題；在一點(diǎn)z,若£ReUk(z)和£ImUk(z)都收斂，則級(jí)數(shù)(3.1)在kWk=1此點(diǎn)收斂；若：fReUk(z)和：fImUk(z)至少有一個(gè)發(fā)散，則級(jí)數(shù)(4.1)k1kd在此點(diǎn)發(fā)散。級(jí)數(shù)(4.1)收斂的必要條件是limUn(z)=0(4.3)n小)(4.(1) 斂的充要條件是：任意給定一個(gè)小的數(shù)£力，總存在充分大的正

3、整數(shù)N,使當(dāng)n>N時(shí)，對(duì)于任何自然數(shù)p,恒有p|Sn+(Z)-Sn(Z)HZUn#(Z)|<&(4.4)kJ這稱(chēng)為柯西收斂判據(jù)。如果級(jí)數(shù)£|Uk(z)|(4.5)k4在z點(diǎn)收斂，則稱(chēng)級(jí)數(shù)(4.1)在此點(diǎn)絕對(duì)收斂。設(shè)Uk(z)(k323)定義在區(qū)域D(或曲線1)上，如果任意給定名>0,存在與z無(wú)關(guān)的正整數(shù)N,使當(dāng)n>N時(shí)，對(duì)于任何自然數(shù)p,(4.4)式恒成立，則稱(chēng)級(jí)數(shù)(4.1)在D(或1)上一致收斂?，F(xiàn)將復(fù)變函數(shù)級(jí)數(shù)的一些基本性質(zhì)列于下，證明從略。定理一如果級(jí)數(shù)Juk(z)是絕對(duì)收斂的，則級(jí)數(shù)收斂。kT定理二如果級(jí)數(shù)£Uk(z)=U(z)和&#

4、163;Vi(z)=V(z)都是絕對(duì)收斂k=1l=1的，則它們的乘積oOQOQ0、Uk(z)'l(z)=、Uk(z)l(z)kXl1k,l=1=Ui)+3%+U2U1+U1U3+U2%+U3U1+111+(4.6)Urn,U2：nIHUn：1,山也是絕對(duì)收斂的，級(jí)數(shù)(4.6)的和是UU,它與(4.6)式中各項(xiàng)的排列次序無(wú)關(guān)。定理三如果Uk(z)(k=1,2,3,|)在區(qū)域D內(nèi)是連續(xù)的，且£Uk(z)在kWD內(nèi)一致收斂，則級(jí)數(shù)的和在D內(nèi)也是連續(xù)的。qQ定理四如果Uk(z)(k=1,2,3,III)在曲線l上是連續(xù)的，且£Uk(z)在k=1l上一致收斂，則級(jí)數(shù)的和S(z

5、)在l上也是連續(xù)的，而且有2qQqQS(z)dz=(£Uk(z)dz=£juk(z)dz(4.7)k4k4即求和與積分可以交換次序，或者說(shuō)，原級(jí)數(shù)可以逐項(xiàng)積分。定理五如果在區(qū)域D內(nèi)滿(mǎn)足Uk(z)|<ak(k=1,2,3,|),其中ak(k=1,2,3,HI)是常數(shù)，且Jak收斂，則9山(z)在D內(nèi)絕對(duì)收k=1k1斂且一致收斂。對(duì)于解析函數(shù)級(jí)數(shù)，還有如下的重要性質(zhì)：魏爾斯特拉斯(Weierstrass)如果uk(z)(k=l,2,3,|)在閉區(qū)域D上是單值解析的，£Uk(z)在D的境界線l上是一致收斂的，則k：(i)JUk(z)在D上一致收斂；k1(ii)級(jí)數(shù)

6、的和S(z)在D內(nèi)是解析的；(iii)在D內(nèi)有n廠廠S(z)=二£Uk(z)=£Uk(n)(z)(n=1,23用)(4.8)dzk=1k1而且級(jí)數(shù)(4.8)在D內(nèi)的任何閉區(qū)域上都一致收斂。最后給出幾個(gè)常用的級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂性的判別法：(1) 達(dá)朗貝爾(d'Alembert)判別法：如果(至少當(dāng)n充分大時(shí))|/qM1(其中q是常數(shù))，則級(jí)數(shù):f叫絕對(duì)收斂；|Un|kd如果(至少當(dāng)n充分大時(shí))->1,則fM發(fā)散。Unk=1(2) 柯西判別法：如果(至少當(dāng)n充分大時(shí))麻Eq<1(其中q是常數(shù))，則級(jí)數(shù)工Uk絕對(duì)收斂；如果(至少當(dāng)n充k1分大時(shí))n/ju7|>

7、1，則£山發(fā)散。k4(3) 高斯判別法：如果(至少當(dāng)n充分大時(shí))|乜|=1+上+。(1)(其中n是常數(shù))(4.9)|Un.i|nn則當(dāng)"1時(shí)，級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂；而當(dāng)NE1時(shí)J發(fā)散。k4k4一般來(lái)說(shuō)，柯西判別法比達(dá)朗貝爾判別法強(qiáng)，但在計(jì)算上前者比后者復(fù)雜。高斯判別法比達(dá)朗貝爾判別法更細(xì)致些，因而更強(qiáng)些，它是一個(gè)很有用的判別法。§4.2哥級(jí)數(shù)的收斂性1 .哥級(jí)數(shù)的收斂性在解析函數(shù)級(jí)數(shù)的范圍內(nèi)再特別討論形如£ak(z-b)k(4.10)k=0(其中ak和b都是復(fù)常數(shù))的級(jí)數(shù)，這稱(chēng)為哥級(jí)數(shù).關(guān)于它的收斂性有如下更強(qiáng)的定理：阿貝爾(Abel)定理如果級(jí)數(shù)：fak(z-

8、3卜在2="收斂，則該級(jí)k=0數(shù)在圓域|z-b|<|zo-b|內(nèi)絕對(duì)收斂，而且在該圓域內(nèi)的任何閉圓域上一致收斂。證我們要證明，對(duì)于任何正數(shù)P<|zo-b|,以Cp表示以b點(diǎn)為圓心、以P為半徑的閉圓域，£ak(z-b)k在Cp上絕對(duì)收斂且一致收斂。k0既然按假設(shè)克ak(z0-b)k是收斂的，由級(jí)數(shù)收斂的必要條件k=0(4.(3) 知lima(z0-b)k=0因而，存在一個(gè)正數(shù)M使得k|ak(zo-b)區(qū)M(k=0,1,2,).于是，當(dāng)|z-b|<P,有,、k,、k|z.b1k/P、：ak(z-b)=ak(z0-b)；-MM-Izo-blUzo-bD、一、k現(xiàn)

9、在<1,而幾何級(jí)數(shù)是收斂的，故由§4.1定理|Zo-b|yjzo-b|五可知，Zak(z-b)k在Cp上絕對(duì)收斂且一致收斂。k=0推論一如果丁ak(z-b)k在z=zi發(fā)散，則該級(jí)數(shù)在圓k=0|z-b|=|Zi-b|外處處發(fā)散。這容易用反證法證明(試自證之)。推論二對(duì)于哥函數(shù)Jaz-b)k,必存在一個(gè)數(shù)R至0,使在圓kz0|z-b|=R內(nèi)級(jí)數(shù)處處收斂，同時(shí)在|z-b|=R外級(jí)數(shù)處處發(fā)散。證從b點(diǎn)出發(fā)任作一條射線(見(jiàn)圖4.1),在這條射線上各點(diǎn)級(jí)數(shù)的收斂性有三種可能：(1)除z=b外，在射線上各點(diǎn)級(jí)數(shù)都發(fā)散。由推論一可知，級(jí)數(shù)除z=b外在平面上處處發(fā)散，此時(shí)R=Q(2)在射線上各

10、點(diǎn)級(jí)數(shù)都收斂。由阿貝爾定理可知，級(jí)數(shù)在平面上處處收斂，此時(shí)Rn。(3)在射線上有兩點(diǎn)A和B,在A點(diǎn)級(jí)數(shù)收斂而在B1點(diǎn)級(jí)數(shù)發(fā)散，由阿貝爾定理顯然可知，B1點(diǎn)比A點(diǎn)離z=b遠(yuǎn)?？紤]A,和耳的中點(diǎn)，級(jí)數(shù)在這點(diǎn)可能收斂或發(fā)散，設(shè)為收斂，記這點(diǎn)為A。再考慮4和B的中點(diǎn)，級(jí)數(shù)在這點(diǎn)可能收斂或發(fā)散，設(shè)為發(fā)散，記這點(diǎn)為B2。再考慮4和B2的中點(diǎn)，若級(jí)數(shù)收斂，記這點(diǎn)為A;否則記這點(diǎn)為B3這樣，在線段AmBn上必存在唯一的極限點(diǎn)P,在P點(diǎn)靠近z=b的一側(cè)各點(diǎn)級(jí)數(shù)都收斂，另一側(cè)各點(diǎn)級(jí)數(shù)都發(fā)散。最后，由阿貝爾定理和推論一可知，在以z=b為圓心、以P點(diǎn)到z=b的距離為半徑的圓內(nèi)級(jí)數(shù)處處收斂，而在這圓外級(jí)數(shù)處處發(fā)散。因此

11、，R等于此圓的半徑。2.募函數(shù)的收斂圓圓|z_b|=R稱(chēng)為哥級(jí)數(shù)£ak(zb)k的收斂圓，而半徑R稱(chēng)為它的kO收斂半徑。注意，對(duì)于在收斂圓周上的收斂性，上述阿貝爾定理及其推論沒(méi)有給出任何信息.定理在收斂圓內(nèi)，哥級(jí)數(shù)Jaz-b)k可以逐項(xiàng)積分或求導(dǎo)任意k=0次，而收斂半徑不變.證由于哥級(jí)數(shù)的每一項(xiàng)都是解析函數(shù)，由§4.1定理四和魏爾斯特拉斯定理可知，此級(jí)數(shù)在收斂圓|z.b|=R內(nèi)的任意一條曲線上可以逐項(xiàng)積分，同時(shí)在任意一點(diǎn)可以逐項(xiàng)求導(dǎo)，而且積分或求導(dǎo)后的級(jí)數(shù)也是收斂的.設(shè)ak(，-b)kd，=9上(z-b產(chǎn)(4.11)bkz0kzok1的收斂半徑為R;同時(shí)Zak(z-b)k=

12、2kak(z-b)k_1(4.12)dzkfk1的收斂半徑為R,則有R之R(4.13)和RdR(4.14)將結(jié)論(4.14)式用于哥級(jí)數(shù)(4.11)(注意，它的收斂半徑是R),有(R)d至Ri(4.15)k然而(4.11)式求導(dǎo)后就是哥級(jí)數(shù)Uak(z-b)本身，所以(Ri)d=Rk=0-k因而（4.15）式等價(jià)于R_R(4.16)綜合（4.13）和（4.16）式，即得r=r類(lèi)似可證Rd=R應(yīng)當(dāng)指出，雖然哥級(jí)數(shù)經(jīng)逐項(xiàng)積分或逐項(xiàng)求導(dǎo)后其收斂半徑保持不變，但哥級(jí)數(shù)在收斂圓上的收斂性可能因此而改變。一般地說(shuō)，逐項(xiàng)積分后收斂性將加強(qiáng)，而逐項(xiàng)求導(dǎo)后收斂性將減弱。例如哥級(jí)數(shù)1 ,其收斂半徑顯然是1。在圓|z

13、|=1上級(jí)數(shù)是處處發(fā)散的這是k-0因?yàn)閘im|zn|=1=0,不滿(mǎn)足級(jí)數(shù)收斂的必要條件（3.3）式,而逐項(xiàng)n_積分后的級(jí)數(shù)？，zT在Z=-1處是收斂的。k衛(wèi)k1由級(jí)數(shù)收斂性的達(dá)朗貝爾判別法和柯西判別法可以得出求哥級(jí)數(shù)f%kzk收斂半徑R的兩個(gè)公式（為書(shū)寫(xiě)方便，已取b=0）:k0a一.(1) 設(shè)lim|1存在，則n:二an1(4.17)(4.18)R=lim|-an-|nan1設(shè)nmaf存在，則R=§4.3解析函數(shù)的泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)如上節(jié)所述，就哥級(jí)數(shù)來(lái)說(shuō)，它的每一項(xiàng)都是解析函數(shù)，而且在收斂圓內(nèi)的任何閉區(qū)域上都是一致收斂的，因此由§4.1魏爾斯特拉斯定理可知，哥級(jí)數(shù)在其收斂圓內(nèi)是

14、一個(gè)解析函數(shù)。本節(jié)研究它的反問(wèn)題，即區(qū)域上的解析函數(shù)展開(kāi)為哥級(jí)數(shù)的問(wèn)題。1 .解析函數(shù)的泰勒級(jí)數(shù)泰勒(Taylor)定理設(shè)f(z)在圓域z_b<R內(nèi)是解析的，則f(z)可以在此圓域內(nèi)展開(kāi)為絕對(duì)收斂且一致收斂的哥級(jí)數(shù)一、二f(k)(b)/、k(4.19)f工胃-b)并且這樣的展開(kāi)是唯一的證注意，這里所說(shuō)的在圓域內(nèi)一致收斂指的是在該圓域內(nèi)的任何閉區(qū)域上一致收斂。所以我們要證明，對(duì)任何R<R,所展開(kāi)的哥級(jí)數(shù)在閉圓域z-b工R上是絕對(duì)收斂且一致收斂。在R和R之間取一個(gè)數(shù)R',即R1MR父R。對(duì)于圓C"：F-b|=R；(見(jiàn)圖3.2),由柯西公式f(z)=C3d,(4.20)

15、z二1cr1-z其中z是閉圓域z-bMR上的任一點(diǎn)。注意到|口|<且<1,則l-bRR；1111-z(-b)-(z-b)-b_zb-bk-(4.21)=，TH、(z-b)kr-bkH'bjk=e(-b)kd1這個(gè)級(jí)數(shù)是絕對(duì)收斂且一致收斂的(見(jiàn)§3.1定理五)。將上式代入(3.20)式并利用§3.1定理四，得到f()k商d(z-b)(-b)k1再利用解析函數(shù)高階導(dǎo)數(shù)的柯西公式(2.25)f(k)(b)=!-Ff2iuf()cr1('一b)k*(4.22)即得(4.19)式由于函數(shù)是解析的，它必然是連續(xù)的，因而數(shù))。利用柯西不等式(3.30),有所以

16、f(k)(b)k!M(Ri)kf(k)(b)k!k(z-b)<MRiRi注意到<1,級(jí)數(shù)二得)k是收斂的,所以嘉級(jí)數(shù)(4,19)在閉圓域z-bWR上是絕對(duì)收斂且一致收斂的(見(jiàn)§4.1定理五)。既然由f(z)展開(kāi)的哥級(jí)數(shù)f(z)=£ak(z-b)k(4.23)k=0必定是一致收斂的，對(duì)(4.23)式求導(dǎo)n(n=0,1,2,)次后令z=b,可得an=f(b)(n=0,1,2,)。n!這就證明了f(z)的哥級(jí)數(shù)展開(kāi)式(4.19)是唯一的。級(jí)數(shù)(4.19)稱(chēng)為解析函數(shù)f(z)的泰勒級(jí)數(shù)，而b點(diǎn)稱(chēng)為其展開(kāi)中心。既然這種展開(kāi)是唯一的，我們就可以用任何方便的方法(例如幾何級(jí)數(shù)

17、公式，如果可能的話(huà))求出泰勒級(jí)數(shù)的各項(xiàng)系數(shù)而不必利用(4.19)式。本節(jié)開(kāi)頭已經(jīng)指出，哥級(jí)數(shù)在其收斂圓內(nèi)是一個(gè)解析函數(shù)。所以被展開(kāi)的函數(shù)如果有奇點(diǎn)的話(huà)，這種奇點(diǎn)只可能在收斂圓上或收斂圓之外；就是說(shuō)，奇點(diǎn)至展開(kāi)中心的距離不會(huì)小于收斂半徑R另一方面，在函數(shù)的奇點(diǎn)中，假如離展開(kāi)中心最近的一個(gè)奇點(diǎn)不在收斂圓上而在收斂圓之外，那么在以展開(kāi)中心為圓心、以展開(kāi)中心至這個(gè)奇點(diǎn)的距離為半徑的圓域內(nèi)函數(shù)是解析的，于是按泰勒定理，此哥級(jí)數(shù)的收斂半徑將大于R。這與收斂半徑的定義相矛盾。由此可見(jiàn)，函數(shù)展開(kāi)為哥級(jí)數(shù)，其收斂半徑必等于展開(kāi)中心至被展開(kāi)函數(shù)的最近奇點(diǎn)的距離。這是確定泰勒級(jí)數(shù)收斂半徑的最直觀、最簡(jiǎn)便的方法。（注

18、意，在實(shí)變函數(shù)論中的泰勒級(jí)數(shù)本沒(méi)有這樣的好處，但現(xiàn)在就可借助于復(fù)變函數(shù)論的這一方法來(lái)確定收斂半徑了。）例如，根據(jù)泰勒級(jí)數(shù)公式（4.19）和剛才所說(shuō)的確定收斂半徑R的方法，不難得出常見(jiàn)的幾個(gè)單值初等函數(shù)的泰勒級(jí)數(shù)及其收斂范圍（以z=0為展開(kāi)中心）：qQzk（4.24）1-Zkz0在整個(gè)平面上的唯一奇點(diǎn)是z=1,而z=0至z=1的距離為1,所1-z以R=1,因而上述級(jí)數(shù)的收斂區(qū)域是z:二1k=0k!（z笛）等等。oOsinz="(-1)nn=000cosz="(-1)nn=0【例11證明2n：；1z(2n1)!2nz麗（z:二）（z:二二）ez1及=ez1,z2(4.(25)(

19、4.(26)(4.(27)(4.(28),11L“沙"("V)；(z2<°°),二1,z2e=z2i=0l!根據(jù)§4.1定理二，這兩個(gè)級(jí)數(shù)可以相乘，而且100000d.ezUez2='、:'、：ziZ271=0k!l!引入指標(biāo)n=k+l以代替指標(biāo)l（此時(shí)n2k）,然后交換兩求和號(hào)次序（此時(shí)k的取值為0wkwn）,則上式成為二二neZ1eZ2n4_yk!(n-k)!kn-kZZ2:1nZ|Znn!除囚k!(n一k)!n!kn_kZ1Z2由二項(xiàng)式定理可知，最后一式右端方括號(hào)內(nèi)的正是（Zi+Zz）所以1_eZi及=、-(z1Z2

20、)n=eZ12n=on!【例2】證明iZe=cosZ+isinZ(4.29).0°0°0°.證eiZ2(iZ)n="(iZ)%(iZ)nn!«(2k)!y(2k1)!='(-1)kk=02k二二2k1-i"(-1)k(2k)!k=0(2k1)!iZ.利用(4.26)和(4.27)式，由上式即得e=COSZ+isinZ特別，取Z=x（實(shí)數(shù)），則有eix=cosx+isinx（4.30）由此可見(jiàn)，（3.2）式的引入是合理的。2.多值函數(shù)的泰勒級(jí)數(shù)對(duì)于多值函數(shù)來(lái)說(shuō)，其函數(shù)值尚未規(guī)定之前，在復(fù)平面上展開(kāi)為泰勒級(jí)數(shù)也就無(wú)從談起。只有在黎

21、曼面上或確定單值分支之后，才可像單值函數(shù)一樣作泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)（當(dāng)然，展開(kāi)區(qū)域應(yīng)避開(kāi)支點(diǎn)和割線）。下面以?xún)蓚€(gè)例子加以說(shuō)明11【例3】將ln(1+z)在z=0的鄰域內(nèi)展開(kāi)為泰勒級(jí)數(shù)。解ln(1+z)的支點(diǎn)z=_1是和z=s。為確定它的單值分支，沿負(fù)實(shí)軸從z=-1至z=co作害U線，如圖4.3所示(如同§1.4所指出的,割線的作法不是唯一的。但是，在這里為使泰勒級(jí)數(shù)的收斂區(qū)域盡可能的大，割線不應(yīng)與此區(qū)域相交，更不能通過(guò)點(diǎn)z=0)。如果我們?nèi)〉膯沃捣种鞘垢罹€上岸關(guān)于支點(diǎn)z=-1的幅角為n,則割線下岸的幅角為-冗；就是說(shuō)，對(duì)于這個(gè)單值分支，z的值是z-1?ei-二：二(4.31)(4.32)P

22、n1又*n(1嘰葭)(叱1,2,3)(4.33)ln(1+z)=£(-1尸Jz<1)nnd利用(3.19)式即得其收斂區(qū)域?yàn)閨z<1是因?yàn)閘n(1+z)在整個(gè)復(fù)平面上(除無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)外)只有一個(gè)奇點(diǎn)z=-1,而收斂半徑R等于z=0至z=-1的距離，即R=1。若取另一個(gè)單值分支z-1?ei：23二(4.34)此時(shí)z=0=-1+1ei2”因止匕l(fā)n(1+z)i2-z口=ln(1e)=2二i這與(3.32)式不同，而(3.33)式仍有效,所以特別，原點(diǎn)是z=0=-1+1ei0由于ln1zzz0=ln1ei0=0ln(1z)=2二i八(-1產(chǎn)三z<1n1n對(duì)于其余的單值分支(有

23、無(wú)窮多個(gè))，ln(1+z)可作類(lèi)似的展開(kāi)(請(qǐng)讀者自行作出)。12【例3】將(1十z)m(m為非整數(shù))在z=0的鄰域內(nèi)展開(kāi)為泰勒級(jí)數(shù)。解(1+z)m=em1n(1制的支點(diǎn)是z=-1和z=g。同樣作割線如圖4.3如取單值分支為(3.31)式，則(1+z)mmlnf_1(1z)z衛(wèi)-e/曰金0_1d/i_i_mm/1.xm(1+z)z"=;(1+z)z,書(shū)e0=mdz1+z掖d2dz2(1z)mz=0m(m-1)(1z)2(1z)mzee。-mg-1)般地，對(duì)自然數(shù)n,有dndzn(1z)mz：0m(m-1)(m-n-1)(1z)n(1z)mzJ1ei0=m(m-1)(m-n1)利用(4.

24、19)式即得m.12m(m-1)z2產(chǎn)-1)(m-n1。.1!2!n!=1十Jm(m1)(mn*1)zn(z<1)(4.35)n1n!如取另一單值分支(4.34),注意到：c+7、m_Qm1n(1同_Q2m(Iz)zwez:=me2n:_e(1z)mz20m(mT)(m-n7)(1(1z)mzT,1e2二1=m(m-1)(m-n1)e2m-f(n=1,2,3)則有(1z)m=e2：mi1八一m(m-1)(m-n1)zn(z<1)(4.36)ILn丑n!§4.4解析函數(shù)的洛朗級(jí)數(shù)展開(kāi)現(xiàn)在更一般地討論解析函數(shù)展開(kāi)為形如憶-少的級(jí)數(shù)的問(wèn)題，這里哥次n可以取負(fù)整數(shù)。13z-b&l

25、t;R,內(nèi)是單值洛朗(Laurent)定理設(shè)f(z)在環(huán)形區(qū)域R2解析的，則f(z)可以在此環(huán)域內(nèi)展開(kāi)為絕對(duì)收斂且一致收斂的級(jí)數(shù)其中f(z)-_ak(z-b)kk二二(4.37)ak二(4.38)(l是環(huán)域內(nèi)圍繞z=b一周的任何閉曲線)。這個(gè)級(jí)數(shù)稱(chēng)為洛朗級(jí)數(shù)，這樣的展開(kāi)是唯一的。證如同上節(jié)泰勒定理的證明中所說(shuō)的那樣，這里所謂在環(huán)域R2<z-b<R內(nèi)一致收斂，意即在任何一個(gè)外半徑R小于R、內(nèi)半徑R2大于己的閉環(huán)域R2'Wz-bwR上一致收斂設(shè)z是環(huán)域旦<|z-b內(nèi)的任一點(diǎn)，它滿(mǎn)足旦,M|z-bwR,再取兩個(gè)數(shù)R"和R2"使分別滿(mǎn)足R；<R&qu

26、ot;<R和R2<R；<R2,如圖4.4所示，在由Cr:卜-b=R1"為個(gè)境界線、C&:r-b=R2"為內(nèi)境界線的閉復(fù)通區(qū)域上，應(yīng)用柯西公式，就有f(z)=(4.39)(4.40)(4.41)當(dāng)，在Cr；上時(shí)，注意到產(chǎn)二b父1,則.k1_1z-bz(J-b)-(z-b)kQb廠當(dāng)，在Cr"上時(shí)，注意到|三卜1，則.l_k111-bz-b=Ar=l1.k-1-z-b-z-b$z-bE-b其中最后一個(gè)等式作了求和指標(biāo)的代換k=-(l+1)，將(4.40)和(4.41)14式代入(4.39)式，有f(z)二f、n"t_bk1k0Ri(

27、-D)kd-I：z-Dk_iCR2"(-D)kdd(z-D)利用柯西定理，上式中的積分曲線Cr.和CR”都可用l代替而積分不變,R12所以.1f(Z)=2ikUCRi"(，_D嚴(yán)kdz-D這就證明了(4.37)和(4.38)式，至于級(jí)數(shù)(4.37)收斂性的證明完全同泰勒定理，這里從略?，F(xiàn)在證明(4.37)式是唯一的；也就是說(shuō)，其中系數(shù)ak(k=0,±1,&,)被(4.38)式唯一的確定，為此，設(shè)有rk.一,一f(z)=£Ck(z-D)(R2<|z-D<R)k-.：以2m(z-D)n除上式兩端，并關(guān)于z在l上積分，有1LLf(z)1-1

28、k_n11I；一%dz=-ZCkl(z-D)Idz=-2niCn=Cn,2nU(z-D)2兀1ke0i其中利用了公式(見(jiàn)§4.3例)1_f2兀i當(dāng)(k=n)(z-D)dz=10當(dāng)(k'n)所以,Cn=/及IC0*""需要指出，對(duì)于(4.38)式，即使是k=0,1,2,3,.時(shí)，ak也不一定是之她也不要產(chǎn)生誤解，以為級(jí)數(shù)中存在負(fù)哥，表示D點(diǎn)是函數(shù)k!f(z炳一個(gè)奇點(diǎn)，這是因?yàn)槎ɡ碇袥](méi)有說(shuō)f(z)在由l所圍的區(qū)域內(nèi)(明確的說(shuō)，在閉區(qū)域z-D汜上)是解析的，在此區(qū)域上不能用柯西公式和高階導(dǎo)數(shù)的柯西公式，其實(shí)f(z)在z-DER2上倒必定有奇點(diǎn)，15否則洛朗展開(kāi)式

29、就自動(dòng)地還原為泰勒展開(kāi)式。在洛朗級(jí)數(shù)成立的環(huán)形區(qū)域內(nèi)，正哥項(xiàng)和負(fù)哥項(xiàng)都是一個(gè)統(tǒng)一的解析函數(shù)的不可分割的組成部分。洛朗定理中的環(huán)域有兩種極限情況，其一是環(huán)域的內(nèi)半徑為零，另一是環(huán)域的外半徑為無(wú)窮大，§4.6中將討論這些情況。§ 4.5 泰勒級(jí)數(shù)和洛朗級(jí)數(shù)展開(kāi)的幾種常用方法用(4.38)式來(lái)求洛朗級(jí)數(shù)(4.37)的系數(shù)ak需要計(jì)算曲線積分，所以并不實(shí)用，按照洛朗定理，由于在特定的環(huán)域內(nèi)函數(shù)的洛朗級(jí)數(shù)是唯一的，我們通常是借助于一些別的方法將它展開(kāi)。這些展開(kāi)方法對(duì)于泰勒級(jí)數(shù)的展開(kāi)同樣是適用的1、 利用幾何級(jí)數(shù)公式(4.24)(這是最常用的展開(kāi)方法)【例1】將義在環(huán)域1<|Z&

30、lt;8內(nèi)展開(kāi)為洛朗級(jí)數(shù)。解注意到z>1,即4<1,利用(4.24)式，有z11-z2z21.12z2k2k=0z(4.42)【例2】將一1一分別在區(qū)域D1：1cz-i父及和區(qū)域D2:z(z1)72<z-i<第展開(kāi)為洛朗級(jí)數(shù)。解利用部分分式法，有1=1_1z(z1)zz1(4.43)即-<1;1+i>&,z-i11(z-i)i(z-i)(1i)先考慮區(qū)域D1內(nèi)的展開(kāi)，注意到此時(shí)|z-i|>1,16即|。|<1,貝U；-1=L(-i)n(z-i)J-|1-II(z-i)iz-i1Inqz-i=：fik2zi)k(4.44)k-J(其中已作了

31、求和指標(biāo)的代換：k=-n-1)一1一八二z.i)k(z-i)(1i)1i1.z-ik/1i)k11i將這兩式代入（4.43）式，即得1z(z1)-oOcd-,k1k-i(z-i)-n=0k斗J1L(z_i)k(1i)k1再考慮區(qū)域D2|二|<1和|力|<1,所以1的級(jí)數(shù)與（4.44）式|z-i1i|（z-i）i相同，而(4.45)111_:(-1-i)n(z-i)(1i)=Hi111;(zi)n1z-i將(4.44)和(4.45)式代入(4.43)式，即得1J:(-1)n-(-1-i)nz(z1)(z-i)n12、利用其它初等函數(shù)的泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)公式（4.25)(4.27)等等，例如

32、，利用（3.25）式，有例如，利用（3.25）式，有ez二1kkfk!z(z0)(4.46)【例3】將七三）在環(huán)域1<z（z-1）3<-內(nèi)展開(kāi)為洛朗級(jí)數(shù)。解由于z(z1)z2z(z-1)3-(z-1)3(z-1)3(4.47)17我們只需將%八3展開(kāi)。為此，利用（zT）并對(duì)此式求導(dǎo)兩次，得到代入（4.47）式，有(z.1)11；：(k1)(k2)百=2«(z1)z(z1)1：(k1)(k2)(z-1)3-2_kzk12）在此式右端的兩個(gè)和式中分別作指標(biāo)代換n=k+1和n=k+2,即得z(z1)1n(n1)3二一(z-1)32jnn,nnkWznz4、兩個(gè)級(jí)數(shù)相乘或相除【例

33、4】將cotz在環(huán)域0<|z<n內(nèi)展開(kāi)為洛朗級(jí)數(shù)。解利用,coszcotz=sinz其中sinz和cosz的泰勒級(jí)數(shù)已見(jiàn)于（4.26）和（4.27）式。另一方面，由于cotz是奇函數(shù)，而且由（4.26）和（4.27）式可見(jiàn)它的級(jí)數(shù)的最低哥次是-1,我們可以設(shè)(4.48)cotz二qhz"lZ0為定出h(l=0,1,2,|),將(4.26)和(4.27)式以及(4.48)式代入恒等式cotz=空中，移去分母后有sinz二二2m1_1)m-(_1)nbz2(ln)m=0(2m)!nz0l=0(2n1)!在右端作求和指標(biāo)代換，即以m=l+n代替n,并注意到m-l=n±

34、0,即lWm,則上式成為18二2mmmz(-1)2m、(-1)='"zm(2m)!nT(2m-2l1)!所以W132!由此可以定出b：令m=0得"；令m=1并利用可得令m=2并利用和；，可得b2Y；另m=3并利用11bi=一一，b2=，可住F4=一345945;依此類(lèi)推，將這些b值代入(4.48)式即得,111325cotz=-zzzI(0：z:二)z345945(3.49)5其它展開(kāi)方法(例如利用三角恒等式)例如，sin5z=/iz_ize-e2i/我們的討論限于單值函數(shù)(或多值函數(shù)的單值分支)O假定函數(shù)1/5iz3iziziz_3iz_5iz一(e-5e10e-

35、10e5e-e)32i,5iz_5iz3iz_3izizz1e-ee-ee-e(-5-10-)162i2i2if(z)的奇點(diǎn)z=b是孤立的；也就是說(shuō)，在z=b的任意小的鄰域內(nèi)除此點(diǎn)外f(z)再?zèng)]有其它奇點(diǎn)；或者說(shuō)，除此點(diǎn)外f(z)是解析的。這時(shí)如果將f(z)以b點(diǎn)為中心在它的鄰域內(nèi)展開(kāi)為洛朗級(jí)數(shù)，由洛朗定理可知，環(huán)域的內(nèi)半徑R2=0。因此，我們有19qQf(z)=£aMzb)k(0<zb<R)(4.50)k二其中ak=1cf|Ud，(k=。士1川2，(4.51)(4.50)式的正哥部分J26上稱(chēng)為它的解析部分，而負(fù)哥部分kz0£k(zb)k稱(chēng)為主要部分。注意，兩

36、者仍都是解析的！不過(guò)下面將看k衛(wèi)到，f(z)在z=b的奇性確是由主要部分所決定的?，F(xiàn)在按級(jí)數(shù)(4.50)的主要部分的不同形式定義各類(lèi)奇點(diǎn)，下面還將看到，這種定義是與當(dāng)zTb時(shí)f(z)的不同極限特性相等價(jià)的。(1)可去奇點(diǎn)若級(jí)數(shù)(3.50)的主要部分不存在，即Q0f(z)=£ak(z-b)k(0<z-b<R)(4.52)k=0則稱(chēng)z=b為f(z)的可去奇點(diǎn)。此時(shí)顯然叫f(z)=a。是一有限復(fù)數(shù)。反之，若l"f(z)=a0是一有限復(fù)數(shù)，則由極限的性質(zhì)可知，總存在b點(diǎn)的一個(gè)小鄰域，使f(z)滿(mǎn)足f(z)<M(常數(shù))。據(jù)此，我們可以證明ak=0(k=-1,-2,-

37、3111)o事實(shí)上，既然z=b是f(z)的孤立奇點(diǎn)，可將(4.51)式中的積分線路l變形為以b點(diǎn)為圓心、以充分小的數(shù)£為半徑的圓C&(只要e充分小，7總可以含于上面所取的小鄰域內(nèi))而保持積分值不變。于是，由(4.51)式有ak2冗L1c斤M(HJ一一Ik不-bl.M1k-T12二；-M；2二；k1(k-1,-2,-3,IH)可見(jiàn)lim0ak=0(k=-1,-2,-3,111),然而從(4.51)式看到,0020實(shí)質(zhì)上與£無(wú)關(guān)，所以ak=0(k=-1,-2,-3,|),因而，z=b是可去奇點(diǎn)。例如，z=0時(shí)sin%的可去奇點(diǎn)，這是因?yàn)榧?jí)數(shù)r）"（0:二z二二

38、）沒(méi)有負(fù)哥項(xiàng)，或者極限"等=1是一有限數(shù)。義函數(shù)f（z）F（z）=limf（z），z:b嚴(yán)格地說(shuō)，當(dāng)z=b是f(z)的可去奇點(diǎn)時(shí)，雖然ak=0,但是，系數(shù)ak(k=0,1,2,川)由(4.51)式所確定的級(jí)數(shù)(4.50)還不是泰勒級(jí)數(shù)，這是因?yàn)閒(z)在z=b并不可導(dǎo)，因而(k=0,1,2,|),為了彌補(bǔ)此缺陷，我們定（當(dāng)z#b）（當(dāng)z=b）代替f(z),則易見(jiàn)F(z)在z=b是可導(dǎo)的，因而在圓域z-b<R內(nèi)是解析的，這時(shí)，>上班=3(k=0,1,2,用)所以2二14(-b)k!F(z)=£ak(z-b)k(z-b|<R)k=0是泰勒級(jí)數(shù)，基于上述理由，可

39、去奇點(diǎn)今后就不再作為奇點(diǎn)看待了。(2)極點(diǎn)若級(jí)數(shù)(3.50)只有有限個(gè)負(fù)哥項(xiàng)，即QOf(z)=Eak(z-b)k(0<z-b<Rj)(4.53)kzz-m其中m主1且2i#0,則稱(chēng)z=b為f(z)的極點(diǎn)，而正整數(shù)m稱(chēng)為極點(diǎn)的階數(shù)，特別m=1時(shí)的極點(diǎn)也稱(chēng)為單極點(diǎn)。此時(shí)，顯然limf(z)z)b反之，若limf(z)=°°讓我們考慮函數(shù)中(z)三(4.54)zb'f(z)21由于imf(z)=g,由極限的性質(zhì)可知，只要b點(diǎn)的鄰域充分小，在這zb個(gè)鄰域內(nèi)就有f(z)#0,另一方面，lim9(z)=0,z=b是列z)的可去奇zb點(diǎn)，基于這兩方面的原因，邛(z)在

40、z=b是解析的，因而可以展開(kāi)為泰勒級(jí)數(shù)。(z)Ck(z-b)k(Cm=0)km(4.55)(4.56)，在z=b也是解(z)(4.57)因?yàn)镃o=Wb)=0,所以m型。因此，上式又可改寫(xiě)為(z)=(z-b)m(z)其中中(z)在z=b是解析的，且中(b)=Cm#0。這樣,析的，因而有泰勒級(jí)數(shù)IL:吐4(z)kZ0綜合(4.54),(4.56)和(4.57)式，得到COQOf(z)=，ak(z-b)kjm="ami(z-b)1(m-1)k=0l其中最后一步作了求和指標(biāo)的代換l=k-m,由此可見(jiàn)z=b是f(z)的極點(diǎn)。在確定z=b是f(z)的一個(gè)極點(diǎn)之后，不難確定這極點(diǎn)的階數(shù)m。事實(shí)上，以(z-b)n(n為自然數(shù))乘(4.53)式的兩端并取極限ztb,有四(z-b)nf(z)=l”aH(zb)nH+a5+(zb)n"+|.g(當(dāng)n<m)=«a_m#0(當(dāng)n=m)、0(當(dāng)n>m)可見(jiàn)，使lim(z-b)nf(z)取非零有限數(shù)的哥次n就是該極點(diǎn)的階數(shù)，用zb這樣方法確定極點(diǎn)的階數(shù)就無(wú)需事先將f(z)展開(kāi)為洛朗級(jí)數(shù)。例如,sinz有極點(diǎn)"(n=0,1訓(xùn),