第九章_振動(dòng)學(xué)基礎(chǔ)

1、第九章 振動(dòng)學(xué)基礎(chǔ)內(nèi)容諧振動(dòng)的特征和諧振動(dòng)方程諧振動(dòng)的特征和諧振動(dòng)方程諧振動(dòng)的振幅諧振動(dòng)的振幅 周期周期 頻率頻率 相位相位諧振動(dòng)的旋轉(zhuǎn)矢量表示法諧振動(dòng)的旋轉(zhuǎn)矢量表示法諧振動(dòng)的能量諧振動(dòng)的能量諧振動(dòng)的合成諧振動(dòng)的合成阻尼振動(dòng)阻尼振動(dòng) 受迫振動(dòng)受迫振動(dòng) 共振共振作業(yè)作業(yè) :習(xí)習(xí) 題題 99，911 ，917 。講課學(xué)時(shí)講課學(xué)時(shí) 3學(xué)時(shí)學(xué)時(shí)1. 理解理解諧振動(dòng)的相位諧振動(dòng)的相位概念概念、諧振動(dòng)的能諧振動(dòng)的能 量以及諧振動(dòng)的合成量以及諧振動(dòng)的合成；3. 了解了解阻尼振動(dòng)阻尼振動(dòng)、受迫振動(dòng)受迫振動(dòng)、共振共振。2. 掌握掌握諧振動(dòng)的旋轉(zhuǎn)矢量法諧振動(dòng)的旋轉(zhuǎn)矢量法;一一 簡諧振動(dòng)簡諧振動(dòng)振動(dòng)振動(dòng) ： 物體在

2、某一位置附近的往返運(yùn)動(dòng)物體在某一位置附近的往返運(yùn)動(dòng) 稱為稱為 。 什么樣的振動(dòng)是什么樣的振動(dòng)是 ( simple harmonic vibration ) 9 - -1 諧振動(dòng)的特征和諧振動(dòng)方程諧振動(dòng)的特征和諧振動(dòng)方程物體受力物體受力 F = k x 物體受到的力物體受到的力與位移的一次方成與位移的一次方成正比且反向正比且反向，具有具有這種特征的振動(dòng)稱這種特征的振動(dòng)稱為為簡諧振動(dòng)簡諧振動(dòng)，簡稱簡稱諧振動(dòng)諧振動(dòng) 二二 諧振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程諧振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程22ddtxm令令0dd222xtxF = k xF = mamF22ddtxa mkxmk2 =動(dòng)力學(xué)方程動(dòng)力學(xué)方程22ddtxx2 9 - -1

3、 諧振動(dòng)的特征和諧振動(dòng)方程諧振動(dòng)的特征和諧振動(dòng)方程 方程的解為方程的解為)(etiAx歐拉公式歐拉公式 cos + i sin= ei)cos(tA)sin(tiA在經(jīng)典物理學(xué)中用實(shí)數(shù)表示物理量在經(jīng)典物理學(xué)中用實(shí)數(shù)表示物理量)cos(tAx運(yùn)動(dòng)方程運(yùn)動(dòng)方程 9 - -1 諧振動(dòng)的特征和諧振動(dòng)方程諧振動(dòng)的特征和諧振動(dòng)方程0dd222xtx)cos(tAx速度速度txddv)2cos(tA22ddtxa )cos(2tA )sin(tA)cos(2tA加速度加速度 9 - -1 諧振動(dòng)的特征和諧振動(dòng)方程諧振動(dòng)的特征和諧振動(dòng)方程討論：1. 位移和加速度位移和加速度 反反 向向，當(dāng)當(dāng) x = 0 時(shí)時(shí)

4、， a = 0 ； x 最大最大， a 最大最大2. 速度速度 落后落后 位移位移 2 ，當(dāng)當(dāng) x = 0 時(shí)時(shí)，v 最大最大 ；x 為最大時(shí)為最大時(shí)，v = 03. v 為為零零時(shí)時(shí)，a 最大最大；v 最大最大時(shí)時(shí)，a 為為零零位移、速度、加位移、速度、加速度的速度的時(shí)間曲線時(shí)間曲線)cos(tAx 中各量的物理意義中各量的物理意義：振幅振幅 ( amplitude ) A 意義意義：因因cos 1 ，故x A ， 振幅振幅 A 就是振動(dòng)物體離開平衡位置最大位移的數(shù)值就是振動(dòng)物體離開平衡位置最大位移的數(shù)值周期周期 ( period ) T 振幅振幅 A 的大小反映了振動(dòng)的強(qiáng)弱的大小反映了振動(dòng)

5、的強(qiáng)弱振動(dòng)物體完成一個(gè)完全振動(dòng)振動(dòng)物體完成一個(gè)完全振動(dòng) ( 來回一次來回一次 ) 所需所需的時(shí)間的時(shí)間，稱為振動(dòng)的稱為振動(dòng)的周期周期。 9 - - 2 諧振動(dòng)的振幅諧振動(dòng)的振幅 周期周期 頻率頻率 相位相位)cos(tA)(cosTtATtAcos)tsin(A)(sinTtATAtsinT = 2T = 2 頻率頻率 ( frequency ) f 在單位時(shí)間內(nèi)物體作全振動(dòng)的次數(shù)在單位時(shí)間內(nèi)物體作全振動(dòng)的次數(shù)，稱為振動(dòng)稱為振動(dòng)物體的物體的頻率頻率。周期周期單位：單位： 次秒次秒 ，用赫芝用赫芝 ( Hz ) 表示表示f = 1T = 2 = 2 f ( circular frequency

6、) 彈簧振子彈簧振子 2 = km2Tkm22fmk21圓頻率圓頻率角頻率角頻率 ( angular frequency )固有周期固有周期固有頻率固有頻率 ( natural period ) ( natural frequency ) 相位相位 ( phase )(t稱為相位稱為相位 ( 振動(dòng)物體在時(shí)刻振動(dòng)物體在時(shí)刻 t 的相位的相位 ) 決定物體在開始計(jì)時(shí)時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)決定物體在開始計(jì)時(shí)時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)決定某一時(shí)刻振動(dòng)物體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)決定某一時(shí)刻振動(dòng)物體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)相位是決定某一時(shí)刻振動(dòng)物體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的物理量相位是決定某一時(shí)刻振動(dòng)物體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的物理量初相位初相位初始條件初始條件(initial

7、condition) :t = 0，x = x0，v = v0 x0 = A cosv0 = Asin( initial phase )222202220sincosAAxv2220sin)(Av2020)(vxA00tanxv2020)(vxA 振幅和初相位確實(shí)振幅和初相位確實(shí) 由初始條件確定由初始條件確定)arctan(00 xv 例 1 一勁度系數(shù)為一勁度系數(shù)為 k 的彈簧的彈簧，下端固定在下端固定在地面上地面上，上端壓一個(gè)質(zhì)量為上端壓一個(gè)質(zhì)量為 m 的重物的重物，重物使重物使彈簧縮短彈簧縮短 b = 9.8 cm 。如果給物體一如果給物體一向下向下的瞬的瞬時(shí)沖擊力時(shí)沖擊力，使它以使它以

8、 1 m s -1 的的向下速度啟動(dòng)向下速度啟動(dòng)，并上下振動(dòng)起來并上下振動(dòng)起來。試分析物體的試分析物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律運(yùn)動(dòng)規(guī)律，并求并求振動(dòng)的振動(dòng)的頻率頻率和和振幅振幅。 解： 以彈簧原以彈簧原長為坐標(biāo)原點(diǎn)長為坐標(biāo)原點(diǎn)，向下向下為為 y 軸正方向軸正方向22ddtymkymg m g = k b kykbtym22dd 令令 y= y b y = y + btytydddd2222ddddtyty= k ( y b)kytym22dd 可見可見，物體作物體作諧振動(dòng)諧振動(dòng) 振動(dòng)系統(tǒng)除受彈性力之外振動(dòng)系統(tǒng)除受彈性力之外，還受有象重力還受有象重力 這樣的恒力作用時(shí)這樣的恒力作用時(shí)，并不改變系統(tǒng)的振動(dòng)并不改

9、變系統(tǒng)的振動(dòng) 情況情況，只會(huì)改變振動(dòng)的平衡位置只會(huì)改變振動(dòng)的平衡位置。mk2fymkty22ddbmmg1 -2srad10108989.bgHz591143210.2020)()(vyAm )101(02= 0.1 m2020)(vxA振幅矢量表示法振幅矢量表示法振幅矢量的端點(diǎn)在振幅矢量的端點(diǎn)在 x 軸上的投影點(diǎn)軸上的投影點(diǎn) P來回運(yùn)動(dòng)來回運(yùn)動(dòng)經(jīng)過經(jīng)過 t 后后，A 與與x 軸的夾角變?yōu)檩S的夾角變?yōu)閠振幅矢量振幅矢量 A 在在 x 軸上的投影軸上的投影)cos(tAxOPxxAt0ttt 9 - - 3 諧振動(dòng)的旋轉(zhuǎn)矢量表示法諧振動(dòng)的旋轉(zhuǎn)矢量表示法 A 轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為，轉(zhuǎn)一圈所

10、掃過的轉(zhuǎn)一圈所掃過的角度為角度為 2，所用時(shí)間為所用時(shí)間為 2 夾角夾角)(t反映出振動(dòng)物體瞬時(shí)運(yùn)動(dòng)反映出振動(dòng)物體瞬時(shí)運(yùn)動(dòng)的狀態(tài)的狀態(tài)，它就是它就是相位相位2T初相位初相位 例 2 物體沿物體沿 x 軸作簡諧振動(dòng)軸作簡諧振動(dòng)，振幅為振幅為12 cm，周期為周期為 2 s，在在 x = 6 cm處處，且且向向 x 軸負(fù)方向軸負(fù)方向 運(yùn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)，求物體的運(yùn)動(dòng)方程和求物體的運(yùn)動(dòng)方程和從這一位置回到平衡位置所需的最短時(shí)間從這一位置回到平衡位置所需的最短時(shí)間。解：)cos(tAxA = 1210-2 m = 2T = 22 =s-1t = 0 時(shí)時(shí) ， x0 = 6 cm ， v0 0 ，cos10121

11、062-2,21cossin0Av32或或34運(yùn)動(dòng)方程形式運(yùn)動(dòng)方程形式v0 0 ，, 0sin32運(yùn)動(dòng)方程運(yùn)動(dòng)方程為為)m32cos(10122tx回到平衡位置所需最短時(shí)間回到平衡位置所需最短時(shí)間，令令 x = 0 就可求得就可求得用振幅矢量求更方便用振幅矢量求更方便 !回到平衡位置所需最回到平衡位置所需最短時(shí)間為短時(shí)間為 56 秒秒故故應(yīng)取應(yīng)取6532xOs6565t2) 12()32(kt系統(tǒng)振動(dòng)時(shí)系統(tǒng)振動(dòng)時(shí)，振動(dòng)能量包括動(dòng)能和勢能振動(dòng)能量包括動(dòng)能和勢能動(dòng)能動(dòng)能2k21vmE 勢能勢能2p21kxE振動(dòng)能量振動(dòng)能量E)(cos2122tkA)(sin21222tmA)(cos2122tkA

12、)(sin21222tmA 9 - - 4 諧振動(dòng)的諧振動(dòng)的能量能量mk2221kAmk22221mA2mk 在運(yùn)動(dòng)過程中機(jī)械能是守恒的在運(yùn)動(dòng)過程中機(jī)械能是守恒的， 動(dòng)能和勢能互相轉(zhuǎn)化動(dòng)能和勢能互相轉(zhuǎn)化 x = 0 ，vmax ， Ekmax ， Ep = 0 ；x= A ，v = 0 ， Ek = 0 ， Epmax ； 其它位置兩者都有其它位置兩者都有平均動(dòng)能平均動(dòng)能kETttmA0222)d(sin21T1222121mAE21平均勢能平均勢能pETttkA022)d(cos21T122121kA 平均動(dòng)能與平均勢能相等平均動(dòng)能與平均勢能相等，均為總能量的一半均為總能量的一半E21222

13、1mATttT02)d(sin121一一 同方向同頻率簡諧振動(dòng)的合成x1 = A1cos (t +)1x2 = A2cos (t +)2用振幅矢量法來求合成用振幅矢量法來求合成 設(shè)設(shè)x = x1 + x29 - - 5 諧振動(dòng)的諧振動(dòng)的合成合成xOA11A22A12x2x1x2xA1 和和 A2 間的夾角間的夾角)cos(tAxx = x1 + x2)(cos2122122212AAAAA)cos(212212221AAAA22112211coscossinsintanAAAA)cos(212212221AAAA)cos(tAx)cos(212212221AAAAA討論：)cos(212212

14、221AAAAA1. 相位差相位差 ，210212kk2122212AAAAA2. 相位差相位差 ，）（2101212kk2122212AAAAA=A1 A2合振動(dòng)振幅取值為合振動(dòng)振幅取值為 A( A1+ A2 ) A1 A221AA 二二 同方向不同頻率簡諧振動(dòng)的合成 拍 )cos(1111tAx)cos(2222tAxx = x1 + x2 )cos(111tA假定分振動(dòng)的振幅和初相位都相等假定分振動(dòng)的振幅和初相位都相等 ，分別為分別為 A,上式為上式為coscos1tAx和和sinsin1tAcoscos2tAsinsin2tA)cos(222tA 9 - - 5 諧振動(dòng)的諧振動(dòng)的合成合

15、成ttA2cos2cos21212合振動(dòng)不再是簡諧振動(dòng)合振動(dòng)不再是簡諧振動(dòng)。振幅為振幅為,2cos212tA是周期性變化的是周期性變化的討論：1 和和 2 都較大都較大 ，但相差甚微但相差甚微 2 1 2 + 1 ，tA2cos212隨時(shí)間的變化比隨時(shí)間的變化比t2cos12隨時(shí)間的變化來要隨時(shí)間的變化來要慢得多慢得多 。 可把合振動(dòng)看作是振幅為可把合振動(dòng)看作是振幅為,2cos212tA圓頻率為圓頻率為212的諧振的諧振。振幅緩慢周期性變化振幅緩慢周期性變化，發(fā)生振幅發(fā)生振幅時(shí)大時(shí)小時(shí)大時(shí)小，即振幅時(shí)強(qiáng)時(shí)弱的現(xiàn)象即振幅時(shí)強(qiáng)時(shí)弱的現(xiàn)象，把這把這種現(xiàn)象叫作種現(xiàn)象叫作 “ 拍拍 ” 。拍振幅的周期拍

16、振幅的周期122T拍頻拍頻12122fff拍頻為兩分振動(dòng)頻率之差拍頻為兩分振動(dòng)頻率之差拍的圖示拍的圖示三三 垂直方向同頻率簡諧振動(dòng)的合成振動(dòng)位移方程振動(dòng)位移方程)cos(11tAx)cos(22tAy合振動(dòng)的軌跡方程合振動(dòng)的軌跡方程212Ax1. 012222Ay)cos(21221AAxy)(sin122橢圓方程橢圓方程 9 - - 5 諧振動(dòng)的諧振動(dòng)的合成合成212AxxAAy12 t 時(shí)刻時(shí)刻，質(zhì)點(diǎn)離開質(zhì)點(diǎn)離開平衡位置的位移平衡位置的位移22yxs222Ay212AAxy0)(cos)(cos222221tAtAxyOsxy2221AA 振幅振幅 結(jié)論結(jié)論 : 合振動(dòng)仍是簡諧振動(dòng)，頻率與

17、分振動(dòng)合振動(dòng)仍是簡諧振動(dòng)，頻率與分振動(dòng) 的頻率相同的頻率相同2221AA )cos(t2.12212Ax222Ay212AAxy0 xAAy12 合振動(dòng)仍是同頻合振動(dòng)仍是同頻 率的簡諧振動(dòng)率的簡諧振動(dòng)3.212212Ax222Ay1xyO 質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌跡是一個(gè)正橢圓質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌跡是一個(gè)正橢圓, 振動(dòng)點(diǎn)是振動(dòng)點(diǎn)是 順時(shí)針方向運(yùn)動(dòng)的順時(shí)針方向運(yùn)動(dòng)的4.2312212Ax 軌跡不變，其運(yùn)動(dòng)方向?yàn)槟鏁r(shí)針方向軌跡不變，其運(yùn)動(dòng)方向?yàn)槟鏁r(shí)針方向若若 A1 = A2 兩個(gè)頻率相同的互相垂直的簡諧振動(dòng)合兩個(gè)頻率相同的互相垂直的簡諧振動(dòng)合 成后合振動(dòng)在一直線、橢圓或圓上進(jìn)行成后合振動(dòng)在一直線、橢圓或圓上進(jìn)行222

18、Ay1 x2 + y2 = A12李薩茹圖形李薩茹圖形（ Lissajous，figures ）頻率的比與切點(diǎn)數(shù)的比成反比頻率的比與切點(diǎn)數(shù)的比成反比xyyxNNffl傅里葉分解傅里葉分解(Fourier analysis) 任何一個(gè)周期任何一個(gè)周期 性的振動(dòng)性的振動(dòng), , 都都 可以分解成頻可以分解成頻 率等于基頻整率等于基頻整 數(shù)倍的一些列數(shù)倍的一些列 諧振動(dòng)的和，諧振動(dòng)的和， 這就是傅里葉這就是傅里葉 分解分解矩形周期振動(dòng)矩形周期振動(dòng)的傅里葉分解的傅里葉分解一一 阻尼振動(dòng)振幅隨時(shí)間而減小的振動(dòng)稱為振幅隨時(shí)間而減小的振動(dòng)稱為 阻尼振動(dòng)阻尼振動(dòng)。阻尼振動(dòng)也就是能量不斷減少的振動(dòng)阻尼振動(dòng)也就是能

19、量不斷減少的振動(dòng)。阻力阻力 F 與速度與速度 v 成正比成正比，方向與速度的方向相反方向與速度的方向相反 F = Cv運(yùn)動(dòng)方程為運(yùn)動(dòng)方程為txCdd( damped vibration ) 9 - - 6 阻尼振動(dòng)阻尼振動(dòng) 受迫振動(dòng)受迫振動(dòng) 共振共振令,20mkmC20dd2dd2022xtxtx由系統(tǒng)本身由系統(tǒng)本身性質(zhì)決定性質(zhì)決定與系統(tǒng)本身的性質(zhì)以及與系統(tǒng)本身的性質(zhì)以及介質(zhì)的性質(zhì)都有關(guān)系介質(zhì)的性質(zhì)都有關(guān)系 0dddd22txmCxmktxtxCkxdd22ddtxm固有頻率固有頻率阻尼因數(shù)阻尼因數(shù)x = Ae -tcos (t +)220周期周期2T2202當(dāng)阻尼系數(shù)較小當(dāng)阻尼系數(shù)較小，即即

20、2 02 時(shí)時(shí)受迫振動(dòng)受迫振動(dòng)： 在外來周期性力的持續(xù)作用下在外來周期性力的持續(xù)作用下, 振動(dòng)系統(tǒng)所發(fā)生的振動(dòng)稱為受迫振動(dòng)系統(tǒng)所發(fā)生的振動(dòng)稱為受迫 振動(dòng)振動(dòng)。周期性的力稱為強(qiáng)迫力周期性的力稱為強(qiáng)迫力。強(qiáng)迫力強(qiáng)迫力tFtxCkxtxmp22cosdddd令令mFfmCmk ,2 ,20二二 受迫振動(dòng) ( forced vibration )共振共振 ( resonance )F cospt 9 - - 6 阻尼振動(dòng)阻尼振動(dòng) 受迫振動(dòng)受迫振動(dòng) 共振共振根據(jù)微分方程理論根據(jù)微分方程理論，解為解為)cos()cos(ep0tAtAxt 振動(dòng)系統(tǒng)在強(qiáng)迫力作用下振動(dòng)系統(tǒng)在強(qiáng)迫力作用下，經(jīng)過一段時(shí)間后經(jīng)過一段時(shí)間后 即達(dá)到穩(wěn)定的振動(dòng)狀態(tài)即達(dá)到穩(wěn)定的振動(dòng)狀態(tài)。tfxtxtxp2022cosdd2dd阻尼振動(dòng)阻尼振動(dòng)簡諧振動(dòng)簡諧振動(dòng))cos(ptAx當(dāng)強(qiáng)迫力的圓頻率當(dāng)強(qiáng)迫力的圓頻率 p 接近振動(dòng)系統(tǒng)的固有接近振動(dòng)系統(tǒng)