第8章彎曲剛度

1、第 8 章 彎曲剛度 第8章彎曲剛度8-1 彎曲變形與位移的基本概念彎曲變形與位移的基本概念8-2 小撓度微分方程及其積分小撓度微分方程及其積分8-3 工程中的疊加法工程中的疊加法8-4 簡單的靜不定梁簡單的靜不定梁8-5 彎曲剛度計(jì)算彎曲剛度計(jì)算一、梁彎曲后的撓度曲線一、梁彎曲后的撓度曲線在彈性范圍內(nèi)加載時(shí)，梁的軸線在彎曲后變成一連續(xù)在彈性范圍內(nèi)加載時(shí)，梁的軸線在彎曲后變成一連續(xù)光滑的曲線，這一連續(xù)光滑曲線稱為撓度曲線。光滑的曲線，這一連續(xù)光滑曲線稱為撓度曲線。x8-1 彎曲變形與位移的基本概念彎曲變形與位移的基本概念)x( zEI)x(M)x(1 zEIM1 qAB第第 8 8 章章 彎曲

2、強(qiáng)度彎曲強(qiáng)度彎曲變形與位移的基本概念彎曲變形與位移的基本概念二、梁的撓度與轉(zhuǎn)角二、梁的撓度與轉(zhuǎn)角1.1.撓度：橫截面形心沿垂直于軸線方向的位移。撓度：橫截面形心沿垂直于軸線方向的位移。 用用“w” 表示。表示。)x(ww 撓度方程撓度方程撓度向下為正；向上為負(fù)。撓度向下為正；向上為負(fù)。wxwxqAB)x( 第第 8 8 章章 彎曲強(qiáng)度彎曲強(qiáng)度彎曲變形與位移的基本概念彎曲變形與位移的基本概念2.2.轉(zhuǎn)角：橫截面繞中性軸轉(zhuǎn)過的角度。轉(zhuǎn)角：橫截面繞中性軸轉(zhuǎn)過的角度。用用“ ” ” 表示。表示。轉(zhuǎn)角方程轉(zhuǎn)角方程)x( 順時(shí)針為正；逆時(shí)針為負(fù)。順時(shí)針為正；逆時(shí)針為負(fù)。wx wxqAB)x( 第第 8 8

3、 章章 彎曲強(qiáng)度彎曲強(qiáng)度彎曲變形與位移的基本概念彎曲變形與位移的基本概念3.3.撓度和轉(zhuǎn)角的關(guān)系撓度和轉(zhuǎn)角的關(guān)系wxwdxdwtg)( 橫截面上的轉(zhuǎn)角等于撓曲線在該截面處的斜率橫截面上的轉(zhuǎn)角等于撓曲線在該截面處的斜率w 即：即：wx wxqAB)x( 第第 8 8 章章 彎曲強(qiáng)度彎曲強(qiáng)度彎曲變形與位移的基本概念彎曲變形與位移的基本概念三、梁的位移與約束密切相關(guān)三、梁的位移與約束密切相關(guān)pFalpF BACABalapF pFCDlaFMp aFMp BA因?yàn)橐驗(yàn)閍FMp 所以所以zEIM1 第第 8 8 章章 彎曲強(qiáng)度彎曲強(qiáng)度彎曲變形與位移的基本概念彎曲變形與位移的基本概念dlapFABC 對

4、于主要承受彎曲的梁和軸，撓度和轉(zhuǎn)角過大會(huì)影響對于主要承受彎曲的梁和軸，撓度和轉(zhuǎn)角過大會(huì)影響構(gòu)件或零件的正常工作。例如齒輪軸的撓度過大會(huì)影響齒構(gòu)件或零件的正常工作。例如齒輪軸的撓度過大會(huì)影響齒輪的嚙合，或增加齒輪的磨損并產(chǎn)生噪聲；機(jī)床主軸的撓輪的嚙合，或增加齒輪的磨損并產(chǎn)生噪聲；機(jī)床主軸的撓度過大會(huì)影響加工精度；由軸承支承的軸在支承處的轉(zhuǎn)角度過大會(huì)影響加工精度；由軸承支承的軸在支承處的轉(zhuǎn)角如果過大會(huì)增加軸承的磨損等等。如果過大會(huì)增加軸承的磨損等等。 四、梁的位移分析的工程意義四、梁的位移分析的工程意義第第 8 8 章章 彎曲強(qiáng)度彎曲強(qiáng)度彎曲變形與位移的基本概念彎曲變形與位移的基本概念8-2 小撓

5、度微分方程及其積分小撓度微分方程及其積分一、一、 小撓度微分方程小撓度微分方程x)x( zEI)x(M)x(1 qAB曲率與彎矩的關(guān)系曲率與彎矩的關(guān)系23222xdwd1xdwd)x(1 曲率與撓度曲線的關(guān)系（數(shù)學(xué)表達(dá)式曲率與撓度曲線的關(guān)系（數(shù)學(xué)表達(dá)式) )第第 8 8 章章 彎曲強(qiáng)度彎曲強(qiáng)度小撓度微分方程及其積分小撓度微分方程及其積分23222xdwd1xdwd)x(1 zEI)x(M)x(1 23222zxdwd1xdwdEI)x(M EIMdxwd22小撓度微分方程小撓度微分方程第第 8 8 章章 彎曲強(qiáng)度彎曲強(qiáng)度小撓度微分方程及其積分小撓度微分方程及其積分EIMxdwd22 EIMxw

6、22dd0M,0 xdwd22 0M,0 xdwd22 wxMMwx使用條件：使用條件：彈性范圍內(nèi)工作的細(xì)長梁。彈性范圍內(nèi)工作的細(xì)長梁。MM本書所采本書所采用的情況用的情況第第 8 8 章章 彎曲強(qiáng)度彎曲強(qiáng)度小撓度微分方程及其積分小撓度微分方程及其積分)x(M)x(wEI 1lCdx)x(M)x(wEI 21llCxCdx)dx)x(M()x(EIw 利用梁的位移條件確定式中的積分常數(shù)，就得轉(zhuǎn)角方利用梁的位移條件確定式中的積分常數(shù)，就得轉(zhuǎn)角方程程 = (x) = w(x)和撓度方程和撓度方程 w = w (x) ，從而也就可以從而也就可以求某個(gè)具體橫截面處的轉(zhuǎn)角和撓度了求某個(gè)具體橫截面處的轉(zhuǎn)角

7、和撓度了。這種求這種求轉(zhuǎn)角和轉(zhuǎn)角和撓度的方法稱為撓度的方法稱為積分法積分法。第第 8 8 章章 彎曲強(qiáng)度彎曲強(qiáng)度小撓度微分方程及其積分小撓度微分方程及其積分二、積分常數(shù)的確定二、積分常數(shù)的確定1.1.邊界條件邊界條件BAF abCl梁截面的已知位移條件或位移約束條件梁截面的已知位移條件或位移約束條件0Aw0Bw0wD 0D DEF第第 8 8 章章 彎曲強(qiáng)度彎曲強(qiáng)度小撓度微分方程及其積分小撓度微分方程及其積分2.2.連續(xù)條件連續(xù)條件BAF abCl分段處撓曲線所應(yīng)滿足的連續(xù)、光滑條分段處撓曲線所應(yīng)滿足的連續(xù)、光滑條件，簡稱為梁位移的連續(xù)條件。件，簡稱為梁位移的連續(xù)條件。右左CCww 右左CC

8、第第 8 8 章章 彎曲強(qiáng)度彎曲強(qiáng)度小撓度微分方程及其積分小撓度微分方程及其積分解：解：1. 1. 建立坐標(biāo)系建立坐標(biāo)系 求圖示懸臂梁的轉(zhuǎn)角方程求圖示懸臂梁的轉(zhuǎn)角方程 = (x)和撓度方和撓度方程程 w=w(x) ，并求最大轉(zhuǎn)角并求最大轉(zhuǎn)角 max及最大撓度及最大撓度 wmax。梁在豎直平面內(nèi)彎曲時(shí)的抗彎剛度梁在豎直平面內(nèi)彎曲時(shí)的抗彎剛度EI為已知。為已知。lABwxx2. 2. 求支反力求支反力AFAMFFA FlMA 3. 3. 列彎矩方程列彎矩方程)xl (F)x(M 例題例題 8-1 F第第 8 8 章章 彎曲強(qiáng)度彎曲強(qiáng)度小撓度微分方程及其積分小撓度微分方程及其積分lABwxx4. 4

9、. 建立撓曲線近似微分方程并積分建立撓曲線近似微分方程并積分)xl (F)x(wEI C)2xlx(FEI)x(wEI2 DCx)6x2lx(F)x(EIw32 5. 5. 確定積分常數(shù)確定積分常數(shù)邊界條件邊界條件F第第 8 8 章章 彎曲強(qiáng)度彎曲強(qiáng)度小撓度微分方程及其積分小撓度微分方程及其積分lABwxx6. 6. 建立轉(zhuǎn)角與撓度方程建立轉(zhuǎn)角與撓度方程)2xlx(FEI2 )6x2lx(F)x(EIw32 7. 7. 繪制撓曲線略圖并計(jì)算最大轉(zhuǎn)角與撓度繪制撓曲線略圖并計(jì)算最大轉(zhuǎn)角與撓度B BwEI2Fl2Bmax EI3Flww3Bmax （ ）（ ）F第第 8 8 章章 彎曲強(qiáng)度彎曲強(qiáng)度小

10、撓度微分方程及其積分小撓度微分方程及其積分2xqFxMM2e 8-3 8-3 工程中的疊加法工程中的疊加法xqFeM EIMxdwd22 xw第第 8 8 章章 彎曲強(qiáng)度彎曲強(qiáng)度工程中的疊加法工程中的疊加法2xqFxMM2e qFxeMMwEI iMM iiMwEI MwEI iM iwEI iww xw第第 8 8 章章 彎曲強(qiáng)度彎曲強(qiáng)度工程中的疊加法工程中的疊加法 第第 8 8 章章 彎曲強(qiáng)度彎曲強(qiáng)度工程中的疊加法工程中的疊加法A EIlMeA EI2lMw2eAFA EI2Fl2A EI3Flw3AqA EI6ql3A EI8qlw4AA AwA AwA Aw第第 8 8 章章 彎曲強(qiáng)度

11、彎曲強(qiáng)度工程中的疊加法工程中的疊加法BAF C2l2l EI16Fl2A EI48Flw3CBAC2l2leM EI24ql3A EI384ql5w4CAC2l2lqB EI3lMEI6lMeBeA EIlMwC162eA CwA CwA Cw第第 8 8 章章 彎曲強(qiáng)度彎曲強(qiáng)度工程中的疊加法工程中的疊加法ACaaqBF疊加法求疊加法求A截面的轉(zhuǎn)角截面的轉(zhuǎn)角和和C截面的撓度截面的撓度. .ACaaBF=ACaaqB+ EI6Faw3FC EI4Fa2FA EI24qa5w4qC EI3qa3qA FA FCwqA qCw例題例題 8-2 第第 8 8 章章 彎曲強(qiáng)度彎曲強(qiáng)度工程中的疊加法工程中

12、的疊加法ACaaqBF疊加法求疊加法求A截面的轉(zhuǎn)角截面的轉(zhuǎn)角和和C截面的撓度截面的撓度. . EI24qa5EI6Fawww43qCFCC EI3qaEI4Fa32qAFAA A Cw第第 8 8 章章 彎曲強(qiáng)度彎曲強(qiáng)度工程中的疊加法工程中的疊加法試求如圖所示梁試求如圖所示梁C C 點(diǎn)處撓度和轉(zhuǎn)角。點(diǎn)處撓度和轉(zhuǎn)角。qAlB已知懸臂梁在均布載荷 q 作用下B點(diǎn)的撓度和轉(zhuǎn)角為：（其中l(wèi) 為梁長）EI6ql3B EI8qlw4B1Cw1C ACBq2l2B 2Cw2BwEI3ql4EI6)l2(q331C EIql2EI8)l2(qw441C EI24ql7EI6lqlEI8qlw4342C EI6

13、ql32B2C EI6ql732C1CC EI24ql41www42C1CC 解：解：ACBql2lqAC2lB例題例題 8-3 第第 8 8 章章 彎曲強(qiáng)度彎曲強(qiáng)度工程中的疊加法工程中的疊加法1.1.靜定梁：梁的未知力個(gè)數(shù)等于獨(dú)立靜力方程的個(gè)數(shù)靜定梁：梁的未知力個(gè)數(shù)等于獨(dú)立靜力方程的個(gè)數(shù) 利用靜力平衡方程就可以求出所有的未知力。利用靜力平衡方程就可以求出所有的未知力。7-6 7-6 簡單靜不定梁簡單靜不定梁qACaBa. 0aqa2a2F,0MByA AyFByF. 0qa2FF,0FByAyy 第第 8 8 章章 彎曲強(qiáng)度彎曲強(qiáng)度簡單靜不定梁簡單靜不定梁ACaqBaAyFByFCyF. 0

14、qa2FFF,0FCyByAyy . 0aqa2aFa2F,0MCyByA 2.2.靜不定梁：梁的未知力個(gè)數(shù)多于獨(dú)立靜力方程的個(gè)靜不定梁：梁的未知力個(gè)數(shù)多于獨(dú)立靜力方程的個(gè) 數(shù)，只利用靜力方程不能求出所有的未數(shù)，只利用靜力方程不能求出所有的未 知力。知力。第第 8 8 章章 彎曲強(qiáng)度彎曲強(qiáng)度簡單靜不定梁簡單靜不定梁ACaqBaAyFByFCyF4.4.多余約束：在靜不定梁中，凡是多余維持平衡所必多余約束：在靜不定梁中，凡是多余維持平衡所必 需的約束，稱為多余約束。需的約束，稱為多余約束。5.5.多余支反力：與多余約束相對應(yīng)的支反力或支反力偶多余支反力：與多余約束相對應(yīng)的支反力或支反力偶 矩，統(tǒng)

15、稱為多余支反力。矩，統(tǒng)稱為多余支反力。3.3.靜不定次數(shù)：在靜不定梁中，未知力與獨(dú)立的平衡方靜不定次數(shù)：在靜不定梁中，未知力與獨(dú)立的平衡方 程數(shù)之差，稱為靜不定次數(shù)。程數(shù)之差，稱為靜不定次數(shù)。第第 8 8 章章 彎曲強(qiáng)度彎曲強(qiáng)度簡單靜不定梁簡單靜不定梁6.6.相當(dāng)系統(tǒng)：多余約束解除后，所得之受力與原靜不相當(dāng)系統(tǒng)：多余約束解除后，所得之受力與原靜不定梁相同的靜定梁，稱為原靜不定梁的相當(dāng)系統(tǒng)。定梁相同的靜定梁，稱為原靜不定梁的相當(dāng)系統(tǒng)。BACaqaACaqBaCyF0wC 0wC 0wwwCFqCCCy 即即0EI48lFEI384ql53Cy4 qL85FCy 變形協(xié)變形協(xié)調(diào)方程調(diào)方程,EI38

16、4ql5w4qC EI48lFw3CyCFCy 第第 8 8 章章 彎曲強(qiáng)度彎曲強(qiáng)度簡單靜不定梁簡單靜不定梁7.7.求解靜不定的梁的方法與步驟求解靜不定的梁的方法與步驟（1 1）根據(jù)支反力與有效平衡方程的數(shù)目，判斷梁的靜）根據(jù)支反力與有效平衡方程的數(shù)目，判斷梁的靜不定次數(shù)；不定次數(shù)；（2 2）解除多余約束，并以相應(yīng)多余支反力代替其作用，）解除多余約束，并以相應(yīng)多余支反力代替其作用，得原靜不定梁的相當(dāng)系統(tǒng)；得原靜不定梁的相當(dāng)系統(tǒng)；（3 3）計(jì)算相當(dāng)系統(tǒng)在多余約束處的位移，并根據(jù)相應(yīng)）計(jì)算相當(dāng)系統(tǒng)在多余約束處的位移，并根據(jù)相應(yīng)的變形協(xié)調(diào)方程建立補(bǔ)充方程，從而求出多余支反力。的變形協(xié)調(diào)方程建立補(bǔ)充方

17、程，從而求出多余支反力。第第 8 8 章章 彎曲強(qiáng)度彎曲強(qiáng)度簡單靜不定梁簡單靜不定梁EI8qlw4qB EI3lFw3BBFB 0EI3lFEI8ql3B4 qlFB83qAlBFM 8ql2128ql920wwwBFqBBB qABl例題例題 8-4 第第 8 8 章章 彎曲強(qiáng)度彎曲強(qiáng)度簡單靜不定梁簡單靜不定梁8-5 8-5 彎曲剛度計(jì)算彎曲剛度計(jì)算dlapFABC 對于主要承受彎曲的梁和軸，撓度和轉(zhuǎn)角過大會(huì)影響對于主要承受彎曲的梁和軸，撓度和轉(zhuǎn)角過大會(huì)影響構(gòu)件或零件的正常工作。例如齒輪軸的撓度過大會(huì)影響齒構(gòu)件或零件的正常工作。例如齒輪軸的撓度過大會(huì)影響齒輪的嚙合，或增加齒輪的磨損并產(chǎn)生噪聲

18、；機(jī)床主軸的撓輪的嚙合，或增加齒輪的磨損并產(chǎn)生噪聲；機(jī)床主軸的撓度過大會(huì)影響加工精度；由軸承支承的軸在支承處的轉(zhuǎn)角度過大會(huì)影響加工精度；由軸承支承的軸在支承處的轉(zhuǎn)角如果過大會(huì)增加軸承的磨損等等。如果過大會(huì)增加軸承的磨損等等。 第第 8 8 章章 彎曲強(qiáng)度彎曲強(qiáng)度彎曲剛度計(jì)算彎曲剛度計(jì)算 max一、梁的剛度條件一、梁的剛度條件 maxw第第 8 8 章章 彎曲強(qiáng)度彎曲強(qiáng)度彎曲剛度計(jì)算彎曲剛度計(jì)算鋼制圓軸，左端受力為鋼制圓軸，左端受力為FP，F(xiàn)P20 kN，alm，l2 m，E=206 GPa，其他尺寸如圖，其他尺寸如圖所示。規(guī)定軸承所示。規(guī)定軸承B B 處的許用轉(zhuǎn)角處的許用轉(zhuǎn)角 =0.5。1 1. .校核剛度；校核剛度；