第三章線性方程組向量組相關(guān)性習(xí)題課

1、定義定義12121122:,ssssAk kkkkkA 給給定定向向量量組組對對于于任任何何一一組組實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)向向量量稱稱為為向向量量組組 的的一一個(gè)個(gè)線線性性組組合合1212112212:,:,.sssssAbk kkbkkkbAbA 給給定定向向量量組組和和向向量量如如果果存存在在一一組組實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)使使則則向向量量 是是向向量量組組 的的線線性性組組合合 這這時(shí)時(shí)稱稱向向量量 可可經(jīng)經(jīng)向向量量組組線線性性表表出出定義定義1212:,:,.,.msABBABAABa aabbb設(shè)設(shè)有有兩兩個(gè)個(gè)向向量量組組及及若若 組組中中的的每每個(gè)個(gè)向向量量都都能能由由向向量量組組線線性性表表示示 則則稱稱向向

2、量量組組 能能由由向向量量組組若若向向量量組組 與與向向量量組組 能能相相互互線線性性表表出出 則則稱稱這這兩兩個(gè)個(gè)向向量量性性表表出出組組線線等等價(jià)價(jià)1 1. .自自向向量量組組反反性性，線線性性表表出出性性質(zhì)質(zhì)2 2. .傳傳遞遞性性1 1. .自自反反性性，2 2. .傳傳遞遞性性向向量量組組，3 3等等價(jià)價(jià)性性質(zhì)質(zhì). .對對稱稱性性定義定義:如果向量組如果向量組 中有中有一向量一向量12,(2)ss 稱為稱為線性相關(guān)線性相關(guān)的的.可經(jīng)其余向量線性表出，則向量組可經(jīng)其余向量線性表出，則向量組12,s 定義定義：向量組向量組 稱為線性相關(guān)稱為線性相關(guān)12,(1)ss 如果存在如果存在 P

3、上上不全為零不全為零的數(shù)的數(shù) 12,sk kk11220.sskkk 使使定義定義：若向量組若向量組 不線性相關(guān)，則稱不線性相關(guān)，則稱12,s 若不存在若不存在 P 中不中不全為零的數(shù)全為零的數(shù) ，使使12,sk kkP 11220sskkk 向量組向量組 為為線性無關(guān)的線性無關(guān)的.12,s 即即則稱向量組則稱向量組 為為線性無關(guān)的線性無關(guān)的.12,s 11220sskkk 必有必有120,skkk 等價(jià)的，對于一個(gè)向量組等價(jià)的，對于一個(gè)向量組12,s 若由若由則稱向量組則稱向量組 為為線性無關(guān)的線性無關(guān)的.12,s 1）一向量組線性相關(guān)的）一向量組線性相關(guān)的充要條件充要條件是其中至少有一是其

4、中至少有一個(gè)向量可由其余向量線性表出個(gè)向量可由其余向量線性表出. 121212):,:,.,.sssABBA 若若向向量量組組線線性性相相關(guān)關(guān) 則則向向量量組組也也線線性性相相關(guān)關(guān) 反反言言之之 若若向向量量組組 線線性性無無關(guān)關(guān) 則則向向量量組組 也也線線性性無無關(guān)關(guān)部分相關(guān)部分相關(guān)-整體相關(guān)整體相關(guān)（整體無關(guān)整體無關(guān)-部分無關(guān)部分無關(guān)）12123):,:,.ssAa aaBbba aaA設(shè)設(shè)向向量量組組線線性性無無關(guān)關(guān) 而而向向量量組組線線性性相相關(guān)關(guān) 則則向向量量 必必能能由由向向量量組組 線線性性表表示示 且且表表示示式式是是唯唯一一的的111,12214),(1,2, ).:,:,.

5、,.jjjjrjrjrjjjssaajsaaaABBA 設(shè)設(shè)即即向向量量添添上上一一個(gè)個(gè)分分量量后后得得到到向向量量若若向向量量組組線線性性無無關(guān)關(guān) 則則向向量量組組也也線線性性無無關(guān)關(guān) 反反言言之之 若若向向量量組組 線線性性相相關(guān)關(guān) 則則向向量量組組也也線線性性相相關(guān)關(guān)短向量線性無關(guān)，則加長向量線性無關(guān)；短向量線性無關(guān)，則加長向量線性無關(guān)；長向量線性相關(guān)，則縮短向量線性相關(guān)長向量線性相關(guān)，則縮短向量線性相關(guān)定理定理2 設(shè)設(shè) 與與 為兩個(gè)為兩個(gè)12,s 12,r i) 向量組向量組 可經(jīng)可經(jīng) 線性表出線性表出；12,s 12,r 則向量組則向量組 必線性相關(guān)必線性相關(guān).12,r ii).rs

6、 向量組，若向量組，若推論推論1 若向量組若向量組 可經(jīng)向量組可經(jīng)向量組 12,r 12,s 線性表出，且線性表出，且 線線線性無關(guān)線性無關(guān)，則則 12,r .rs 推論推論2任意任意 n1 個(gè)個(gè) n 維向量必線性相關(guān)維向量必線性相關(guān). . 推論推論3兩個(gè)線性無關(guān)的等價(jià)向量組必含相同個(gè)數(shù)的向量兩個(gè)線性無關(guān)的等價(jià)向量組必含相同個(gè)數(shù)的向量定義定義12,riiiAAr 設(shè)設(shè)有有向向量量組組如如果果在在 中中能能選選出出 個(gè)個(gè)向向量量滿滿足足120(1):,;riiiA 部部分分組組線線性性無無關(guān)關(guān),)1(1)2(都都線線性性相相關(guān)關(guān)個(gè)個(gè)向向量量的的話話中中有有如如果果個(gè)個(gè)向向量量中中任任意意向向量量

7、組組 rArA0();.AArA極極大大線線性性無無關(guān)關(guān)向向量量組組 簡簡稱稱極極那那么么稱稱向向量量組組是是向向量量組組 的的一一個(gè)個(gè)極極大大無無關(guān)關(guān)組組所所含含向向量量個(gè)個(gè)數(shù)數(shù) 稱稱為為向向量量組組無無關(guān)關(guān)組組的的大大秩秩等價(jià)的向量組的秩相等等價(jià)的向量組的秩相等定理定理 矩陣的秩等于它的列向量組的秩，也等于矩陣的秩等于它的列向量組的秩，也等于它的行向量組的秩它的行向量組的秩定理定理設(shè)向量組設(shè)向量組B B能由向量組能由向量組A A線性表示，則向量線性表示，則向量組組B B的秩不大于向量組的秩不大于向量組A A的秩的秩推論推論推論：推論：一個(gè)向量組的任意兩個(gè)極大無關(guān)組都等價(jià)一個(gè)向量組的任意兩個(gè)

8、極大無關(guān)組都等價(jià). . 命題命題2 2：一個(gè)向量組的任意兩個(gè)極大無關(guān)組都含有：一個(gè)向量組的任意兩個(gè)極大無關(guān)組都含有 相同個(gè)數(shù)的向量相同個(gè)數(shù)的向量. . 命題命題1：向量組和它的任一極大無關(guān)組等價(jià)向量組和它的任一極大無關(guān)組等價(jià). .極大無關(guān)組的性質(zhì)極大無關(guān)組的性質(zhì)1）一個(gè)向量組的極大無關(guān)組不是唯一的）一個(gè)向量組的極大無關(guān)組不是唯一的.2）一個(gè)線性無關(guān)的向量組的極大無關(guān)組是其自身）一個(gè)線性無關(guān)的向量組的極大無關(guān)組是其自身. .注：注：向量組的秩向量組的秩 的性質(zhì)的性質(zhì)一個(gè)向量組線性相關(guān)的充要條件是一個(gè)向量組線性相關(guān)的充要條件是它的秩它所含向量個(gè)數(shù)它的秩它所含向量個(gè)數(shù).1）一個(gè)向量組線性無關(guān)的充要條

9、件是）一個(gè)向量組線性無關(guān)的充要條件是 它的秩與它所含向量個(gè)數(shù)相同；它的秩與它所含向量個(gè)數(shù)相同；2）等價(jià)向量組必有相同的秩）等價(jià)向量組必有相同的秩. .反之，反之，有相同的秩的兩個(gè)向量組不一定等價(jià)有相同的秩的兩個(gè)向量組不一定等價(jià). .3）若向量組）若向量組12,s 可經(jīng)向量組可經(jīng)向量組 12,t 線性表出，則秩線性表出，則秩 12,s 秩秩 12,t 6.6.矩陣的秩矩陣的秩矩陣的行秩與矩陣的列秩統(tǒng)稱為矩陣的行秩與矩陣的列秩統(tǒng)稱為矩陣的秩矩陣的秩，定義定義 1. 1.設(shè)，則設(shè)，則 ijs nAa ( )min( , ).R As n 定理定理5 設(shè)設(shè) ， 則則()ijn nAa 0( );AR

10、An 0( )AR An 推論推論1齊次線性方程組齊次線性方程組10(1,2,)nijjja xin () ().R An 有非零解有非零解 系數(shù)矩陣系數(shù)矩陣 的行列式的行列式 =0() ijn nAa A( ) ( ).R An只有零解只有零解 0 A( ) 個(gè)個(gè) 級(jí)子式級(jí)子式r1r 不等于不等于0，且所有，且所有 級(jí)子式等于級(jí)子式等于0定理定理6 矩陣矩陣 的秩為的秩為 的充要條件是中有一的充要條件是中有一rAA定理定理7 7 線性方程組有解的充分必要條件是線性方程組有解的充分必要條件是的系數(shù)矩陣與增廣矩陣的秩相等，即的系數(shù)矩陣與增廣矩陣的秩相等，即( )( ).R AR A 7.1齊次線

11、性方程組齊次線性方程組解的性質(zhì)；基礎(chǔ)解系解的性質(zhì)；基礎(chǔ)解系1.基礎(chǔ)解系的條件基礎(chǔ)解系的條件2.基礎(chǔ)解系的性質(zhì)：與基礎(chǔ)解系等價(jià)的線性無關(guān)組基礎(chǔ)解系的性質(zhì)：與基礎(chǔ)解系等價(jià)的線性無關(guān)組任意任意n-r個(gè)線性無關(guān)的解向量個(gè)線性無關(guān)的解向量3.基礎(chǔ)解系的求法基礎(chǔ)解系的求法解的性質(zhì)解的性質(zhì)解的結(jié)構(gòu)解的結(jié)構(gòu)推論推論 非齊次線性方程組（非齊次線性方程組（3）在有解的條件下，）在有解的條件下，解是唯一的充要條件是它的導(dǎo)出（解是唯一的充要條件是它的導(dǎo)出（4）只有零解）只有零解. .一、向量組線性關(guān)系的判定一、向量組線性關(guān)系的判定二、求向量組的秩二、求向量組的秩三、基礎(chǔ)解系的證法三、基礎(chǔ)解系的證法四、解向量的證法四、

12、解向量的證法12,?sk kk利利用用定定義義：是是否否存存在在一一組組不不全全為為零零的的數(shù)數(shù)使使得得其其線線性性組組合合為為零零向向量量,(),?,:,.線線性性相相關(guān)關(guān)與與線線性性無無關(guān)關(guān)還還可可以以通通過過線線性性表表出出的的概概念念來來體體現(xiàn)現(xiàn) 即即看看其其中中有有無無某某個(gè)個(gè)向向量量可可由由其其余余向向量量線線性性表表出出 此此外外 還還應(yīng)應(yīng)注注意意到到 線線性性相相關(guān)關(guān)與與線線性性無無關(guān)關(guān)是是一一對對的的概概念念 據(jù)據(jù)此此 在在論論證證某某些些相相關(guān)關(guān)性性問問題題時(shí)時(shí)不不是是我我們們?nèi)稳我庖庖灰煌刹蓚€(gè)個(gè)向向用用量量排排中中對對立立反反證證法法研究這類問題一般有兩個(gè)方法研究

13、這類問題一般有兩個(gè)方法方法方法1 1從定義出發(fā)從定義出發(fā)1122112111222212120,000sssssnnsnkkkaaaaaakkkaaa 令令整理得線性方程組整理得線性方程組1112121121222211220,0,( )0,ssssnnsnsa ka ka ka ka ka ka ka ka k 1212( ),.( ),.ss 若若線線性性方方程程組組只只有有唯唯一一零零解解 則則線線性性無無關(guān)關(guān)若若線線性性方方程程組組有有非非零零解解 則則線線性性相相關(guān)關(guān)方法利用矩陣的秩與向量組的秩之間關(guān)系判定方法利用矩陣的秩與向量組的秩之間關(guān)系判定12121212,(,),().(),

14、(),.ssssnAR AR AsR As 給給出出一一組組 維維向向量量就就得得到到一一個(gè)個(gè)相相應(yīng)應(yīng)的的矩矩陣陣首首先先求求出出若若則則線線性性無無關(guān)關(guān)若若則則線線性性相相關(guān)關(guān)例例研究下列向量組的線性相關(guān)性研究下列向量組的線性相關(guān)性.201,520,321321 解一解一 000201520321, 0321332211kkkkkk即即令令 整理得到整理得到)(. 0253, 022, 03212131 kkkkkkk.,)(, 0253022101)(321線線性性相相關(guān)關(guān)從從而而必必有有非非零零解解線線性性方方程程組組的的系系數(shù)數(shù)行行列列式式線線性性方方程程組組 解二解二,201,520

15、,321321 ,253022101),(321 A矩矩陣陣 000220101253022101初初等等行行變變換換A., 32)(321線線性性相相關(guān)關(guān)故故向向量量組組 AR12121122,:, ,(2).rrrrt ttrttt 設(shè)設(shè)線線性性相相關(guān)關(guān) 證證明明不不全全為為零零的的數(shù)數(shù)使使對對任任何何向向量量 都都有有線線存存在在性性相相關(guān)關(guān)例例2 2分析分析考考察察向向量量方方程程我我們們從從定定義義出出發(fā)發(fā) ,0)(22112211 tktktkkkkrrrr即即向向量量方方程程0)()()(222111 tktktkrrr.,21因因此此可可得得如如下下證證明明恒恒有有非非零零解解

16、每每個(gè)個(gè)而而使使得得對對數(shù)數(shù)是是否否有有某某組組不不全全為為零零的的 kkkr證明證明0,22112121 rrrrkkkkkk使使為為零零的的數(shù)數(shù)所所以以存存在在不不全全線線性性相相關(guān)關(guān)因因?yàn)闉?1220rrk xk xk x 考考慮慮線線性性方方程程都都有有則則對對任任意意向向量量零零解解為為任任一一非非設(shè)設(shè)它它必必有有非非零零解解因因?yàn)闉?),(, 221 tttrr 0)(22112211 tktktkkkkrrrr111222()()()0rrrktktkt 即即., :,221121線線性性相相關(guān)關(guān)不不全全為為零零得得知知由由 tttkkkrrr 1212,:,.(7)ssrr 已

17、已知知向向量量組組的的秩秩是是證證明明中中任任意意 個(gè)個(gè)線線性性無無關(guān)關(guān)的的向向量量均均構(gòu)構(gòu)成成它它的的一一個(gè)個(gè)極極大大線線性性無無關(guān)關(guān)組組 習(xí)習(xí)題題例例3 3證明向量組的一個(gè)部分組構(gòu)成極大線性無證明向量組的一個(gè)部分組構(gòu)成極大線性無關(guān)組的基本方法就是：關(guān)組的基本方法就是：分析分析根據(jù)極大線性無關(guān)組的定義來證，（本身線性無根據(jù)極大線性無關(guān)組的定義來證，（本身線性無關(guān)，其余向量可由其線性表出）它往往還與向量關(guān)，其余向量可由其線性表出）它往往還與向量組的秩相聯(lián)系組的秩相聯(lián)系證明證明.,), 2 , 1(,212121rskrkiiiksiiirr否否則則這這向向量量組組的的秩秩大大于于相相關(guān)關(guān)線線性

18、性向向量量組組的的于于是是對對于于任任意意個(gè)個(gè)線線性性無無關(guān)關(guān)的的向向量量中中的的任任意意是是設(shè)設(shè)不不失失一一般般性性 ., 2121線線性性表表出出以以由由可可所所以以線線性性無無關(guān)關(guān)又又向向量量組組 iiikiiirr1212 ,.riiis 由由定定義義 這這就就證證明明了了是是的的一一個(gè)個(gè)極極大大線線性性無無關(guān)關(guān)組組證明：只需證明向量部分組線性無關(guān)即可，證明：只需證明向量部分組線性無關(guān)即可，兩向量組等價(jià)，具有相同的秩兩向量組等價(jià)，具有相同的秩因?yàn)橄蛄拷M個(gè)數(shù)因?yàn)橄蛄拷M個(gè)數(shù)=秩，則該向量組線性無關(guān)秩，則該向量組線性無關(guān)即證即證證明：向量組證明：向量組(I)的極大無關(guān)組可由向量組的極大無關(guān)組

19、可由向量組(II)線性表出，而且線性表出，而且(II)的極大無關(guān)組與的極大無關(guān)組與(II)等價(jià)，即，向量組等價(jià)，即，向量組(I)的極大無關(guān)組可由的極大無關(guān)組可由(II)的極大無關(guān)組線性表出，的極大無關(guān)組線性表出，(I)的極大無關(guān)組線性無關(guān)，由的極大無關(guān)組線性無關(guān)，由定理定理2的推論的推論1，知，知，R(I)=R(II)證明：證明：兩向量組等價(jià)，具有相同的秩兩向量組等價(jià)，具有相同的秩n因?yàn)橄蛄拷M個(gè)數(shù)因?yàn)橄蛄拷M個(gè)數(shù)=秩，則該向量組線性無關(guān)秩，則該向量組線性無關(guān)即證即證證明證明2：R(a1,a2,an)=r=n，R(II)=n,向量組向量組II,可由向量組可由向量組(I)線性表出，線性表出，所以所以

20、R(II)=n=R(I)=r所以所以r=n因此因此(I)線性無關(guān)線性無關(guān)即證即證證明：必要性：已知：向量組證明：必要性：已知：向量組I線性無關(guān)，結(jié)論線性無關(guān)，結(jié)論:任一任一n維向量可維向量可被向量組被向量組(I)線性表出。線性表出。向向量組向向量組I中任意添加一向量，構(gòu)成的新向量組共有中任意添加一向量，構(gòu)成的新向量組共有n+1個(gè)個(gè)n維維向量構(gòu)成，線性相關(guān)（定理向量構(gòu)成，線性相關(guān)（定理2推論推論2）證明：充分性：已知：任一證明：充分性：已知：任一n維向量可被向量組維向量可被向量組(I)線性表，線性表，結(jié)論結(jié)論:出向量組出向量組I線性無關(guān)。線性無關(guān)。任一任一n維向量可被向量組維向量可被向量組I線性

21、表出，則線性表出，則n維單位向量也可被維單位向量也可被其線性表出，由其線性表出，由(t13)可知，向量組可知，向量組I線性無關(guān)線性無關(guān)求一個(gè)求一個(gè)向量組的秩向量組的秩，可以把它轉(zhuǎn)化為，可以把它轉(zhuǎn)化為矩陣的秩矩陣的秩來求，來求，這個(gè)矩陣是由這組向量為行（列）向量所排成的這個(gè)矩陣是由這組向量為行（列）向量所排成的如果向量組的向量以列向量的形式給出，把向量如果向量組的向量以列向量的形式給出，把向量作為矩陣的列，對矩陣作初等行變換，這樣，不僅作為矩陣的列，對矩陣作初等行變換，這樣，不僅可以求出向量組的秩，而且可以求出極大線性無關(guān)可以求出向量組的秩，而且可以求出極大線性無關(guān)組組若矩陣若矩陣 A 經(jīng)過初等

22、行變換化為矩陣經(jīng)過初等行變換化為矩陣 B，則，則A和和B中中任何對應(yīng)的列向量組都有相同的線性相關(guān)性任何對應(yīng)的列向量組都有相同的線性相關(guān)性.)1, 4, 6, 2(),1, 2, 3, 1( ),1, 1, 1, 0(),1, 1, 2, 1( ),0, 0, 1, 1(54321的的秩秩求求向向量量組組 TTTTT例例4 4解解 為為階階梯梯形形化化行行變變換換作作初初等等對對作作矩矩陣陣AAA, 54321 1234511012121360112401111A 1111042110421102101112rr324211012011240000000035rrrr 0000053000421

23、102101134rr .54321U 記記作作, 3)( ARA的的列列秩秩. 3,54321的的秩秩為為故故向向量量組組 00000530004211021011 ) (54321 U, 421無無關(guān)關(guān)組組線線性性的的列列向向量量組組的的一一個(gè)個(gè)最最大大是是又又U ., 421線線性性無無關(guān)關(guān)組組的的列列向向量量組組的的一一個(gè)個(gè)最最大大也也是是所所以以A 例例5證明與基礎(chǔ)解系等價(jià)的線性無關(guān)的向量組證明與基礎(chǔ)解系等價(jià)的線性無關(guān)的向量組也是基礎(chǔ)解系也是基礎(chǔ)解系分析分析(3)方程組的任一解均可由該向量組線性表示方程組的任一解均可由該向量組線性表示(1)該組向量都是方程組的解；該組向量都是方程組的

24、解；(2)該組向量線性無關(guān)；該組向量線性無關(guān)；要證明某一向量組是方程組的基礎(chǔ)解要證明某一向量組是方程組的基礎(chǔ)解系，需要證明三個(gè)結(jié)論系，需要證明三個(gè)結(jié)論:0 AX證明證明.,0,212121ntaaaAXtnt 即即向向量量個(gè)個(gè)數(shù)數(shù)相相等等所所以以這這兩兩個(gè)個(gè)向向量量組組所所含含數(shù)數(shù)是是相相同同的的向向量量組組所所含含向向量量個(gè)個(gè)因因?yàn)闉榈鹊葍r(jià)價(jià)的的線線性性無無關(guān)關(guān)的的向向量量組組等等價(jià)價(jià)的的線線性性無無關(guān)關(guān)的的是是與與系系的的一一個(gè)個(gè)基基礎(chǔ)礎(chǔ)解解是是方方程程組組設(shè)設(shè) .0 ,), 2 , 1(,2121的的解解都都是是故故合合仍仍然然是是原原方方程程組組的的解解而而解解的的線線性性組組的的線線

25、性性組組合合可可以以表表示示成成知知由由向向量量組組的的等等價(jià)價(jià)關(guān)關(guān)系系易易 AXaaatiatti .,21線線性性無無關(guān)關(guān)由由題題設(shè)設(shè)知知aaat.,021212121線線性性表表示示也也可可由由故故線線性性表表示示均均可可由由由由向向量量組組的的等等價(jià)價(jià)性性線線性性表表示示可可由由則則的的任任一一解解為為方方程程組組設(shè)設(shè)aaaaaaAXtttt .0,21的的一一個(gè)個(gè)基基礎(chǔ)礎(chǔ)解解系系也也是是方方程程組組故故由由定定義義知知 AXaaat注注 當(dāng)線性方程組有非零解時(shí)，基礎(chǔ)解系的取當(dāng)線性方程組有非零解時(shí)，基礎(chǔ)解系的取法不唯一，且不同的基礎(chǔ)解系之間是等價(jià)的法不唯一，且不同的基礎(chǔ)解系之間是等價(jià)的

26、111, .:(1),;(2),1.(3),1,1.n rn rn rAXBAXBnrAXBXnr 設(shè)設(shè)是是非非齊齊次次線線性性方方程程組組的的一一個(gè)個(gè)解解是是其其導(dǎo)導(dǎo)出出組組的的一一個(gè)個(gè)基基礎(chǔ)礎(chǔ) 解解系系 證證明明線線性性無無關(guān)關(guān)是是方方程程組組的的個(gè)個(gè)線線性性無無關(guān)關(guān)的的解解方方程程組組的的任任一一解解都都可可以以表表示示為為這這個(gè)個(gè)解解的的線線性性組組合合 而而且且組組合合系系數(shù)數(shù)之之和和為為例例6 6. 0)(, 0)1(0110 kkkkrnrn其其中中必必有有令令 證明證明. 0,0,0,0210101 kBAXAXAXkkkkrnrnrn所所以以矛矛盾盾的的解解齊齊次次方方程程組

27、組是是非非而而等等式式左左邊邊的的解解必必是是其其線線性性組組合合故故等等式式右右邊邊為為的的解解是是齊齊次次方方程程組組由由于于有有否否則則 , 0,)(022110 rnrnkkkk則則有有式式代代入入將將., 0,0,21212121線線性性無無關(guān)關(guān)于于是是故故有有線線性性無無關(guān)關(guān)所所以以的的基基礎(chǔ)礎(chǔ)解解系系是是因因?yàn)闉?rnrnrnrnkkkAX .,), 2 , 1()2(再再證證它它們們線線性性無無關(guān)關(guān)的的解解都都是是知知由由線線性性方方程程組組解解的的性性質(zhì)質(zhì)BAXrnii 所以所以線性無關(guān)線性無關(guān)的證明知的證明知由由則則令令,)1(, 0)(, 0)()(211110110 r

28、nrnrnrnrnrnkkkkkkkk , 0, 0, 0, 021210kkkkkkkrnrn., 0,21210線性無關(guān)線性無關(guān)故故得得解之解之 rnrnkkkk 可表為可表為則則的任一解的任一解為方程組為方程組設(shè)設(shè)XBAXX,)3( rnrntttX 2211)()(11 rnrntt)()()1(111 rnrnrntttt , 1,11001 ttttttrnrn則則令令都都可可以以表表示示為為的的任任一一解解故故XBAX . 1),()( 10110 ttttttXrnrnrn且且 注意注意(1)本例是對非齊次線性方程組的解本例是對非齊次線性方程組的解的結(jié)構(gòu)作進(jìn)一步的分析和討論，即

29、非齊次線性方的結(jié)構(gòu)作進(jìn)一步的分析和討論，即非齊次線性方程組一定存在著個(gè)線性無關(guān)的解，題中程組一定存在著個(gè)線性無關(guān)的解，題中(2)的證明表明了它的存在性的證明表明了它的存在性BAX 1 rn(3)對非齊次線性方程組，有時(shí)也把對非齊次線性方程組，有時(shí)也把如題中所給的個(gè)解稱為的基礎(chǔ)如題中所給的個(gè)解稱為的基礎(chǔ)解系，所不同的是它的線性組合只有當(dāng)線性組合解系，所不同的是它的線性組合只有當(dāng)線性組合系數(shù)之和為系數(shù)之和為1時(shí)，才是方程組的解時(shí)，才是方程組的解BAX BAX 1 rn(2)對齊次線性方程組，當(dāng)時(shí)，對齊次線性方程組，當(dāng)時(shí)，有無窮多組解，其中任一解可由其基礎(chǔ)解系線性有無窮多組解，其中任一解可由其基礎(chǔ)解系線性表示表示nrAR )(一、填空題一、填空題 .,1 , 2 , 0 , 1, 1 , 0 , 10 , 3 , 2, 4,5 , 0 , 1, 2 . 14321線線性性相相關(guān)關(guān)時(shí)時(shí)則則設(shè)設(shè) kk .,0 , 3 , 1,4 , 3 , 5, 0,2, 0 , 2 , 1,0 , 3 , 1, 2 . 24321線線性性無無關(guān)關(guān)時(shí)時(shí)則則設(shè)設(shè) tt 則則該該向向量量組組的的秩秩是是已已知知向向量