第三章線性方程組向量組相關性習題課

1、定義定義12121122:,ssssAk kkkkkA 給給定定向向量量組組對對于于任任何何一一組組實實數(shù)數(shù)向向量量稱稱為為向向量量組組 的的一一個個線線性性組組合合1212112212:,:,.sssssAbk kkbkkkbAbA 給給定定向向量量組組和和向向量量如如果果存存在在一一組組實實數(shù)數(shù)使使則則向向量量 是是向向量量組組 的的線線性性組組合合 這這時時稱稱向向量量 可可經(jīng)經(jīng)向向量量組組線線性性表表出出定義定義1212:,:,.,.msABBABAABa aabbb設設有有兩兩個個向向量量組組及及若若 組組中中的的每每個個向向量量都都能能由由向向量量組組線線性性表表示示 則則稱稱向向

2、量量組組 能能由由向向量量組組若若向向量量組組 與與向向量量組組 能能相相互互線線性性表表出出 則則稱稱這這兩兩個個向向量量性性表表出出組組線線等等價價1 1. .自自向向量量組組反反性性，線線性性表表出出性性質(zhì)質(zhì)2 2. .傳傳遞遞性性1 1. .自自反反性性，2 2. .傳傳遞遞性性向向量量組組，3 3等等價價性性質(zhì)質(zhì). .對對稱稱性性定義定義:如果向量組如果向量組 中有中有一向量一向量12,(2)ss 稱為稱為線性相關線性相關的的.可經(jīng)其余向量線性表出，則向量組可經(jīng)其余向量線性表出，則向量組12,s 定義定義：向量組向量組 稱為線性相關稱為線性相關12,(1)ss 如果存在如果存在 P

3、上上不全為零不全為零的數(shù)的數(shù) 12,sk kk11220.sskkk 使使定義定義：若向量組若向量組 不線性相關，則稱不線性相關，則稱12,s 若不存在若不存在 P 中不中不全為零的數(shù)全為零的數(shù) ，使使12,sk kkP 11220sskkk 向量組向量組 為為線性無關的線性無關的.12,s 即即則稱向量組則稱向量組 為為線性無關的線性無關的.12,s 11220sskkk 必有必有120,skkk 等價的，對于一個向量組等價的，對于一個向量組12,s 若由若由則稱向量組則稱向量組 為為線性無關的線性無關的.12,s 1）一向量組線性相關的）一向量組線性相關的充要條件充要條件是其中至少有一是其

4、中至少有一個向量可由其余向量線性表出個向量可由其余向量線性表出. 121212):,:,.,.sssABBA 若若向向量量組組線線性性相相關關 則則向向量量組組也也線線性性相相關關 反反言言之之 若若向向量量組組 線線性性無無關關 則則向向量量組組 也也線線性性無無關關部分相關部分相關-整體相關整體相關（整體無關整體無關-部分無關部分無關）12123):,:,.ssAa aaBbba aaA設設向向量量組組線線性性無無關關 而而向向量量組組線線性性相相關關 則則向向量量 必必能能由由向向量量組組 線線性性表表示示 且且表表示示式式是是唯唯一一的的111,12214),(1,2, ).:,:,.

5、,.jjjjrjrjrjjjssaajsaaaABBA 設設即即向向量量添添上上一一個個分分量量后后得得到到向向量量若若向向量量組組線線性性無無關關 則則向向量量組組也也線線性性無無關關 反反言言之之 若若向向量量組組 線線性性相相關關 則則向向量量組組也也線線性性相相關關短向量線性無關，則加長向量線性無關；短向量線性無關，則加長向量線性無關；長向量線性相關，則縮短向量線性相關長向量線性相關，則縮短向量線性相關定理定理2 設設 與與 為兩個為兩個12,s 12,r i) 向量組向量組 可經(jīng)可經(jīng) 線性表出線性表出；12,s 12,r 則向量組則向量組 必線性相關必線性相關.12,r ii).rs

6、 向量組，若向量組，若推論推論1 若向量組若向量組 可經(jīng)向量組可經(jīng)向量組 12,r 12,s 線性表出，且線性表出，且 線線線性無關線性無關，則則 12,r .rs 推論推論2任意任意 n1 個個 n 維向量必線性相關維向量必線性相關. . 推論推論3兩個線性無關的等價向量組必含相同個數(shù)的向量兩個線性無關的等價向量組必含相同個數(shù)的向量定義定義12,riiiAAr 設設有有向向量量組組如如果果在在 中中能能選選出出 個個向向量量滿滿足足120(1):,;riiiA 部部分分組組線線性性無無關關,)1(1)2(都都線線性性相相關關個個向向量量的的話話中中有有如如果果個個向向量量中中任任意意向向量量

7、組組 rArA0();.AArA極極大大線線性性無無關關向向量量組組 簡簡稱稱極極那那么么稱稱向向量量組組是是向向量量組組 的的一一個個極極大大無無關關組組所所含含向向量量個個數(shù)數(shù) 稱稱為為向向量量組組無無關關組組的的大大秩秩等價的向量組的秩相等等價的向量組的秩相等定理定理 矩陣的秩等于它的列向量組的秩，也等于矩陣的秩等于它的列向量組的秩，也等于它的行向量組的秩它的行向量組的秩定理定理設向量組設向量組B B能由向量組能由向量組A A線性表示，則向量線性表示，則向量組組B B的秩不大于向量組的秩不大于向量組A A的秩的秩推論推論推論：推論：一個向量組的任意兩個極大無關組都等價一個向量組的任意兩個

8、極大無關組都等價. . 命題命題2 2：一個向量組的任意兩個極大無關組都含有：一個向量組的任意兩個極大無關組都含有 相同個數(shù)的向量相同個數(shù)的向量. . 命題命題1：向量組和它的任一極大無關組等價向量組和它的任一極大無關組等價. .極大無關組的性質(zhì)極大無關組的性質(zhì)1）一個向量組的極大無關組不是唯一的）一個向量組的極大無關組不是唯一的.2）一個線性無關的向量組的極大無關組是其自身）一個線性無關的向量組的極大無關組是其自身. .注：注：向量組的秩向量組的秩 的性質(zhì)的性質(zhì)一個向量組線性相關的充要條件是一個向量組線性相關的充要條件是它的秩它所含向量個數(shù)它的秩它所含向量個數(shù).1）一個向量組線性無關的充要條

9、件是）一個向量組線性無關的充要條件是 它的秩與它所含向量個數(shù)相同；它的秩與它所含向量個數(shù)相同；2）等價向量組必有相同的秩）等價向量組必有相同的秩. .反之，反之，有相同的秩的兩個向量組不一定等價有相同的秩的兩個向量組不一定等價. .3）若向量組）若向量組12,s 可經(jīng)向量組可經(jīng)向量組 12,t 線性表出，則秩線性表出，則秩 12,s 秩秩 12,t 6.6.矩陣的秩矩陣的秩矩陣的行秩與矩陣的列秩統(tǒng)稱為矩陣的行秩與矩陣的列秩統(tǒng)稱為矩陣的秩矩陣的秩，定義定義 1. 1.設，則設，則 ijs nAa ( )min( , ).R As n 定理定理5 設設 ， 則則()ijn nAa 0( );AR

10、An 0( )AR An 推論推論1齊次線性方程組齊次線性方程組10(1,2,)nijjja xin () ().R An 有非零解有非零解 系數(shù)矩陣系數(shù)矩陣 的行列式的行列式 =0() ijn nAa A( ) ( ).R An只有零解只有零解 0 A( ) 個個 級子式級子式r1r 不等于不等于0，且所有，且所有 級子式等于級子式等于0定理定理6 矩陣矩陣 的秩為的秩為 的充要條件是中有一的充要條件是中有一rAA定理定理7 7 線性方程組有解的充分必要條件是線性方程組有解的充分必要條件是的系數(shù)矩陣與增廣矩陣的秩相等，即的系數(shù)矩陣與增廣矩陣的秩相等，即( )( ).R AR A 7.1齊次線

11、性方程組齊次線性方程組解的性質(zhì)；基礎解系解的性質(zhì)；基礎解系1.基礎解系的條件基礎解系的條件2.基礎解系的性質(zhì)：與基礎解系等價的線性無關組基礎解系的性質(zhì)：與基礎解系等價的線性無關組任意任意n-r個線性無關的解向量個線性無關的解向量3.基礎解系的求法基礎解系的求法解的性質(zhì)解的性質(zhì)解的結構解的結構推論推論 非齊次線性方程組（非齊次線性方程組（3）在有解的條件下，）在有解的條件下，解是唯一的充要條件是它的導出（解是唯一的充要條件是它的導出（4）只有零解）只有零解. .一、向量組線性關系的判定一、向量組線性關系的判定二、求向量組的秩二、求向量組的秩三、基礎解系的證法三、基礎解系的證法四、解向量的證法四、

12、解向量的證法12,?sk kk利利用用定定義義：是是否否存存在在一一組組不不全全為為零零的的數(shù)數(shù)使使得得其其線線性性組組合合為為零零向向量量,(),?,:,.線線性性相相關關與與線線性性無無關關還還可可以以通通過過線線性性表表出出的的概概念念來來體體現(xiàn)現(xiàn) 即即看看其其中中有有無無某某個個向向量量可可由由其其余余向向量量線線性性表表出出 此此外外 還還應應注注意意到到 線線性性相相關關與與線線性性無無關關是是一一對對的的概概念念 據(jù)據(jù)此此 在在論論證證某某些些相相關關性性問問題題時時不不是是我我們們?nèi)稳我庖庖灰煌刹蓚€個向向用用量量排排中中對對立立反反證證法法研究這類問題一般有兩個方法研究

13、這類問題一般有兩個方法方法方法1 1從定義出發(fā)從定義出發(fā)1122112111222212120,000sssssnnsnkkkaaaaaakkkaaa 令令整理得線性方程組整理得線性方程組1112121121222211220,0,( )0,ssssnnsnsa ka ka ka ka ka ka ka ka k 1212( ),.( ),.ss 若若線線性性方方程程組組只只有有唯唯一一零零解解 則則線線性性無無關關若若線線性性方方程程組組有有非非零零解解 則則線線性性相相關關方法利用矩陣的秩與向量組的秩之間關系判定方法利用矩陣的秩與向量組的秩之間關系判定12121212,(,),().(),

14、(),.ssssnAR AR AsR As 給給出出一一組組 維維向向量量就就得得到到一一個個相相應應的的矩矩陣陣首首先先求求出出若若則則線線性性無無關關若若則則線線性性相相關關例例研究下列向量組的線性相關性研究下列向量組的線性相關性.201,520,321321 解一解一 000201520321, 0321332211kkkkkk即即令令 整理得到整理得到)(. 0253, 022, 03212131 kkkkkkk.,)(, 0253022101)(321線線性性相相關關從從而而必必有有非非零零解解線線性性方方程程組組的的系系數(shù)數(shù)行行列列式式線線性性方方程程組組 解二解二,201,520

15、,321321 ,253022101),(321 A矩矩陣陣 000220101253022101初初等等行行變變換換A., 32)(321線線性性相相關關故故向向量量組組 AR12121122,:, ,(2).rrrrt ttrttt 設設線線性性相相關關 證證明明不不全全為為零零的的數(shù)數(shù)使使對對任任何何向向量量 都都有有線線存存在在性性相相關關例例2 2分析分析考考察察向向量量方方程程我我們們從從定定義義出出發(fā)發(fā) ,0)(22112211 tktktkkkkrrrr即即向向量量方方程程0)()()(222111 tktktkrrr.,21因因此此可可得得如如下下證證明明恒恒有有非非零零解解

16、每每個個而而使使得得對對數(shù)數(shù)是是否否有有某某組組不不全全為為零零的的 kkkr證明證明0,22112121 rrrrkkkkkk使使為為零零的的數(shù)數(shù)所所以以存存在在不不全全線線性性相相關關因因為為11220rrk xk xk x 考考慮慮線線性性方方程程都都有有則則對對任任意意向向量量零零解解為為任任一一非非設設它它必必有有非非零零解解因因為為,),(, 221 tttrr 0)(22112211 tktktkkkkrrrr111222()()()0rrrktktkt 即即., :,221121線線性性相相關關不不全全為為零零得得知知由由 tttkkkrrr 1212,:,.(7)ssrr 已

17、已知知向向量量組組的的秩秩是是證證明明中中任任意意 個個線線性性無無關關的的向向量量均均構構成成它它的的一一個個極極大大線線性性無無關關組組 習習題題例例3 3證明向量組的一個部分組構成極大線性無證明向量組的一個部分組構成極大線性無關組的基本方法就是：關組的基本方法就是：分析分析根據(jù)極大線性無關組的定義來證，（本身線性無根據(jù)極大線性無關組的定義來證，（本身線性無關，其余向量可由其線性表出）它往往還與向量關，其余向量可由其線性表出）它往往還與向量組的秩相聯(lián)系組的秩相聯(lián)系證明證明.,), 2 , 1(,212121rskrkiiiksiiirr否否則則這這向向量量組組的的秩秩大大于于相相關關線線性

18、性向向量量組組的的于于是是對對于于任任意意個個線線性性無無關關的的向向量量中中的的任任意意是是設設不不失失一一般般性性 ., 2121線線性性表表出出以以由由可可所所以以線線性性無無關關又又向向量量組組 iiikiiirr1212 ,.riiis 由由定定義義 這這就就證證明明了了是是的的一一個個極極大大線線性性無無關關組組證明：只需證明向量部分組線性無關即可，證明：只需證明向量部分組線性無關即可，兩向量組等價，具有相同的秩兩向量組等價，具有相同的秩因為向量組個數(shù)因為向量組個數(shù)=秩，則該向量組線性無關秩，則該向量組線性無關即證即證證明：向量組證明：向量組(I)的極大無關組可由向量組的極大無關組

19、可由向量組(II)線性表出，而且線性表出，而且(II)的極大無關組與的極大無關組與(II)等價，即，向量組等價，即，向量組(I)的極大無關組可由的極大無關組可由(II)的極大無關組線性表出，的極大無關組線性表出，(I)的極大無關組線性無關，由的極大無關組線性無關，由定理定理2的推論的推論1，知，知，R(I)=R(II)證明：證明：兩向量組等價，具有相同的秩兩向量組等價，具有相同的秩n因為向量組個數(shù)因為向量組個數(shù)=秩，則該向量組線性無關秩，則該向量組線性無關即證即證證明證明2：R(a1,a2,an)=r=n，R(II)=n,向量組向量組II,可由向量組可由向量組(I)線性表出，線性表出，所以所以

20、R(II)=n=R(I)=r所以所以r=n因此因此(I)線性無關線性無關即證即證證明：必要性：已知：向量組證明：必要性：已知：向量組I線性無關，結論線性無關，結論:任一任一n維向量可維向量可被向量組被向量組(I)線性表出。線性表出。向向量組向向量組I中任意添加一向量，構成的新向量組共有中任意添加一向量，構成的新向量組共有n+1個個n維維向量構成，線性相關（定理向量構成，線性相關（定理2推論推論2）證明：充分性：已知：任一證明：充分性：已知：任一n維向量可被向量組維向量可被向量組(I)線性表，線性表，結論結論:出向量組出向量組I線性無關。線性無關。任一任一n維向量可被向量組維向量可被向量組I線性

21、表出，則線性表出，則n維單位向量也可被維單位向量也可被其線性表出，由其線性表出，由(t13)可知，向量組可知，向量組I線性無關線性無關求一個求一個向量組的秩向量組的秩，可以把它轉(zhuǎn)化為，可以把它轉(zhuǎn)化為矩陣的秩矩陣的秩來求，來求，這個矩陣是由這組向量為行（列）向量所排成的這個矩陣是由這組向量為行（列）向量所排成的如果向量組的向量以列向量的形式給出，把向量如果向量組的向量以列向量的形式給出，把向量作為矩陣的列，對矩陣作初等行變換，這樣，不僅作為矩陣的列，對矩陣作初等行變換，這樣，不僅可以求出向量組的秩，而且可以求出極大線性無關可以求出向量組的秩，而且可以求出極大線性無關組組若矩陣若矩陣 A 經(jīng)過初等

22、行變換化為矩陣經(jīng)過初等行變換化為矩陣 B，則，則A和和B中中任何對應的列向量組都有相同的線性相關性任何對應的列向量組都有相同的線性相關性.)1, 4, 6, 2(),1, 2, 3, 1( ),1, 1, 1, 0(),1, 1, 2, 1( ),0, 0, 1, 1(54321的的秩秩求求向向量量組組 TTTTT例例4 4解解 為為階階梯梯形形化化行行變變換換作作初初等等對對作作矩矩陣陣AAA, 54321 1234511012121360112401111A 1111042110421102101112rr324211012011240000000035rrrr 0000053000421

23、102101134rr .54321U 記記作作, 3)( ARA的的列列秩秩. 3,54321的的秩秩為為故故向向量量組組 00000530004211021011 ) (54321 U, 421無無關關組組線線性性的的列列向向量量組組的的一一個個最最大大是是又又U ., 421線線性性無無關關組組的的列列向向量量組組的的一一個個最最大大也也是是所所以以A 例例5證明與基礎解系等價的線性無關的向量組證明與基礎解系等價的線性無關的向量組也是基礎解系也是基礎解系分析分析(3)方程組的任一解均可由該向量組線性表示方程組的任一解均可由該向量組線性表示(1)該組向量都是方程組的解；該組向量都是方程組的

24、解；(2)該組向量線性無關；該組向量線性無關；要證明某一向量組是方程組的基礎解要證明某一向量組是方程組的基礎解系，需要證明三個結論系，需要證明三個結論:0 AX證明證明.,0,212121ntaaaAXtnt 即即向向量量個個數(shù)數(shù)相相等等所所以以這這兩兩個個向向量量組組所所含含數(shù)數(shù)是是相相同同的的向向量量組組所所含含向向量量個個因因為為等等價價的的線線性性無無關關的的向向量量組組等等價價的的線線性性無無關關的的是是與與系系的的一一個個基基礎礎解解是是方方程程組組設設 .0 ,), 2 , 1(,2121的的解解都都是是故故合合仍仍然然是是原原方方程程組組的的解解而而解解的的線線性性組組的的線線

25、性性組組合合可可以以表表示示成成知知由由向向量量組組的的等等價價關關系系易易 AXaaatiatti .,21線線性性無無關關由由題題設設知知aaat.,021212121線線性性表表示示也也可可由由故故線線性性表表示示均均可可由由由由向向量量組組的的等等價價性性線線性性表表示示可可由由則則的的任任一一解解為為方方程程組組設設aaaaaaAXtttt .0,21的的一一個個基基礎礎解解系系也也是是方方程程組組故故由由定定義義知知 AXaaat注注 當線性方程組有非零解時，基礎解系的取當線性方程組有非零解時，基礎解系的取法不唯一，且不同的基礎解系之間是等價的法不唯一，且不同的基礎解系之間是等價的

26、111, .:(1),;(2),1.(3),1,1.n rn rn rAXBAXBnrAXBXnr 設設是是非非齊齊次次線線性性方方程程組組的的一一個個解解是是其其導導出出組組的的一一個個基基礎礎 解解系系 證證明明線線性性無無關關是是方方程程組組的的個個線線性性無無關關的的解解方方程程組組的的任任一一解解都都可可以以表表示示為為這這個個解解的的線線性性組組合合 而而且且組組合合系系數(shù)數(shù)之之和和為為例例6 6. 0)(, 0)1(0110 kkkkrnrn其其中中必必有有令令 證明證明. 0,0,0,0210101 kBAXAXAXkkkkrnrnrn所所以以矛矛盾盾的的解解齊齊次次方方程程組

27、組是是非非而而等等式式左左邊邊的的解解必必是是其其線線性性組組合合故故等等式式右右邊邊為為的的解解是是齊齊次次方方程程組組由由于于有有否否則則 , 0,)(022110 rnrnkkkk則則有有式式代代入入將將., 0,0,21212121線線性性無無關關于于是是故故有有線線性性無無關關所所以以的的基基礎礎解解系系是是因因為為 rnrnrnrnkkkAX .,), 2 , 1()2(再再證證它它們們線線性性無無關關的的解解都都是是知知由由線線性性方方程程組組解解的的性性質(zhì)質(zhì)BAXrnii 所以所以線性無關線性無關的證明知的證明知由由則則令令,)1(, 0)(, 0)()(211110110 r

28、nrnrnrnrnrnkkkkkkkk , 0, 0, 0, 021210kkkkkkkrnrn., 0,21210線性無關線性無關故故得得解之解之 rnrnkkkk 可表為可表為則則的任一解的任一解為方程組為方程組設設XBAXX,)3( rnrntttX 2211)()(11 rnrntt)()()1(111 rnrnrntttt , 1,11001 ttttttrnrn則則令令都都可可以以表表示示為為的的任任一一解解故故XBAX . 1),()( 10110 ttttttXrnrnrn且且 注意注意(1)本例是對非齊次線性方程組的解本例是對非齊次線性方程組的解的結構作進一步的分析和討論，即

29、非齊次線性方的結構作進一步的分析和討論，即非齊次線性方程組一定存在著個線性無關的解，題中程組一定存在著個線性無關的解，題中(2)的證明表明了它的存在性的證明表明了它的存在性BAX 1 rn(3)對非齊次線性方程組，有時也把對非齊次線性方程組，有時也把如題中所給的個解稱為的基礎如題中所給的個解稱為的基礎解系，所不同的是它的線性組合只有當線性組合解系，所不同的是它的線性組合只有當線性組合系數(shù)之和為系數(shù)之和為1時，才是方程組的解時，才是方程組的解BAX BAX 1 rn(2)對齊次線性方程組，當時，對齊次線性方程組，當時，有無窮多組解，其中任一解可由其基礎解系線性有無窮多組解，其中任一解可由其基礎解系線性表示表示nrAR )(一、填空題一、填空題 .,1 , 2 , 0 , 1, 1 , 0 , 10 , 3 , 2, 4,5 , 0 , 1, 2 . 14321線線性性相相關關時時則則設設 kk .,0 , 3 , 1,4 , 3 , 5, 0,2, 0 , 2 , 1,0 , 3 , 1, 2 . 24321線線性性無無關關時時則則設設 tt 則則該該向向量量組組的的秩秩是是已已知知向向量