二次函數(shù)與冪函數(shù)

1、第二章第二章 2.4 二次函數(shù)與冪函數(shù)二次函數(shù)與冪函數(shù)高考第一輪復(fù)習(xí)用書高考第一輪復(fù)習(xí)用書數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)(理科理科)2.4二次函數(shù)與冪函數(shù) 知識詮釋思維發(fā)散第二章第二章 2.4 二次函數(shù)與冪函數(shù)二次函數(shù)與冪函數(shù)高考第一輪復(fù)習(xí)用書高考第一輪復(fù)習(xí)用書數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)(理科理科)二次函數(shù)解析式的三種形式一、二次函數(shù)1.一般式:y=ax2+bx+c(a0).2.頂點式:f(x)=a(x-k)2+h(其中點(k,h)為二次函數(shù)的頂點).3.零點式:f(x)=a(x-x1)(x-x2)(其中二次函數(shù)的零點為x1與x2).二、二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)第二章第二章 2.4 二次函數(shù)與冪函數(shù)二次函數(shù)與冪函數(shù)高考第一輪復(fù)習(xí)用書高考

2、第一輪復(fù)習(xí)用書數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)(理科理科)f(x)=ax2+bx+ca0a0,=0,0時圖象都通過點(1,1),(0,0).在第一象限內(nèi),函數(shù)值隨x的增大而增大.第二章第二章 2.4 二次函數(shù)與冪函數(shù)二次函數(shù)與冪函數(shù)高考第一輪復(fù)習(xí)用書高考第一輪復(fù)習(xí)用書數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)(理科理科)在第一象限內(nèi),1與01的圖象凹凸性不一樣.圖象在點(1,1)處發(fā)生交叉.(2)當(dāng)0時,直線的斜率為正,在y軸上的截距為-0,此時冪函數(shù)y=xa在(0,+)上是增函數(shù),故A、D圖象不可能;1a1a第二章第二章 2.4 二次函數(shù)與冪函數(shù)二次函數(shù)與冪函數(shù)高考第一輪復(fù)習(xí)用書高考第一輪復(fù)習(xí)用書數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)(理科理科)對于B,由y=xa的圖象知a0,

3、不符合.通過比較知C符合.【答案】C1a第二章第二章 2.4 二次函數(shù)與冪函數(shù)二次函數(shù)與冪函數(shù)高考第一輪復(fù)習(xí)用書高考第一輪復(fù)習(xí)用書數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)(理科理科)3.若f(x)=x2-ax+1有負(fù)值,則實數(shù)a的取值范圍是( )(A)a-2. (B)-2a2或a-2. (D)1a0,即a2或a-2.【答案】C第二章第二章 2.4 二次函數(shù)與冪函數(shù)二次函數(shù)與冪函數(shù)高考第一輪復(fù)習(xí)用書高考第一輪復(fù)習(xí)用書數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)(理科理科) 核心突圍技能聚合題型1二次函數(shù)、冪函數(shù)基礎(chǔ)問題第二章第二章 2.4 二次函數(shù)與冪函數(shù)二次函數(shù)與冪函數(shù)高考第一輪復(fù)習(xí)用書高考第一輪復(fù)習(xí)用書數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)(理科理科)例1 (1)已知函數(shù)f(x)=-2x

4、2+6x-m的值恒小于0,則實數(shù)m的取值范圍為 .(2)若函數(shù)f(x)=x2+(a+2)x+b(xa,b)的圖象關(guān)于直線x=1對稱,則函數(shù)f(x)的最大值為 .(3)若-1x0,則0.5x、5-x及5x從小到大的順序為 .【分析】(1)二次函數(shù)的開口向下,故只需二次函數(shù)的頂點在x軸的下方即可.第二章第二章 2.4 二次函數(shù)與冪函數(shù)二次函數(shù)與冪函數(shù)高考第一輪復(fù)習(xí)用書高考第一輪復(fù)習(xí)用書數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)(理科理科)(2)函數(shù)的圖象關(guān)于直線x=1對稱,則定義域關(guān)于1對稱,可列出一個方程.對稱軸為直線x=1,也可列出一個方程.解二元一次方程組得出a,b的值.(3)三個數(shù)的指數(shù)都有x,故把三個數(shù)的指數(shù)化成正數(shù),再

5、分析底數(shù)即可.【解析】(1)f(x)=-2x2+6x-m=-2(x2-3x+)-m+=-2(x-)2-m+-m+, 9492329292第二章第二章 2.4 二次函數(shù)與冪函數(shù)二次函數(shù)與冪函數(shù)高考第一輪復(fù)習(xí)用書高考第一輪復(fù)習(xí)用書數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)(理科理科)函數(shù)f(x)=-2x2+6x-m的值恒小于0,-m+.(2)函數(shù)的圖象關(guān)于直線x=1對稱, f(x)=x2-2x+6(-4x6),929221,22,aab4,6,ab 第二章第二章 2.4 二次函數(shù)與冪函數(shù)二次函數(shù)與冪函數(shù)高考第一輪復(fù)習(xí)用書高考第一輪復(fù)習(xí)用書數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)(理科理科)f(x)開口向上,圖象在-4,6上關(guān)于x=1對稱,函數(shù)f(x)的最大值為f

6、(-4)=f(6)=30.(3)0.5x=2-x,5x=0.2-x,-1x0,0-x1,0.220)在(0,+)上是增函數(shù),0.2-x2-x5-x(-1x0),5x0.5x5-x.第二章第二章 2.4 二次函數(shù)與冪函數(shù)二次函數(shù)與冪函數(shù)高考第一輪復(fù)習(xí)用書高考第一輪復(fù)習(xí)用書數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)(理科理科)【答案】(1)(,+) (2)30 (3)5x0.5x5-x 【點評】(1)(2)從二次函數(shù)的開口方向與參數(shù)的結(jié)合命題,還結(jié)合了恒成立與對稱軸等問題,屬二次函數(shù)的性質(zhì)與應(yīng)用范圍.(3)從比較大小入手,考查冪函數(shù)的性質(zhì).92第二章第二章 2.4 二次函數(shù)與冪函數(shù)二次函數(shù)與冪函數(shù)高考第一輪復(fù)習(xí)用書高考第一輪復(fù)習(xí)用

7、書數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)(理科理科)變式訓(xùn)練1 (1)若函數(shù)f(x)=x2+ax(aR),則下列結(jié)論成立的是( )(A)函數(shù)f(x)一定是偶函數(shù).(B)函數(shù)f(x)一定存在零點.(C)函數(shù)f(x)在(0,+)上一定是增函數(shù).(D)函數(shù)f(x)在(a,+)上一定是增函數(shù).(2)已知函數(shù)f(x)=x2-2x,xa,b的值域為-1,3,則b-a的取值范第二章第二章 2.4 二次函數(shù)與冪函數(shù)二次函數(shù)與冪函數(shù)高考第一輪復(fù)習(xí)用書高考第一輪復(fù)習(xí)用書數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)(理科理科)圍是 .(3)當(dāng)x(0,+)時,冪函數(shù)f(x)=(m2-m-1)x-m+1為減函數(shù),則實數(shù)m= .【解析】(1)只有a=0時,函數(shù)f(x)才是偶函數(shù),故A錯

8、;函數(shù)f(x)在(-,-)上是減函數(shù),在(-,+)上是增函數(shù),故C、D錯.(2)f(x)=(x-1)2-1-1,知1a,b,令x2-2x=3,則x=3或x=-1,2a2a第二章第二章 2.4 二次函數(shù)與冪函數(shù)二次函數(shù)與冪函數(shù)高考第一輪復(fù)習(xí)用書高考第一輪復(fù)習(xí)用書數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)(理科理科) 或 2b-a4.(3)由題知 m=2.【答案】(1)B (2)2,4 (3)21,13ab 11,3,ab 21 1,10,mmm 第二章第二章 2.4 二次函數(shù)與冪函數(shù)二次函數(shù)與冪函數(shù)高考第一輪復(fù)習(xí)用書高考第一輪復(fù)習(xí)用書數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)(理科理科)例2已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a0)滿足:f(3-x)=f(x

9、),f(1)=0,對任意實數(shù)x,f(x) - 恒成立,求f(x)的解析式.【分析】由f(3-x)=f(x),可得到f(x)的對稱軸為x= ;由f(1)=0可得a、b、c的一個方程;由對任意實數(shù)x,f(x) - 恒成立,可知把f(x)表示成a的形式后轉(zhuǎn)化為含參不等式恒成立問題.14a123214a12題型2與二次函數(shù)有關(guān)的問題第二章第二章 2.4 二次函數(shù)與冪函數(shù)二次函數(shù)與冪函數(shù)高考第一輪復(fù)習(xí)用書高考第一輪復(fù)習(xí)用書數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)(理科理科)【解析】f(3-x)=f(x),可得到f(x)的對稱軸為x=,-=,b=-3a,f(1)=0,a+b+c=0,c=-a-b=2a,f(x)=ax2-3ax+2a,對

10、任意實數(shù)x,f(x)-恒成立,322ba3214a12第二章第二章 2.4 二次函數(shù)與冪函數(shù)二次函數(shù)與冪函數(shù)高考第一輪復(fù)習(xí)用書高考第一輪復(fù)習(xí)用書數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)(理科理科)ax2-3ax+2a-恒成立.ax2-3ax+2a-+0恒成立. a=1,f(x)=x2-3x+2.【點評】本題利用數(shù)形結(jié)合的思想確定函數(shù)的對稱軸,并對恒成立問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化分析再結(jié)合二次函數(shù)圖象確定0.14a1214a1220,1194 (2)0,42aaaaa20,210,aaa 第二章第二章 2.4 二次函數(shù)與冪函數(shù)二次函數(shù)與冪函數(shù)高考第一輪復(fù)習(xí)用書高考第一輪復(fù)習(xí)用書數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)(理科理科)變式訓(xùn)練2 函數(shù)f(x)=x2-2x+2在t

11、,t+1(tR)上的最小值為g(t),求g(t)的解析式.【解析】函數(shù)f(x)=x2-2x+2的對稱軸為x=1,開口向上,f(x)在(-,1)上是減函數(shù);在(1,+)上是增函數(shù).當(dāng)t0時,t+11時,函數(shù)f(x)在t,t+1上是增函數(shù),g(t)=f(t)=t2-2t+2.g(t)= 221(0),1(01),22(1).tttttt 第二章第二章 2.4 二次函數(shù)與冪函數(shù)二次函數(shù)與冪函數(shù)高考第一輪復(fù)習(xí)用書高考第一輪復(fù)習(xí)用書數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)(理科理科)例3已知函數(shù)f(x)=(aR).(1)若函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-,1),求a的值;(2)若函數(shù)f(x)的值域為(0,9,求a的值.【分析】(1)利用復(fù)合函

12、數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,再利用單調(diào)區(qū)間求a的值;(2)利用函數(shù)的值域分析指數(shù)的范圍,再求a的值.2213xax題型3二次函數(shù)與其他基本函數(shù)的結(jié)合第二章第二章 2.4 二次函數(shù)與冪函數(shù)二次函數(shù)與冪函數(shù)高考第一輪復(fù)習(xí)用書高考第一輪復(fù)習(xí)用書數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)(理科理科)【解析】(1)設(shè)g(x)=-2x2-ax+1,對稱軸為x=-,開口向下,則g(x)在(-,-)上是增函數(shù),在(-,+)上是減函數(shù).y=3x在R上是增函數(shù),則f(x)= (aR)在(-,-)上是增函數(shù),在(-,+)上是減函數(shù).-=1,a=-4.4a4a4a2213xax4a4a4a第二章第二章 2.4 二次函數(shù)與冪函數(shù)二次函數(shù)與冪函數(shù)高考第一輪復(fù)習(xí)

13、用書高考第一輪復(fù)習(xí)用書數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)(理科理科)(2)函數(shù)f(x)的值域為(0,9,則g(x)=-2x2-ax+1的值域為(-,2,g(x)=-2(x+)2+1+1,+1=2,a=2 .【點評】本題需要對問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化,對二次函數(shù)有關(guān)問題的探究需要數(shù)形結(jié)合,故需要運用化歸與數(shù)形結(jié)合的思想,第一小題也可以用導(dǎo)數(shù)的方法進(jìn)行解答.4a28a28a28a2第二章第二章 2.4 二次函數(shù)與冪函數(shù)二次函數(shù)與冪函數(shù)高考第一輪復(fù)習(xí)用書高考第一輪復(fù)習(xí)用書數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)(理科理科)變式訓(xùn)練3 設(shè)a為實數(shù),函數(shù)f(x)=2x2+(x-a)|x-a|.(1)若f(0)1,求a的取值范圍;(2)求f(x)的最小值.【解析】(1)因為

14、f(0)=-a|-a|1,所以 解得a-1.因此,a的取值范圍為(-,-1.(2)記f(x)的最小值為g(a).有f(x)=2x2+(x-a)|x-a|=20,1,aa 第二章第二章 2.4 二次函數(shù)與冪函數(shù)二次函數(shù)與冪函數(shù)高考第一輪復(fù)習(xí)用書高考第一輪復(fù)習(xí)用書數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)(理科理科) ()當(dāng)a0時,f(-a)=-2a2,由知f(x)-2a2,此時g(a)=-2a2.()當(dāng)aa,則由知f(x)a2;若xa,則x+a2aa2.此時g(a)=a2.222223(),33()2,aaxxaxaaxa3a23232323綜上得g(a)= 222,0,2,0.3a aaa第二章第二章 2.4 二次函數(shù)與冪函數(shù)

15、二次函數(shù)與冪函數(shù)高考第一輪復(fù)習(xí)用書高考第一輪復(fù)習(xí)用書數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)(理科理科)1.注意數(shù)形結(jié)合,密切聯(lián)系圖象是研究掌握二次函數(shù)性質(zhì)的基本方法.二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c圖象的開口方向、頂點坐標(biāo)、對稱軸及單調(diào)區(qū)間等是處理二次函數(shù)的重要依據(jù).2.注意二次函數(shù)與方程、不等式和導(dǎo)數(shù)等的結(jié)合,充分利用二次函數(shù)的性質(zhì)解決問題.3.注意對二次函數(shù)的零點問題、判別式、函數(shù)區(qū)間端點值的正負(fù)等的分析.幫助學(xué)生從知識、方法、思想等方面總結(jié)歸納,反思提高.第二章第二章 2.4 二次函數(shù)與冪函數(shù)二次函數(shù)與冪函數(shù)高考第一輪復(fù)習(xí)用書高考第一輪復(fù)習(xí)用書數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)(理科理科)例二次函數(shù)f(x)滿足f(2+x)=f(2-x),又

16、f(x)在0,2上是增函數(shù),且f(a)f(0),則實數(shù)a的取值范圍是( )(A)a0. (B)a0.(C)0a4. (D)a0或a4.【錯解】f(2+x)=f(2-x),f(x)是偶函數(shù),且對稱軸為y軸.又f(x)在0,2上是增函數(shù),f(x)在0,+)上是增函數(shù),a0時,f(a)f(0),故選A.第二章第二章 2.4 二次函數(shù)與冪函數(shù)二次函數(shù)與冪函數(shù)高考第一輪復(fù)習(xí)用書高考第一輪復(fù)習(xí)用書數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)(理科理科)【剖析】由f(2+x)=f(2-x)的意義知,二次函數(shù)f(x)關(guān)于x=2對稱,不能判定函數(shù)是偶函數(shù).其錯因是由“數(shù)”轉(zhuǎn)化為“形”的能力差造成的.【正解】f(2+x)=f(2-x),二次函數(shù)f(

17、x)的對稱軸為x=2.又f(x)在0,2上是增函數(shù),拋物線開口向下,如圖,由圖象可知,只有在區(qū)間0,4上,才有f(x)f(0).故選C.【答案】C第二章第二章 2.4 二次函數(shù)與冪函數(shù)二次函數(shù)與冪函數(shù)高考第一輪復(fù)習(xí)用書高考第一輪復(fù)習(xí)用書數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)(理科理科)一、選擇題(本大題共5小題,每小題6分)基礎(chǔ)角度思路1.(基礎(chǔ)再現(xiàn))若函數(shù)f(x)=4x2-mx+5在區(qū)間-2,+)上是增函數(shù),則( )(A)f(1)25. (B)f(1)=25.(C)f(1)25. (D)f(1)25.第二章第二章 2.4 二次函數(shù)與冪函數(shù)二次函數(shù)與冪函數(shù)高考第一輪復(fù)習(xí)用書高考第一輪復(fù)習(xí)用書數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)(理科理科)【解析】函數(shù)

18、f(x)=4x2-mx+5的對稱軸x=,可知函數(shù)在,+)上單調(diào)遞增,故只需-2,即m-16,f(1)=9-m25.8m8m8m【答案】A第二章第二章 2.4 二次函數(shù)與冪函數(shù)二次函數(shù)與冪函數(shù)高考第一輪復(fù)習(xí)用書高考第一輪復(fù)習(xí)用書數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)(理科理科)2.(基礎(chǔ)再現(xiàn))“函數(shù)f(x)=kx2-kx-1與x軸有兩個不同的交點”是“-4k0或k0的解集是( )(A)(-,-)(3,+).axbcxa12(B)(-,3).(C)(-,-3)(,+).(D)(-3,).121212第二章第二章 2.4 二次函數(shù)與冪函數(shù)二次函數(shù)與冪函數(shù)高考第一輪復(fù)習(xí)用書高考第一輪復(fù)習(xí)用書數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)(理科理科)【解析】由圖象可知f

19、(x)=a(x-1)(x-2)=ax2-3ax+2a(a0),b=-3a,c=2a.不等式 0等價于 0,即 0,x3或x-.故選A.【答案】Aaxbcxa32axaaxa321xx12第二章第二章 2.4 二次函數(shù)與冪函數(shù)二次函數(shù)與冪函數(shù)高考第一輪復(fù)習(xí)用書高考第一輪復(fù)習(xí)用書數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)(理科理科)4.(視角拓展)函數(shù)f(x)=2x2-8x-5的圖象上有三點A(a,y1)、B(a+1,y2)、C(a+2,y3)(其中a0),則( )(A)y1y2y3. (B)y1y3y2.(C)y3y2y1. (D)y2y1y3.【解析】函數(shù)的對稱軸為x=2,開口向上,函數(shù)f(x)在(-,2)上是減函數(shù),aa+1

20、a+22,y3y2-6.3a+b的取值范圍是-6,+),故選B.【答案】B2220,4(2)0,aba第二章第二章 2.4 二次函數(shù)與冪函數(shù)二次函數(shù)與冪函數(shù)高考第一輪復(fù)習(xí)用書高考第一輪復(fù)習(xí)用書數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)(理科理科)6.(基礎(chǔ)再現(xiàn))已知-2,-1,1,2,則使函數(shù)y=x在0,+)上單調(diào)遞增的所有值的集合為 .【解析】函數(shù)y=x在0,+)上單調(diào)遞增,0,=1或=2.【答案】1,2二、填空題(本大題共4小題,每小題7分)第二章第二章 2.4 二次函數(shù)與冪函數(shù)二次函數(shù)與冪函數(shù)高考第一輪復(fù)習(xí)用書高考第一輪復(fù)習(xí)用書數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)(理科理科)7.(基礎(chǔ)再現(xiàn))已知函數(shù)f(x)=x2+x-2,x-4,6,則函數(shù)f(x)

21、的值域是 .【解析】函數(shù)f(x)的開口向上,對稱軸為x=-,-4,6,f(x)f(-)=-2=-,f(-4)=16-4-2=10,f(6)=36+6-2=40,函數(shù)f(x)的值域是-,40.【答案】-,401212121412949494第二章第二章 2.4 二次函數(shù)與冪函數(shù)二次函數(shù)與冪函數(shù)高考第一輪復(fù)習(xí)用書高考第一輪復(fù)習(xí)用書數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)(理科理科)8.(視角拓展)已知冪函數(shù)f(x)的圖象過點(2,8),g(x)=x2+4,定義函數(shù)F(x)= 則函數(shù)F(x)的最小值為 .【解析】冪函數(shù)f(x)的圖象過點(2,8),f(x)=x3,f(2)=8,g(2)=8,當(dāng)x2時,f(x)f(2)=8,g(x)

22、g(2)=8.F(x)8;當(dāng)x2時,g(x)-f(x)=x2+4-x3.( ),( )( ),( ),( )( ),f xf xg xg xf xg x第二章第二章 2.4 二次函數(shù)與冪函數(shù)二次函數(shù)與冪函數(shù)高考第一輪復(fù)習(xí)用書高考第一輪復(fù)習(xí)用書數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)(理科理科)0 xx2+x2-x3=x2(2-x)0;xx2+40.g(x)f(x),F(x)=g(x)=x2+44.綜上,函數(shù)F(x)的最小值為4.【答案】4第二章第二章 2.4 二次函數(shù)與冪函數(shù)二次函數(shù)與冪函數(shù)高考第一輪復(fù)習(xí)用書高考第一輪復(fù)習(xí)用書數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)(理科理科)9.(高度提升)設(shè)二次函數(shù)f(x)=ax2-4x+c(xR)的值域為0,+),則 + 的最大值為 .【解析】f(x)=ax2-4x+c(xR)的值域為0,+), 16-4ac=0且a0,ac=4,且a0,c=,11c99a0,0,a4a第二章第二章 2.4 二次函數(shù)與冪函數(shù)二次函數(shù)與冪函數(shù)高考第一輪復(fù)習(xí)用書高考第一輪復(fù)習(xí)用書數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)(理科理科)+ = + = =1+ =1+ 1+ =.【答案】 11c99a4aa99a2218361336aaaa251336aaa53613aa513 126565第二章第二章 2.4 二次函數(shù)與冪函數(shù)二次函數(shù)與冪函數(shù)高考第一輪復(fù)