同濟(jì)第三版-高數(shù)-(6.5)第五節(jié)二階常系數(shù)齊次線(xiàn)性微分方程

1、 二階線(xiàn)性微分方程的一般形式為二階線(xiàn)性微分方程的一般形式為 y + p( x ) y + q( x ) y = f( x ). 所謂線(xiàn)性微分方程是指方程中出現(xiàn)的所謂線(xiàn)性微分方程是指方程中出現(xiàn)的 y, ,y ,y 都是都是一次的。一次的。 若若 f( x ) 0 ，就稱(chēng)方程為二階齊次線(xiàn)，就稱(chēng)方程為二階齊次線(xiàn)性微分方程。性微分方程。 若同時(shí)若同時(shí) p( x ), , q( x )均是常數(shù)，均是常數(shù)，就稱(chēng)此就稱(chēng)此方程為二階常系數(shù)齊次線(xiàn)性微分方程，方程為二階常系數(shù)齊次線(xiàn)性微分方程，其其一一般形式為般形式為 y + p y + q y = 0 . . 設(shè)有二階常系數(shù)齊線(xiàn)性方程設(shè)有二階常系數(shù)齊線(xiàn)性方程 y

2、 + p y + q y = 0 如果如果 y1( x ), ,y 2( x )是齊次線(xiàn)性方程的兩個(gè)解，那末是齊次線(xiàn)性方程的兩個(gè)解，那末y = C1 y1( x )+ C2 y 2( x )也是也是該齊線(xiàn)性方程的解。該齊線(xiàn)性方程的解。 為證為證 y = C1 y1( x )+ C2 y 2( x )也是二階常系數(shù)齊線(xiàn)性也是二階常系數(shù)齊線(xiàn)性方程的解，只需驗(yàn)證其也滿(mǎn)足該方程方程的解，只需驗(yàn)證其也滿(mǎn)足該方程。 因?yàn)橐驗(yàn)?y1( x ), ,y 2( x )是齊次線(xiàn)性方程的解，即有是齊次線(xiàn)性方程的解，即有 y1 + p y1 + q( x )y1 = 0 ， y2 + p y2 + q y2 = 0

3、. . 將將 y = C1 y1+ C2 y 2 代入方程代入方程 y + p y + q y = 0 有有 C1 y1 + C2 y2 + p C1 y1 + C2 y2 + q C1 y1 + C2 y2 = C1 y1 + p y1 + q y1 + C2 y2 + p y2 + q y2 = C1 0 + C2 0 = 0 . .故故 y = C1 y1( x )+ C2 y2( x )也是該齊線(xiàn)性方程的解。也是該齊線(xiàn)性方程的解。 這一結(jié)果稱(chēng)為齊線(xiàn)性微分方程解的疊加性原理這一結(jié)果稱(chēng)為齊線(xiàn)性微分方程解的疊加性原理。 由由解的疊加性原理解的疊加性原理自然會(huì)提出這樣的問(wèn)題自然會(huì)提出這樣的問(wèn)題

4、： 若若 y1( x ), , y 2( x )是二階常系數(shù)齊線(xiàn)性方程的兩個(gè)特是二階常系數(shù)齊線(xiàn)性方程的兩個(gè)特解，那么函數(shù)解，那么函數(shù) y = C1 y1( x )+ C2 y2( x )是否是該齊線(xiàn)性方是否是該齊線(xiàn)性方程的通解程的通解？ 若若不是，方程的兩個(gè)特解不是，方程的兩個(gè)特解 y1( x ), , y 2( x )需滿(mǎn)足什么條件才能構(gòu)造出二階常系數(shù)需滿(mǎn)足什么條件才能構(gòu)造出二階常系數(shù)齊線(xiàn)性方程的通解齊線(xiàn)性方程的通解？ 舉例考察：考慮齊線(xiàn)性方程舉例考察：考慮齊線(xiàn)性方程 y - - 2 y + y = 0 易驗(yàn)證易驗(yàn)證 y1 = e x，y2 = 3e x 均是該方程的解。均是該方程的解。 y

5、1 - - 2 y1+ y1 =( e x )- - 2( e x )+( e x ) =( e x )- - 2( e x )+( e x )= 0 ， y2 - - 2 y2+ y2 =( 3e x )- - 2( 3e x )+( 3e x ) =( 3e x )- - 2( 3e x )+( 3e x )= 0 由定理由定理 1， y = C1 y1+ C2 y2 = C1 e x + 3C2 e x 也也是該方是該方程的解，但它顯然不是方程的通解。程的解，但它顯然不是方程的通解。 因?yàn)橐驗(yàn)?y = C1 e x + C2 3e x =( C1 + 3C2 )e x = C e x 實(shí)

6、際只實(shí)際只含有一個(gè)獨(dú)立的任意常數(shù)，因而不可能是該二階方程的含有一個(gè)獨(dú)立的任意常數(shù)，因而不可能是該二階方程的通解。通解。 為弄清為弄清由二階方程的兩個(gè)特解能否構(gòu)造出其通解的由二階方程的兩個(gè)特解能否構(gòu)造出其通解的問(wèn)題關(guān)鍵在于問(wèn)題關(guān)鍵在于理解這一問(wèn)題的本質(zhì)。理解這一問(wèn)題的本質(zhì)。 該問(wèn)題的實(shí)質(zhì)是，該問(wèn)題的實(shí)質(zhì)是，由定理由定理 1 1 寫(xiě)出的二階方程的解寫(xiě)出的二階方程的解 y = C1 y1( x )+ C2 y2( x )中的任意常數(shù)中的任意常數(shù) C1 , ,C2 是否獨(dú)立。是否獨(dú)立。 任意常數(shù)是否獨(dú)立問(wèn)題，本質(zhì)上是對(duì)應(yīng)方程的兩個(gè)特任意常數(shù)是否獨(dú)立問(wèn)題，本質(zhì)上是對(duì)應(yīng)方程的兩個(gè)特解解 y1( x ),

7、, y2( x )是否可是否可“合并合并”問(wèn)題問(wèn)題。 兩個(gè)函數(shù)是否可兩個(gè)函數(shù)是否可“合并合并”問(wèn)題本質(zhì)上是兩函數(shù)間是問(wèn)題本質(zhì)上是兩函數(shù)間是否具有否具有“倍數(shù)倍數(shù)”關(guān)系，即關(guān)系，即 y2( x )= k y1( x ) C1 y1+ C2 y2 = C1 y1+ C2 k y1 = C y1 . .其中其中 C = C1 + C2 k . 如果如果 y1( x ), , y 2( x )是二階常系數(shù)齊次線(xiàn)性方程是二階常系數(shù)齊次線(xiàn)性方程 y + p y + q y = 0 的兩個(gè)特解，且的兩個(gè)特解，且 y1( x )/ /y 2( x ) 常數(shù)，常數(shù)，則則 y = C1 y1( x )+ C2 y

8、2( x )是該齊線(xiàn)性方程的通解。是該齊線(xiàn)性方程的通解。 此分析結(jié)果此分析結(jié)果不僅指出了不僅指出了二階常系數(shù)齊線(xiàn)性方程的通二階常系數(shù)齊線(xiàn)性方程的通解結(jié)構(gòu)，同時(shí)也給出了求該類(lèi)方程通解的一般方法。解結(jié)構(gòu)，同時(shí)也給出了求該類(lèi)方程通解的一般方法。 為求二階常系數(shù)齊線(xiàn)性方程的通解，為求二階常系數(shù)齊線(xiàn)性方程的通解，只需設(shè)法找出方程的兩個(gè)不成比例的只需設(shè)法找出方程的兩個(gè)不成比例的特解特解 y1( x ), ,y 2( x )，再通過(guò)線(xiàn)，再通過(guò)線(xiàn)性組合的方法構(gòu)造出方程的通解。性組合的方法構(gòu)造出方程的通解。 由由二階常系數(shù)二階常系數(shù)齊線(xiàn)性方程的通解結(jié)構(gòu)，為求方程的齊線(xiàn)性方程的通解結(jié)構(gòu)，為求方程的通解，只需設(shè)法求

9、出其通解，只需設(shè)法求出其兩個(gè)不成比例兩個(gè)不成比例的特解。的特解。 考察方程考察方程 y + p y + q y = 0 容易看出容易看出，滿(mǎn)足方程的滿(mǎn)足方程的特解應(yīng)是求這樣的函數(shù)特解應(yīng)是求這樣的函數(shù) y = y( x )，該函數(shù)與其自身的導(dǎo)該函數(shù)與其自身的導(dǎo)數(shù)數(shù) y 、y 僅相差僅相差“若干若干”倍數(shù)。倍數(shù)。 由此容易聯(lián)想到方程特解應(yīng)具有形式由此容易聯(lián)想到方程特解應(yīng)具有形式 y = e r x 于是求方程特解的問(wèn)題就歸結(jié)為求常數(shù)于是求方程特解的問(wèn)題就歸結(jié)為求常數(shù) r ，使得函使得函數(shù)數(shù) y = e r x 能能成為方程成為方程 y + p y + q y = 0 的解。的解。 考慮考慮方程方程

10、 y + p y + q y = 0 特解的計(jì)算特解的計(jì)算： 由于由于方程總具有形如方程總具有形如 y = e r x 的解，的解，視視 r 為待定系數(shù)為待定系數(shù), ,將形式特解將形式特解 y = e r x 代入方程代入方程有有 y + p y + q y =( e r x )+ p( e r x ) + q( e r x )= r 2 e r x + p r e r x + q e r x = e r x( r 2 + p r + q )= 0 . . 因?yàn)橐驗(yàn)?y = e r x 0 ，故有，故有 r 2 + p r + q = 0 顯然，若顯然，若 y = e r x 是是齊線(xiàn)性方程齊

11、線(xiàn)性方程 y + p y + q y = 0 的的解，則常數(shù)解，則常數(shù) r 必是二次方程必是二次方程 r 2 + p r + q = 0 的根；的根； 反之，若反之，若常數(shù)常數(shù) r 是二次方程是二次方程 r 2 + p r + q = 0 的根，則的根，則函數(shù)函數(shù) y = e r x 是是齊線(xiàn)性方程齊線(xiàn)性方程 y + p y + q y = 0 的解。的解。 由上討論有由上討論有 因此稱(chēng)二次方程因此稱(chēng)二次方程 r 2 + p r + q = 0 為為二階常系數(shù)齊線(xiàn)性二階常系數(shù)齊線(xiàn)性方程方程 y + p y + q y = 0 的的特征方程特征方程。 由于特征方程與常系數(shù)齊線(xiàn)性方程的這種由于特征

12、方程與常系數(shù)齊線(xiàn)性方程的這種“1- -1 對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)”關(guān)系，使得求解常系數(shù)齊線(xiàn)性方程關(guān)系，使得求解常系數(shù)齊線(xiàn)性方程可不需通過(guò)積分而只需用代數(shù)方法解可不需通過(guò)積分而只需用代數(shù)方法解二次方程就可計(jì)算。二次方程就可計(jì)算。 特征方程的概念及相應(yīng)特征方程的概念及相應(yīng)常系數(shù)常系數(shù)齊線(xiàn)齊線(xiàn)性方程的這種代數(shù)解法還可推廣至一般性方程的這種代數(shù)解法還可推廣至一般 n階齊線(xiàn)性微分方程的情形。階齊線(xiàn)性微分方程的情形。 考察考察特征方程特征方程 r 2 + p r + q = 0 的根與的根與二階常系數(shù)齊線(xiàn)二階常系數(shù)齊線(xiàn)性方程性方程 y + p y + q y = 0 特解的對(duì)應(yīng)關(guān)系特解的對(duì)應(yīng)關(guān)系。 二次方程二次方程 r

13、 2 + p r + q = 0 的根可有三種不同情形，這的根可有三種不同情形，這三種情形取決其判別式三種情形取決其判別式 = p 2 - - 4 q 的符號(hào)，為此就的符號(hào)，為此就特征特征方程判別式方程判別式的符號(hào)的不同情形討論的符號(hào)的不同情形討論其與其與二階常系數(shù)齊線(xiàn)性方程特解二階常系數(shù)齊線(xiàn)性方程特解的對(duì)應(yīng)關(guān)系及相應(yīng)齊線(xiàn)性方程的對(duì)應(yīng)關(guān)系及相應(yīng)齊線(xiàn)性方程的通解形式。的通解形式。 此時(shí)此時(shí)特征方程特征方程 r 2 + p r + q = 0 有兩個(gè)相異有兩個(gè)相異的實(shí)根，的實(shí)根，相應(yīng)地，相應(yīng)地，二階常系數(shù)齊線(xiàn)性方程二階常系數(shù)齊線(xiàn)性方程 y + p y + q y = 0 有兩個(gè)有兩個(gè)特解特解 y1

14、 = e r1 x，y 2 = e r2 x y1/ /y 2 = e r1 x/ /e r2 x = e( r2 x- - r1 x ) 常數(shù)，常數(shù)， 因此，因此，方程的方程的兩個(gè)兩個(gè)特解特解 y1 = e r1 x，y 2 = e r2 x 可構(gòu)成可構(gòu)成方方程的通解程的通解，通解形式為通解形式為 Y = C1 y1 + C2 y2 = C1 e r1 x + C2 e r2 x 221244 .22ppqppqrr, 22140rrpq 由由于于所所以以, 此時(shí)此時(shí)特征方程特征方程 r 2 + p r + q = 0 有兩個(gè)相等有兩個(gè)相等的實(shí)根，的實(shí)根， r1 = r2 = - - p /

15、 /2，相應(yīng)可確定相應(yīng)可確定方程方程 y + p y + q y = 0 的一個(gè)的一個(gè)特解特解 y1 = e r1 x 為求二階為求二階常系數(shù)常系數(shù)齊線(xiàn)性方程通解，還需設(shè)法再找出齊線(xiàn)性方程通解，還需設(shè)法再找出其另一個(gè)特解其另一個(gè)特解 y2 ，使其滿(mǎn)足，使其滿(mǎn)足 y2 / /y1 常數(shù)。常數(shù)。 不妨設(shè)不妨設(shè) y2 = u( x )y1 = u( x )e r1 x于是于是求特解求特解 y 2 的問(wèn)的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求待定函數(shù)題轉(zhuǎn)化為求待定函數(shù) u( x )的問(wèn)題。的問(wèn)題。為此可將形式特解為此可將形式特解 y2 = u( x )e r1 x 代入微分方程以確定代入微分方程以確定 u( x ) 為將為將

16、y 2 代入方程，先計(jì)算代入方程，先計(jì)算 y 2 的導(dǎo)數(shù)：的導(dǎo)數(shù)： y2 = u( x )e r1 x = u ( x )e r1 x + r1u( x )e r1 x， y2 = u ( x )e r1 x + r1u( x )e r1 x = u ( x )e r1 x + r1u ( x )e r1 x + r1 u ( x )e r1 x + r1u( x )e r1 x = u ( x )+ 2r1u ( x )+ r12u( x )e r1 x 將將 y2 代入齊線(xiàn)性方程有：代入齊線(xiàn)性方程有： y 2+ p y 2 + q y2 = u ( x )+ 2r1u ( x )+ r12

17、u( x )e r1 x + p u ( x )+ r1u( x )e r1 x + q u( x )e r1 x= u ( x )+( 2r1+ p )u ( x )+( r12 + pr1+ q )u( x )e r1 x = 0 . 因?yàn)橐驗(yàn)?e r x 0 ，故上式等價(jià)于故上式等價(jià)于 u ( x )+ 2r1+ p u ( x )+ r12 + p r1 + q u( x )= 0 . 因?yàn)橐驗(yàn)?r1 是特征方程的根，所以是特征方程的根，所以 r12 + p r1 + q = 0 . . 因?yàn)橐驗(yàn)?r1 是特征方程的二重根，即是特征方程的二重根，即 2r1 + p = 0 ，因此因此方

18、程化為方程化為 u ( x )= 0，解得，解得 u( x )= D1 x + D2，即有，即有 y2 = u( x )e r1 x =( D1 x + D2 )e r1 x . 取取 D1 = 1, , D2 = 0，可求得齊線(xiàn)性方程另一個(gè)特解可求得齊線(xiàn)性方程另一個(gè)特解 y2 = x e r1 x，滿(mǎn)足，滿(mǎn)足 y2 / /y1 = x 常數(shù)。常數(shù)。 于是可寫(xiě)出常系數(shù)齊線(xiàn)性方程的通解為于是可寫(xiě)出常系數(shù)齊線(xiàn)性方程的通解為 y = C1 e r1 x + C2 x e r1 x =( C1 + C2 x )e r1 x =( C1 + C2 x )e p/ /2 x . 此時(shí)此時(shí)特征方程特征方程

19、r 2 + p r + q = 0 有一對(duì)共扼復(fù)根有一對(duì)共扼復(fù)根， r1, ,2 = i ，其中，其中相應(yīng)可確定相應(yīng)可確定二階常系數(shù)齊線(xiàn)性方程二階常系數(shù)齊線(xiàn)性方程 y + p y + q y = 0 的的兩個(gè)兩個(gè)特解特解 y1 = e( + i )x，y2 = e( - - i )x 由于由于 y2 / / y1 = e( - - i )x/ /e( - - i )x = e - -2 i x 常數(shù)，常數(shù)， 故可求得故可求得常系數(shù)常系數(shù)齊線(xiàn)性方程的通解為齊線(xiàn)性方程的通解為 Y = C1 e r 1 x + C2 e r 2 x = C1 e( + i )x + C2 e( - - i )x 2

20、422qpp , . . 由于由于此時(shí)齊線(xiàn)性方程的兩個(gè)特解均是此時(shí)齊線(xiàn)性方程的兩個(gè)特解均是“復(fù)值解復(fù)值解”，不符合微積分在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)討論的要求，還需尋求相應(yīng)不符合微積分在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)討論的要求，還需尋求相應(yīng)的實(shí)值解。的實(shí)值解。 由歐拉公式有由歐拉公式有 e i x = cos x + i sin x，e - - i x = cos x - - i sin x，于是方程的兩個(gè)特解可表為于是方程的兩個(gè)特解可表為 y1 = e( + i )x = e x e i x = e x( cos x + i sin x )， y2 = e( - - i )x = e x e - - i x = e x( co

21、s x - - i sin x )， 由齊線(xiàn)性方程解的疊加性原理由齊線(xiàn)性方程解的疊加性原理 也是方程的解。也是方程的解。 *1212121122yyyyyyi , , 將以上兩特解已是實(shí)值解，具體寫(xiě)出就是：將以上兩特解已是實(shí)值解，具體寫(xiě)出就是： y1* = e x/ /2( cos x + i sin x )+( cos x - - i sin x ) = e x cos x ， y2* = e x/ /2i( cos x + i sin x )- -( cos x - - i sin x ) = e x sin x . . 由于由于 y2*/ /y1* = e x sin x / /e x

22、cos x = tan x 常數(shù)常數(shù), ,故求得當(dāng)故求得當(dāng) p 2 - - 4 q 0 時(shí)時(shí)方程的實(shí)值通解為方程的實(shí)值通解為 y = C1 y1* + C2 y2* =( C1 cos x + C2 sin x )e x . . 由以上討論知，二階常系數(shù)齊線(xiàn)性方程的通解與其由以上討論知，二階常系數(shù)齊線(xiàn)性方程的通解與其特征方程的根有著確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系，可根據(jù)特征方程根特征方程的根有著確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系，可根據(jù)特征方程根的不同情形直接由代數(shù)法寫(xiě)出微分方程通解。二階常系的不同情形直接由代數(shù)法寫(xiě)出微分方程通解。二階常系數(shù)齊線(xiàn)性方程的這種解法稱(chēng)為特征方程法。數(shù)齊線(xiàn)性方程的這種解法稱(chēng)為特征方程法。 由給定二階方

23、程寫(xiě)出對(duì)應(yīng)的特征方程由給定二階方程寫(xiě)出對(duì)應(yīng)的特征方程 y + p y + q y = 0 r 2 + p r + q = 0 ， 由特征方程的根寫(xiě)出微分方程的兩個(gè)特解及通解由特征方程的根寫(xiě)出微分方程的兩個(gè)特解及通解 若特征方程有兩個(gè)相異的實(shí)根若特征方程有兩個(gè)相異的實(shí)根 r1, ,r2，則則微分方程的微分方程的兩個(gè)特解為兩個(gè)特解為 y1 = e r1 x，y2 = e r2 x，此時(shí)方程的通解為此時(shí)方程的通解為 Y = C1 e r1 x + C2 e r2 x 若特征方程有兩個(gè)相等的實(shí)根若特征方程有兩個(gè)相等的實(shí)根 r1 = r2，則則微分方程的微分方程的兩個(gè)特解為兩個(gè)特解為 y1 = e r1

24、 x，y2 = x e r1 x，此時(shí)方程的通解為此時(shí)方程的通解為 Y =( C1 + C2 x )e r1 x 若特征方程有一對(duì)共軛復(fù)根若特征方程有一對(duì)共軛復(fù)根 r1, ,2 = i ，則則微分方微分方程的兩個(gè)特解為程的兩個(gè)特解為 y1 = e x cos x，y2 = e x sin x，此時(shí)方此時(shí)方程的通解為程的通解為 Y = e x( C1cos x + C2 sin x ). . 由于常系數(shù)齊線(xiàn)性方程總有形如由于常系數(shù)齊線(xiàn)性方程總有形如 y = e r x 的解，因的解，因而上述特征方程法可用于求解一般的而上述特征方程法可用于求解一般的 n 階常系數(shù)齊線(xiàn)性階常系數(shù)齊線(xiàn)性微分方程，即對(duì)

25、于微分方程，即對(duì)于 n 階常系數(shù)齊線(xiàn)性微分方程階常系數(shù)齊線(xiàn)性微分方程 y( n )+ p1 y( n - - 1 )+ + pn - - 1 y + pn y = 0 ，其其特征方程為特征方程為 r n + p1 r n - - 1 + + pn - -1 r + pn = 0 . . 由此由此特征方程的相異特征方程的相異實(shí)實(shí)根可寫(xiě)出對(duì)應(yīng)根可寫(xiě)出對(duì)應(yīng) n 階常系數(shù)齊階常系數(shù)齊線(xiàn)性微分方程的通解。線(xiàn)性微分方程的通解。例：例：求方程求方程 y + 7 y = 0 的通解的通解。 這這是個(gè)二階方程求通解問(wèn)題是個(gè)二階方程求通解問(wèn)題宜根據(jù)方程特點(diǎn)選擇合適的解法宜根據(jù)方程特點(diǎn)選擇合適的解法。 首先注意到該

26、方程是一個(gè)常系數(shù)齊首先注意到該方程是一個(gè)常系數(shù)齊線(xiàn)性方程，因而可用特征方程法求解。線(xiàn)性方程，因而可用特征方程法求解。 此外，該方程既不顯含此外，該方程既不顯含 y 又不顯含又不顯含 x因此又可通過(guò)變量代換法降階求解，因此又可通過(guò)變量代換法降階求解，故本例至少可有三種解法故本例至少可有三種解法。 方程方程 y + 7 y = 0 所所對(duì)應(yīng)的特征方程為對(duì)應(yīng)的特征方程為 r 2 + 7 r = r( r + 7 )= 0 ， 求得特征方程有兩個(gè)相異實(shí)根求得特征方程有兩個(gè)相異實(shí)根 r = 0，r = - - 7 . 方程的兩個(gè)特解為方程的兩個(gè)特解為 y = e 0 = 1，y = e - -7 x，

27、二階常系數(shù)齊線(xiàn)性方程的通解為二階常系數(shù)齊線(xiàn)性方程的通解為 Y = C1 + C2 e - -7 x. 視方程視方程 y + 7 y = 0 為形如為形如 y = f( x , ,y )的方程。的方程。 令令: : y = p( x )，則，則 y = p ( x )，給定二階方程化為，給定二階方程化為 分離變量有分離變量有 解得解得 l n p = - - 7 x + l n C1 ， 于是又得可分離變量方程于是又得可分離變量方程 p = y = C1 e - -7 x， 方程兩邊積分有方程兩邊積分有 y = C1 e - -7 xd x = - - 7C1e - -7 x + C 2方程通解

28、可寫(xiě)方程通解可寫(xiě)為為 y = C1e - -7x + C 2，( C1 = - - 7C1). d70dppx, d7dpxp , 視方程視方程 y + 7 y = 0 為形如為形如 y = f( y, ,y )的方程。的方程。 令令: : y = p( x )，并將二階導(dǎo)數(shù)改寫(xiě)為，并將二階導(dǎo)數(shù)改寫(xiě)為 于是給定二階方程化為于是給定二階方程化為 顯然顯然 p = 0，即，即 y = C 是方程的一個(gè)平凡解，求解該是方程的一個(gè)平凡解，求解該方程主要考慮其非平凡解。方程主要考慮其非平凡解。 ddddddddppypypxyxy, dd770ddpppppyy. 當(dāng)當(dāng) p 0 時(shí)，方程化為時(shí)，方程化為

29、解得解得 y = p = - -7( y + D1 ). . 這又是一個(gè)可分離變量方程，這又是一個(gè)可分離變量方程，分離變量有分離變量有 解得解得 ln( y + D1 )= - - 7 x + D2，即有，即有 y = e D2e - -7 x - - D1. . 記：記：C1 = - - D1，C2 = e D2 ，則方程通解可寫(xiě)為，則方程通解可寫(xiě)為 y = C2 e - -7 x + C1 這一通解形式也包含了方程的平凡解。這一通解形式也包含了方程的平凡解。 1d7dyxyD, d7dpy ,例：例：求方程求方程 y - - y - - 2 y = 0 滿(mǎn)足初始條件滿(mǎn)足初始條件 y( 0 )= 0 , , y ( 0 )= 1 的特解的特解。 這是個(gè)二階方程的初值問(wèn)題。給定方程是一個(gè)常系這是個(gè)二階方程的初值問(wèn)題。給定方程是一個(gè)常系數(shù)齊線(xiàn)性方程，同時(shí)方程不顯含數(shù)齊線(xiàn)性方程，同時(shí)方程不顯含 x 從計(jì)算簡(jiǎn)潔考慮宜從計(jì)算簡(jiǎn)潔考慮宜采用特征方程法求解。采用特征方程法求解。 該常系數(shù)齊線(xiàn)性方程所該常系數(shù)齊線(xiàn)性方程所對(duì)應(yīng)的特征方程為對(duì)應(yīng)的特征方程為 r 2 - - r - - 2 =( r - - 2