第一章矢量分析

1、第一章第一章 矢量分析矢量分析主主 要要 內(nèi)內(nèi) 容容梯度梯度、散度散度、旋度旋度、亥姆霍茲定理亥姆霍茲定理1. 標(biāo)量場的方向?qū)?shù)與梯度標(biāo)量場的方向?qū)?shù)與梯度2. 矢量場的通量與散度矢量場的通量與散度3. 矢量場的環(huán)量與旋度矢量場的環(huán)量與旋度4. 無散場和無旋場無散場和無旋場5. 格林定理格林定理 6. 矢量場的惟一性定理矢量場的惟一性定理7. 亥姆霍茲定理亥姆霍茲定理 8. 正交曲面坐標(biāo)系正交曲面坐標(biāo)系yx以以濃度濃度表示的表示的標(biāo)量場標(biāo)量場 以以箭頭箭頭表示的表示的矢量場矢量場A 標(biāo)量場標(biāo)量場（）和矢量場和矢量場（A）yx1. 1. 標(biāo)量場的方向?qū)?shù)與梯度標(biāo)量場的方向?qū)?shù)與梯度 標(biāo)量場在某點(diǎn)

2、的標(biāo)量場在某點(diǎn)的方向方向?qū)?shù)導(dǎo)數(shù)表示標(biāo)量場自該點(diǎn)沿表示標(biāo)量場自該點(diǎn)沿某一方向上的變化率。某一方向上的變化率。 0()( )limlPPPll標(biāo)量場標(biāo)量場 在在 P 點(diǎn)沿點(diǎn)沿 l 方向上的方向?qū)?shù)方向上的方向?qū)?shù) 定義為定義為Pl PllP梯度是一個梯度是一個矢量矢量。gradxyzxyzeee在在直角坐標(biāo)系直角坐標(biāo)系中，標(biāo)量場中，標(biāo)量場 的梯度可表示為的梯度可表示為式中的式中的grad 是英文字是英文字 gradient 的縮寫。的縮寫。 某點(diǎn)梯度的某點(diǎn)梯度的大小大小等于該點(diǎn)的等于該點(diǎn)的最大最大方向?qū)?shù)，某點(diǎn)方向?qū)?shù)，某點(diǎn)梯度的方向?yàn)樵擖c(diǎn)具有梯度的方向?yàn)樵擖c(diǎn)具有最大最大方向?qū)?shù)的方向。方向?qū)?shù)

3、的方向。zyxzyxeee 若引入算符若引入算符，在直角坐標(biāo)系中該算符，在直角坐標(biāo)系中該算符 可表可表示為示為grad則梯度可以表示為則梯度可以表示為zxyr OP(x, y, z)r r r P(x , y , z )例例 計算計算 及及 。 R1R1 表示對表示對 x, y, z 運(yùn)算運(yùn)算 表示對表示對 運(yùn)算運(yùn)算zyx,0Rrr這里這里zyxzyxeeerzyxzyxeeer解解zyxzzyyxxeeeR)()()(222)()()(zzyyxxRzyxzyxeeezyxzyxeee31RRRRR1131RRR表示源點(diǎn)，表示源點(diǎn)，P 表示場點(diǎn)。表示場點(diǎn)。 Pzxyr OP(x, y, z)

4、r r r P(x , y , z ) 矢量矢量 A 沿某一有向曲面沿某一有向曲面 S 的的面積分面積分稱為矢量稱為矢量 A 通過通過該有向曲面該有向曲面 S 的通量，以標(biāo)量的通量，以標(biāo)量 表示，即表示，即 2. 矢量場的通量與散度矢量場的通量與散度S d SA通量可為通量可為正正、負(fù)負(fù)或或零零。 當(dāng)矢量穿出某個閉合面時，認(rèn)為該閉合面中存在產(chǎn)當(dāng)矢量穿出某個閉合面時，認(rèn)為該閉合面中存在產(chǎn)生該矢量場的生該矢量場的源源；當(dāng)矢量進(jìn)入這個閉合面時，認(rèn)為該閉；當(dāng)矢量進(jìn)入這個閉合面時，認(rèn)為該閉合面中存在匯聚該矢量場的合面中存在匯聚該矢量場的洞洞（或（或匯匯）。）。 閉合的有向曲面的閉合的有向曲面的方向方向通

5、常規(guī)定為閉合面的通常規(guī)定為閉合面的外外法線方向。法線方向。 當(dāng)閉合面中有當(dāng)閉合面中有源源時，矢量通過該閉合面的通量時，矢量通過該閉合面的通量一定為一定為正正；反之，當(dāng)閉合面中有；反之，當(dāng)閉合面中有洞洞時，矢量通過該時，矢量通過該閉合面的通量一定為閉合面的通量一定為負(fù)負(fù)。前述的前述的源源稱為稱為正源正源，而，而洞洞稱為稱為負(fù)源負(fù)源。S d SAS 已已知真空中的電場強(qiáng)度知真空中的電場強(qiáng)度 E 通過任一閉合曲面的通過任一閉合曲面的通量等于該閉合面包圍的自由電荷的電荷量通量等于該閉合面包圍的自由電荷的電荷量 q 與真與真空介電常數(shù)空介電常數(shù) 0 之比，即，之比，即， 當(dāng)閉合面中存在當(dāng)閉合面中存在正正

6、電荷時，通量為電荷時，通量為正正。當(dāng)閉合。當(dāng)閉合面中存在面中存在負(fù)負(fù)電荷時，通量為電荷時，通量為負(fù)負(fù)。在電荷不存在的。在電荷不存在的無無源區(qū)源區(qū)中，穿過任一閉合面的通量為中，穿過任一閉合面的通量為零零。 0dSqES 但是，通量僅能表示閉合面中源的但是，通量僅能表示閉合面中源的總總量，它不能量，它不能顯示源的顯示源的分布分布特性。為此需要研究矢量場的特性。為此需要研究矢量場的散度散度。 當(dāng)閉合面當(dāng)閉合面 S 向某點(diǎn)向某點(diǎn)無限無限收縮時，矢量收縮時，矢量 A 通過該閉通過該閉合面合面 S 的通量與該閉合面包圍的體積之比的極限稱為的通量與該閉合面包圍的體積之比的極限稱為矢量場矢量場 A 在該點(diǎn)的在

7、該點(diǎn)的散度散度，以，以 div A 表示，即表示，即 0 ddiv limSVVASA式中，式中，div 是英文字是英文字divergence 的縮寫；的縮寫； V 為閉合面為閉合面 S 包圍的體積。包圍的體積。 0 ddiv limSVVASA上式表明，上式表明，散度是一個標(biāo)量散度是一個標(biāo)量，它可理解為通過包圍，它可理解為通過包圍單位體積單位體積閉合面的通量。閉合面的通量。 直角直角坐標(biāo)系中散度可表示為坐標(biāo)系中散度可表示為 div yxzAAAxyzA因此散度可用算符因此散度可用算符 表示為表示為div AA div d dVSV AAS散度定理散度定理 d dVSVAAS或者寫為或者寫為

8、從從數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)角度可以認(rèn)為散度定理建立了角度可以認(rèn)為散度定理建立了面面積分和積分和體體積分的關(guān)系。積分的關(guān)系。 從從物理物理角度可以理解為散度定理建角度可以理解為散度定理建立了立了區(qū)域區(qū)域 V 中的場和包圍區(qū)域中的場和包圍區(qū)域 V 的邊界的邊界 S 上的場之上的場之間的關(guān)系。因此，如果已知區(qū)域間的關(guān)系。因此，如果已知區(qū)域 V 中的場，中的場， 根據(jù)根據(jù)散散度度定理即可求出邊界定理即可求出邊界 S 上的場，反之亦然。上的場，反之亦然。例例 求空間任一點(diǎn)位置矢量求空間任一點(diǎn)位置矢量 r 的散度的散度 。3zzyyxxr求得求得zyxzyxeeer已知已知解解rOxzyxzyzyxzyxeee標(biāo)量場的

9、標(biāo)量場的梯度梯度 0 ddiv limSVVASAzAyAxAzyx A矢量場的矢量場的散度散度矢量場的矢量場的旋度旋度？zyxzyxeee算子算子 矢量場矢量場 A 沿一條有向曲線沿一條有向曲線 l 的的線積分線積分稱為矢量稱為矢量場場 A 沿該曲線的沿該曲線的環(huán)量環(huán)量，以，以 表示，即表示，即3. 矢量場的環(huán)量與旋度矢量場的環(huán)量與旋度 dlAl可見，若在閉合有向曲線可見，若在閉合有向曲線 l 上，矢量場上，矢量場 A 的方向處的方向處處與線元處與線元 dl 的方向保持的方向保持一致一致，則環(huán)量，則環(huán)量 0；若處；若處處處相反相反，則，則 0 ?？梢?，環(huán)量可以用來描述矢量?？梢?，環(huán)量可以用來

10、描述矢量場的場的旋渦旋渦特性。特性。l 已知真空中磁通密度已知真空中磁通密度 B 沿任一閉合有向曲線沿任一閉合有向曲線 l 的的環(huán)量等于該閉合曲線包圍的傳導(dǎo)電流強(qiáng)度環(huán)量等于該閉合曲線包圍的傳導(dǎo)電流強(qiáng)度 I 與真空磁與真空磁導(dǎo)率導(dǎo)率 0 的乘積。即的乘積。即 式中，電流式中，電流 I 的正方向與的正方向與 dl 的方向構(gòu)成的方向構(gòu)成 右旋右旋 關(guān)系。關(guān)系。0 dlIBl 環(huán)量可以表示產(chǎn)生具有旋渦特性的源的強(qiáng)度，但環(huán)量可以表示產(chǎn)生具有旋渦特性的源的強(qiáng)度，但是環(huán)量代表的是閉合曲線包圍的是環(huán)量代表的是閉合曲線包圍的總總的源強(qiáng)度，它不能的源強(qiáng)度，它不能顯示源的顯示源的分布分布特性。為此，需要研究矢量場的

11、特性。為此，需要研究矢量場的旋度旋度。I1 I2 旋度旋度是一個矢量。以符號是一個矢量。以符號 curl A 表示矢量表示矢量 A 的的旋度，其旋度，其方向方向是使矢量是使矢量 A 具有具有最大最大環(huán)量強(qiáng)度的方向，環(huán)量強(qiáng)度的方向，其其大小大小等于對該矢量方向的最大環(huán)量等于對該矢量方向的最大環(huán)量強(qiáng)度強(qiáng)度，即，即 maxn0 dcurl limlSSAlAe式中式中 curl 是旋度的英文字是旋度的英文字；en 為為最大環(huán)量強(qiáng)度的方最大環(huán)量強(qiáng)度的方向上的單位矢量，向上的單位矢量，S 為閉合曲線為閉合曲線 l 包圍的面積。包圍的面積。 矢量場的旋度大小可以認(rèn)為是包圍單位面積的矢量場的旋度大小可以認(rèn)為

12、是包圍單位面積的閉合曲線上的閉合曲線上的最大最大環(huán)量。環(huán)量。 en1en2en直角直角坐標(biāo)系中，旋度可用矩陣表示為坐標(biāo)系中，旋度可用矩陣表示為 curl xyzxyzxyzAAAeeeA或者或者curl AA 無論梯度、散度或旋度都是無論梯度、散度或旋度都是微分運(yùn)算微分運(yùn)算，它們表示，它們表示場在場在某點(diǎn)某點(diǎn)附近的變化特性。因此，附近的變化特性。因此，梯度、散度及旋度梯度、散度及旋度描述的是場的描述的是場的點(diǎn)點(diǎn)特性或稱為特性或稱為微分微分特性特性。 函數(shù)的函數(shù)的連續(xù)性連續(xù)性是可微的必要條件。因此在場量發(fā)是可微的必要條件。因此在場量發(fā)生生不連續(xù)不連續(xù)處，也就處，也就不存在不存在前述的梯度、散度或

13、旋度。前述的梯度、散度或旋度。 旋度定理旋度定理（斯托克斯定理斯托克斯定理） (curl ) d dSlASAl 從數(shù)學(xué)角度可以認(rèn)為從數(shù)學(xué)角度可以認(rèn)為旋度旋度定理建立了定理建立了面面積分和積分和線線積分的關(guān)系。從物理角度可以理解為積分的關(guān)系。從物理角度可以理解為旋度旋度定理建立了定理建立了區(qū)域區(qū)域 S中的場和包圍區(qū)域中的場和包圍區(qū)域 S 的的邊界邊界 l 上的場之間的關(guān)上的場之間的關(guān)系。因此，如果已知區(qū)域系。因此，如果已知區(qū)域 S 中的場，根據(jù)旋度定理即中的場，根據(jù)旋度定理即可求出邊界可求出邊界 l 上的場，反之亦然。上的場，反之亦然。 () d dSlASAl或者或者例例 試證任何矢量場試證

14、任何矢量場 A 均滿足下列等式均滿足下列等式 ()d dVSV AAS式中，式中，S 為包圍體積為包圍體積 V 的閉合表的閉合表面。此式又稱為面。此式又稱為矢量矢量旋度定理，旋度定理，或或矢量矢量斯托克斯定理。斯托克斯定理。證證ACACCAAC)(設(shè)設(shè) C 為任一為任一常常矢量，則矢量，則SVAne根據(jù)散度定理，上式左端根據(jù)散度定理，上式左端VVVV d d)(ACAC ()d ( ) dVSVC ACAS (d ) dSSC ASCAS那么對于任一體積那么對于任一體積 V，得，得 ()d dVSV CACAS求得求得ACACCAAC)( 散度處處為散度處處為零零的矢量場稱為的矢量場稱為無散場

15、無散場，旋度處處，旋度處處為為零零的矢量場稱為的矢量場稱為無旋場無旋場。 4. 無散場和無旋場無散場和無旋場可以證明可以證明0)(A 上式表明，上式表明，任一矢量場任一矢量場 A 的旋度的散度一定等的旋度的散度一定等于零于零 。因此，任一。因此，任一無散無散場可以表示為另一矢量場的場可以表示為另一矢量場的旋度旋度，或者說，任何，或者說，任何旋度旋度場一定是場一定是無散無散場。場。 上式表明，上式表明，任一標(biāo)量場任一標(biāo)量場 的梯度的旋度一定的梯度的旋度一定等于零等于零。因此，任一。因此，任一無旋無旋場一定可以表示為一個場一定可以表示為一個標(biāo)量場的標(biāo)量場的梯度梯度，或者說，任何，或者說，任何梯度梯

16、度場一定是場一定是無旋無旋場場。 0)(又可證明又可證明5. 格林定理格林定理 設(shè)任意兩個標(biāo)量場設(shè)任意兩個標(biāo)量場 及及，若在區(qū)域若在區(qū)域 V 中具有連續(xù)的二階偏中具有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù)，可以證明該兩個標(biāo)量場導(dǎo)數(shù)，可以證明該兩個標(biāo)量場 及及 滿足下列等式滿足下列等式SV,ne2 ()ddVSVSn式中式中S 為包圍為包圍V 的閉合曲面；的閉合曲面； 為標(biāo)量場為標(biāo)量場 在在 S 表面表面的外法線的外法線 en 方向上的偏導(dǎo)數(shù)。方向上的偏導(dǎo)數(shù)。n根據(jù)方向?qū)?shù)與梯度的關(guān)系，上式又可寫成根據(jù)方向?qū)?shù)與梯度的關(guān)系，上式又可寫成2 ()d() dVSV S上兩式稱為上兩式稱為標(biāo)量第一格林定理標(biāo)量第一格林定理。

17、22 ()ddVSVSnn22 ()d dVSV S基于上式還可獲得下列兩式：基于上式還可獲得下列兩式：上兩式稱為上兩式稱為標(biāo)量第二格林定理標(biāo)量第二格林定理。 設(shè)任意兩個矢量場設(shè)任意兩個矢量場 P 與與 Q ，若在區(qū)域，若在區(qū)域 V 中具有連中具有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù)，那么，可以證明該矢量場續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù)，那么，可以證明該矢量場 P 及及 Q 滿足下列等式：滿足下列等式： () ()d dVSV PQPQPQS式中式中S 為包圍為包圍V 的閉合曲面；面元的閉合曲面；面元 dS 的方向?yàn)榈姆较驗(yàn)镾 的外的外法線方向。上式稱為法線方向。上式稱為矢量第一格林定理矢量第一格林定理。 基于上式還可獲得下式：

18、基于上式還可獲得下式： ()(d dVSV QPPQPQQPS此式稱為此式稱為矢量第二格林定理矢量第二格林定理。 格林定理建立了格林定理建立了區(qū)域區(qū)域 V 中的場與中的場與邊界邊界 S 上的場上的場之間的關(guān)系。因此，利用格林定理可以將之間的關(guān)系。因此，利用格林定理可以將區(qū)域區(qū)域中場的中場的求解問題轉(zhuǎn)變?yōu)榍蠼鈫栴}轉(zhuǎn)變?yōu)檫吔邕吔缟蠄龅那蠼鈫栴}。上場的求解問題。 格林定理說明了格林定理說明了兩種兩種標(biāo)量場或矢量場之間應(yīng)該滿標(biāo)量場或矢量場之間應(yīng)該滿足的關(guān)系。因此，如果已知其中足的關(guān)系。因此，如果已知其中一種一種場的分布特性，場的分布特性，即可利用格林定理求解即可利用格林定理求解另一種另一種場的分布特性

19、。場的分布特性。6. 矢量場的惟一性定理矢量場的惟一性定理 位于某一區(qū)域中的矢量場，當(dāng)其位于某一區(qū)域中的矢量場，當(dāng)其散度散度、旋度旋度以及邊以及邊界上場量的界上場量的切向切向分量或分量或法向法向分量給定后，則該區(qū)域中的分量給定后，則該區(qū)域中的矢量場被惟一地確定。矢量場被惟一地確定。 已知散度和旋度代表產(chǎn)生矢量場的源，可見惟一性已知散度和旋度代表產(chǎn)生矢量場的源，可見惟一性定理表明，矢量場被其定理表明，矢量場被其源源及及邊界條件邊界條件共同決定。共同決定。VSF(r)tn FFFF和 及或 若矢量場若矢量場 F(r) 在在無限無限區(qū)域中處處是區(qū)域中處處是單值單值的，的， 且其且其導(dǎo)數(shù)連續(xù)有界導(dǎo)數(shù)連

20、續(xù)有界，源分布在，源分布在有限有限區(qū)域區(qū)域V 中，則當(dāng)矢量場中，則當(dāng)矢量場的的散度散度及及旋度旋度給定后，該矢量場給定后，該矢量場 F(r) 可以表示為可以表示為 7. 亥姆霍茲定理亥姆霍茲定理 )()()(rArrFVVd)(41)(rrrFrAVVd)(41)(rrrFr式中式中V zxyr Or r r F(r) 該定理表明任一矢量場均可表示為一個該定理表明任一矢量場均可表示為一個無旋無旋場場與一個與一個無散場無散場之和之和。矢量場的矢量場的散度散度及及旋度旋度特性特性是研究矢量場的是研究矢量場的首要首要問題問題。 )()()(rArrF8. 正交曲面坐標(biāo)系正交曲面坐標(biāo)系 直角坐標(biāo)系直角坐標(biāo)系( ( x, y , z ) )zxyz = z0 x = x0y = y0P0zexeyeO圓柱坐標(biāo)系圓柱坐標(biāo)系( r,