高中全程復(fù)習(xí)方略配套任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù)ppt課件

1、第一節(jié) 恣意角和弧度制及恣意角的三角函數(shù)三年三年3 3考考 高考指數(shù)高考指數(shù): :1.1.了解恣意角的概念；了解弧度制的概念了解恣意角的概念；了解弧度制的概念. .2.2.能進(jìn)展弧度與角度的互化能進(jìn)展弧度與角度的互化. .3.3.了解恣意角的三角函數(shù)了解恣意角的三角函數(shù)( (正弦、余弦、正切正弦、余弦、正切) )的定義的定義. .4.4.了解同角三角函數(shù)的根本關(guān)系式：了解同角三角函數(shù)的根本關(guān)系式：sin2x+cos2x=1sin2x+cos2x=1， =tanx. =tanx. sinxcosx1.1.三角函數(shù)的定義及運用是本節(jié)的調(diào)查重點，留意三角函數(shù)值三角函數(shù)的定義及運用是本節(jié)的調(diào)查重點，留

2、意三角函數(shù)值符號確實定符號確實定. .2.2.同角三角函數(shù)關(guān)系式常用來化簡、求值同角三角函數(shù)關(guān)系式常用來化簡、求值, ,是高考的熱點是高考的熱點. .3.3.主要以選擇題、填空題的方式調(diào)查主要以選擇題、填空題的方式調(diào)查. .1.1.角的有關(guān)概念角的有關(guān)概念(1)(1)定義定義角可以看成平面內(nèi)的一條射線繞著它的角可以看成平面內(nèi)的一條射線繞著它的_從一個位置從一個位置_另一個位置所成的圖形另一個位置所成的圖形. .(2)(2)分類分類_、_、_._.端點端點旋轉(zhuǎn)到旋轉(zhuǎn)到正角正角負(fù)角負(fù)角零角零角(3)(3)終邊一樣的角終邊一樣的角與角與角終邊一樣的角可構(gòu)成集合終邊一樣的角可構(gòu)成集合S=|=+_.S=

3、|=+_.k360k360，kZkZ【即時運用】【即時運用】(1)(1)思索：角思索：角為銳角是角為銳角是角為第一象限角的什么為第一象限角的什么條件？條件？提示：充分不用要條件提示：充分不用要條件. .由于銳角為大于由于銳角為大于0 0且小于且小于 的角，而第一的角，而第一象限角為象限角為(2k(2k，2k+ )(kZ).2k+ )(kZ).22(2)(2)假設(shè)假設(shè)是第二象限角，判別以下表述能否正確是第二象限角，判別以下表述能否正確.(.(在括號內(nèi)在括號內(nèi)填填“或或“) )|=k360|=k360+45+45，kZ ( )kZ ( )|90|90180180 ( ) ( )|k360|k360

4、+90+90k360k360+180+180，kZ ( )kZ ( )|=k180|=k180+ +,kZ ( ),kZ ( )【解析】不正確【解析】不正確; ;表述不全面；正確；不正確，表述不全面；正確；不正確，的的終邊能夠會落在第二象限或第四象限終邊能夠會落在第二象限或第四象限. .答案：答案： 2.2.弧度的概念和公式弧度的概念和公式(1)(1)定義定義長度等于長度等于_所對的圓心角叫做所對的圓心角叫做1 1弧度的角弧度的角. .弧度記作弧度記作rad. rad. 半徑長的弧半徑長的弧角角 的弧度數(shù)公式的弧度數(shù)公式=_弧長用l表示rl角度與弧度的換算角度與弧度的換算1 1=_rad=_r

5、ad180180弧長公式弧長公式弧長弧長l=_r 扇形面積公式扇形面積公式S=_S=_ =_=_1r2l21r21 rad=(_) 1 rad=(_) 2.(2.(公式公式) )【即時運用】【即時運用】(1)337(1)3373030的弧度數(shù)是的弧度數(shù)是_._.(2) (2) 的度數(shù)為的度數(shù)為_._.(3)(3)扇形半徑為扇形半徑為4545，圓心角為，圓心角為120120，那么弧長為，那么弧長為_._.答案：答案：(1) (2)75(1) (2)75 (3)30 (3)305121583.3.恣意角的三角函數(shù)恣意角的三角函數(shù)(1)(1)定義定義設(shè)角設(shè)角終邊與單位圓交于終邊與單位圓交于P(x,

6、y)P(x, y)，那么，那么sin=_sin=_，cos=_cos=_，tan=_.tan=_.(2)(2)幾何表示幾何表示三角函數(shù)線可以看作是三角函數(shù)的幾何表示三角函數(shù)線可以看作是三角函數(shù)的幾何表示. .正弦線的起點都正弦線的起點都在在_,_,余弦線的起點都是余弦線的起點都是_,_,正切線的起點都是正切線的起點都是_._.y yx xy(x0)xx x軸上軸上原點原點(1,0)(1,0)(3)(3)誘導(dǎo)公式誘導(dǎo)公式( (一一) )sin(+k2)=_;cos(+k2)=_;sin(+k2)=_;cos(+k2)=_;tan(+k2)=_.(kZ)tan(+k2)=_.(kZ)(4)(4)同

7、角三角函數(shù)的根本關(guān)系同角三角函數(shù)的根本關(guān)系平方關(guān)系平方關(guān)系:_,:_,商數(shù)關(guān)系商數(shù)關(guān)系:_.:_.sinsincoscostantansin2+cos2=1sin2+cos2=1sintancos【即時運用】【即時運用】(1)(1)知角知角終邊上一點終邊上一點A(2,2)A(2,2)，那么，那么tan=_.tan=_.(2)(2)假設(shè)假設(shè)tan=2tan=2，那么，那么 =_. =_.答案：答案：(1)1 (2)-(1)1 (2)-sin3cossincos13 弧度制的運用弧度制的運用 【方法點睛】【方法點睛】弧度制的運用弧度制的運用(1)(1)引進(jìn)弧度制后，實現(xiàn)了角度與弧度的相互轉(zhuǎn)化，在弧

8、度制下引進(jìn)弧度制后，實現(xiàn)了角度與弧度的相互轉(zhuǎn)化，在弧度制下可以運用弧長公式：可以運用弧長公式：l =r|l =r|，扇形面積公式：，扇形面積公式：S= lr= S= lr= r2|.r2|.計算弧長和扇形的面積利用弧度制比角度制更簡捷、方便計算弧長和扇形的面積利用弧度制比角度制更簡捷、方便. .(2)(2)運用上述公式時運用上述公式時, ,要先把角一致為用弧度制表示要先把角一致為用弧度制表示. .【提示】弧度制和角度制不能混用，處理問題時要先一致【提示】弧度制和角度制不能混用，處理問題時要先一致. . 1212【例【例1 1】知扇形的圓心角是】知扇形的圓心角是，半徑為，半徑為R R，弧長為，弧

9、長為l.l.(1)(1)假設(shè)假設(shè)=60=60，R=10 cm,R=10 cm,求扇形的弧長求扇形的弧長l.l.(2)(2)假設(shè)扇形的周長為假設(shè)扇形的周長為20 cm20 cm，當(dāng)扇形的圓心角，當(dāng)扇形的圓心角為多少弧度時，為多少弧度時，這個扇形的面積最大？這個扇形的面積最大？(3)(3)假設(shè)假設(shè)= = ，R R2 cm2 cm，求扇形的弧所在的弓形的面積，求扇形的弧所在的弓形的面積. .【解題指南】【解題指南】(1)(1)可直接用弧長公式，但要留意用弧度制可直接用弧長公式，但要留意用弧度制. .(2)(2)可用弧長或半徑表示出扇形面積，然后確定其取最大值時可用弧長或半徑表示出扇形面積，然后確定其

10、取最大值時的半徑和弧長，進(jìn)而求出圓心角的半徑和弧長，進(jìn)而求出圓心角.(3)(3)可直接利用公式求解可直接利用公式求解. .3【規(guī)范解答】【規(guī)范解答】(1)l =10(1)l =10 = (cm). = (cm).(2)(2)由知得：由知得：l +2R=20,l +2R=20,所以所以S= l R= (20-2R)RS= l R= (20-2R)R=10R-R2=-(R-5)2+25=10R-R2=-(R-5)2+25，所以所以R=5R=5時，時，S S獲得最大值獲得最大值2525，此時，此時l =10l =10，=2 rad.=2 rad.31031212(3)(3)設(shè)弓形面積為設(shè)弓形面積為S

11、 S弓弓. .由題知由題知l = cml = cmS S弓弓=S=S扇扇-S-S= = 2- 2- 2222sinsin= (cm2).= (cm2).2312231232(3)3【互動探求】將本例第【互動探求】將本例第(1)(1)小題中的小題中的R=10 cmR=10 cm改為扇形的改為扇形的弦弦AB=10 cm,AB=10 cm,再求弧長再求弧長l.l.【解析】由于圓心角【解析】由于圓心角=60=60，AB=10 cm,AB=10 cm,所以所以R=10 cmR=10 cm，l =10 l =10 = (cm). = (cm).2222310 23【反思【反思感悟】感悟】1.1.弧度制下的

12、弧長、扇形面積公式與角度制下弧度制下的弧長、扇形面積公式與角度制下的弧長公式的弧長公式l = l = 、扇形面積公式、扇形面積公式S= S= 有著必然的內(nèi)在聯(lián)絡(luò)有著必然的內(nèi)在聯(lián)絡(luò). .2.2.在處理弧長問題和扇形面積問題時要留意合理的利用圓心角在處理弧長問題和扇形面積問題時要留意合理的利用圓心角所在的三角形所在的三角形. . n r1802nr360【變式備選】扇形【變式備選】扇形OABOAB的面積是的面積是1 cm21 cm2，它的周長是，它的周長是4 cm4 cm，求圓，求圓心角的弧度數(shù)和弦心角的弧度數(shù)和弦ABAB的長的長【解析】設(shè)扇形的半徑為【解析】設(shè)扇形的半徑為r cmr cm，弧長為

13、，弧長為l cml cm，圓心角的弧度數(shù)，圓心角的弧度數(shù)為為，那么有，那么有 ，解得，解得 ，由由| 得得2 2，|AB|AB|2sin1 (cm).2sin1 (cm).2r41r12 llr12lrl 三角函數(shù)的定義三角函數(shù)的定義【方法點睛】【方法點睛】1.1.三角函數(shù)定義的了解三角函數(shù)定義的了解在直角坐標(biāo)系在直角坐標(biāo)系xOyxOy中，設(shè)中，設(shè)P(x, y)P(x, y)是角是角終邊上恣意一點，且終邊上恣意一點，且|PO|PO|r r，那么，那么sinsin ；coscos ；tantan . .yrxryx2.2.定義法求三角函數(shù)值的兩種情況定義法求三角函數(shù)值的兩種情況(1)(1)知角知

14、角終邊上一點終邊上一點P P的坐標(biāo)，那么可先求出點的坐標(biāo)，那么可先求出點P P到原點的間到原點的間隔隔r r，然后利用三角函數(shù)的定義求解，然后利用三角函數(shù)的定義求解. .(2)(2)知角知角的終邊所在的直線方程，那么可先設(shè)出終邊上一點的終邊所在的直線方程，那么可先設(shè)出終邊上一點的坐標(biāo)，求出此點到原點的間隔，然后利用三角函數(shù)的定義求的坐標(biāo)，求出此點到原點的間隔，然后利用三角函數(shù)的定義求解相關(guān)的問題解相關(guān)的問題. .假設(shè)直線的傾斜角為特殊角，也可直接寫出角假設(shè)直線的傾斜角為特殊角，也可直接寫出角的三角函數(shù)值的三角函數(shù)值. . 【例【例2 2】知角】知角的終邊在直線的終邊在直線3x+4y=03x+4

15、y=0上，求上，求sin,cos,tansin,cos,tan的值的值. .【解題指南】在直線上設(shè)出點，求出所設(shè)點到原點的間隔，求【解題指南】在直線上設(shè)出點，求出所設(shè)點到原點的間隔，求得三角函數(shù)值，由于所設(shè)點可在不同象限，所以需求討論得三角函數(shù)值，由于所設(shè)點可在不同象限，所以需求討論. .【規(guī)范解答】【規(guī)范解答】角角的終邊在直線的終邊在直線3x+4y=03x+4y=0上，上，在角在角的終邊上任取一點的終邊上任取一點P(4t,-3t)(t0),P(4t,-3t)(t0),那么那么x=4t,y=-3t,x=4t,y=-3t,r=|PO|= = =5|t|,r=|PO|= = =5|t|,當(dāng)當(dāng)t t

16、0 0時，時，r=5t,r=5t,sin= = =- ,cos= = = ,sin= = =- ,cos= = = ,tan= = =- ; tan= = =- ; 22xy224t3t yr3t5t35xr4t5t45yx3t4t34當(dāng)當(dāng)t t0 0時，時，r=-5t,r=-5t,sin= = = ,sin= = = ,cos= = =- cos= = =- ，tan= = =- .tan= = =- .綜上可知，綜上可知，sin=- sin=- ，cos= cos= ，tan=- tan=- ；或或sin= sin= ，cos=- cos=- ，tan=- .tan=- .yr3t5t35

17、xr4t5t45yx3t4t34354534354534【反思【反思感悟】感悟】1.1.利用三角函數(shù)定義解題時，方法比較靈敏，利用三角函數(shù)定義解題時，方法比較靈敏，假設(shè)是角假設(shè)是角的終邊落到一條直線上，普通要分類討論的終邊落到一條直線上，普通要分類討論. .2.2.恣意角的三角函數(shù)的定義與銳角三角函數(shù)的定義的聯(lián)絡(luò)與區(qū)恣意角的三角函數(shù)的定義與銳角三角函數(shù)的定義的聯(lián)絡(luò)與區(qū)別別: :銳角三角函數(shù)是恣意角的三角函數(shù)的一種特例，它們的根底是銳角三角函數(shù)是恣意角的三角函數(shù)的一種特例，它們的根底是建立于類似或直角三角形的性質(zhì)，建立于類似或直角三角形的性質(zhì)，“r r同為正值同為正值. . 所不同的所不同的是，

18、銳角三角函數(shù)是以邊的比來定義的，恣意角的三角函數(shù)是是，銳角三角函數(shù)是以邊的比來定義的，恣意角的三角函數(shù)是以坐標(biāo)與間隔、坐標(biāo)與坐標(biāo)的比來定義的以坐標(biāo)與間隔、坐標(biāo)與坐標(biāo)的比來定義的, ,它也適宜銳角三角它也適宜銳角三角函數(shù)的定義函數(shù)的定義. .本質(zhì)上，由銳角三角函數(shù)的定義到恣意角的三角本質(zhì)上，由銳角三角函數(shù)的定義到恣意角的三角函數(shù)的定義是由特殊到普通的認(rèn)識和研討過程函數(shù)的定義是由特殊到普通的認(rèn)識和研討過程. . 【變式訓(xùn)練】知角【變式訓(xùn)練】知角的終邊經(jīng)過點的終邊經(jīng)過點P(- P(- ，m)(m0)m)(m0)，且，且sin= m,sin= m,試判別角試判別角所在的象限，并求所在的象限，并求cos

19、cos和和tantan的的值值 324【解析】由題意，得【解析】由題意，得r= ,r= , = m = m，m0,m=m0,m= ， 故角故角是第二或第三象限角是第二或第三象限角當(dāng)當(dāng)m= m= 時，時，r=2 r=2 ，點，點P P的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為(- (- ， ) )，cos= = =- cos= = =- ，tan= = =- tan= = =- ， 當(dāng)當(dāng)m=- m=- 時，時，r=2 r=2 ，點，點P P的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為(- (- ，- )- )，cos= = =- cos= = =- ，tan= = = .tan= = = .23m2m3m2455235xr32 264yx53153

20、5235xr32 264yx53153【變式備選】知角【變式備選】知角的終邊過點的終邊過點(a,2a)(a0)(a,2a)(a0)，求，求的三角的三角函數(shù)值函數(shù)值. .【解析】由于角【解析】由于角的終邊過點的終邊過點(a(a，2a)(a0)2a)(a0)，所以所以r= |a|r= |a|，x=a,y=2a,x=a,y=2a,當(dāng)當(dāng)a a0 0時時,sin= = = = ,sin= = = = ；cos= = = cos= = = ；tan=2;tan=2;當(dāng)當(dāng)a a0 0時，時，sin= = = =- sin= = = =- ；cos= = =- cos= = =- ；tan=2.tan=2.5

21、yr2a5 |a |2a5a2 55xra5a55yr2a5 |a |2a5a2 55xra5a55 同角三角函數(shù)關(guān)系式的運用同角三角函數(shù)關(guān)系式的運用【方法點睛】【方法點睛】同角三角函數(shù)關(guān)系式的了解同角三角函數(shù)關(guān)系式的了解1.1.同角三角函數(shù)關(guān)系式的根本用途同角三角函數(shù)關(guān)系式的根本用途根據(jù)一個角的某一個三角函數(shù)值，求出該角的其他三角函數(shù)值；根據(jù)一個角的某一個三角函數(shù)值，求出該角的其他三角函數(shù)值；化簡同角三角函數(shù)式；證明同角的三角恒等式化簡同角三角函數(shù)式；證明同角的三角恒等式2.2.留意公式的逆用和變形運用：留意公式的逆用和變形運用：sin2+cos2=1sin2+cos2=1，sin2=1-c

22、os2sin2=1-cos2，cos2=1-sin2cos2=1-sin2，sin=costan. sin=costan. 【例【例3 3】(2021(2021三明模擬三明模擬) )知知- - x x0 0，sinx+cosx= . sinx+cosx= . (1)(1)求求sinx-cosxsinx-cosx的值；的值； (2)(2)求求 的值的值. .【解題指南】先利用平方關(guān)系解第一問，然后利用商數(shù)關(guān)系的【解題指南】先利用平方關(guān)系解第一問，然后利用商數(shù)關(guān)系的值求解第值求解第(2)(2)問即可問即可. .21522xxxx3sin2sincoscos22221tanxtanx【規(guī)范解答】【規(guī)

23、范解答】(1)(1)由由sinx+cosx= ,sinx+cosx= ,平方得平方得sin2x+2sinxcosx+cos2x= sin2x+2sinxcosx+cos2x= ，即即2sinxcosx=- 2sinxcosx=- ，(sinx-cosx)2=1-2sinxcosx= .(sinx-cosx)2=1-2sinxcosx= .又又- - x x0 0，sinxsinx0 0，cosxcosx0 0，sinx-cosxsinx-cosx0 0，故故sinx-cosx=- .sinx-cosx=- .1512524254925275(2) (2) =sinxcosx(2-cosx-si

24、nx)=sinxcosx(2-cosx-sinx)=(- )=(- )(2- )=- .(2- )=- .22xxxx3sin2sincoscos22221tanxtanx2x2sinsinx12sinxcosxcosxsinx122515108125【反思【反思感悟】感悟】1.1.在利用同角三角函數(shù)關(guān)系式解題的時候，變在利用同角三角函數(shù)關(guān)系式解題的時候，變形非常關(guān)鍵，同時形非常關(guān)鍵，同時“1 1的代換也經(jīng)常巧妙的用在里面，使問的代換也經(jīng)常巧妙的用在里面，使問題得以處理題得以處理. .2.2.有些標(biāo)題還用到方程思想，函數(shù)思想有些標(biāo)題還用到方程思想，函數(shù)思想. .【變式訓(xùn)練】【變式訓(xùn)練】(202

25、1(2021福州模擬福州模擬) )假設(shè)假設(shè)tan=2,tan=2,那么那么 的值為的值為( )( )(A) (B)0 (C) (D)1(A) (B)0 (C) (D)1【解析】選【解析】選A. A. 2sincossin2cos34542sincos2tan12 2 13.sin2costan2224【易錯誤區(qū)】同角三角函數(shù)平方關(guān)系的運用誤區(qū)【易錯誤區(qū)】同角三角函數(shù)平方關(guān)系的運用誤區(qū)【典例】【典例】(2021(2021重慶高考重慶高考) )假設(shè)假設(shè)cos=- cos=- ，且且(， ) )，那么，那么tan=_.tan=_.【解題指南】根據(jù)角所在的范圍，先求出【解題指南】根據(jù)角所在的范圍，先求

26、出sinsin的值，再根據(jù)的值，再根據(jù)商數(shù)關(guān)系求出正切值商數(shù)關(guān)系求出正切值. . 3532【規(guī)范解答】由于【規(guī)范解答】由于(， ) )，cos=- cos=- ，所以所以sin= - =- sin= - =- ，所以，所以tan= = .tan= = .答案：答案：323521 cos 45sincos4343【閱卷人點撥】經(jīng)過高考中的閱卷數(shù)據(jù)分析與總結(jié)，我們可以【閱卷人點撥】經(jīng)過高考中的閱卷數(shù)據(jù)分析與總結(jié)，我們可以得到以下誤區(qū)警示和備考建議：得到以下誤區(qū)警示和備考建議：失失分分警警示示求解本題時，常會出現(xiàn)以下兩種失誤：求解本題時，常會出現(xiàn)以下兩種失誤：(1)(1)易忽視題目中已知條件易忽視題

27、目中已知條件的范圍，求得的范圍，求得sinsin的兩個值的兩個值而致錯而致錯. .(2)(2)雖注意到雖注意到的范圍，但判斷錯的范圍，但判斷錯sinsin的符號而導(dǎo)致的符號而導(dǎo)致tantan的值錯誤的值錯誤. . 備備考考建建議議由同角三角函數(shù)的平方關(guān)系求由同角三角函數(shù)的平方關(guān)系求sinsin或或coscos時，要注意以時，要注意以下兩點：下兩點：(1)(1)題目中若沒有限定角題目中若沒有限定角的范圍，則的范圍，則sinsin或或coscos的符的符號應(yīng)有兩種情況，不可漏掉號應(yīng)有兩種情況，不可漏掉. .(2)(2)若已給出若已給出的范圍，則要準(zhǔn)確判斷在給定范圍內(nèi)的范圍，則要準(zhǔn)確判斷在給定范圍內(nèi)sinsin或或coscos的符號，不合題意的一定要舍去的符號，不合題