《應(yīng)用數(shù)理統(tǒng)計(jì)》吳翊李永樂第二章-參數(shù)估計(jì)課后習(xí)習(xí)題參考答案

1、第2章 參數(shù)估計(jì)課后習(xí)題參考答案2.1 設(shè)總體X服從二項(xiàng)分布為其子樣，求N及p的矩法估計(jì)。解：令解上述關(guān)于N、p的方程得：2.2 對(duì)容量為n的子樣，對(duì)密度函數(shù) 其中參數(shù)的矩法估計(jì)。解： 所以 其中為n個(gè)樣本的觀察值。2.3 使用一測量儀器對(duì)同一值進(jìn)行了12次獨(dú)立測量，其結(jié)果為(單位：mm)232.50，232.48，232.15，232.52，232.53，232.30232.48，232.05，232.45，232.60，232.47，232.30試用矩法估計(jì)測量的真值和方差(設(shè)儀器無系統(tǒng)差)。解：2.4 設(shè)子樣1.3，0.6，1.7，2.2，0.3，1.1是來自具有密度函數(shù)的總體，試用矩法

2、估計(jì)總體均值、總體方差及參數(shù)。解：2.5 設(shè)為的一個(gè)字樣，求參數(shù)的MLE；又若總體為的MLE。解：(1)(2)2.6 設(shè)總體X的密度函數(shù)為為其樣本，求下列情況下的MLE。（i） (ii) (iii) 已知（iv） r已知（v） 解：（i） (ii) （iii） (iv) (v) 2.7 設(shè)總體X的密度函數(shù)為，為其子樣，求參數(shù)的MLE及矩法估計(jì)。今得子樣觀察值為0.3，0.8，0.27，0.35，0.62，0.55，求參數(shù)的估計(jì)值。解：極大似然估計(jì)：矩法估計(jì):2.8 在處理快艇的6次實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)中，得到下列的最大速度值(單位：m/s)27 ,38 ,30 ,37 ,35 .31,求最大艇速的數(shù)學(xué)期望

3、與方差的無偏估計(jì)。解：是總體期望的無偏估計(jì)是總體方差的無偏估計(jì)2.9 設(shè)總體，為其子樣。(1)求k，使為的無偏估計(jì)；(2)求k，使為的無偏估計(jì)。解：(1) 即k=2(n-1)(2)所以2.10 設(shè)總體為一樣本，試證明下述三個(gè)估計(jì)變量都是的無偏估計(jì)量，并求出每一估計(jì)量的方差，問哪一個(gè)最??？證：同理：是的無偏估計(jì)量。由于最小。 2.11 設(shè)是參數(shù)的無偏估計(jì)，且有，試證不是的無偏估計(jì)。解：是參數(shù)的無偏估計(jì)，即又因?yàn)樗跃C上所述：不是的無偏估計(jì)設(shè)總體證明為的無偏估計(jì)，且效率為。證明：設(shè)則即，為的無偏估計(jì)由于則， 2.13設(shè)總體X服從幾何分布： 證明樣本均值是的相合，無偏和有效估計(jì)量。證明：（1）相合性

4、令 對(duì)上式括號(hào)中的式子，利用導(dǎo)數(shù)，并利用倍差法求和因此，相合性： 當(dāng)則是的相合估計(jì)。本題中， 是的相合估計(jì)。（2）無偏性 （3）有效性 是的有效估計(jì)。2.14 設(shè)總體X服從泊松分布，為其子樣，試求參數(shù)的無偏估計(jì)量的克拉美勞不等式下界。解：克拉美勞不等式的下界為：2.15 設(shè)，是的有效估計(jì)量，試證明是的有效估計(jì)量。解：從而的無偏估計(jì)量C-R下界是的有效估計(jì)量。2.16 設(shè)有二元總體，而為其樣本，證明是的無偏估計(jì)。證明：同理為的無偏統(tǒng)計(jì)量。2.17 設(shè)和是參數(shù)的兩個(gè)獨(dú)立的無偏估計(jì)量，且的方差為的方差的2倍，試確定常數(shù)及,使得為參數(shù)的無偏估計(jì)量，并且在所有這樣的線性估計(jì)中方差最小。解：和是參數(shù)的兩個(gè)

5、獨(dú)立的無偏估計(jì)量則即又要使其最小，則要求最小。當(dāng)時(shí)，取得最小值，此時(shí)2.18 設(shè)總體X服從指數(shù)分布，其密度函數(shù)為為其樣本，n2。(1)求的MLE；(2)計(jì)算,求k，使得為的無偏估計(jì)；(3)證明是的漸進(jìn)有效估計(jì)。解：(1)(2)的密度函數(shù) 若為的無偏估計(jì)，則 (3)由此可知，是的漸近有效估計(jì)。2.19 設(shè)總體X服從泊松分布,為來自X的一個(gè)樣本。假設(shè)有先驗(yàn)分布，其密度為求在平方損失下的貝葉斯估計(jì)。解：給定，樣本的分布列為：樣本的邊緣分布列，其中時(shí)的聯(lián)合密度函數(shù)：的后驗(yàn)密度為：的貝葉斯估計(jì)：=2.22 隨機(jī)的從一批零件中抽取16個(gè)，測得長度（單位：cm）為： 2.14 2.10 2.13 2.15

6、2.13 2.12 2.13 2.10 2.15 2.12 2.14 2.10 2.13 2.11 2.14 2.11 以零件長度的分布為正態(tài)的，試求總體均值的90%置信區(qū)間。 （i）若； （ii) 若。解：求得：（i）若則，的90%置信區(qū)間為：帶入數(shù)據(jù)（ii）若未知 2.23 對(duì)方差已知的正態(tài)分布總體來說，問需抽取容量n為多大的樣本，才能使總體均值的置信度為置信區(qū)間的長度不大于。證明：估計(jì)區(qū)間：區(qū)間長度：2.24隨機(jī)地從A批導(dǎo)線中抽取4根，并從B批導(dǎo)線中抽取5根測得其電阻（）為 A批導(dǎo)線 0.143 0.142 0.143 0.137 B批導(dǎo)線 0.140 0.142 0.136 0.138 0.140設(shè)測試數(shù)據(jù)分別服從正態(tài)分布。解：此題中，置信度0.95，即查得 因0含在此置信區(qū)間內(nèi)，故認(rèn)為2.26 在一批貨物抽100件檢查，發(fā)現(xiàn)次品16件，求這批貨物次品率的0.95置信區(qū)間。解：，100件產(chǎn)品中有16件次品，則使用棣莫弗拉普拉斯中心極限定理，服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，于是解下列不等式解上述不等式得：p=0.101，p=0.244，95%的置信區(qū)間0.101 0.2442.25隨機(jī)