應(yīng)用題的本質(zhì)是數(shù)學(xué)建模創(chuàng)新

1、問：浙江杭州現(xiàn)代小學(xué)數(shù)學(xué)教育研究中心問：浙江杭州現(xiàn)代小學(xué)數(shù)學(xué)教育研究中心 唐彩斌唐彩斌答：華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系答：華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系 張奠宙張奠宙 教授教授 http:/.引言與現(xiàn)狀 二三四五六一 “船長的年齡問題”：“在一條船上，有75頭牛，32只羊，請問船長幾歲？” 有多少學(xué)生把兩個(gè)數(shù)直接相加減？ 20年前，90； 20年后，？ 62背景說明 10道應(yīng)用題的測試結(jié)果 問 題通過率1水果店運(yùn)來蘋果和梨共水果店運(yùn)來蘋果和梨共650650千克，蘋果千克，蘋果1010箱，每箱箱，每箱2020千克，千克，梨梨1515箱，梨每箱多少千克？箱，梨每箱多少千克？942一張凳子售價(jià)一張凳子售價(jià)2525元，桌子

2、的售價(jià)比一條凳子售價(jià)的元，桌子的售價(jià)比一條凳子售價(jià)的4 4倍少倍少1 1元，元，一張桌子售價(jià)多少元一張桌子售價(jià)多少元? ?943一個(gè)工程隊(duì)用同樣的速度修兩條水泥路，第一條長一個(gè)工程隊(duì)用同樣的速度修兩條水泥路，第一條長256256米，米，第二條長第二條長448448米，修完第一條路用了米，修完第一條路用了4 4天。照這樣的速度，修天。照這樣的速度，修第第2 2條路用的時(shí)間比修第一條路用的時(shí)間多多少天？條路用的時(shí)間比修第一條路用的時(shí)間多多少天？814有一個(gè)煤礦，原來計(jì)劃上半年有一個(gè)煤礦，原來計(jì)劃上半年660660萬噸，實(shí)際每個(gè)月比計(jì)劃萬噸，實(shí)際每個(gè)月比計(jì)劃多產(chǎn)多產(chǎn)2222萬噸，實(shí)際多少月完成？萬噸

3、，實(shí)際多少月完成？675工廠食堂有工廠食堂有4 4噸大米，噸大米，7 7天用了天用了11201120千克，照這樣計(jì)算，這些千克，照這樣計(jì)算，這些大米還可以用多少天？大米還可以用多少天？6610道應(yīng)用題的測試結(jié)果 問 題通過率6電視機(jī)廠原計(jì)劃電視機(jī)廠原計(jì)劃2020天生產(chǎn)一批電視機(jī)，實(shí)際每天生產(chǎn)天生產(chǎn)一批電視機(jī)，實(shí)際每天生產(chǎn)2525臺，提前臺，提前4 4天完成了任務(wù)。原計(jì)劃平均每天生產(chǎn)多少臺？天完成了任務(wù)。原計(jì)劃平均每天生產(chǎn)多少臺？667600600元錢去買玩具，買了元錢去買玩具，買了2424個(gè)玩具后還剩個(gè)玩具后還剩120120元，照這樣元，照這樣計(jì)算，一共可以買多少個(gè)玩具？計(jì)算，一共可以買多少個(gè)

4、玩具？658某煤廠原計(jì)劃每天運(yùn)煤某煤廠原計(jì)劃每天運(yùn)煤498498噸，噸，1515天可運(yùn)完。實(shí)際運(yùn)了天可運(yùn)完。實(shí)際運(yùn)了1818天才運(yùn)完，求每天比原計(jì)劃少運(yùn)多少噸煤？天才運(yùn)完，求每天比原計(jì)劃少運(yùn)多少噸煤？589甲乙兩人同時(shí)從相距甲乙兩人同時(shí)從相距168168千米的公路兩端相向而行，甲千米的公路兩端相向而行，甲騎車每小時(shí)行騎車每小時(shí)行2020千米，乙行千米，乙行4 4小時(shí)后兩人相遇，求乙每小時(shí)后兩人相遇，求乙每小時(shí)比甲多行多少千米？小時(shí)比甲多行多少千米？5010一條公路長一條公路長24002400米，米，ABAB兩支施工隊(duì)同時(shí)從公路的兩端往兩支施工隊(duì)同時(shí)從公路的兩端往中間鋪柏油路，中間鋪柏油路，A

5、A隊(duì)的施工速度是隊(duì)的施工速度是B B隊(duì)的隊(duì)的2 2倍，倍，4 4天后這條天后這條公路全部鋪完。公路全部鋪完。A,BA,B兩隊(duì)每天鋪路多少米？兩隊(duì)每天鋪路多少米？41應(yīng)用題的教學(xué)現(xiàn)狀“中國數(shù)學(xué)教育在實(shí)踐上肯定比美國好中國數(shù)學(xué)教育在實(shí)踐上肯定比美國好”數(shù)學(xué)大家陳省身。數(shù)學(xué)大家陳省身。張奠宙，王善平著張奠宙，王善平著報(bào)告提綱123 3引言與現(xiàn)狀引言與現(xiàn)狀什么是數(shù)學(xué)應(yīng)用題什么是數(shù)學(xué)應(yīng)用題數(shù)學(xué)應(yīng)用題的本質(zhì)是什么數(shù)學(xué)應(yīng)用題的本質(zhì)是什么“問題解決問題解決”與應(yīng)用題教學(xué)什么關(guān)與應(yīng)用題教學(xué)什么關(guān)系系應(yīng)用題要不要講類型應(yīng)用題要不要講類型應(yīng)用題教學(xué)與學(xué)生生活什么關(guān)系應(yīng)用題教學(xué)與學(xué)生生活什么關(guān)系小學(xué)數(shù)學(xué)中的模型有哪些

6、小學(xué)數(shù)學(xué)中的模型有哪些43 563 7三四五六七二什么是小學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用題 文字題文字題問題解決問題解決數(shù)學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)應(yīng)用綜合應(yīng)用綜合應(yīng)用解決問題解決問題習(xí)題習(xí)題應(yīng)用題應(yīng)用題的淵源 應(yīng)用題的出現(xiàn)淵遠(yuǎn)流長。 古埃及的紙草書、中國的算數(shù)書等古代數(shù)學(xué)典籍， 都是應(yīng)用題的匯編。 數(shù)學(xué)的發(fā)展有兩個(gè)原動力， 一是要解決大自然和社會現(xiàn)實(shí)提出的數(shù)學(xué)問題，二是要解決數(shù)學(xué)內(nèi)部生成的數(shù)學(xué)問題。 前者的研究成果是應(yīng)用數(shù)學(xué)， 后者的研究成果成為純粹數(shù)學(xué)。 數(shù)學(xué)分為純粹數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué) 哥德巴赫猜想 漢字排版技術(shù) 陳景潤作出“1+2”的領(lǐng)先成果王選將數(shù)學(xué)和計(jì)算機(jī)結(jié)合引發(fā)印刷革命小學(xué)數(shù)學(xué)中的純數(shù)學(xué)問題和應(yīng)用數(shù)學(xué)問題小學(xué)的純粹數(shù)學(xué)問

7、題： 數(shù)與運(yùn)算規(guī)則。交換律、分配律， 通分 質(zhì)數(shù)與合數(shù)； 無限循環(huán)小數(shù)； 平行線；小學(xué)應(yīng)用性數(shù)學(xué)問題: 現(xiàn)實(shí)的應(yīng)用：買賣中的貨幣計(jì)算 科學(xué)的應(yīng)用：路程、速度、時(shí)間的關(guān)系 模擬的應(yīng)用： 雞兔同籠純數(shù)學(xué)問題與應(yīng)用問題之間的聯(lián)系小學(xué)數(shù)學(xué)中，數(shù)的擴(kuò)展以及相應(yīng)的運(yùn)算規(guī)則， 屬于純粹數(shù)學(xué)范圍， 將這些規(guī)則和現(xiàn)實(shí)相聯(lián)系， 并應(yīng)用于現(xiàn)實(shí)， 則是小學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)的范圍。數(shù)學(xué)是由問題驅(qū)動的。小學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用題教學(xué)， 體現(xiàn)小學(xué)數(shù)學(xué)的應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生與此相關(guān)的數(shù)學(xué)思維模式。 應(yīng)用數(shù)學(xué)是永存的 如果說，應(yīng)用數(shù)學(xué)是永存的， 那么數(shù)學(xué)應(yīng)用題教學(xué)也是永存的。 只不過要“與時(shí)俱進(jìn)”， 不斷改革而已。 “誰用的好， 誰就贏了”（姜伯駒語）

8、。 20世紀(jì)下半葉以來，數(shù)學(xué)最大的進(jìn)步是應(yīng)用，計(jì)算機(jī)技術(shù)出現(xiàn)之后，應(yīng)用數(shù)學(xué)的一個(gè)進(jìn)展， 是對一個(gè)個(gè)的具體問題建立一個(gè)個(gè)的數(shù)學(xué)模型。 因此，用建立數(shù)學(xué)模型的觀點(diǎn)加以詮釋，是改革小學(xué)應(yīng)用題教學(xué)的參照基點(diǎn) 什么是小學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用題？ 1. 算術(shù)方法求解（包括一些簡易代數(shù)的思考）；解小學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用題主要是用算術(shù)方法，目前也使用一些簡易的代數(shù)思想。 2. 用自然語言表達(dá)， 即用文字?jǐn)⑹龅膯栴}。西方有時(shí)把小學(xué)應(yīng)用題稱作“文字題 （word problem）”， 即用自然語言表達(dá)的數(shù)學(xué)問題。 文字題需要將自然語言文字翻譯為“數(shù)學(xué)符號構(gòu)成的算式”， 然后再用數(shù)學(xué)方法求解。 什么是小學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用題？ 3. 具有比較復(fù)雜

9、的情景。 應(yīng)用題必須表達(dá)一種具體“情景”，無論是體現(xiàn)生活實(shí)際的，或者合理地虛擬編制的，都必須反映一種生動的具體情境，不能是純粹的數(shù)學(xué)問題。 情境往往有一些特定的常識性規(guī)律，在解題時(shí)需要加以剖析和運(yùn)用。作為一種具有較高思維價(jià)值的問題，“應(yīng)用題”所呈現(xiàn)的情境，應(yīng)當(dāng)具有挑戰(zhàn)性，不同于課本引進(jìn)新內(nèi)容時(shí)所呈現(xiàn)的簡單情景。四五六七三數(shù)學(xué)應(yīng)用題的本質(zhì)是什么 什么是數(shù)學(xué)模型？ 數(shù)學(xué)建模是 20世紀(jì)下半葉， 隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展而形成的數(shù)學(xué)思想方法。 目前已經(jīng)成為數(shù)學(xué)應(yīng)用的基本模式。 數(shù)學(xué)模型，一般地說， 乃是針對或參照某種事物系統(tǒng)的實(shí)際特征或數(shù)量相依關(guān)系，采用形式化的數(shù)學(xué)符號和語言，概括地或近似地表述出來的一

10、種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。數(shù)學(xué)內(nèi)容本身就是一種數(shù)學(xué)模型 自然數(shù)是表述有限集合“數(shù)數(shù)”過程的 數(shù)學(xué)模型。 加法是“合并”、“添加”等活動的數(shù)學(xué)模型 分?jǐn)?shù)是平均分派物品的數(shù)學(xué)模型； 元角分的計(jì)算模型是小數(shù)的運(yùn)算。 雞兔同籠問題的數(shù)學(xué)模型是二元一次整數(shù)方程；模式應(yīng)用： 問：你們學(xué)校每個(gè)年級幾個(gè)班？ 答：2個(gè)班； 問：每個(gè)班大約多少學(xué)生？ 答：40人 問：你們學(xué)校一共有多少人？ 答：400多人； 問：你們學(xué)校有沒有兩個(gè)人是同一天生日的？ 答：我們班里好像沒有的，我要到其他班問一問。 數(shù)學(xué)老師：有，一定有。 應(yīng)用數(shù)學(xué)的數(shù)學(xué)建模， 是在狹義的意義下進(jìn)行的。 數(shù)學(xué)建模，專指對一個(gè)個(gè)比較復(fù)雜的具體情境， 建立一個(gè)特定的專用

11、數(shù)學(xué)模型， 并用模型來解決非常具體問題。 應(yīng)用題對應(yīng)的數(shù)學(xué)建模應(yīng)用題求解與數(shù)學(xué)模型比較 應(yīng)用題求解：對于一種相對比較復(fù)雜的情境， 采用形式化的符號語言， 概括地或近似地表述出來的一種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。 建立數(shù)學(xué)模型的步驟： 了解情境 分析數(shù)量關(guān)系 形式化符號化的結(jié)構(gòu) 用數(shù)學(xué)方法求解結(jié)構(gòu)中的未知數(shù) 驗(yàn)證。 觀察、加工、整理 分析抽象，作數(shù)學(xué)化處理 求解數(shù)學(xué)問題 結(jié)合實(shí)際 （5）數(shù)學(xué)結(jié)果合乎實(shí)際 數(shù)學(xué)結(jié)果不合乎實(shí)際，修正、改進(jìn)、重建數(shù)學(xué)模型。審題 列式 解答 檢驗(yàn) 應(yīng)用題與數(shù)學(xué)建模的步驟對照 數(shù)學(xué)建模步驟解應(yīng)用題步驟以行程問題為例背景考察：搜集必需的各種信息，盡量弄清對象的特征審題。 對問題設(shè)置的情景仔細(xì)

12、揣摩體察。弄清問題的目標(biāo)。知道速度， 路程，時(shí)間的關(guān)系；適度簡化 ：如假定為勻速行駛在直線 型的道路上，等。構(gòu)作模型根據(jù)所作的假設(shè)分析對象的因果關(guān)系，利用對象的內(nèi)在規(guī)律和適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具，構(gòu)造各個(gè)量間的等式關(guān)系或其它數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。列式將問題中用自然語言表述的情景，翻譯成數(shù)學(xué)語言，借助數(shù)學(xué)符號、圖象、邏輯等手段， 構(gòu)成可以反映問題本質(zhì)的算式。根據(jù)情景，尋找數(shù)量規(guī)律。 例如找出一些不變量，借以構(gòu)成數(shù)學(xué)等式。根據(jù)行程問題的不同情景進(jìn)行思考。例如，相互距離為c的甲乙二者同時(shí)啟動，分別以速度a、b相對而行，由于二者相遇時(shí)所用的時(shí)間x相同，據(jù)此列出等式ax+bx=c，或者算術(shù)地說明各量間的相等關(guān)系。應(yīng)用題與數(shù)學(xué)

13、建模的步驟對照模型求解：采用各種數(shù)學(xué)方法，求得滿足模型的解答。 求解：對算式進(jìn)行變換和計(jì)算，求得結(jié)果。x=c/（a+b），或算術(shù)地求解。答案分析檢驗(yàn)?zāi)Ｐ褪欠裾_， 解答是否符合實(shí)際。驗(yàn)證：驗(yàn)證解答是否正確， 能否符合題意。將x 代入原式進(jìn)行驗(yàn)算。模型改進(jìn)對模型解答進(jìn)行數(shù)學(xué)上的分析，反思考察解題過程中使用的 數(shù)學(xué)思想方法總結(jié)本題的思考方法，對行程問題的 關(guān)節(jié)點(diǎn)進(jìn)行反思，尤其是弄清在行駛變化過程中，哪些是變化的，那些是不變的。 數(shù)學(xué)建模步驟解應(yīng)用題步驟以行程問題為例應(yīng)用題學(xué)習(xí)是數(shù)學(xué)建模的基礎(chǔ) 每一道小學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用題的教育價(jià)值， 在于能將情境“數(shù)學(xué)化”； 將文字的表述， 轉(zhuǎn)換為數(shù)學(xué)符號或圖像的表示；

14、將蘊(yùn)藏在情景內(nèi)的數(shù)量關(guān)系列為算式； 用數(shù)學(xué)演算求得算式的答案，最終通過檢驗(yàn)肯定“解答”的適切性。 這些數(shù)學(xué)活動， 為日后學(xué)習(xí)更復(fù)雜的 “數(shù)學(xué)建?！保龊帽匾臏?zhǔn)備 五六七四“問題解決”與應(yīng)用題教學(xué)成功需要基礎(chǔ)問題解決回到基礎(chǔ)新數(shù)運(yùn)動2008198019701960美國式的折騰： 美國數(shù)學(xué)教育界提出的所謂“問題解決”，專指解決“非常規(guī)問題”。 目的是為了培養(yǎng)學(xué)生的探究意識和創(chuàng)新精神。在學(xué)生的認(rèn)知水平上，要解決非常規(guī)問題，沒有現(xiàn)成數(shù)學(xué)問題求解模式可以模仿，需要獨(dú)立思考， 通過自己的探索獲得解決問題的途徑。這是具有一定創(chuàng)新意義的數(shù)學(xué)思維過程。 是一個(gè)時(shí)期數(shù)學(xué)教育的導(dǎo)向性口號，并非針對應(yīng)用題改革而提出

15、。 “問題解決”的提出 我國在常規(guī)應(yīng)用題的教學(xué)上，成績很好。例如用分?jǐn)?shù)求解一些現(xiàn)實(shí)生活中“平均分配物品”的問題，加減乘除四則運(yùn)算的一步或兩步應(yīng)用題，掌握得也很不錯(cuò)。 但是，在提出問題，分析發(fā)展問題，靈活地處理應(yīng)用性問題上面，比起歐美諸國的教學(xué)，有一些弱點(diǎn)。 在非常規(guī)的應(yīng)用問題教學(xué)上，我國積累了一些按照問題情景分類的教學(xué)。例如行程問題、工程問題等等，有專門的訓(xùn)練，基本面也是好的。但是，總體上較窄、較難，較偏。 “問題解決”的借鑒與啟示 問題解決教學(xué)是應(yīng)用題教學(xué)的上位概念。彼此是包含關(guān)系。 “用問題”的共性， 取代了“應(yīng)用題”的特性 問題解決是數(shù)學(xué)教學(xué)全局性理念； 應(yīng)用題教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)的部分課題。

16、問題解決應(yīng)用題教學(xué)問題解決不能代替應(yīng)用題教學(xué) 問題解決是針對“回到基礎(chǔ)”提出來的口號。意思是強(qiáng)調(diào)“探究”、“發(fā)現(xiàn)”、“創(chuàng)新”。 美國又提出“成功需要基礎(chǔ)”， 又強(qiáng)調(diào)其基礎(chǔ)了。 所以，應(yīng)用題教學(xué)， 不能只強(qiáng)調(diào)“探究創(chuàng)新”， 還要注意“打好基礎(chǔ)”。 沒有基礎(chǔ)怎么創(chuàng)新？ 問題解決不能代替應(yīng)用題教學(xué)五六七四應(yīng)用題要不要講類型？ 小學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用題可以有三種分類。 1. 按數(shù)學(xué)模型分類； 隨機(jī)模型， 統(tǒng)計(jì)模型；四則運(yùn)算模型； 分?jǐn)?shù)、小數(shù)模型，一元一次方程模型；二元一次整數(shù)方程等等。 2. 按情景熟悉程度分類。 如日常生活情景模型， 模擬現(xiàn)實(shí)情景模型，科學(xué)技術(shù)模型等等 3. 按特定情境的數(shù)量關(guān)系分類。如行程問

17、題， 工程問題， 流水問題，折扣問題等等， 應(yīng)用題的分類是否少了圖形與幾是否少了圖形與幾何的內(nèi)容？何的內(nèi)容？ 微積分課程里要討論瞬時(shí)速度問題， 切線問題，曲邊梯形問題； 微分方程課程里有熱傳導(dǎo)方程， 電磁波方程； 中學(xué)數(shù)學(xué)也要研究拋物問題、單擺問題、等周問題，投影問題，擲骰子問題等 ； 小學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用按照情境內(nèi)容分類，也是情理之中。按情境內(nèi)容分類 不是我們要不要分類的主觀決定。數(shù)學(xué)應(yīng)用題分類是客觀世界不同數(shù)量關(guān)系的反應(yīng)。 行程問題 路程 = 速度時(shí)間 工程問題 工作量 = 工作時(shí)間 工作效率 價(jià)格問題 總價(jià)格 = 單價(jià) 數(shù)量 利息問題 利息 = 本金 利率 利潤問題 利潤 = 成本 利潤率 折扣

18、問題 金額 = 價(jià)格 折扣率 百分?jǐn)?shù)問題 數(shù)量 = 總量 百分比 這些內(nèi)容不屬于數(shù)學(xué)范圍， 但是數(shù)學(xué)課要教！ 應(yīng)用題的分類與數(shù)量關(guān)系 科技書有20本，故事書比科技書的2倍還多2本，故事書有多少本？ 看到“倍”想到“乘”，看到“多”想到“加”。 科技書有20本，比故事書的2倍還多2本，故事書有多少本 ？ 以情境中的字詞為特征來分類是表面的。要類型，但不要類型化。 按步數(shù)分：一步，兩步和多步應(yīng)用題； 按內(nèi)容和難易來分，可分為一般應(yīng)用題、復(fù)合應(yīng)用題和典型應(yīng)用題。 典型應(yīng)用題中就有和差問題、和倍、差倍問題；追及問題、盈虧問題、相遇問題 傳統(tǒng)應(yīng)用題的分類 這些分類， 都是從教學(xué)需要出發(fā)的。 由易到難，

19、循序前進(jìn)， 總要按部就班地排除一個(gè)次序來。 因此是教學(xué)需要的， 有必要的。 不過，這種分類不涉及數(shù)學(xué)應(yīng)用題的數(shù)學(xué)本質(zhì)，學(xué)生并不需要知道。 對于數(shù)學(xué)的困難生，為了辨別各種不同的算式，可能起一定的作用。 如果試圖通過題型的類別訓(xùn)練達(dá)到“機(jī)械自動化”的程度，并不能反映數(shù)學(xué)的思想與方法，也并能真正解決數(shù)學(xué)問題。 傳統(tǒng)應(yīng)用題的分類 只有被廣泛承認(rèn)和使用的分類才有“知識性”價(jià)值。否則只是在小范圍使用， 不過是一種臨時(shí)使用“標(biāo)簽”而已， 不需要長期記住。 打個(gè)比方， 作為地理學(xué)知識，中國，分為?。ㄉ綎|）， 省分為市（煙臺），就為止了。 至于煙臺下面分為各個(gè)區(qū)， 就不是大眾需要的知識， 是地方的標(biāo)簽， 大眾不

20、需要長期記憶。 傳統(tǒng)應(yīng)用題的分類七六應(yīng)用題與現(xiàn)實(shí)生活的關(guān)系緊密聯(lián)系學(xué)生的日常生活 小學(xué)生的日常生活內(nèi)容十分有限。 主要圍繞“買東西”活動展開。單價(jià)、總數(shù)，折扣，差額，比例“賣”的意識也很少。 所以成本、利潤、效率， 都不是日常生活實(shí)際能夠接近的。 國際上有一種“現(xiàn)實(shí)數(shù)學(xué)”，實(shí)驗(yàn)失敗告終。 不能除了超市，就是商場，需要拓展情境內(nèi)容。 應(yīng)用題教學(xué)中，大量使用的是科學(xué)模型，例如，行程問題中速度、時(shí)路程之間的關(guān)系，乃是物體運(yùn)動的在物理模型。另一種是模擬現(xiàn)實(shí)模型。比如雞兔同籠問題， 完全是一種假想的模擬情景。 關(guān)于虛擬的“真實(shí)” 兒童的思維情境， 包括客觀現(xiàn)實(shí)反映和虛擬想象兩大部分。 虛擬想象中有一部分

21、成為“虛擬真實(shí)”。 孫悟空， 黑貓警長，圣誕老人， 白雪公主， 魔法石， 變形金剛。 利用虛擬的真實(shí)：外星巨人的手印。過于真實(shí)，不利于教學(xué)。 路程問題： 想象在一條直線上， 自始至終一一種速度在奔跑。 有這樣筆直的道路嗎？ 怎樣能夠使得起跑時(shí)速度和到終點(diǎn)的速度一樣？ 雞兔同籠好？ 還是三條腿凳子和四條腿椅子好？ 退位減法，被減數(shù)個(gè)位不夠減，向十位借一，有學(xué)生就很貼近生活地說“十位不肯借怎么辦？” 數(shù)學(xué)是需要抽象概括的。 有一個(gè)水池，打開進(jìn)水管注滿水池要3小時(shí)，打開出水管放出整池水要2小時(shí)，現(xiàn)在同時(shí)打開進(jìn)水管和出水管，要多少時(shí)間才能把一池水放完？ 被曲解的經(jīng)典題 飛機(jī)的能源消耗與補(bǔ)充、 排隊(duì)進(jìn)場

22、與出場、 草場里草的生長與割去、 人體的新陳代謝、 社會人口的增減、 湖泊的污染與治理， 家庭的收入與支出； 動態(tài)平衡的問題。 數(shù)學(xué)模型客觀存在 爭論：相遇問題在現(xiàn)實(shí)生活中并不多見； 楊樂院士：導(dǎo)彈防御系統(tǒng)里面蘊(yùn)含著相遇問題； 道路建設(shè)，工程問題。 現(xiàn)實(shí)與數(shù)學(xué)模型 30年代， 小學(xué)數(shù)學(xué)教材里都有和尚饅頭問題： “一共有100個(gè)和尚和100個(gè)饅頭。 大和尚一人吃三個(gè)饅頭， 小和尚三個(gè)人吃一個(gè)饅頭， 問各有大小和尚幾人”。 現(xiàn)在不見了， 如果是因?yàn)椴荒苈?lián)系學(xué)生的實(shí)際，那太遺憾了。充滿童趣的素材七小學(xué)數(shù)學(xué)中的模型有哪些算術(shù)和代數(shù) 算術(shù)中的基本對象是數(shù)，包括數(shù)的表示、數(shù)的意義、數(shù)之間的關(guān)系、數(shù)的運(yùn)算等

23、。 算術(shù)模型是一串“數(shù)字”的運(yùn)算流程。 代數(shù)中的基本對象除了數(shù)，還出現(xiàn)了更具廣泛意義的基本對象：符號。 代數(shù)模型是方程或函數(shù)，包含未知數(shù)符號的等式關(guān)系或其他結(jié)構(gòu)。 從算術(shù)向代數(shù)過渡，是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中極為重要的轉(zhuǎn)變階段 學(xué)生從“數(shù)的運(yùn)算”過渡到“式的運(yùn)算”，好象人發(fā)明了汽車那樣，運(yùn)行速度大幅提高。 代數(shù)運(yùn)算的通性通法，取得了極高的思維效率，就像人不能每時(shí)每刻都在坐車，走路仍然是必須的、基本的。 算術(shù)和代數(shù) 有一個(gè)煤礦，原來計(jì)劃上半年660萬噸，實(shí)際每個(gè)月比計(jì)劃多產(chǎn)22萬噸，實(shí)際多少月完成？ 典型問題為例 算術(shù)建模，是給出一種算法：( “計(jì)算表征”) 實(shí)際每月完成數(shù)是(6606)+22，于是有

24、答案： 完成時(shí)間 = 660 (6606)+22 = 5 這是通過一串已知數(shù)字的運(yùn)算組合，最后得到結(jié)果。解法一 代數(shù)建模。 是給出一個(gè)算式。(“數(shù)量關(guān)系表征”) 設(shè)實(shí)際完成月數(shù)是， 那么（660 ）是每月實(shí)際完成數(shù)。 110 = 每月計(jì)劃完成數(shù) = （660 ）- 22 于是得到有符號的算式 代數(shù)模型： （660 ）- 22 = 110 （1） 無法直接計(jì)算出， 但可以進(jìn)行“式 ”的運(yùn)算： （660 ）= 110 +22 = 132 （2） （660 132）= = 5 （3）解法二 用符號的算術(shù)模型。 設(shè)實(shí)際完成月數(shù)是，那么 = 660 （實(shí)際完成數(shù)） = 660 （計(jì)劃完成數(shù)+22） =

25、660 （110+22） = 5 這里也有符號代表數(shù)， 卻完全是算術(shù)思維， 與代數(shù)無關(guān)。解法三 用代數(shù)方法啟發(fā)算術(shù)思維。 由（3）式：（660 132）= = 5 可知： = （660 實(shí)際每月完成數(shù)）=（660 (6606)+22） = 5 最后二者是統(tǒng)一的。解法四算術(shù)模型和代數(shù)模型的區(qū)別 算術(shù)思維和代數(shù)思維思考的方向不一樣。 打個(gè)比方，如果未知數(shù)在對岸，那么算術(shù)方法，好象摸著石頭過河找到未知數(shù)，代數(shù)方法好象用繩索將對岸的未知數(shù)捆好拉過河來，二者的思考方向剛好相反。算術(shù)模型和代數(shù)模型的區(qū)別 很多數(shù)學(xué)家回憶自己的學(xué)習(xí)生涯，感覺到小學(xué)里用算術(shù)方法解決問題培養(yǎng)了自己的能力，盡管這些問題后來用代數(shù)變

26、得簡單。 “今有雞兔同籠，上有35頭，下有94腳，問雞兔各幾何?” （波利亞）金雞獨(dú)立解法的思路是，如果籠中的雞全部獨(dú)立單腳著地，做“金雞獨(dú)立”狀，而這時(shí)籠中所有兔也學(xué)雞立起前兩腳而只有后兩腳著地 （張景中）假設(shè)雞的兩只翅膀也變成了兩只“腳” 還有更多 經(jīng)典問題：雞兔同籠 列方程時(shí)的數(shù)學(xué)思維， 主要還得用算術(shù)方法過渡。沒有算術(shù)的第一步， 就難有代數(shù)的第二步。 如果使得算術(shù)與代數(shù)完全脫離，使得學(xué)生沒有對比，看不出算術(shù)的缺點(diǎn)和代數(shù)的優(yōu)點(diǎn)，體會不到代數(shù)方法的優(yōu)越性，那么代數(shù)也是很難學(xué)好的。 算術(shù)方法與代數(shù)方法數(shù)學(xué)應(yīng)用題是否要集中教學(xué)？ 數(shù)學(xué)建模是一種特殊思維活動， 有特定內(nèi)容， 需要單獨(dú)、集中學(xué)習(xí)領(lǐng)

27、會。 一些基本的數(shù)學(xué)模型反映基本的數(shù)量關(guān)系，是學(xué)生發(fā)展的必要基礎(chǔ)。需要集中演練， 形成技能。 解數(shù)學(xué)應(yīng)用題，需要將各種數(shù)量關(guān)系進(jìn)行比較。 集中教學(xué)， 避免分散割裂。 處處都有，有時(shí)也容易變成處處都沒有。 有一桶油，第一次取出這桶油的20，第二次取出12千克，兩次共取出這桶油的1/2，這桶油共多少千克？ 可能的困難： 不會轉(zhuǎn)化百分?jǐn)?shù)與分?jǐn)?shù)？ 不會計(jì)算？ 不會列方程？ 不會分析數(shù)量關(guān)系？ 還是 就是不會做從不會到會，需要什么 有一桶油，第一次取出這桶油的20，第二次取出12千克，兩次共取出這桶油的1/2，這桶油共多少千克？ 畫線段圖： 畫草圖：怎樣讓學(xué)生學(xué)會？ 這桶油的這桶油的2020，1212千

28、克千克這桶油的這桶油的1/21/2 有一桶油，第一次取出這桶油的20，第二次取出12千克，兩次共取出這桶油的1/2，這桶油共多少千克？ 第一次這桶油20 第二次12千克 兩次一共這桶油1/2 這桶油2012這桶油1/2怎樣讓學(xué)生學(xué)會？ 有一桶油，第一次取出這桶油的20，第二次取出12千克，兩次共取出這桶油的1/2，這桶油共多少千克？ 對應(yīng)關(guān)系： 1這桶油 20第一次取出 1/2兩次取出 ？第二次取出12千克怎樣讓學(xué)生學(xué)會？ 有一桶油，第一次取出這桶油的20，第二次取出12千克，兩次共取出這桶油的1/2，這桶油共多少千克？ 列方程 設(shè)這桶油為x千克； 20 x121/2x 1/2x20 x12怎

29、樣讓學(xué)生學(xué)會？ 有一桶油，第一次取出這桶油的20，第二次取出12千克，兩次共取出這桶油的1/2，這桶油共多少千克？ 畫線段圖： 畫草圖： 對應(yīng)關(guān)系： 方程； 還有什么方法？怎樣讓學(xué)生學(xué)會？ 基本策略嘗試猜想；畫圖制表；實(shí)際操作；應(yīng)用規(guī)律；等量替換從簡入手；整理數(shù)據(jù)；可逆思考；用方程解；邏輯推理 理解題意做解題計(jì)劃；按計(jì)劃解答；回答和檢驗(yàn)。 一般策略一般策略特殊策略特殊策略雞兔共8只，有22只腳，雞兔各有多少只？ 策略1：嘗試與猜想：1只雞，7只兔，腿的總條數(shù)是30，腿多了，減少兔子的數(shù)量，再嘗試； 策略2：列表嘗試：雞兔各4只，那么腿24只，腿少了，增加雞的數(shù)量，再嘗試；策略3：用畫圖的方法，先按照都是雞畫好，再在此基礎(chǔ)上添上腿，添上2只腿就表明多了1只兔。 策略4：假設(shè)全是雞，也可以假設(shè)全是兔，也可以假設(shè)一半是雞一半是兔； 策略5：方程思路：用表示雞的只數(shù)，用表示兔的只數(shù)，根據(jù)已知條件可以發(fā)現(xiàn)8，2422；由此可以得到2（）222，22216，3。 策略6：面積圖，利用長方形面積公式來計(jì)算組合圖形的面積。2只腳4只腳8個(gè)頭 關(guān)于解題策略 線段圖不是目的，只是手段。是拐杖，不是棍棒；（新加坡的模型法