清華版運籌學課件第13章存儲論-34節(jié)

1、運籌學運籌學第第13章章 存貯論存貯論第第3節(jié)節(jié) 隨機性存儲模型隨機性存儲模型第第13章章 存貯論存貯論 第第3節(jié)節(jié) 隨機性存儲模型隨機性存儲模型 第第4節(jié)節(jié) 其他類型存貯問題其他類型存貯問題 第第3節(jié)節(jié) 隨機性存儲模型隨機性存儲模型 隨機性存儲模型的重要特點是需求為隨機的，其概率或分布為已知。在這種情況下，前面所介紹過的模型已經(jīng)不能適用了。例如商店對某種商品進貨500件，這500件商品可能在一個月內售完，也有可能在兩個月之后還有剩余。商店如果想既不因缺貨而失去銷售機會，又不因滯銷而過多積壓資金，這時必須采用新的存儲策略 可供選擇的策略主要有三種 (1) 定期訂貨，但訂貨數(shù)量需要根據(jù)上一個周期

2、末剩下貨物的數(shù)量決定訂貨量。剩下的數(shù)量少，可以多訂貨。剩下的數(shù)量多，可以少訂或不訂貨。這種策略可稱為定期訂貨法。 (2) 定點訂貨，存儲降到某一確定的數(shù)量時即訂貨，不再考慮間隔的時間。這一數(shù)量值稱為訂貨點，每次訂貨的數(shù)量不變，這種策略可稱之為定點訂貨法。 (3) 把定期訂貨與定點訂貨綜合起來的方法，隔一定時間檢查一次存儲，如果存儲數(shù)量高于一個數(shù)值s，則不訂貨。小于s時則訂貨補充存儲，訂貨量要使存儲量達到S，這種策略可以簡稱為(s,S)存儲策略。與確定性模型不同的特點還有： 不允許缺貨的條件只能從概率的意義方面理解，如不缺貨的概率為0.9等。存儲策略的優(yōu)劣通常以贏利的期望值的大小作為衡量的標準。

3、 為了講清楚隨機性存儲問題的解法，先通過一個例題介紹求解的思路。例例7 某商店擬在新年期間出售一批日歷畫片，每售出一千張可贏利700元。如果在新年期間不能售出，必須削價處理，作為畫片出售。由于削價，一定可以售完，此時每千張賠損400元。根據(jù)以往的經(jīng)驗，市場需求的概率見表13-1。表13-1每年只能訂貨一次，問應訂購日歷畫片幾千張才能使獲利的期望值最大?解解 如果該店訂貨如果該店訂貨4千張，我們計算獲利千張，我們計算獲利的可能數(shù)值的可能數(shù)值訂購量為4千張時獲利的期望值： EC(4)=(-1600)0.05 +(-500)0.10+6000.25 0.35 0.15 0.10 =1315(元)上述

4、計算法及結果列于表13-2獲利期望值最大者標有(*)記號，為1440元?？芍摰暧嗁?000張日歷畫片可使獲利期望值最大。 從相反的角度考慮求解 當訂貨量為Q時，可能發(fā)生滯銷賠損(供過于求的情況)，也可能發(fā)生因缺貨而失去銷售機會的損失(求過于供的情況)。把這兩種損失合起來考慮，取損失期望值最小者所對應的Q值。訂購量為2千張時，損失的可能值：當訂貨量為2千張時，缺貨和滯銷兩種損失之和的期望值 EC(2)=(-800)0.05 + (-400)0.10+00.25 +(-700)0.35+(-1400)0.15 +(-2100)0.10 = 745(元) 按此算法列出表13-3。表13-3比較表中

5、期望值以-485最大，即485為損失最小值。該店訂購3000張日歷畫片可使損失的期望值最小。這結論與前邊得出的結論一樣，都是訂購3000張。這說明對同一問題可從兩個不同的角度去考慮：一是考慮獲利最多，一是考慮損失最小。這是一個問題的不同表示形式。3.1 模型五：需求是隨機離散的模型五：需求是隨機離散的 報童問題：報童每日售報數(shù)量是一個隨機變量。報童每售出一份報紙賺k元。如報紙未能售出，每份賠h元。每日售出報紙份數(shù)r的概率P(r)根據(jù)以往的經(jīng)驗是已知的，問報童每日最好準備多少份報紙? 這個問題是報童每日報紙的訂貨量Q為何值時，賺錢的期望值最大?反言之，如何適當?shù)剡x擇Q值，使因不能售出報紙的損失及

6、因缺貨失去銷售機會的損失，兩者期望值之和最小?，F(xiàn)在用計算損失期望值最小的辦法求解。解解 設售出報紙數(shù)量為設售出報紙數(shù)量為r，其概率，其概率P(r)為已知為已知 設設 報童訂購報紙數(shù)量為報童訂購報紙數(shù)量為Q。 供過于求時供過于求時(rQ)，這時報紙，這時報紙因不能售出而承擔的損失，因不能售出而承擔的損失，其期望值為：其期望值為： 供不應求時供不應求時(rQ)，這時因，這時因缺貨而少賺錢的損失，其期缺貨而少賺錢的損失，其期望值為：望值為：綜合，兩種情況，當訂貨量為Q時，損失的期望值為：要從式中決定Q的值，使C(Q)最小。 由于報童訂購報紙的份數(shù)只能取整數(shù)，r是離散變量，所以不能用求導數(shù)的方法求極值

7、。為此設報童每日訂購報紙份數(shù)最佳量為Q，其損失期望值應有： C(Q)C(Q+1) C(Q)C(Q-1)從出發(fā)進行推導有 由出發(fā)進行推導有 hkk) r (P1 -Q0r報童應準備的報紙最佳數(shù)量Q應按下列不等式確定：)2513() r (Phkk) r (PQ0r1 -Q0r從贏利最大來考慮報童應準備的報紙數(shù)量。設報童訂購報紙數(shù)量為Q， 獲利的期望值為C(Q)，其余符號和前面推導時表示的意義相同。此時贏利的期望值為： 當需求rQ時，報童因為只有Q份報紙可供銷售，贏利的期望值為 無滯銷損失。 由以上分析知贏利的期望值： 為使訂購Q贏利的期望值最大，應滿足下列關系式： C(Q+1)C(Q) C(Q-

8、1)C(Q) 從式推導，經(jīng)化簡后得同理從推導出 用以下不等式確定Q的值，這一公式與(13-25)式完全相同。現(xiàn)利用公式(13-25)解例7的問題。 已知：k=7, h=4, P(0)=0.05， P(1)=0.10，P(2)=0.25，P(3)=0.35知該店應訂購日歷畫片3千張。例8某店擬出售甲商品，每單位甲商品成本50元，售價70元。如不能售出必須減價為40元，減價后一定可以售出。已知售貨量r的概率服從泊松分布(=6為平均售出數(shù)) 問該店訂購量應為若干單位?解解 該店的缺貨損失，每單位商品為該店的缺貨損失，每單位商品為70-50=20。滯銷損失，每單位商品。滯銷損失，每單位商品50-40=

9、10，利用利用(15-13)式，其中式，其中k=20，h=10 因)7(F667. 0hkk6)(F故訂貨量應為：7單位，此時損失的期望值最小。 例例9 上題中如缺貨損失為上題中如缺貨損失為10元，滯銷損失為元，滯銷損失為20元。在這種情況下該店訂貨量應為若干元。在這種情況下該店訂貨量應為若干? 解解 利用利用(15-13)式，其中式，其中k=10,h=20查統(tǒng)計表，找與0.3333相近的數(shù) F(4)0.3333F(5)，故訂貨量應為甲商品5個單位。 答答 該店訂貨量為該店訂貨量為5個單位甲商品。個單位甲商品。 模型五只解決一次訂貨問題，對報童問題實模型五只解決一次訂貨問題，對報童問題實際上每

10、日訂貨策略問題也應認為解決了。際上每日訂貨策略問題也應認為解決了。 但模型中有一個嚴格的約定，即兩次訂貨之但模型中有一個嚴格的約定，即兩次訂貨之間沒有聯(lián)系，都看作獨立的一次訂貨。間沒有聯(lián)系，都看作獨立的一次訂貨。 這種存儲策略也可稱之為定期定量訂貨。這種存儲策略也可稱之為定期定量訂貨。 3.2 模型六：需求是連續(xù)的隨機變量模型六：需求是連續(xù)的隨機變量 設設 貨物單位成本為貨物單位成本為K，貨物單位售價為，貨物單位售價為P，單位存儲費為單位存儲費為C1，需求，需求r是連續(xù)的隨機變量，是連續(xù)的隨機變量，密度函數(shù)為密度函數(shù)為(r)，(r)dr表示隨機變量在表示隨機變量在r與與r+dr之間的概率，其分

11、布函數(shù)之間的概率，其分布函數(shù) 生產或訂購的數(shù)量為生產或訂購的數(shù)量為Q，問如何確定，問如何確定Q的數(shù)的數(shù)值，使贏利的期望值最大值，使贏利的期望值最大?解解 首先我們來考慮當訂購數(shù)量為首先我們來考慮當訂購數(shù)量為Q時，實際時，實際銷售量應該是銷售量應該是minr,Q。也就是當需求為。也就是當需求為r而而r小于小于Q時，實際銷售量為時，實際銷售量為r；rQ時，實際銷時，實際銷售量只能是售量只能是Q贏利的期望值： 常量值因滯銷受到損失的期望失的期望值因缺貨失去銷售機會損常量（平均盈利）KQdr) r (r)-(QCdr) r ()Qr (P) r (PE(r)drr)-Q(CKQdr) r (PQdr)

12、 r (Prdr) r (Pr(r)drr)-Q(CKQdr) r (PQdr) r (Pr)Q(WEQ01QQ01QQ0Q01QQ0記 為使贏利期望值極大化，有下列等式： KQdr) r () rQ(Cdr) r ()Qr (P)Q(CEQ01Q)2713() r (PE)Q(CminE)Q(WmaxE)2613()Q(CminE) r (PE)Q(WmaxE (13-26)式表明了贏利最大與損失極小所得出的Q值相同。 (13-27)式表明最大贏利期望值與損失極小期望值之和是常數(shù)。 從表13-2與表13-3中對應著相同的Q，去掉13-3表中數(shù)據(jù)的負號后， 兩者期望值之和皆為19.25，稱為該

13、問題的平均盈利。求贏利極大可以轉化為求EC(Q)(損失期望值)極小。 當Q可以連續(xù)取值時，EC(Q)是Q的連續(xù)函數(shù)。可利用微分法求最小。Q0dr) r ()Q(F, 0dQ)Q(CdE記從此式中解出Q，記為Q*，Q*為EC(Q)的駐點。又因知Q*為EC(Q)的極小值點，在本模型中也是最小值點。 令 若P-K0 顯然由于F(Q)0，等式不成立，此時Q*取零值。即售價低于成本時，不需要訂貨(或生產)。式中只考慮了失去銷售機會的損失，如果缺貨時要付出的費用C2P時，應有按上述辦法推導得模型五及模型六都是只解決一個階段的問題。從一般情況來考慮，上一個階段未售出的貨物可以在第二階段繼續(xù)出售。這時應該如何

14、制定存儲策略呢?假設 上一階段未能售出的貨物數(shù)量為 I，作為本階段初的存儲，有式相同與常量28)-(13KQdr) r () rQ(Cdr) r ()Qr (CminKIdr) r () rQ(Cdr) r ()Qr (C) IQ(K)Q(CminEQ01Q2Q01Q2定期訂貨，訂貨量不定的存儲策略 3.3 模型七：模型七：(s,S)型存儲策略型存儲策略 1. 需求為連續(xù)的隨機變量 設 貨物的單位成本為K,單位存儲費用為C1，每次訂購費為C2，需求r是連續(xù)的隨機變量 ，密度函數(shù)為， 分布函數(shù)， 期初存儲量為I，定貨量為Q，此時期初存儲達到S=I+Q。問如何確定Q的值，使損失的期望值最小(贏利的

15、期望值最大)? 本階段需訂貨費 本階段所需訂貨費及存儲費、缺貨費期望值之和S2S013S2I013dr) r ()Sr (Cdr) r () rS(CI)-K(SCdr) r ()Sr (Cdr) r () rS(CKQC)S(C)QI (CQ可以連續(xù)取值，C(S)是S的連續(xù)函數(shù)。本階段的存儲策略：當sS時 不等式右端存儲費用期望值大于左端存儲費用期望值，右端缺貨費用期望值小于左端缺貨費用期望值；一增一減后仍然使不等式成立的可能性是存在的。 如有不止一個s的值使下列不等式成立， 則選其中最小者作為本模型(s,S)存儲策略的s。相應的存儲策略是： 每階段初期檢查存儲，當庫存Is時，需訂貨，訂貨的

16、數(shù)量為Q，Q=S-I。當庫存Is時，本階段不訂貨。這種存儲策略是：定期訂貨但訂貨量不確定。訂貨數(shù)量的多少視期末庫存I來決定訂貨量Q，Q=S-I。對于不易清點數(shù)量的存儲，人們常把存儲分兩堆存放，一堆的數(shù)量為s，其余的另放一堆。平時從另放的一堆中取用，當動用了數(shù)量為s的一堆時，期末即訂貨。如果未動用s的一堆時，期末即可不訂貨，俗稱兩堆法。2需求是離散的隨機變量時本階段所需的各種費用：本階段所需的各種費用：本階段所需的各種費用：求解(3) 求S的值使C(S)最小。因為選出使C(Si )最小的S值，由可推導出因 即 由同理可推導出 綜合以上兩式，得到為確定Si的不等式其中i2Sri21iSri2Sri

17、1iSri2Sri1ii1iSC) r (pS)CC(SK) r (p1SC) r (pSCSK) r (pSC) r (pSCKS)S(C)S(Ciiiii綜合上面兩式， 例例10 解解 ： 下面對答案進行驗證 分別計算S為30，40，50所需訂貨費及存儲費期望值、缺貨費期望值三者之和。比較它們看是否當S為40時最小(見表13-4)。計算s的方法：考查不等式(13-31)分別將30，40代人(13-31) 將30作為s值代入(13-31)式左端得 80030 (40-30)0.2+(50-30)0.4+(60-30)0.2 =40240 將40代入(13-31)式左端得 60+80040+4

18、0(40-30)0.2 (50-40)0.4+(60-40)0.2 =40260解答 即左端數(shù)值為40240，右端數(shù)值為40260，不等式成立，30已是r的最小值故s=30。 例10 的存儲策略為 每個階段開始時檢查存儲量I，當I30箱時不必補充存儲。當I30箱時補充存儲量達到40箱。例11 某廠對原料需求量的概率為 P(r=80)=0.1，P(r=90)=0.2，P(r=100)=0.3 P(r=110)=0.3，P(r=120)=0.1 訂貨費C3=2825元，K=850元 存儲費C1=45元(在本階段的費用) 缺貨費C2=1250元(在本階段的費用) 求該廠存儲策略。：求解 求解答 該廠

19、存儲策略每當存儲I80時補充存儲，使存儲量達到100， 每當存儲I80時不補充。 例12 某市石油公司，下設幾個售油站。 石油存放在郊區(qū)大型油庫里，需要時用汽車將油送至各售油站。該公司希望確定一種補充存儲的策略，以確定應儲存的油量。該公司經(jīng)營石油品種較多，其中銷售量較多的一種是柴油。因之希望先確定柴油的存儲策略。 經(jīng)調查后知每月柴油出售量服從指數(shù)分布，平均銷售量每月為一百萬升。其密度為： 柴油每升2元，不需訂購費。由于油庫歸該公司管轄，油池灌滿與未灌滿時的管理費用實際上沒有多少差別，故可以認為存儲費用為零。如缺貨就從鄰市調用，缺貨費3元/升。求柴油的存儲策略。解 根據(jù)例12中條件知C1=0，C

20、3=0，K=2，C2=3，計算臨界值。利用(13-31)式,由觀察，它有唯一解s=S，3.4 模型八：需求和備貨時間都是隨機離散的模型八：需求和備貨時間都是隨機離散的 (僅通過具體例題介紹求解法僅通過具體例題介紹求解法) 若若t時間內的需求量時間內的需求量r是隨機的，其概率是隨機的，其概率t(r)已知，單已知，單位時間內的平均需求為位時間內的平均需求為也是已知的，則也是已知的，則t時間內的平時間內的平均需求為均需求為t。備貨時間。備貨時間x是隨機的，其概率是隨機的，其概率P(x)已知。已知。 設設 單位貨物年存儲費用為單位貨物年存儲費用為C1，每階段單位貨物缺貨，每階段單位貨物缺貨費用為費用為

21、C2，每次訂購費用為，每次訂購費用為C3，年平均需求為，年平均需求為D。由。由于需求、備貨時間都是隨機的，應有緩沖于需求、備貨時間都是隨機的，應有緩沖(安全安全)存儲存儲量量B，以減少發(fā)生缺貨現(xiàn)象。，以減少發(fā)生缺貨現(xiàn)象。 L：訂貨點，：訂貨點，B：緩沖存儲量，：緩沖存儲量，x1,x2,備貨時間備貨時間 (見圖見圖13-11)。圖13-11 問如何確定緩沖存儲量B，訂貨點L，以及訂貨量Q0，使總費用最小?對這種類型問題的解法 PL的計算很繁，簡化計算例例13 (模型八模型八)某廠生產中需用鋼材，某廠生產中需用鋼材，t 時時間內需求的概率服從泊松分布：間內需求的概率服從泊松分布：例13例 13 年

22、存儲費用每噸為50元，每次訂購費用為1500元，缺貨費用每噸為5000元，問每年應分多少批次?又訂購量Q，緩沖存儲量B，訂貨點L，各為何值才使費用最少? 解： )(1465036515002CD2CQ13o噸)(5 . 2146356QDnoo次下面計算L及B，各步算出的數(shù)值列于表13-5。續(xù) 表13-5續(xù) 表13-5根據(jù)表13-5算出PL、B和費用的數(shù)值見表13-6。說明: 備貨時間小于13，或大于18者，因為它們的概率很小，故略去。 L的選值可以多一些，如保證可以選到最小值，L選值也可少一些。由表中可以看到當L=25，B=10費用588*為最小。據(jù)此即可確定存儲策略。答答 該廠定購批量為該廠定購批量為146噸，定購點為噸，定購點為25噸，每年噸，每年訂貨訂貨2.次次(兩年訂貨兩年訂貨5次次)，緩沖存儲量為，緩沖存儲量