同濟(jì)大學(xué)線性代數(shù)課件

1、第第一一章章 行行列列式式 1 1 二二階階與與三三階階行行列列式式 一一、二二階階行行列列式式的的定定義義 設(shè)二元線性方程組 11 1122121 12222a xa xba xa xb 用消元法解得 12221211 221 1121122122111221221,bab aa ba bxxa aa aa aa a 令 1112112212212122aaa aa aaa 稱為二二階階行行列列式式 二、三階行列式的定義二、三階行列式的定義 設(shè)三元線性方程組 11 1122133121 1222233231 13223333a xa xa xba xa xa xba xa xa xb 用消元

2、法解得 122331223 313 23212332122331322 3111223312233113213211233212213313223111 233123311321 31123 31213313 231211223312233113213,ba aa a ba b aba aa b aa a bxa a aa a aa a aa a aa a aa a aa b aba aa a ba a bba aa b axa a aa a aa a a21123321221331322311122 3122311213211 2321221 312231311223312233113213

3、2112332122133132231,a a aa a aa a aa a ba b aba aa b aa a bba axa a aa a aa a aa a aa a aa a a 令 111213212223112233122331132132112332122133132231313233aaaaaaa a aa a aa a aa a aa a aa a aaaa 稱為三階行列式三階行列式 2 2 全全排排列列及及其其逆逆序序數(shù)數(shù) 一一、全全排排列列 全全排排列列： n個不同元素排成一列。 可將n個不同元素按 1n進(jìn)行編號，則n個不同元素的全排列可看成這n個自然數(shù)的全排列。 n個

4、不同元素的全排列共有!n種。 逆逆序序： 取一個排列為標(biāo)準(zhǔn)排列，其它排列中某兩個元素的次序與標(biāo)準(zhǔn)排列中這兩個元素的次序相反時，則稱這兩個元素構(gòu)成一個逆序。 通常取從小到大的排列為標(biāo)準(zhǔn)排列，即 1n的全排列中取 1231nn為標(biāo)準(zhǔn)排列。 二、逆序及逆序數(shù)二、逆序及逆序數(shù) 逆序數(shù)逆序數(shù)： 一個排列的逆序數(shù)的總數(shù)稱為逆序數(shù)。 逆序數(shù)為偶數(shù)稱為偶排列偶排列，逆序數(shù)為奇數(shù)稱為奇排列奇排列，標(biāo)準(zhǔn)排列規(guī)定為偶排列。 例：討論 1，2，3 的全排列。 全排列 123 231 312 132 213 321 逆序數(shù) 0 2 2 1 1 3 奇偶性 偶 奇 逆序數(shù)的計算：設(shè)12np pp為1,2,n的一個全排列，

5、則其逆序數(shù)為 121nniittttt 其中it為排在ip前，且比ip大的數(shù)的個數(shù)。 3 3 n階行列式的定義階行列式的定義 下面可用全排列的方式改寫二階，三階行列式。 二階行列式 121112112212211221221tppaaa aa aaaaa 其中12p p是1,2的全排列， t是12p p的逆序數(shù)，是對所有1,2的全排列求和。 三階行列式 111213212223112233122331132132112332122133132231313233aaaaaaa a aa a aa a aa a aa a aa a aaaa 1231231tpppaaa 其中123p p p是1,

6、2,3的全排列，t是123p p p的逆序數(shù)，是對所有1,2,3的全排列求和。 n 階行列式的定義階行列式的定義 12112111222212121nntnppnpnnnnaaaaaaaaaaaa 其中 12np pp是1,2,n的全排列， t是12np pp的逆序數(shù)， 是對所有1,2,n的全排列求和。 4 4 對換對換* * 對換對換：一個排列中某兩個元素的位置互換成為對換。 定理定理 1 對換一次改變排列的奇偶性。 定理定理 2 n階行列式為 12112111222212121nntnppp nnnnnaaaaaaaaaaaa 其中t為12np pp的逆序數(shù)。 5 5 行行列列式式的的性性

7、質(zhì)質(zhì) 定義：設(shè)112111222212nnnnnnaaaaaaDaaa，稱1121121222T12nnnnnnaaaaaaDaaa為D的轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)置置矩矩陣陣。 性性質(zhì)質(zhì) 1 行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等。 性性質(zhì)質(zhì) 2 行列式互換兩行（列） ，行列式變號。 推推論論 行列式有兩行（列）相同，則此行列式為零。 性性質(zhì)質(zhì) 3 行列式的某一行（列）的所有元素乘以數(shù)k，等于用數(shù)k乘以該行列式。 推推論論 行列式的某一行（列）所有元素的公因子可以提到行列式符號外。 性性質(zhì)質(zhì) 4 行列式中有兩行（列）的元素對應(yīng)成比例，則此行列式為零。 性質(zhì)性質(zhì) 5 若行列式中某一行（列）的元素都是兩數(shù)之和，則此行列式等于兩個

8、行列式之和。 即若11111212221iiniinnnininnaabaaabaDaaba，則 111111112122212211ininininnninnnninnaaaabaaaaabaDaaaaba 性質(zhì)性質(zhì) 6 把行列式某一行（列）的元素乘以數(shù)k再加到另一行（列）上，則該行列式不變。 例 計算1201135001561234D 解 322141120112011201015101510151015601560007123400330033rrrrrrD 34120101512100330007rr 。 例 計算3111131111311113D 解 1123411632,3,461

9、111111111163111311020066 248613111310020611311130002icccccrriD。 6 6 行行列列式式按按行行（列列）展展開開 定義 在n階行列式中，把元素ija所處的第i行、第j列劃去，剩下的元素按原排列構(gòu)成的1n階行列式，稱為ija的余余子子式式，記為ijM；而1ijijijAM 稱為ija的代代數(shù)數(shù)余余子子式式。 引引 理理 如果n階行列式中的第i行除ija外其余元素均為零，即 1111100jnijnnjnnaaaaDaaa 則ijijDa A。 證 先證簡單情形： 1122212222111111111121200nnnnnnnnnaaa

10、aaaDaa MaAaaaaa； 再證一般情形： 121111111121100,1,ijiiijjnjjnjnnnarrrraaaDccccaaa 1ijijijijija Ma A 定理定理 行列式等于它的任意一行（列）的各元素與對應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和，即 1122,1,2,iiiiininDa Aa Aa Ain 1122,1,2,jjjjnjnjDa Aa Aa Ajn （此定理稱為行列式按行（列）展開定理） 證：111211212000000niiinnnnnaaaDaaaaaa 11121111211112112121212000000nnniiinnnnnnnnnnnnnaaa

11、aaaaaaaaaaaaaaaaaa 1122,1,2,iiiiinina Aa Aa Ain 例 21122112D 解 121001122112nnrrrD 111211211211112112121nnn 按第一行展開 11nD 從而解得1nDn。 定理的推論定理的推論 行列式一行（列）的各元素與另一行（列）對應(yīng)各元素的代數(shù)余子式乘積之和為零，即 11220,ijijinjna Aa Aa Aij 11220,ijijninja Aa Aa Aij 結(jié)合定理及推論，得 1122,0,ijijinjnDija Aa Aa Aij 1122,0,ijijninjDija Aa Aa Aij 或 1nikjkijka AD，1nkikjijka AD，其中1,0,ijijij 7 7 克拉默法則克拉默法則 定理（克拉默法則）定理（克拉默法則） 設(shè)線性方程組 11 11221121 1222221 122nnnnnnnnnna xa xa xba xa xa xba xa xa xb 的系數(shù)行列式 1121112222120nnnnnnaaaaaaDaaa 則上述線性方程組有唯一解： 1212,nnDDDxxxDDD， 其中 111,111,11212,122,121,1,1jjnjjnjnn jnn jnnaabaaaabaaDaabaa 當(dāng)12,nb bb全