4協(xié)方差及相關(guān)系數(shù)ppt課件

1、課件制作：應(yīng)用數(shù)學(xué)系概率統(tǒng)計課程組概率論與數(shù)理統(tǒng)計概率論與數(shù)理統(tǒng)計4.4 4.4 協(xié)方差及相關(guān)系數(shù)協(xié)方差及相關(guān)系數(shù)4.4.1 4.4.1 協(xié)方差及相關(guān)系數(shù)的定義協(xié)方差及相關(guān)系數(shù)的定義4.4.1 4.4.1 協(xié)方差及相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)協(xié)方差及相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)問題問題 對于二維隨機變量對于二維隨機變量(X ,Y ):已知聯(lián)合分布已知聯(lián)合分布邊緣分布邊緣分布 這說明對于二維隨機變量，除了每個隨機變量各自的概率特性以外，相互之間可能還有某種聯(lián)系. 問題是用一個什么樣的數(shù)去反映這種聯(lián)系. )(EYYEXXE 數(shù)數(shù)反映了隨機變量反映了隨機變量X ,Y 之間的某種關(guān)系之間的某種關(guān)系定義定義 稱稱)()(YEYXE

2、XE為為X ,Y 的協(xié)方差的協(xié)方差. 記為記為)()(),cov(YEYXEXEYX稱稱)(),cov(),cov()(YDYXYXXD為為X , Y ）的協(xié)方差矩陣）的協(xié)方差矩陣4.4.1 4.4.1 協(xié)方差及相關(guān)系數(shù)的定義協(xié)方差及相關(guān)系數(shù)的定義cov( , )()X YE XYEX EY若D (X ) 0, D (Y ) 0 ,稱)()(),cov()()()()(YDXDYXYDXDYEYXEXE為X ,Y 的 相關(guān)系數(shù)，記為)()(),cov(YDXDYXXY假設(shè), 0XY 稱 X ,Y 不相關(guān).協(xié)協(xié)方方差差的的性性質(zhì)質(zhì)：),(),()1(XYCovYXCov 為常數(shù)為常數(shù)baXYCo

3、vabbYaXCov,),(),()2( ),(),(),()3(2121YXCovYXCovYXXCov 4.4.2 4.4.2 協(xié)方差及相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)協(xié)方差及相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)相相關(guān)關(guān)系系數(shù)數(shù)的的性性質(zhì)質(zhì)：1|)1( XY 則則若若,)2(baXY 1010XYXYaa ，時時，時時1)(1)3( baXYPXY 0,)4( XYYX 則則相相互互獨獨立立若若注注: :程度程度之間的線性關(guān)系的密切之間的線性關(guān)系的密切的大小反映了的大小反映了YXXY, 之之間間無無線線性性關(guān)關(guān)系系時時YXXY,0 之之間間具具有有線線性性關(guān)關(guān)系系時時YXXY,1 不相關(guān)不相關(guān)與與YX0 XY 0),( YXCo

4、vEXEYXYE )(注注: :顯然顯然相關(guān)相關(guān)YXXY,0 YXXY,0 不相關(guān)不相關(guān)YXXY,0 正相關(guān)正相關(guān)YXXY,0 負相關(guān)負相關(guān)),1(完完全全正正相相關(guān)關(guān)YXXY ),1(完全負相關(guān)完全負相關(guān)YXXY 獨獨立立YX,獨獨立立不不相相關(guān)關(guān)不不一一定定有有YXYX,協(xié)方差的性質(zhì)q )()()(),cov(),cov(YEXEXYEXYYXq q q q ),cov(),cov(YXabbYaX),cov(),cov(),cov(ZYZXZYX)(),cov(XDXX)()(| ),cov(|2YDXDYX當D(X ) 0, D(Y ) 0 時，當且僅當1)()(0XEXtYEYP時，

5、等式成立 Cauchy-Schwarz不等式協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)回顧協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)回顧證證 5 令令2)()()(XEXtYEYEtg)(),cov(2)(2XDtYXtYD0)(tg對任何實數(shù)對任何實數(shù) t ,0)()(4),(cov42YDXDYX即即)()(| ),cov(|2YDXDYX等號成立等號成立0)(tg有兩個相等的實零點有兩個相等的實零點)()()(),cov(0XDYDXDYXt0)(0tg0)()(20XEXtYEYE即即又顯然又顯然0)()(0XEXtYEYE0)()(0XEXtYEYD10)()(0XEXtYEYP10)()(0XEXtYEYP即1)()(0

6、XEXtYEYP即Y 與X 有線性關(guān)系的概率等于1，這種線性關(guān)系為1)()()()(XDXEXYDYEYP完全類似地可以證明完全類似地可以證明)()()(222YEXEXYE當當E(X 2) 0, E(Y 2 ) 0 時，當且僅當時，當且僅當1)(0XtYP時，等式成立時，等式成立 利用函數(shù)的期望或方差計算協(xié)方差利用函數(shù)的期望或方差計算協(xié)方差q 假設(shè)假設(shè) ( X ,Y ) 為離散型，為離散型，ijijjipYEyXExYX11)()(),cov(q 假設(shè)假設(shè) ( X ,Y ) 為連續(xù)型，為連續(xù)型， dxdyyxfYEyXExYX),()()(),cov(協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)的計算協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)的

7、計算q )()()(),cov(YEXEXYEYX)()()(21YDXDYXD 1 0 p qX P 1 0 p qY P 求求 Cov (X ,Y ), XY 知知 X ,Y 的聯(lián)合分布為的聯(lián)合分布為XY 1 010 p 0 0 q0 p 1p + q = 1解解: 1 0 p qX Y P 例例4.4.14.4.1pqDYpqDXpEYpEX ,pXYE )(1),()(),( DYDXYXCovpqEXEYXYEYXCovXY 由由是是否否相相互互獨獨立立？說說明明理理與與問問）（是是否否相相關(guān)關(guān)？與與并并問問的的協(xié)協(xié)方方差差和和相相關(guān)關(guān)系系數(shù)數(shù)，與與求求和和方方差差的的期期望望求求的

8、的概概率率密密度度函函數(shù)數(shù)為為設(shè)設(shè)XXXXXXDXEXXxexfXx3)2()1(),(,21)( dxexEXx 21)1(0 例例4.4.24.4.2解解:22)(EXEXDX 0212 dxexxdxexx 022122 XEEXXXEXXCov )(),()2(021 dxexxx0 XDDXXXCovXX),( 0 不不相相關(guān)關(guān)與與所所以以XX獨獨立立性性由由其其定定義義來來判判斷斷)3(),()(, 0aXaXa 事事件件對對于于任任意意的的常常數(shù)數(shù)因因此此有有且且, 1)(, 0)( aXPaXP)(),(aXPaXaXP )()()(aXPaXPaXP )()(),(aXPaX

9、PaXaXP 所所以以不不獨獨立立與與故故XX的的聯(lián)聯(lián)合合密密度度函函數(shù)數(shù)求求相相互互獨獨立立時時，當當是是否否相相關(guān)關(guān)？是是否否獨獨立立？，問問的的相相關(guān)關(guān)系系數(shù)數(shù)與與求求又又正正態(tài)態(tài)分分布布都都服服從從是是相相互互獨獨立立的的隨隨機機變變量量和和設(shè)設(shè)),(,)3()2()1(,), 0(,2 bYaXbYaXNYX ), 0(, ), 0()1(22 NYNX2, 0 DYDXEYEX)(bYaXEE bEYaEX 0 )(bYaXEE bEYaEX 0 例例4.4.34.4.3解解:也也相相互互獨獨立立所所以以相相互互獨獨立立已已知知bYaXYX,故故有有)(bYaXDD DYbDXa2

10、2 222)( ba )(bYaXDD DYbDXa22 222)( ba )()(2222YbXaEE 2222EYbEXa 222)( ba DDCov),( 所所以以 DDEEE )(2222baba 0)2( 時時，當當ba不相關(guān)不相關(guān) ,0 時時，當當ba相關(guān)相關(guān) ,的的線線性性組組合合為為獨獨立立都都服服從從正正態(tài)態(tài)分分布布且且相相互互由由于于YXYX, )(0(,222 baN ，都都服服從從正正態(tài)態(tài)分分布布所所以以不不相相關(guān)關(guān)與與獨獨立立是是等等價價的的在在正正態(tài)態(tài)分分布布中中,時時當當所所以以ba 獨獨立立 ,時時當當ba 不獨立不獨立 ,)2 , 0(,)3(2222 aN

11、ba正正態(tài)態(tài)分分布布都都服服從從即即相相互互獨獨立立時時當當 22222221)( aseasf 22222221)( ateatf 222242241),( atseatsf 所所以以q 0XYX , Y 不相關(guān)不相關(guān)0),cov(YX)()()(YEXEXYE)()()(YDXDYXDX , Y 相互獨立相互獨立X , Y 不相關(guān)不相關(guān)假設(shè)假設(shè) X , Y 服從二維正態(tài)分布，服從二維正態(tài)分布，X , Y 相互獨立相互獨立X , Y 不相關(guān)不相關(guān) X X和和Y Y獨立時，獨立時， =0=0，但其逆不真，但其逆不真. .由于當由于當X X和和Y Y獨立時，獨立時，Cov(X,Y)= 0.Cov(X,Y)= 0.故故)()(),(YDXDYXCov= 00但由但由并不一定能推出并不一定能推出X X和和Y Y 獨立獨立. .請看下例.例例4.4.4 4.4.4 設(shè)設(shè)X X服從服從(-1/2, 1/2)(-1/2, 1/2)內(nèi)的均勻分內(nèi)的均勻分布布, ,而而Y=cos X,Y=cos X,（請課下自行驗證）（請課下自行驗證）因此因此