流體力學(xué)課件第3章流體運(yùn)動(dòng)的基本原理

1、1第一節(jié)、流體運(yùn)動(dòng)的描述方法第一節(jié)、流體運(yùn)動(dòng)的描述方法 一、拉格朗日法（一、拉格朗日法（lj） 以流體質(zhì)點(diǎn)作為著眼點(diǎn)，以流體個(gè)別質(zhì)點(diǎn)隨時(shí)間的以流體質(zhì)點(diǎn)作為著眼點(diǎn)，以流體個(gè)別質(zhì)點(diǎn)隨時(shí)間的運(yùn)動(dòng)為基礎(chǔ)，通過(guò)綜合足夠多的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)確定整個(gè)流動(dòng)。運(yùn)動(dòng)為基礎(chǔ)，通過(guò)綜合足夠多的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)確定整個(gè)流動(dòng)。22、質(zhì)點(diǎn)位置方程（即、質(zhì)點(diǎn)位置方程（即軌跡方程）軌跡方程）),(),(),(tcbazztcbayytcbaxx1、基本思想：質(zhì)點(diǎn)系法、基本思想：質(zhì)點(diǎn)系法說(shuō)明：說(shuō)明：3（1）流速方流速方程程 均為（均為（a，b，c，t）的函數(shù)。）的函數(shù)。 tzutyutxuzyx；222222tzatyatxazyx；（2）加速

2、度加速度方程方程 4二、歐拉法（二、歐拉法（IM）1、基本思想：流場(chǎng)法基本思想：流場(chǎng)法2、流場(chǎng)描述、流場(chǎng)描述 流場(chǎng)的運(yùn)動(dòng)要素及相關(guān)物理量都是時(shí)、空坐標(biāo)流場(chǎng)的運(yùn)動(dòng)要素及相關(guān)物理量都是時(shí)、空坐標(biāo)（x,y,z,t）的連續(xù)函數(shù)）的連續(xù)函數(shù) ： ），（tzyx歐拉變量歐拉變量（1）歐拉）歐拉速度方程速度方程 ），（），（），（tzyxuutzyxuutzyxuuzzyyxx5（2）歐拉加速度）歐拉加速度（難點(diǎn)難點(diǎn)） 確定加速度需要確定加速度需要跟定流體質(zhì)點(diǎn)跟定流體質(zhì)點(diǎn)，即此時(shí)，即此時(shí)x，y，z不再不再是任意的空間點(diǎn)，而是流體質(zhì)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中先后經(jīng)過(guò)是任意的空間點(diǎn)，而是流體質(zhì)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中先后經(jīng)過(guò)的點(diǎn)，成

3、為時(shí)間的點(diǎn)，成為時(shí)間t的函數(shù)，所以該流體質(zhì)點(diǎn)的速度應(yīng)寫(xiě)為：的函數(shù)，所以該流體質(zhì)點(diǎn)的速度應(yīng)寫(xiě)為：),(),(),(ttztytxuu其中位置坐標(biāo)對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)等于速度矢量：其中位置坐標(biāo)對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)等于速度矢量：),(),(zyxuuuudtzyxd），（tzyxuu6dtdzzudtdyyudtdxxutudtudazuuyuuxuutuazyxzuuyuuxuutuaxzxyxxxxzuuyuuxuutuayzyyyxyyzuuyuuxuutuazzzyyxzz即即或或），（tttuztuytuxuuzyxp*、基于質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程分析、基于質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程分析），（tzyxuup質(zhì)點(diǎn)移動(dòng)的距離為質(zhì)

4、點(diǎn)移動(dòng)的距離為:），（zyxP流體質(zhì)點(diǎn)的速度為：流體質(zhì)點(diǎn)的速度為：經(jīng)經(jīng) t后，該流體質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到后，該流體質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到），（tuztuytuxPzyxtu 在在P點(diǎn)流體質(zhì)點(diǎn)的速度為：點(diǎn)流體質(zhì)點(diǎn)的速度為：Pxpzytu O7），（），（tzyxutttuztuytuxuzyx泰勒泰勒展開(kāi)，忽略高階微小量展開(kāi)，忽略高階微小量：ttuzuuyuuxuutzyxuttutuzutuyutuxutzyxuuuuzyxzyxpp）（），（），（8tuat0lim加速度定義：加速度定義：ppuuu位變加速度位變加速度：時(shí)變加速度時(shí)變加速度：恒定流：恒定流：tuzuuyuuxuuazyx9均勻流：均勻流：固定空間

5、點(diǎn)速度隨時(shí)間變化引起的加速度；（非穩(wěn)態(tài)）固定空間點(diǎn)速度隨時(shí)間變化引起的加速度；（非穩(wěn)態(tài)）速度隨位置變化引起的加速度。（非均勻）速度隨位置變化引起的加速度。（非均勻）時(shí)變加速度等于零；時(shí)變加速度等于零；位變加速度等于零。位變加速度等于零。（1）水位恒定）水位恒定（2）水位變化）水位變化10例：例：直線過(guò)直線過(guò)O（0，0）和）和B（8，6），若流體質(zhì)點(diǎn)沿該直線），若流體質(zhì)點(diǎn)沿該直線以速度以速度)/( 322smyxu解：解：xyxxyxauux33cos2222yyxyyxauuy33sin2222xtuyuuxuuaxxyxxx9ytuyuuxuuayyyyxy922229yxaaayxxOy

6、（x，y）B11運(yùn)動(dòng)，求質(zhì)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)，求質(zhì)點(diǎn)在B點(diǎn)的點(diǎn)的加速度。加速度。)/(90366492)(smaB一、流動(dòng)分類(lèi)一、流動(dòng)分類(lèi)1、層流與紊流、層流與紊流 有序性。有序性。 水頭損失與流速的水頭損失與流速的1次方成正比；次方成正比； 在流速較小且雷諾數(shù)在流速較小且雷諾數(shù)Re較小時(shí)發(fā)生較小時(shí)發(fā)生; 遵循遵循牛頓內(nèi)摩擦定律牛頓內(nèi)摩擦定律，粘性抑制質(zhì)點(diǎn)作橫向運(yùn)動(dòng)。，粘性抑制質(zhì)點(diǎn)作橫向運(yùn)動(dòng)。vdRedydu12第二節(jié)、流體運(yùn)動(dòng)的若干概念第二節(jié)、流體運(yùn)動(dòng)的若干概念特點(diǎn)：特點(diǎn)：層流 流體質(zhì)點(diǎn)不互相混雜，流體質(zhì)點(diǎn)流體質(zhì)點(diǎn)不互相混雜，流體質(zhì)點(diǎn)有條不紊地作有條不紊地作直線直線運(yùn)動(dòng)。運(yùn)動(dòng)。（1）層流）層流(2)紊

7、流紊流質(zhì)點(diǎn)相互混摻，流體質(zhì)點(diǎn)沿不規(guī)則的路徑運(yùn)動(dòng)。質(zhì)點(diǎn)相互混摻，流體質(zhì)點(diǎn)沿不規(guī)則的路徑運(yùn)動(dòng)。特點(diǎn)特點(diǎn):無(wú)序性、隨機(jī)性、有旋性、混合性無(wú)序性、隨機(jī)性、有旋性、混合性水頭損失與流速的水頭損失與流速的1.752次方成正比次方成正比在流速較大且雷諾數(shù)較大時(shí)發(fā)生在流速較大且雷諾數(shù)較大時(shí)發(fā)生13紊流,2紊流中質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)要素具有隨機(jī)性（蟻群運(yùn)動(dòng)），流紊流中質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)要素具有隨機(jī)性（蟻群運(yùn)動(dòng)），流速的大小、方向隨機(jī)變化。速的大小、方向隨機(jī)變化。2.恒定流與非恒定流恒定流與非恒定流（1）恒定流（定常流、穩(wěn)態(tài)流）恒定流（定常流、穩(wěn)態(tài)流） 流場(chǎng)中各空間點(diǎn)上的流體運(yùn)動(dòng)參流場(chǎng)中各空間點(diǎn)上的流體運(yùn)動(dòng)參數(shù)均不隨時(shí)間而變化：數(shù)均不

8、隨時(shí)間而變化：0tU0 0 0tututuzyx， 嚴(yán)格的恒定流只可能發(fā)生在層流。嚴(yán)格的恒定流只可能發(fā)生在層流。 紊流中，若紊流中，若時(shí)均流速時(shí)均流速不隨時(shí)間變化，可認(rèn)為是恒定不隨時(shí)間變化，可認(rèn)為是恒定流：流： 或或TdtuTu01液液位位140tu（2）非恒定流）非恒定流 （非定常流、非穩(wěn)態(tài)流）（非定常流、非穩(wěn)態(tài)流） 流體流動(dòng)空間點(diǎn)上各運(yùn)動(dòng)參數(shù)與隨時(shí)間有關(guān)的流動(dòng)：流體流動(dòng)空間點(diǎn)上各運(yùn)動(dòng)參數(shù)與隨時(shí)間有關(guān)的流動(dòng)：至少一個(gè)不等于至少一個(gè)不等于0。液液位位15），（，zyxtUUtU0tututuzyx，A、流動(dòng)隨時(shí)間按一定規(guī)律變化；、流動(dòng)隨時(shí)間按一定規(guī)律變化；B、流場(chǎng)中任意空間點(diǎn)的、流場(chǎng)中任意空間

9、點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)要素不隨時(shí)間變化；運(yùn)動(dòng)要素不隨時(shí)間變化；C、各過(guò)流斷面的速度分布相同；、各過(guò)流斷面的速度分布相同；D、各過(guò)流斷面的壓強(qiáng)相同。、各過(guò)流斷面的壓強(qiáng)相同。 恒定流是：？恒定流是：？3.均勻流與非均勻流均勻流與非均勻流（1）均勻流：）均勻流：流體質(zhì)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中流體質(zhì)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中速度速度不變的流動(dòng)。不變的流動(dòng)。 1） 質(zhì)點(diǎn)流速平行，過(guò)水?dāng)嗝媸瞧矫?；質(zhì)點(diǎn)流速平行，過(guò)水?dāng)嗝媸瞧矫妫?）同一流線上各）同一流線上各質(zhì)點(diǎn)速度相等；質(zhì)點(diǎn)速度相等；3）沿程各過(guò)水?dāng)嗝嫘螤詈痛笮”３忠粯?。）沿程各過(guò)水?dāng)嗝嫘螤詈痛笮”３忠粯?。?）非均勻流：）非均勻流：流線不是平行直線的流動(dòng)。流線不是平行直線的流動(dòng)。 0su1

10、6特點(diǎn)：特點(diǎn)：0su特點(diǎn)：特點(diǎn)： 流速大小或方向或二者同時(shí)沿程改變，即沿流程方流速大小或方向或二者同時(shí)沿程改變，即沿流程方向速度分布不均，如收縮管、擴(kuò)散管或彎管中的流動(dòng)。向速度分布不均，如收縮管、擴(kuò)散管或彎管中的流動(dòng)。174、一元流、二元流、三元流、一元流、二元流、三元流 按液流運(yùn)動(dòng)要素所含按液流運(yùn)動(dòng)要素所含空間坐標(biāo)變量空間坐標(biāo)變量的個(gè)數(shù)分為：的個(gè)數(shù)分為： 流動(dòng)流體的運(yùn)動(dòng)要素是一個(gè)空間坐標(biāo)的函數(shù)。流動(dòng)流體的運(yùn)動(dòng)要素是一個(gè)空間坐標(biāo)的函數(shù)。流動(dòng)要素是二個(gè)空間坐標(biāo)的函數(shù)。流動(dòng)要素是二個(gè)空間坐標(biāo)的函數(shù)。 運(yùn)動(dòng)要素是三個(gè)空間坐標(biāo)函數(shù)。水運(yùn)動(dòng)要素是三個(gè)空間坐標(biāo)函數(shù)。水在斷面形狀與大小沿程變化的河道中流在斷

11、面形狀與大小沿程變化的河道中流動(dòng)，水對(duì)船的繞流，大壩泄水等：動(dòng)，水對(duì)船的繞流，大壩泄水等：t)(s,uut)y,(x,uut)z,y,(x,uu181、跡線：、跡線： 例：例： 消去參數(shù)消去參數(shù)t并給定（并給定（a，b，c）即得相應(yīng)質(zhì)點(diǎn)的跡線方）即得相應(yīng)質(zhì)點(diǎn)的跡線方程。程。 （1）拉格朗日法跡線方程）拉格朗日法跡線方程），（tcbaxx），（tcbayy），（tcbazz某一質(zhì)點(diǎn)在某一某一質(zhì)點(diǎn)在某一時(shí)段時(shí)段內(nèi)的運(yùn)動(dòng)內(nèi)的運(yùn)動(dòng)軌跡軌跡曲線。曲線。（2）歐拉法跡線方程）歐拉法跡線方程 若質(zhì)點(diǎn)若質(zhì)點(diǎn)P在時(shí)間在時(shí)間dt內(nèi)從內(nèi)從A點(diǎn)運(yùn)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到動(dòng)到B點(diǎn)，則質(zhì)點(diǎn)移動(dòng)速度為：點(diǎn)，則質(zhì)點(diǎn)移動(dòng)速度為：dtrdu得跡

12、線方程得跡線方程:dtdzdydxzyxuuuYOABZ202、流線流線 表示表示某一瞬時(shí)某一瞬時(shí)流體各點(diǎn)流動(dòng)流體各點(diǎn)流動(dòng)趨勢(shì)的曲線，其上任一點(diǎn)的趨勢(shì)的曲線，其上任一點(diǎn)的切線切線方向方向與該點(diǎn)流速方向重合。即同與該點(diǎn)流速方向重合。即同一時(shí)刻不同質(zhì)點(diǎn)的速度方向線。一時(shí)刻不同質(zhì)點(diǎn)的速度方向線。性質(zhì)：性質(zhì)： 1）流線不能相交；）流線不能相交；3）流場(chǎng)中每一點(diǎn)都有流線通過(guò)，所有流線形成流譜；）流場(chǎng)中每一點(diǎn)都有流線通過(guò)，所有流線形成流譜； 2）流線不能是折線，而是一條光滑曲線）流線不能是折線，而是一條光滑曲線;4）非穩(wěn)態(tài)流場(chǎng)流線隨時(shí)變；穩(wěn)態(tài)流場(chǎng)流線不隨時(shí)間變；）非穩(wěn)態(tài)流場(chǎng)流線隨時(shí)變；穩(wěn)態(tài)流場(chǎng)流線不隨時(shí)間

13、變； 21rv演示演示1演示演示3演示演示2 設(shè)設(shè)r為為流線上某一位置流線上某一位置的矢徑，的矢徑，u是該點(diǎn)的速度矢是該點(diǎn)的速度矢量。因速度與流線相切，量。因速度與流線相切，所以流線微元段對(duì)應(yīng)的矢所以流線微元段對(duì)應(yīng)的矢徑增量徑增量dr必然與該點(diǎn)的速必然與該點(diǎn)的速度度u平行平行,則：則：2.1流線方程流線方程 u0rdu0rdukujuiuuzyx0kdydxuujdxdzuuidzdyuudzdydxuuukjirduyxxzzyzyx22kdzjdyidxrdZOuY根據(jù)行列式的性質(zhì)，有：根據(jù)行列式的性質(zhì)，有：23例例 ：已知流速場(chǎng)方程如下，：已知流速場(chǎng)方程如下，C為常數(shù)，求流線方程。為常數(shù)

14、，求流線方程。 02222zyxuyxCyuyxCxu，zyxudzudyudx流線微分方程流線微分方程24解：由流線微分方程解：由流線微分方程zyxudzudyudx2222yxCydyyxCxdxydyxdxyCxlnlnln1xCy1200Czdzuz，又該流線為該流線為OxyOxy平面上的一簇通過(guò)原點(diǎn)的平面上的一簇通過(guò)原點(diǎn)的直線，這種流動(dòng)稱(chēng)為平面直線，這種流動(dòng)稱(chēng)為平面點(diǎn)源點(diǎn)源流動(dòng)（流動(dòng)（C C0 0時(shí)）或平面時(shí)）或平面點(diǎn)匯點(diǎn)匯流動(dòng)（流動(dòng)（C C0 0時(shí)）時(shí)） 。將：將：t=0， x=-1,y=-1時(shí)，時(shí)，C=-1解：（解：（1）由流線方程）由流線方程tyutxuyx，yxudyudxt

15、ydytxdxCtytxlnlnln）（）（25例例3-4： 平面流動(dòng)速度分布方程如下平面流動(dòng)速度分布方程如下1xy試求：試求： 1）t=0時(shí)，過(guò)點(diǎn)時(shí)，過(guò)點(diǎn)M（-1，-1）的流線；）的流線；2）求在）求在t=0時(shí)位于時(shí)位于x=-1，y=-1點(diǎn)處流體質(zhì)點(diǎn)的跡線。點(diǎn)處流體質(zhì)點(diǎn)的跡線。得瞬時(shí)流線：得瞬時(shí)流線：Ctytx）（(t=0時(shí)，x=-1，y=-1,得C1=0, C2=0，即所求跡線方程為：11tecxt12tecyt（2）由跡線方程）由跡線方程:dtudyudxyx由非齊次線性常微分方程求解通式得：由非齊次線性常微分方程求解通式得：dttydytyutxuyxdttxdx02 yx1 tx1

16、ty跡線與流線的比較跡線與流線的比較概概念念 定定 義義 備備 注注流流 線線 表示流體流動(dòng)趨勢(shì)的一條曲線，在表示流體流動(dòng)趨勢(shì)的一條曲線，在同一瞬時(shí)線上各質(zhì)點(diǎn)的速度向量都同一瞬時(shí)線上各質(zhì)點(diǎn)的速度向量都與其相切，描述了流場(chǎng)中不同質(zhì)點(diǎn)與其相切，描述了流場(chǎng)中不同質(zhì)點(diǎn)在同一時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)情況。在同一時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)情況。 t為參變量。為參變量。 跡跡 線線指某一質(zhì)點(diǎn)在某段時(shí)間內(nèi)的運(yùn)動(dòng)軌指某一質(zhì)點(diǎn)在某段時(shí)間內(nèi)的運(yùn)動(dòng)軌跡，它描述流場(chǎng)中同一質(zhì)點(diǎn)在不同跡，它描述流場(chǎng)中同一質(zhì)點(diǎn)在不同時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)情況。時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)情況。 t為自變量。為自變量。 zyxudzudyudxdtudzudyudxzyx27三、流管、流束、總流三、流

17、管、流束、總流28 在流場(chǎng)中取一條不與流線重合的封閉曲線，那么通過(guò)在流場(chǎng)中取一條不與流線重合的封閉曲線，那么通過(guò)該曲線的所有流線構(gòu)成的管狀曲面稱(chēng)為該曲線的所有流線構(gòu)成的管狀曲面稱(chēng)為流管流管；管中的流體；管中的流體稱(chēng)為稱(chēng)為流束流束；無(wú)限多微元流束組成的總的流束稱(chēng)；無(wú)限多微元流束組成的總的流束稱(chēng)總流總流。流管表面有流體進(jìn)出嗎？流管表面有流體進(jìn)出嗎？WHYWHY？四、過(guò)流斷面、濕周和水力半徑四、過(guò)流斷面、濕周和水力半徑29 與流線處處相垂直與流線處處相垂直的斷面（曲面或平面）。的斷面（曲面或平面）。過(guò)流斷面內(nèi)的流體與固體壁接觸線的長(zhǎng)度過(guò)流斷面內(nèi)的流體與固體壁接觸線的長(zhǎng)度 （m）。）。 過(guò)流斷面的面積

18、過(guò)流斷面的面積與濕周之比與濕周之比:AR 21dA2A1A1v1n2n1vdA1、過(guò)流斷面：、過(guò)流斷面：2、濕周、濕周：3、水力半徑、水力半徑：30五、流量與平均流速五、流量與平均流速2、平均流速、平均流速 假定過(guò)流斷面假定過(guò)流斷面A上的流體質(zhì)點(diǎn)都以上的流體質(zhì)點(diǎn)都以v速速度流動(dòng)，即度流動(dòng)，即AqudAAvvAudAqvAAv11、流量、流量:單位時(shí)間內(nèi)流過(guò)過(guò)流斷面的流體量。單位時(shí)間內(nèi)流過(guò)過(guò)流斷面的流體量。AvudAqAmudAq*、體積流量、體積流量*、質(zhì)量流量、質(zhì)量流量:在在過(guò)流斷面過(guò)流斷面A上取微元面積上取微元面積dA, u為微元上的點(diǎn)速為微元上的點(diǎn)速,則則31六、漸變流過(guò)流斷面的性質(zhì)（六

19、、漸變流過(guò)流斷面的性質(zhì)（im）、漸變流過(guò)流斷面近似平漸變流過(guò)流斷面近似平面，其上各點(diǎn)的流速方向近乎平行；面，其上各點(diǎn)的流速方向近乎平行；、漸變流漸變流過(guò)流斷面近似平過(guò)流斷面近似平面，其上各點(diǎn)的動(dòng)（水）壓強(qiáng)近似面，其上各點(diǎn)的動(dòng)（水）壓強(qiáng)近似按靜壓強(qiáng)規(guī)律分布，即同一過(guò)流斷按靜壓強(qiáng)規(guī)律分布，即同一過(guò)流斷面上：面上：Cgpz證明證明:（zx）：）：P621、系統(tǒng)及其特點(diǎn)、系統(tǒng)及其特點(diǎn) 系統(tǒng)是指確定不變的物質(zhì)集合；系統(tǒng)以外的物系統(tǒng)是指確定不變的物質(zhì)集合；系統(tǒng)以外的物質(zhì)稱(chēng)為外界；系統(tǒng)與外界的分界面稱(chēng)為邊界。質(zhì)稱(chēng)為外界；系統(tǒng)與外界的分界面稱(chēng)為邊界。特點(diǎn)：特點(diǎn)：32t1t3t2研究系統(tǒng)用拉格朗日法描述研究系統(tǒng)

20、用拉格朗日法描述2 2、控制體及其特點(diǎn)、控制體及其特點(diǎn) 在流場(chǎng)中劃定的一個(gè)固定的在流場(chǎng)中劃定的一個(gè)固定的空間區(qū)域空間區(qū)域，該區(qū)域完全被，該區(qū)域完全被流動(dòng)流體所充滿。控制體的邊界面是一個(gè)封閉曲面流動(dòng)流體所充滿。控制體的邊界面是一個(gè)封閉曲面( (控制控制面面) )。采用歐拉法研究采用歐拉法研究33特點(diǎn)：特點(diǎn)：控制體的邊界面固定不變；控制體的邊界面固定不變；控制面上可以有質(zhì)量和能量交換；控制面上可以有質(zhì)量和能量交換；控制面上受到控制體以外流體或固體控制面上受到控制體以外流體或固體施加在的力；施加在的力；占據(jù)控制體的流體質(zhì)點(diǎn)隨著時(shí)間是在占據(jù)控制體的流體質(zhì)點(diǎn)隨著時(shí)間是在不斷更換。不斷更換。第三節(jié)第三節(jié)

21、有旋流運(yùn)動(dòng)和無(wú)旋流動(dòng)有旋流運(yùn)動(dòng)和無(wú)旋流動(dòng)一、流體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)一、流體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)特點(diǎn) 2、流體流體微團(tuán)微團(tuán)平移：平移：保持原狀和方位保持原狀和方位轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng)：形狀不變、方位變：形狀不變、方位變變形：變形：線變形、角變形線變形、角變形 1、 剛體剛體：平移、轉(zhuǎn)動(dòng)或兼而有之。：平移、轉(zhuǎn)動(dòng)或兼而有之。二、渦量及旋轉(zhuǎn)角速度二、渦量及旋轉(zhuǎn)角速度kzjyix流速場(chǎng)的旋度矢量。流速場(chǎng)的旋度矢量。zyxuuuzyxkjiurotu 1、渦量、渦量kujuiuuzyx哈密頓哈密頓算子算子渦量渦量旋度旋度36) , ,(zyxzyxxyzxyzkjikyuxujxuzuizuyu）（）（）（kuuyxjuuxziu

22、uzyuuuzyxkjiyxxzzyzyx展開(kāi)：展開(kāi)： 原來(lái)互相垂直的兩鄰邊原來(lái)互相垂直的兩鄰邊的角轉(zhuǎn)速平均值角轉(zhuǎn)速平均值定義為流體微團(tuán)繞某轉(zhuǎn)軸的角速度。2、角速度及數(shù)學(xué)描述、角速度及數(shù)學(xué)描述設(shè)在設(shè)在Oxy平面內(nèi)，微團(tuán)平面內(nèi)，微團(tuán)ABCD經(jīng)過(guò)經(jīng)過(guò) t時(shí)間后到達(dá)時(shí)間后到達(dá)ABCD:dxdtxuADx的伸長(zhǎng)*、AD的伸長(zhǎng)的伸長(zhǎng)xuxxx2d1ddyyuuyydyyuuxxdxxuuyydxxuuxxxuADBCdxdtxuy ADBCCDBdydtyuxdydxdydxyuyx0zdtxudxdxdtxutgdyy11dtyudydydtyutgdxx22*、直角、直角DAB的減小的減小2d1dd

23、yyuuyydyyuuxxdxxuuyydxxuuxxxuADBCdxdtxuy ADBCCDBdydtyuxdydxdydxyuyx0z）（xuzuzxxoz21同理可得：同理可得：根據(jù)根據(jù)角速度角速度的定義的定義(順順-、逆、逆+）: )(21)(21yuxuxyyxxoyZ軸軸X軸軸Y軸軸z , ;21yudtdxudtdxyyx）（zuyuyzyoz21yx2d1ddxdtxuy ADBCCD Bdydtyuxdydxyx0zzxyzyzxyxyzxyuxuxuzuzuyu212121212121）（）（）（下標(biāo)代表？下標(biāo)代表？（坐標(biāo)軸）（坐標(biāo)軸）0. 0至少有一個(gè)不為、zyx 流體質(zhì)

24、點(diǎn)（微團(tuán)）在運(yùn)動(dòng)中不僅發(fā)生平動(dòng)（或形變），流體質(zhì)點(diǎn)（微團(tuán)）在運(yùn)動(dòng)中不僅發(fā)生平動(dòng)（或形變），而且繞著而且繞著自身的瞬時(shí)軸線自身的瞬時(shí)軸線作旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)。作旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)。 （如：旋風(fēng)、旋流器中的強(qiáng)制渦）。（如：旋風(fēng)、旋流器中的強(qiáng)制渦）。41 渦量是矢量，和流線一樣可定義渦線，該線上任意一渦量是矢量，和流線一樣可定義渦線，該線上任意一點(diǎn)的切線與渦量的方向一致。點(diǎn)的切線與渦量的方向一致。0rdzyxdzdydx0 rduzyxudzudyudx流線方程流線方程或或00zyx2、無(wú)旋運(yùn)動(dòng)：、無(wú)旋運(yùn)動(dòng)： 流體在運(yùn)動(dòng)中，流體質(zhì)點(diǎn)或微團(tuán)只有平動(dòng)或變形，但流體在運(yùn)動(dòng)中，流體質(zhì)點(diǎn)或微團(tuán)只有平動(dòng)或變形，但不發(fā)生旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)。即

25、流體質(zhì)點(diǎn)或微團(tuán)不繞其自身任意軸轉(zhuǎn)不發(fā)生旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)。即流體質(zhì)點(diǎn)或微團(tuán)不繞其自身任意軸轉(zhuǎn)動(dòng)。動(dòng)。 說(shuō)明：說(shuō)明：3、無(wú)旋運(yùn)動(dòng)的特性、無(wú)旋運(yùn)動(dòng)的特性速度有勢(shì)速度有勢(shì) 無(wú)旋運(yùn)動(dòng)：無(wú)旋運(yùn)動(dòng)：0u 若某矢量的旋度為若某矢量的旋度為0，該矢量必然是某個(gè)，該矢量必然是某個(gè)標(biāo)量函數(shù)標(biāo)量函數(shù) （勢(shì)函數(shù)）（勢(shì)函數(shù)）的的梯度梯度（即全導(dǎo)數(shù)），即（即全導(dǎo)數(shù)），即:gradu流體在環(huán)形流道中的流動(dòng)一定為有旋運(yùn)動(dòng)。（流體在環(huán)形流道中的流動(dòng)一定為有旋運(yùn)動(dòng)。（ ）判斷：判斷： graduzuyuxuzyx，即即kxjxix例：例： 流速場(chǎng)如下流速場(chǎng)如下 ，流動(dòng)是無(wú)旋流還是有旋流？若為無(wú)旋，流動(dòng)是無(wú)旋流還是有旋流？若為無(wú)旋，求勢(shì)函數(shù)

26、。求勢(shì)函數(shù)。解（解（1）確定角速度：）確定角速度：0zyxuaxuayu，；）（）（0002121zuyuyzxu或或該流動(dòng)為無(wú)旋流，所以為有勢(shì)流該流動(dòng)為無(wú)旋流，所以為有勢(shì)流. ；）（）（02121aayuxuxyz；）（）（0002121xuzuzxy0kyuxujxuzuizuyuxyzxyz）（）（）（對(duì)速度函數(shù)積分即得勢(shì)函數(shù)：對(duì)速度函數(shù)積分即得勢(shì)函數(shù)：axydxyaxdyydxaaxdyaydxdyudxuyx）（）（由勢(shì)函數(shù)的定義：由勢(shì)函數(shù)的定義：0022zyxuuyzku，zuyaxuxayuzyx0，kyzkyjyzkzkyzykjyzzkikyuxujxuzuizuyuuxyz

27、xyz2222222222002200）（）（）（）（）（）（解：解：zyxdzdydx由渦線微分方程：由渦線微分方程：得得2222yzkydzyzkzdyydzzdyCyz220022zyxuuyzku，47第四節(jié)、流體運(yùn)動(dòng)基本方程第四節(jié)、流體運(yùn)動(dòng)基本方程一、連續(xù)性微分方程一、連續(xù)性微分方程 在流場(chǎng)中取邊長(zhǎng)為在流場(chǎng)中取邊長(zhǎng)為dx,dy,dz的微元的微元6面體為控制體。面體為控制體。設(shè)中心點(diǎn)的流速分別為：設(shè)中心點(diǎn)的流速分別為：zyxuuu,以以X 向?yàn)槔驗(yàn)槔?，研究控制體內(nèi)流體的，研究控制體內(nèi)流體的質(zhì)量質(zhì)量變化。變化。左表面流速：左表面流速：dxxuuuxx21左右表面流速：右表面流速：dxx

28、uuuxx21右xzydx48dt時(shí)間內(nèi)在時(shí)間內(nèi)在X 方向方向流出、流進(jìn)流出、流進(jìn)微元體的流體微元體的流體質(zhì)量差質(zhì)量差：dydzdtdxxuudydzdtdxxuuxxxx)(21)(21dxdydzdtyuMyy)(dxdydzdtyuMzz)(同理：同理：課后自導(dǎo)課后自導(dǎo)左右M-MMxdxdydzdtxux)(xzy49 dt dt時(shí)間內(nèi)各方向流出、流進(jìn)控制體的流體質(zhì)量差之和時(shí)間內(nèi)各方向流出、流進(jìn)控制體的流體質(zhì)量差之和應(yīng)等于控制體內(nèi)因密度變化而應(yīng)等于控制體內(nèi)因密度變化而減少減少的質(zhì)量，即：的質(zhì)量，即：dxdydzdttMMMzyxdxdydzdttdxdydzdtzuyuxuzyx)()(

29、)(不受流體性質(zhì)和流動(dòng)類(lèi)型的限制。不受流體性質(zhì)和流動(dòng)類(lèi)型的限制。（3-18）0)()()(tzuyuxuzyx流體連續(xù)性微分方程流體連續(xù)性微分方程50（1）恒定流連續(xù)性方程）恒定流連續(xù)性方程0)()()(zuyuxuzyx（2）不可壓縮流體連續(xù)性方程）不可壓縮流體連續(xù)性方程0zuyuxuzyx（3-20）（3-22）例：給定速度場(chǎng)和密度場(chǎng)分布為：例：給定速度場(chǎng)和密度場(chǎng)分布為：tykyyzjzitxu4332，）（解：根據(jù)連續(xù)解：根據(jù)連續(xù)性方程性方程0301404304232）（）（）（yzttyyyztztxy滿足連續(xù)方程滿足連續(xù)方程,流場(chǎng)存在。流場(chǎng)存在。51）（zuyuxuzuyuxutzy

30、xzyx流場(chǎng)是否存在？流場(chǎng)是否存在？0)()()(tzuyuxuzyx例：已知三維例：已知三維不可壓縮不可壓縮流場(chǎng)，流場(chǎng)，X和和Y方向的速度分別為方向的速度分別為. 32zyxuzxyzxyuyzxu），求（，根據(jù)根據(jù)不可壓縮不可壓縮流體的連續(xù)性方程：流體的連續(xù)性方程：0zuyuxuzyx由已知）（，zxyuxxuyx 2zxzuz積分得積分得Czxzuz22152解：解：53二、理想流體運(yùn)動(dòng)微分方程二、理想流體運(yùn)動(dòng)微分方程1、受力分析、受力分析（以（以X向?yàn)槔┫驗(yàn)槔?）表面力）表面力取以任意點(diǎn)（取以任意點(diǎn)（x,y,z)為中為中心的六面體，中心壓強(qiáng)心的六面體，中心壓強(qiáng)為為，各側(cè)面壓強(qiáng)，各

31、側(cè)面壓強(qiáng)通過(guò)中心點(diǎn)壓強(qiáng)做泰勒通過(guò)中心點(diǎn)壓強(qiáng)做泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)取一階微量級(jí)數(shù)展開(kāi)取一階微量:ppppzyxxzyMN2dxxpp2dxxpp54X方向表面力方向表面力左：左：dydzdxxppApM)2(右：右：dydzdxxppApN)2(（2）質(zhì)量力）質(zhì)量力dxdydzfdVfxx牛頓定律：牛頓定律：xxmaF xzyMN2dxxpp2dxxppoX方向質(zhì)量力方向質(zhì)量力即即速度的質(zhì)點(diǎn)導(dǎo)數(shù)速度的質(zhì)點(diǎn)導(dǎo)數(shù)55xzyMN2dxxpp2dxxppo)2()2(zuuyuuxuutudxdydzdxdydzfdydzdxxppdydzdxxppxzxyxxxx速度的質(zhì)點(diǎn)導(dǎo)數(shù)速度的質(zhì)點(diǎn)導(dǎo)數(shù)化簡(jiǎn)整理得：化簡(jiǎn)整

32、理得：zuuyuuxuutuxpfxzxyxxxx1（3-24）56同理可得同理可得Y、Z方向的結(jié)果。即：方向的結(jié)果。即：zuuyuuxuutuypfyzyyyxyy1zuuyuuxuutuzpfzzzyzxzz1zuuyuuxuutuxpfxzxyxxxx1uutupf)(1（3-24）（3-25）（一）、受力分析（一）、受力分析1、質(zhì)量力、質(zhì)量力dxdydzfzdxdydzfydxdydzfxzyx:向向向三、三、粘性流體粘性流體運(yùn)動(dòng)方程運(yùn)動(dòng)方程2、表面力表面力zyzxzzyzyxyyxzxyxxpzpypx、方向垂直的微元面上與、方向垂直的微元面上與、方向垂直的微元面上與:57xxpdx

33、xppxxxx58yxyxxyxuyu)(zyzyyzyuzu)(xzxzzxzuxu)(xxpdxxppxxxx3、廣義牛頓內(nèi)摩擦定律與切應(yīng)力互等定理、廣義牛頓內(nèi)摩擦定律與切應(yīng)力互等定理*下標(biāo)的意義及正負(fù)號(hào)約定（下標(biāo)的意義及正負(fù)號(hào)約定（P71頁(yè)）頁(yè)）： 第第1個(gè)角標(biāo)：應(yīng)力作用面的法線方向；個(gè)角標(biāo)：應(yīng)力作用面的法線方向； 第第2個(gè)角標(biāo)：應(yīng)力的作用方向個(gè)角標(biāo)：應(yīng)力的作用方向切應(yīng)力互等定理切應(yīng)力互等定理59xxpdxxppxxxx60）（）（）（zuyuxuzuppzuyuxuyuppzuyuxuxuppzyxzzzzyxyyyzyxxxx3223223224、實(shí)際流體動(dòng)壓強(qiáng)（正應(yīng)力）、實(shí)際流體動(dòng)

34、壓強(qiáng)（正應(yīng)力）)(31zzyyxxpppp正應(yīng)力和線變形速率之間的關(guān)系：正應(yīng)力和線變形速率之間的關(guān)系：61dxdydzfx:質(zhì)量力X向受力匯總向受力匯總右右上上后后左左前前下下61dxdydxdzdydzpdxdydzzdxdzdyydydzdxxppzxyxxxzxzxyxyxxxxx 負(fù)向：）（）（）正向：（)()()(）（xuzuzdydxdzzdydxdxdzdyydxdzdydzxppdydzpdxdydzfdtdudxdydzzxyxzxzxyxyxyxxxxxxxxx625、不可壓縮實(shí)際流體運(yùn)動(dòng)微分方程、不可壓縮實(shí)際流體運(yùn)動(dòng)微分方程(N-S方程方程)xuppxxx2yxyxxyx

35、uyu)(xzxzzxzuxu)(xxxxxuxpfdtdu2163zzzuzpfdtdu21yyyuypfdtdu212222222zyx2222222zuyuxuuxxxxxxxuxpfdtdu21拉普拉普拉斯拉斯算子算子64N-S方程方程de矢量形式為：矢量形式為：upfuutuDtuD21非定常項(xiàng)非定常項(xiàng)對(duì)流項(xiàng)對(duì)流項(xiàng)單位質(zhì)量力單位質(zhì)量力單位質(zhì)量流單位質(zhì)量流體的壓力差體的壓力差擴(kuò)散項(xiàng)或擴(kuò)散項(xiàng)或粘性力項(xiàng)粘性力項(xiàng)（1）理想流體：粘度為）理想流體：粘度為0zpfdtduypfdtduxpfdtduzzyyxxzpfaypfaxpfazzyyxx111N-S方程的幾個(gè)特例方程的幾個(gè)特例65zpf

36、ypfxpfzyx000zpfypfxpfzyx111（2）靜止流體：速度項(xiàng)為）靜止流體：速度項(xiàng)為0確立了確立了(應(yīng)力應(yīng)力)和和(速度速度)之間的關(guān)系方程。之間的關(guān)系方程。. ;2 ;2yuppxuppyyyxxx. ;）（xuyuyxyxxy不可壓縮流體為例不可壓縮流體為例66xuppxxx2xxp附加粘性正應(yīng)力附加粘性正應(yīng)力xupxxx22）正應(yīng)力可看成由兩部分組成：）正應(yīng)力可看成由兩部分組成：xxxxppp+附加粘性正應(yīng)力附加粘性正應(yīng)力壓力壓力即即67Pppxuxxxxx|00Pppxuxxxxx|00Pppxuxxxxx|00加速加速減速減速等速等速附加正應(yīng)力的產(chǎn)生是由于速度沿流動(dòng)方向

37、變化的結(jié)果附加正應(yīng)力的產(chǎn)生是由于速度沿流動(dòng)方向變化的結(jié)果:xxxxupxxx2xxxxppp表現(xiàn)為拉表現(xiàn)為拉表現(xiàn)為壓表現(xiàn)為壓3）由于附加粘性正應(yīng)力的存在）由于附加粘性正應(yīng)力的存在, 壓力在數(shù)值上一般不等于壓力在數(shù)值上一般不等于正應(yīng)力值：正應(yīng)力值：3)(zzyyxxpppP68 即：粘性流體中的壓強(qiáng)等于給定點(diǎn)上任意三個(gè)相互垂即：粘性流體中的壓強(qiáng)等于給定點(diǎn)上任意三個(gè)相互垂直微元面上法向應(yīng)力的算術(shù)平均值。直微元面上法向應(yīng)力的算術(shù)平均值。第五節(jié)、歐拉運(yùn)動(dòng)微分方程的積分第五節(jié)、歐拉運(yùn)動(dòng)微分方程的積分1、積分條件、積分條件69dzfdyfdxfdWzyxC0 , 0tutututpzyxdtudzdtud

38、ydtudxzyx,積分條件說(shuō)明積分條件說(shuō)明dzdtdudydtdudxdtdudzzpdyypdxxpdzfdyfdxfzyxzyx)(1)(70;1;1;1dtduzpfdtduypfdtduxpfzzyyxx;1;1;1dzdtdudzzpdzfdydtdudyypdyfdxdtdudxxpdxfzzyyxx左右相加左右相加71dzdtdudydtdudxdtdudzzpdyypdxxpdzfdyfdxfzyxzyx)(1)(不可壓縮流不可壓縮流體定常流動(dòng)體定常流動(dòng):定常流動(dòng)：流線、定常流動(dòng)：流線、跡線跡線重合重合x(chóng)xxxxxduuduuduudtudzdtudydtudxzyx;dp1

39、dW)2(2ud！分析！分析！72)2(12uddpdWCupW220)2(2upWd或或73gfffzyx, 0, 0)()(gzddzgdWCgugpz22不可壓縮理想流體沿不可壓縮理想流體沿流線的伯努利方程流線的伯努利方程CupW22那么那么xyz0g（3-34）項(xiàng)目項(xiàng)目名稱(chēng)名稱(chēng)物理意義物理意義位置水頭位置水頭單位重量流體的位置勢(shì)能單位重量流體的位置勢(shì)能 壓強(qiáng)水頭壓強(qiáng)水頭單位重量流體的壓強(qiáng)勢(shì)能單位重量流體的壓強(qiáng)勢(shì)能 速度水頭速度水頭單位重量流體的動(dòng)能單位重量流體的動(dòng)能 測(cè)壓管水頭測(cè)壓管水頭 單位重量流體的總勢(shì)能單位重量流體的總勢(shì)能 總水頭總水頭單位重量流體的機(jī)械能單位重量流體的機(jī)械能74

40、討論：討論：Cgugpz22zgpgu22gugpz22gpzCgugpzgugpz222222211176二、粘性不可壓縮流體二、粘性不可壓縮流體恒定流恒定流伯努利方程伯努利方程upfDtuD21積分條件積分條件：有勢(shì)質(zhì)量力作用、不可壓縮、恒定流：有勢(shì)質(zhì)量力作用、不可壓縮、恒定流0)2(0)2(0)2(222222zyxuupWzuupWyuupWxdtudzdtudydtudxzyx恒定流：恒定流：0770)()2(2222dzudyudxuupWdzyxRzyxdwdzudyudxu)(222切應(yīng)力在流線微元長(zhǎng)度切應(yīng)力在流線微元長(zhǎng)度dl上所作的功：上所作的功：0)2(2RwupWd沿流線

41、積分沿流線積分CwupWR22質(zhì)量力為重力，垂直向上為質(zhì)量力為重力，垂直向上為z軸正向，則有：軸正向，則有：CwupgzR2278212222222111RRwupgzCwupgz沿流線取沿流線取1、2兩點(diǎn)，則有兩點(diǎn)，則有)(1221222222111RRwwggugpzgugpz2222222111lhgugpzgugpz* 理想流體沿流線流動(dòng)時(shí)，各水頭之間可能變化或理想流體沿流線流動(dòng)時(shí)，各水頭之間可能變化或互相轉(zhuǎn)化，但互相轉(zhuǎn)化，但(水頭水頭 總和總和)是是(不變不變)的：的：* 實(shí)際流體沿流線流動(dòng)時(shí)，各水頭之間可能變化或?qū)嶋H流體沿流線流動(dòng)時(shí)，各水頭之間可能變化或互相轉(zhuǎn)化，且互相轉(zhuǎn)化，且(水

42、頭水頭 總和總和)(必然沿程降低必然沿程降低)。21HH HHH212222222111lhgugpzgugpz80一、流速勢(shì)函數(shù)一、流速勢(shì)函數(shù)與與拉氏方程拉氏方程;,的函數(shù)都只是yxuuyxxyyxuu0)(21yuxuxyxoy的必要條件。存在某個(gè)原函數(shù)其是),(yxdyudxuyx即即yxyxdududyyxxdd81yxuyux ;存在條件：存在條件：恒定、無(wú)旋。恒定、無(wú)旋。即即根據(jù)不可壓縮流體連續(xù)性方程根據(jù)不可壓縮流體連續(xù)性方程:0uuyxyx可得：可得：02222yx拉普拉斯方程拉普拉斯方程適用條件適用條件：恒定、不可壓縮流體有勢(shì)流動(dòng)。恒定、不可壓縮流體有勢(shì)流動(dòng)。82 無(wú)旋是勢(shì)函數(shù)

43、存在的（無(wú)旋是勢(shì)函數(shù)存在的（充分必要充分必要）條件，（）條件，（無(wú)旋流無(wú)旋流）也稱(chēng)（也稱(chēng)（有勢(shì)流有勢(shì)流）。）。無(wú)旋必有勢(shì)，有勢(shì)必?zé)o旋。無(wú)旋必有勢(shì)，有勢(shì)必?zé)o旋。勢(shì)函數(shù)的應(yīng)用與意義勢(shì)函數(shù)的應(yīng)用與意義02222yx),(yx伯努力方程壓強(qiáng)Pyxuyux ;Cgugpz22*應(yīng)用應(yīng)用83 把求解歐拉運(yùn)動(dòng)微分方程的把求解歐拉運(yùn)動(dòng)微分方程的非線性問(wèn)題非線性問(wèn)題化解為求解特化解為求解特定邊界條件下的拉普拉斯方程的定邊界條件下的拉普拉斯方程的線性問(wèn)題線性問(wèn)題。*意義意義二、流函數(shù)二、流函數(shù)1、流函數(shù)與拉普拉斯方程、流函數(shù)與拉普拉斯方程對(duì)恒定、平面流動(dòng)對(duì)恒定、平面流動(dòng),由連續(xù)性方程有：由連續(xù)性方程有：0uuyxyxyxyxuu84的充要條件）的全微分（是某個(gè)函數(shù)是dyxdyudxuxy,-dyudxudxyxuyuyx ;流函數(shù)流函數(shù)存在條件：存在條件：恒定、不可壓縮流體平面流動(dòng)。