線性代數(shù)矩陣在圖形變換中的應(yīng)用

1、矩陣在圖形變換中的應(yīng)用摘要：本文從幾何計(jì)算的理論和算法出發(fā)，探索了圖形變換的幾何化表示機(jī)制，并將矩陣運(yùn)算融入其中，大大簡化了計(jì)算的過程關(guān)鍵詞：三維圖形的集合變換 矩陣背景：圖形的幾何變換的矩陣表示多數(shù)用于計(jì)算機(jī)圖形學(xué)。一個圖形系統(tǒng)應(yīng)該允許用戶去定義一個圖形，包括對圖形的各種變換。例如可以放大一個圖形以便使某一部分能更清楚地顯示，縮小圖形以便看到圖形更多的部分?？梢詫⒆儞Q應(yīng)用于符號，使符號平移和旋轉(zhuǎn)。在幾何造型中，可用圖形變換改變物體間的相對位置，用透視變換和投影變換產(chǎn)生同一三維景物在各種不同視點(diǎn)位置和視線方向下的不同影像，在視點(diǎn)改變非?？旎蛭矬w相對運(yùn)動的應(yīng)用場合，變換必須反復(fù)運(yùn)用。因此，找到一

2、個有效的方法去實(shí)現(xiàn)圖形變換是十分必要的。三維平移變換三維平移變換：將空間點(diǎn)(x,y,z)平移到新空間點(diǎn)(x',y',z')，齊次變換矩陣為：變換過程為：x' y' z' 1=x y z 1·T(Tx,Ty,Tz)其中，Tx,Ty,Tz分別為在x,y,z坐標(biāo)軸方向上的平移量。 三維比例變換三維比例變換：沿各坐標(biāo)軸方向分別乘以一個比例系數(shù)，以實(shí)現(xiàn)各個方向上的縮放功能。比例變換矩陣為變換過程為x' y' z' 1=x y z 1·S(Sx,Sy,Sz)其中，Sx,Sy,Sz分別為在x,y,z坐標(biāo)軸方

3、向上的比例系數(shù)。  三維旋轉(zhuǎn)變換三維旋轉(zhuǎn)變換：是指將物體繞某個坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)一個角度，所得到的空間位置變化。我們規(guī)定旋轉(zhuǎn)正方向與坐標(biāo)軸矢量符合右手法則，即從坐標(biāo)軸正值向坐標(biāo)原點(diǎn)觀察，逆時針方向轉(zhuǎn)動的角度為正。如圖所示。 繞三個基本軸的旋轉(zhuǎn)變換：1、繞z軸旋轉(zhuǎn)角?？臻g物體繞z軸旋轉(zhuǎn)時，物體各頂點(diǎn)的x,y坐標(biāo)改變，而z坐標(biāo)不變。繞z軸旋轉(zhuǎn)矩陣為：2、繞x方向旋轉(zhuǎn)角同理，繞x軸旋轉(zhuǎn)變換矩陣為：3、繞y方向旋轉(zhuǎn)角同理，繞y軸旋轉(zhuǎn)變換矩陣為：繞空間任意軸的旋轉(zhuǎn)變換圖a:變換之前繞空間任意軸的旋轉(zhuǎn)變換：先將圖形隨直線（旋轉(zhuǎn)軸）一起移動和旋轉(zhuǎn)并使直線與某一坐標(biāo)軸重合，再將圖形繞直線

4、進(jìn)行旋轉(zhuǎn)變換，最后將旋轉(zhuǎn)變換后的圖形和直線一起作相反的旋轉(zhuǎn)和移動并使直線回到原來位置。具體變換步驟是：1、平移使點(diǎn)（x1,y1,z1）位于坐標(biāo)原點(diǎn)，變換矩陣是：  2、繞x軸旋轉(zhuǎn)，使直線處在x-z平面上。為此，旋轉(zhuǎn)角應(yīng)等于直線在y-z平面上的投影與z軸夾角。因此投影線與z軸夾角的旋轉(zhuǎn)變換矩陣是：  、3、繞y軸旋轉(zhuǎn)，使直線與z軸重合。如圖所示，直線與z軸夾角-的旋轉(zhuǎn)變換矩陣是：、 4、進(jìn)行圖形繞直線即繞z軸旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)矩陣是：  5、使直線回到原來位置，結(jié)果圖形即為原圖形繞指定直線旋轉(zhuǎn)變換后的圖形。 直線回到原來位置

5、需要進(jìn)行（3）（1）的逆變換，其中： 圖形繞空間任意軸旋轉(zhuǎn)的總變換矩陣是H = T·Rx·Ry·Rz·Ry-1·Rx-1·T-1  三維對稱變換       三維對稱變換可以是關(guān)于給定對稱軸的或者是關(guān)于給定對稱平面的變換。三維對稱矩陣的建立類似于二維的。          關(guān)于給定對稱軸的對稱變換等價于繞此軸旋轉(zhuǎn)180o。          關(guān)于平面的對稱變換等價于四維空間中的180o旋轉(zhuǎn)。 當(dāng)對稱平面是坐標(biāo)平面時（x-y,或x-z,y-z），可以將此變換看成是左手系和右手系之間的轉(zhuǎn)換。 上圖給出了將坐標(biāo)系從右手系轉(zhuǎn)換到左手系的對稱變換例子，該變換改變z坐標(biāo)符號，保持x坐標(biāo)和y坐標(biāo)值不變，關(guān)于x-y平面的點(diǎn)對稱變換矩陣為：類