箱變坐標系和變值函數(shù)

1、箱變坐標系與變值函數(shù)初識一種新型數(shù)學思路與方法(曹玉聘, 陳戰(zhàn)杰, 黃玉義等)摘要箱變坐標系和變值函數(shù)的根本特點是其坐標單位處處可變，坐標系數(shù)或變值系數(shù)可為首項為一任意非0常數(shù)的連續(xù)型初等函數(shù)（不再只是常數(shù)1）。本法（還可再做擴展）不僅從根本上解決了諸如扭面方程、非線性不均勻動態(tài)空間、函數(shù)與圖象的動態(tài)對應(yīng)等各類疑難問題，更從根本上擴充了現(xiàn)代數(shù)學的基石，其推廣應(yīng)用將會引起現(xiàn)代數(shù)學及其相關(guān)學科的某些重大突破或變革。本文概略介紹了本法的基本思路及其部分求法和算法。關(guān)鍵詞扭面方程；箱變坐標系；變值系數(shù)；變值函數(shù)；變值運算。了解本法，各種扭面類問題和非線性不均勻扭曲動態(tài)空間等疑難問題的精確表達和有關(guān)精確

2、快捷定位運算將不再疑難！引言在長期的礦產(chǎn)勘查和儲量計算實踐中，為解決各類扭面問題的精確表達和有關(guān)精確運算，筆者探求了箱變坐標系、變值函數(shù)等新型數(shù)學方法（可叫變值方法）。雖然這一方法還比較初級和原始，但卻揭示了某種帶有根本性的數(shù)學規(guī)律，不僅解決了目前難以解決的各種扭面問題、非線性不均勻空間、函數(shù)與圖象的動態(tài)對應(yīng)和與之有關(guān)的各類數(shù)學難題，并從根本上擴充了現(xiàn)代數(shù)學的基石，其推廣應(yīng)用將會引起現(xiàn)代數(shù)學及其相關(guān)學科的某些重大突破或變革。為便于交流和節(jié)約篇幅，現(xiàn)將其基本思路和方法略述于后，以示概貌。其中，由于某些表述常常超越傳統(tǒng)范疇，故在不得已時采用了一些新術(shù)語，望予諒解、指正。 H H12 H11 M1

3、O LX1 XH21 M2 H22 LY1 (LX2,LY2) Y 圖1 線性變化儲量塊段1、箱變坐標系要點簡介要了解箱變坐標系應(yīng)首先了解扭面方程和正箱體。21、扭面和扭面方程初識所謂扭面可由一條母線沿著兩條異面導(dǎo)線適當移動或伴有某種變化而成，因其兩條異面導(dǎo)線常可由某種常規(guī)的同面導(dǎo)線經(jīng)適當扭動而成而故名，其扭動角度可叫扭面角或扭角。當導(dǎo)線和母線均為直線時則為線性扭面(如圖1中的H11H12H21H22面),否則，既可為非線性扭面也可為線性扭面（見正箱體）。常規(guī)的平面和曲面只是扭面角為0的一種特例。為便于討論，可把表示扭面的函數(shù)叫做扭面方程。目前，各種扭面方程的精確表達和有關(guān)運算尚屬空白。但問題

4、并非絕對，只要對常規(guī)數(shù)學思路與方法有所擴展或突破，此類問題便不難解決?，F(xiàn)將扭面方程的基本求法簡述如下。（1）線性扭面方程的基本求法：如圖1所示，為一投影法的簡單儲量塊段，其中，H11、H12、H21、H22表示正厚度（對應(yīng)于四個平行工程），M1、M2兩面相互平行（LY1=LY2）但不等寬（LX1LX2），頂面（H11H12H21H22）為一簡單線性扭面。試求其對應(yīng)方程。當M1、M2兩面平行等寬時（圖中虛線），則兩面上的對應(yīng)正厚度算式為：HX1=HX1(X)=H11+(H12-H11)X/LX1=AH1+BHX1X，式中，AH1=H11，BHX1=(H12-H11)/LX1，HX2=HX2(X)

5、=H21+(H22-H21)X/LX2=AH2+BHX2X，式中，AH2=H21，BHX2=(H22-H21)/LX1。由上述四式可得M1、M2兩面間的正厚度算式為：H(X,Y)=HX1+(HX2-HX1)Y/LY1=AH+BHxX+BHyY+CHxyXY，（1）式中，AH =H11, BHx=BHX1=(H12-H11)/LX1, BHy=(H21-H11)/LY1, CHxy=(H22-H21-H12+H11)/LX1/LY1。式（1）為一線性扭面方程或叫一次函數(shù)。這里的一次是指整冪多項式中單個自變量最高為一次。對各種函數(shù)來說，當只考慮一個自變量時可稱之為偏函數(shù)（一元函數(shù)可視為一種特殊的偏

6、函數(shù)）。因此，線性扭面方程應(yīng)是偏函數(shù)最高為一次的整冪多項式。當M1、M2兩面寬度不等或不平行或既不平行也不等寬時，則該扭面方程將難以采用常規(guī)方法直接求出。考察上述兩面平行等寬時的求法可知：在笛卡兒坐標系中，兩面間的縱、橫坐標單位數(shù)各自處處對應(yīng)相等，式中自變量的取值實際上均為同名坐標單位數(shù)。由此便可推知，若能通過適當變換使兩面平行等寬或兩面間X、Y的坐標單位數(shù)各自處處對應(yīng)相等（如均為LX1、LY1），便可仿照上述的常規(guī)方法（采用坐標單位數(shù)）直接進行精確表達，所得扭面方程仍如（1）式所示。這里的關(guān)鍵是如何進行上述變換。一般來說，實現(xiàn)上述變換可有兩種方法：一是改變M1、M2兩面間的空間密度，使之變?yōu)?/p>

7、等長等寬的不等密空間；二是改變坐標單位使兩面間的縱、橫坐標單位數(shù)各自處處對應(yīng)相等。以上兩種變換的實質(zhì)和結(jié)果完全等同，其中，后者更便于進行數(shù)學表達。其基本方法是：先設(shè)定某一基準坐標單位，然后將其附加一個非0系數(shù)（可叫坐標系數(shù)）即可。在上述變換中，采用的基準單位為坐標軸上的坐標單位，坐標系數(shù)為首項為1的某一初等函數(shù)。以上便是解決扭面問題的最初思路和方法。 H H12 H11 M1 O LX1 XH21 M2 H22 LY1 (LX2,LY2) Y 圖2 非線性變化儲量塊段（2）非線性扭面方程的基本求法：此類方程也可按照上述思路與方法求之，但需先求出縱、橫兩個單向非線性變化之和，然后減去一個雙向線性

8、變化。如圖2所示，H11H12H21H22為一非線性扭面，其基本求法是：先將M1、M2兩面間的縱、橫坐標單位數(shù)變?yōu)楦髯蕴幪帉?yīng)相等，并求出四個側(cè)面上的正厚度函數(shù)，然后按縱、橫兩個方向求出側(cè)面間的兩個非線性函數(shù)和一個線性函數(shù)，進而便可求得該扭面方程。設(shè)兩個橫側(cè)面和兩個縱側(cè)面上的正厚度函數(shù)分別為：HX1=HX1(X)、HX2=HX2(X)和HY1=HY1(X)、HY2=HY2(X)，則當X方向為非線性、Y方向為線性時：HX2Y=HX2Y(X,Y)=HX1+(HX2-HX1)Y/LY1，當Y方向為非線性、X方向為線性時：HY2X=HY2X(X,Y)=HY1+(HY2-HY1)X/LX1，當X、Y方向

9、均為線性變化時同前述式(1)，用HXY或HXY(X,Y)表示。進而可得一般非線性扭面方程為：H(X,Y)=HX2Y+HY2X-HXY。當各側(cè)面上的正厚度變化曲線均為二次拋物線時，可得其對應(yīng)函數(shù)為：HX1(X)=AHX1+BHX1X+CHX1X2、HX2(X)=AHX2+BHX2KX2X+CHX2KX22X2和HY1(Y)=AHY1+BHY1Y+CHX1Y2、HY2(Y)=AHY2+BHY2KY2Y+CHY2KY22Y2，其中，KX2=LX2/LX1,KY2=LY2/LY1。進而可得二次扭面方程為：H(X,Y)=AH+BHxX+BHyY+CHxxX2+CHxyXY+CHyyY2+DHxxyX2Y

10、+DHxyyXY2，（2）式中，AH=H11，BHx=BHX1，BHy=BHY1，CHxx=CHX1，CHxy=(BHX2KX2-BHX1)/LY1+(BHY2KY2-BHY1)/LX1-(H22-H21-H12+H11)/LX1/LY1，CHyy=CHY1，DHxxy=(CHX2KX22-CHX1)/LY1，DHxyy=(CHY2KY22-CHY1)/LX1。依據(jù)上述思路和方法對笛卡兒坐標系和常規(guī)函數(shù)及其有關(guān)算法進行適當擴展便構(gòu)成了箱變坐標系和變值函數(shù)等這一新型數(shù)學思路與方法。 1 4 1 4 5 2 5 2 2/ 3(3/) 2/ 3(3/) 6 7 8 6 7 8 J 6/ 7/ (a)

11、 J 6/ 7/ (b)圖3 正箱體概念示意圖(a)線性直近箱體 (b)線性直次箱體1.2、正箱體的數(shù)學約定所謂正箱體是指有四個側(cè)面同垂（或正交）于某一平面的凸棱六面體或六面凸棱體（如圖3）。所謂凸棱體是指各相鄰側(cè)面所構(gòu)成的內(nèi)角均不大于值的空間體。此外，除正箱體以外的凸棱六面體叫斜箱體。正箱體和斜箱體統(tǒng)稱為似箱體。由于斜箱體的有關(guān)探索尚少，故下面重點說明正箱體。 (a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h)圖4 正箱體基本類型示意圖(a)線性直近箱體 (b)線性曲近箱體 (c)非線性直近箱體 (d)非線性曲近箱體(e)線性直次箱體 (f)線性曲次箱體 (g)非線性直次箱體 (

12、h)非線性曲次箱體正箱體的四個側(cè)面可兩兩稱為橫側(cè)面和縱側(cè)面，剩余兩面叫頂?shù)酌妗Ｋ膫€側(cè)面均可為平面或直線型曲面（如柱狀拋物面）；頂?shù)酌婢蔀槠矫?、曲面或扭面；與四個側(cè)面同垂的平面叫箱基面或基面（J面），四個側(cè)面在基面上的投影叫基底面或基底（常為四邊形）。正箱體的縱、橫側(cè)面之交線（為直線）叫側(cè)棱，頂、底面間與基面垂直的直線叫高線，高線長度叫高距；兩個橫側(cè)面間的縱向距離叫長距，兩個縱側(cè)面間的橫向距離叫寬距。這里的長距、寬距概念不同于通常的長度和寬度。另當某一正箱體有三個共點側(cè)面（含底面）為互垂平面時叫標準正箱體，否則可叫一般正箱體。一般正箱體均可通過降維變換而成標準正箱體。所謂降維變換是指通過降低維

13、數(shù)的對應(yīng)等值變換以確保變換前后的原維等值。標準正箱體的三個共點互垂側(cè)面叫基側(cè)面，另外三個側(cè)面（含頂面）叫變側(cè)面。此外，斜箱體的各部名稱可與正箱體相仿，但其側(cè)棱可為曲線，側(cè)面可為扭面等。 Z 0 X Y 圖5 線性變值坐標系KX(Y)=1+KXBY，KY(X)=1+KYBX KH(X,Y)=1+KHxX+KHyY+KHxyXY正箱體可分為八種基本類型（如圖4，圖中均為標準正箱體）。其中，當正箱體的基底為矩形時叫方箱體，為梯形時叫近箱體，為任意四邊形時叫次箱體。常規(guī)箱體（即直方體）為等高方箱體，屬正箱體的最簡單類型。此外，斜箱體的分類也可仿之進行。1.3、箱變坐標系的數(shù)學約定如圖5所示，箱變坐標系

14、常以某一標準正箱體（圖中實線）為基準或原型（叫基箱體），按照等比對應(yīng)或變值對應(yīng)進行網(wǎng)狀分割而成（圖中虛線）。在箱變坐標系中，與基箱體對應(yīng)的坐標網(wǎng)叫基準網(wǎng)。當基箱體處于最簡位置時（三個基側(cè)面與坐標平面相互重合），該坐標系稱為最簡箱變坐標系或最簡坐標系，此時，基箱體在三個坐標軸上的長距、寬距和高距分別稱為基長、基寬和基高，可統(tǒng)稱為基距?；嘁部筛鶕?jù)需要適當設(shè)定（見通基變換）。由于箱變坐標系仍屬于直角坐標系（坐標軸互垂），故也可稱其為直角變值坐標系。通常坐標軸上的坐標單位叫基值單位，對應(yīng)坐標值叫基值坐標（同一坐標網(wǎng)線上的對應(yīng)基值坐標或坐標單位數(shù)處處相等）；處處可變的同名坐標單位叫變值單位，對應(yīng)坐標值

15、叫變值坐標；相應(yīng)地，處處相等的同名坐標單位可叫等值單位，對應(yīng)坐標值可叫等值坐標。變值單位與同名基值單位之比叫坐標系數(shù)（用于坐標系）或變值系數(shù)（用于函數(shù)），即：變值系數(shù)=變值單位/基值單位。由于同一坐標網(wǎng)線或網(wǎng)面上的同名坐標單位數(shù)處處相等，故得：變值系數(shù)=變值坐標/基值坐標，或：變值坐標=基值坐標´變值系數(shù)。此式可叫變值公式，是進行坐標變換的算法依據(jù)。為便于區(qū)別，變值坐標和等值坐標常用小寫字母表示(如x,y,z)，基值坐標常用大寫字母表示(如X,Y,Z)。各種坐標系數(shù)或變值系數(shù)（K）可為首項為任意非0常數(shù)的連續(xù)型初等函數(shù)（首項和K恒為0時，則為點空間）。通常首項為正數(shù)，當為負數(shù)時可用于

16、反向移位問題。在最簡箱變坐標系中，坐標系數(shù)常用首項為1的整冪多項式，以便簡化有關(guān)計算。若將首項用KA表示，其余各項用KR或R表示（叫變值余項或余項），則K=KA+R或R=K-KA。其中，KA表示等值部分；R表示變值部分。當R=0、KA=1時，則K=KA=1，此時的箱變坐標系變?yōu)榈芽▋旱戎底鴺讼怠?.4 箱變坐標系的建立方法廣義的箱變坐標系包括斜箱坐標系（其基箱體為標準斜箱體），這里重點說明其中的最簡坐標系。在建立最簡坐標系時，可先建立笛卡兒坐標系，然后求出其坐標系數(shù)并做好標注即可。這里的關(guān)鍵是如何求出坐標系數(shù)，通?？捎性O(shè)定法和基箱法兩種求法。設(shè)定法（無基箱體時）可根據(jù)實際需要直接將坐標系數(shù)設(shè)定

17、為首項為1的某一連續(xù)型初等函數(shù)，此時，任取一組基距便可獲得某一基箱體；基箱法（有基箱體時）通常是將某一基箱體的基側(cè)面與笛卡兒坐標平面相互重合（屬最簡位置），并求出其長距、寬距和高距的函數(shù)式（即各自對應(yīng)的變側(cè)面方程），然后除以同名基距（亦即各自函數(shù)的截距）而得（此時首項為1）。表1、表2中列出了最簡箱面和箱體坐標系中比較常用的坐標系數(shù)或變值系數(shù)。最簡箱面坐標系常用坐標系數(shù)簡表 表1箱面類型坐標名稱常用坐標系數(shù)(或變值系數(shù))備注線性變化非線性變化(以二次拋物線為例)正近箱面寬距(X)KX=1或KX(Y)=1+KXBYKX=1或KX(Y)=1+KXBY+KXCY2 Y 0 XKX(Y)=1+KXBY

18、KY(X)=1+KYBX此圖為直次正箱體底面或線性斜箱體側(cè)面坐標系。高距(Y)KY(X)=1+KYBXKY(X)=1+KYBX+KYCX2正次箱面寬距(X)KX=1或KX(Y)=1+KXBYKX=1或KX(Y)=1+KXBY+KXCY2高距(Y)KY(X)=1+KYBXKY(X)=1+KYBX+KYCX2斜近箱面寬距(X)KX(Y)=1+KXBYKX(Y)=1+KXBY+KXCY2高距(Y)KY(X)=1+KYBXKY(X)=1+KYBX+KYCX2斜次箱面寬距(X)KX(Y)=1+KXBYKX(Y)=1+KXBY+KXCY2高距(Y)KY(X)=1+KYBXKY(X)=1+KYBX+KYCX

19、2表1中，箱面坐標系對應(yīng)于基箱體的基側(cè)面，若為變側(cè)面時常為其在對應(yīng)基箱面上的投影，其寬距和高距的坐標和坐標系數(shù)常用X、Y和KX、KY表示，以便符合習慣用法，其首項（KA）常為1。另當高距和寬距系數(shù)均為常數(shù)1時，則箱面坐標系變?yōu)槌Ｒ?guī)的平面直角坐標系。最簡箱體坐標系常用變值系數(shù)簡表表2基箱類型坐標名稱常用變值系數(shù)（或坐標系數(shù)）直箱體與線性變化曲箱體與非線性變化（二次變化為代表）正近箱體長距(Y)KY=1或KY(X)=1+KYBXKY=1或KY(X)=1+KYBX+KYCX2寬距(X)KX(Y)=1+KXBY或KX=1KX(Y)=1+KXBY+KXCY2或KX=1高距(Z)KH(X,Y)=1+KHx

20、X+KHyY+KHxyXYKH(X,Y)=1+KHxX+KHyY+KHxxX2+KHxyXY+KHyyY2+KHxxyX2Y+KHxyyXY2正次箱體長距(Y)KY(X)=1+KYBXKY(X)=1+KYBX+KYCX2寬距(X)KX(Y)=1+KXBYKX(Y)=1+KXBY+KXCY2高距(Z)KH(X,Y)=1+KHxX+KHyY+KHxyXYKH(X,Y)=1+KHxX+KHyY+KHxxX2+KHxyXY+KHyyY2+KHxxyX2Y+KHxyyXY2斜近箱體長距(Y)KY=1或KY(X,Z)=1+KYxX+KYzZ+KYxzXZKY=1或KY(X,Z)=1+KYxX+KYzZ+K

21、YxxX2+KYxzXZ+KYzzZ2+KYxxzX2Z+KYxzzXZ2寬距(X)KX(Y,Z)=1+KXyY+KXzZ+KXyzYZ或KX=1KX(Y,Z)=1+KXyY+KXzZ+KXyyY2+KXyzYZ+KXzzZ2+KXyyzY2Z+KXyzzYZ2或KX=1高距(Z)KH(X,Y)=1+KHxX+KHyY+KHxyXYKH(X,Y)=1+KHxX+KHyY+KHxxX2+KHxyXY+KHyyY2+KHxxyX2Y+KHxyyXY2斜次箱體長距(Y)KY(X,Z)=1+KYxX+KYzZ+KYxzXZKY(X,Z)=1+KYxX+KYzZ+KYxxX2+KYxzXZ+KYzzZ2

22、+KYxxzX2Z+KYxzzXZ2寬距(X)KX(Y,Z)=1+KXyY+KXzZ+KXyzYZKX(Y,Z)=1+KXyY+KXzZ+KXyyY2+KXyzYZ+KXzzZ2+KXyyzY2Z+KXyzzYZ2高距(Z)KH(X,Y)=1+KHxX+KHyY+KHxyXYKH(X,Y)=1+KHxX+KHyY+KHxxX2+KHxyXY+KHyyY2+KHxxyX2Y+KHxyyXY2表2中的近箱體既可等長也可等寬；正箱體的高距系數(shù)和斜箱體的三種變值系數(shù)系數(shù)均可來自扭面方程；當采用三個變值系數(shù)時，可把基箱體變?yōu)橹狈襟w，只用兩個變值系數(shù)時可把基箱體變?yōu)榉较潴w。另當基箱體為等高箱體時，高距系數(shù)

23、為1；為等高近箱體時，則高距和長距或?qū)捑嘞禂?shù)均為1；為等高方箱體時，則高距和長距、寬距系數(shù)全為1（對應(yīng)于常規(guī)的直角坐標系）。以上所述為箱變坐標系的部分要點，將其與笛卡兒坐標系比較可知，二者均屬直角坐標系，其坐標軸、坐標原點和基值單位完全相同。二者的根本區(qū)別在于坐標系數(shù)：后者恒為常數(shù)1（無須標注），故只有三個構(gòu)成要素；前者可為某一函數(shù)（須做標注），故須有四個構(gòu)成要素。再者，由于前者的坐標網(wǎng)線或網(wǎng)面可為曲線、曲面或扭面，其同名坐標網(wǎng)線或網(wǎng)面有時可會聚成點（叫聚點，如在箱面坐標系中）或會聚成線（叫聚線，如在箱體坐標系中），經(jīng)過聚點或聚面?？纱嬖谀骋豢臻g界線或界面。故可對應(yīng)于非線性、不均勻或扭曲的復(fù)雜

24、空間或有界空間；而后者的坐標網(wǎng)線或網(wǎng)面只能是直線或平面，且沒有聚點或聚線，故只能對應(yīng)于線性、均勻、平直的簡單空間和無限空間。此外，箱變坐標系還可引起某些傳統(tǒng)思維和觀念的創(chuàng)新（如平行與相交）等等。不僅如此，上述箱變坐標系（基值單位處處相等，可叫等基變值坐標系）還可擴展為變基變值坐標系（基值單位處處可變，如同沿坐標軸做變速運動的速度一樣），從而更能揭示物質(zhì)空間的動態(tài)性和時空之間的動態(tài)對應(yīng)等客觀世界的根本規(guī)律。進而，若對極坐標系、柱面坐標系、球面坐標系等也按上變值方法的基本思路與方法進行適當擴展，也可獲得相應(yīng)的變值坐標系，從而將會使現(xiàn)代數(shù)學更能充分反映客觀世界的復(fù)雜性、不均勻性、動態(tài)性和多樣性。2變

25、值函數(shù)要點簡介為便于區(qū)別和應(yīng)用，這里將箱變坐標系中表示變值坐標的對應(yīng)函數(shù)叫變值函數(shù)，表示基值坐標的對應(yīng)函數(shù)叫基值函數(shù)，相應(yīng)地可把表示等值坐標的對應(yīng)函數(shù)叫等值函數(shù)。三種函數(shù)各具優(yōu)勢并可通過變值系數(shù)的作用實現(xiàn)相互變換。其中，等值函數(shù)可視為變值函數(shù)和基值函數(shù)的一種特例（即變值系數(shù)恒為1），因此，后者是對前者的繼承和擴展。通常三種函數(shù)的自變量取值多采用基值坐標，其中，等值函數(shù)的基值坐標與變值坐標完全相同。作為數(shù)學函數(shù)，其基本問題應(yīng)當有二，即函數(shù)的求法和算法。這里求法是基礎(chǔ)，算法是關(guān)鍵。由于變值函數(shù)和基值函數(shù)是對等值函數(shù)的繼承和擴展，因此，只要熟悉后者的有關(guān)求法和算法并對前者的有關(guān)思路和方法有所了解，則

26、對其掌握和運用將并非難事，但應(yīng)注意兩者的異同。由于基值函數(shù)的求法和算法與常規(guī)的等值函數(shù)基本相同，故下面重點說明變值函數(shù)。2.1 變值函數(shù)的基本求法正箱坐標系和斜箱坐標系均可用于求得變值函數(shù)。一般來說，變值函數(shù)的基本求法可有如下三種。（1）直接推導(dǎo)法：本法是指通過適當?shù)臄?shù)學推導(dǎo)直接求出變值函數(shù)的方法。其基本做法是：首先是通過改變坐標單位使所求函數(shù)自變量的對應(yīng)范圍或空間內(nèi)的同名坐標單位數(shù)各自處處對應(yīng)相等，相當于把密度均勻的基箱體變?yōu)槊芏炔粍虻姆较潴w，并將箱變坐標系的變值坐標單位數(shù)視為等值坐標系的等值坐標，然后運用常規(guī)數(shù)學方法（包括現(xiàn)有的各種函數(shù)求法）求之即可。其中，一元時對應(yīng)于基箱面，通常只需改變

27、寬距或長距基本求法單位，有時需要改變高距單位；二元時對應(yīng)于基箱體，通常只需改變寬距和長距單位，有時需要改變寬距和高距或長距和高距單位；三元時仍對應(yīng)于與基箱體，需要同時改變長距、寬距和高距單位。如前述的二元扭面方程便是將基箱體通過改變縱、橫坐標單位而變?yōu)橄鄳?yīng)方箱體后采用常規(guī)數(shù)學方法而得。其中，線性扭面方程為四項，由此可知，當變質(zhì)系數(shù)一定時，線性扭面可由四點確定。（2）基值系數(shù)法：本法是由基值函數(shù)與對應(yīng)變值系數(shù)復(fù)合而得變值函數(shù)的方法。其中，變值系數(shù)通常是在建立坐標系時即已確定（見前述變值系數(shù)的求法）；基值函數(shù)的求法與等值函數(shù)相同，其基本求法是：首先將基值坐標視為等值坐標，然后運用常規(guī)數(shù)學方法（包括

28、現(xiàn)有的各種數(shù)學方法）按照等值函數(shù)的相應(yīng)方法求之即可。當基值函數(shù)為顯函數(shù)時，則將其對應(yīng)的變值系數(shù)與其等式右邊相乘即可（自變量仍為基值變量），此時，等式左邊的基值變量隨之變?yōu)橥淖冎底兞?，所得函?shù)值對應(yīng)于變值坐標；而隱函數(shù)的具體求法尚待進一步探討和驗證。當變值系數(shù)的確定比較合理時，其基值函數(shù)通常均較簡單，這里需要搞清函數(shù)（因變量）與自變量、各變量與變值系數(shù)的相互對應(yīng)。如前述正箱體的高距函數(shù)也可采用基高或高距變量×高距系數(shù)而得，這里的高距和高距變量對應(yīng)于基值函數(shù)。（3）變換系數(shù)法：本法是指通過變換坐標系數(shù)將原有變值函數(shù)變?yōu)樾碌淖冎岛瘮?shù)的方法。本法還可用于等值函數(shù)與變值函數(shù)、變值函數(shù)與基值

29、函數(shù)、不同的基值函數(shù)之間的相互變換等。當變換后的函數(shù)項（因變量）的變值系數(shù)（新變系數(shù)）為1時，則得到變值函數(shù)（此時，若坐標系隨之而變，則變?yōu)榈戎底鴺讼岛偷戎岛瘮?shù)）；若函數(shù)項的新變系數(shù)不為1，則得到相應(yīng)變值坐標系的基值函數(shù)。在進行變換時，可先求出變換系數(shù)，即原變值系數(shù)（原變系數(shù)）與新變系數(shù)之比，然后將變換系數(shù)作為變值系數(shù)采用基值系數(shù)法便可求出相應(yīng)的變值函數(shù)或基值函數(shù)。本法常用于改變函數(shù)圖象或變換研究層次或方式等，如果變換系數(shù)選擇適當（如為原有函數(shù)的整除因式），則可得到較為簡單的新的基值函數(shù)表達式，若同時變換坐標系，則可得到較為簡單的新的函數(shù)圖象。如箱面和箱體的高距變值函數(shù)除以其自身的高距系數(shù)后可

30、得簡單的基值函數(shù)。在以上三種求法中，直接推導(dǎo)法的實質(zhì)屬于常規(guī)方法，其它兩種求法為變值函數(shù)所特有，但當變值系數(shù)全為1時則同樣屬于常規(guī)方法。由上述求法可知，隨著變值系數(shù)的不同，同一圖象可有不同函數(shù)，同一函數(shù)也可有不同圖象，從而體現(xiàn)了函數(shù)與圖象的動態(tài)對應(yīng)和因果之間的動態(tài)關(guān)系等。2.2 變值函數(shù)的基本算法由于變值函數(shù)與基值函數(shù)同源共生，而等值函數(shù)只是變值函數(shù)和基值函數(shù)的一種特例，故三種函數(shù)具有本質(zhì)上的同一性。因此，變值函數(shù)的各種基本算法（變值算法）應(yīng)當是對等值函數(shù)各類基本算法（等值算法）的繼承、包容和擴展（基值函數(shù)也應(yīng)基本如此）。這些擴展算法與等值算法的根本區(qū)別在于變值系數(shù)不再恒為1，其中，尤其是各種

31、異基四則運算（基距不同的四則運算）和各種積分運算等，更是變值算法所特有。在不同函數(shù)之間進行運算時，不僅要考慮對應(yīng)基距是否相同，還應(yīng)考慮對應(yīng)變值系數(shù)是否相同。按照基距和變值系數(shù)是否各自對應(yīng)相同，可將不同變值函數(shù)獨立分為同基、異基和同系、異系，二者組合可得同基同系、同基異系、異基同系和異基異系四種。因此，在各種變值運算中，要始終牢記其對應(yīng)基距和變值系數(shù)?，F(xiàn)將變值函數(shù)的部分算法作一簡要說明，其中，包含積分運算的有關(guān)算法只限于正箱坐標系（與斜箱坐標系對應(yīng)的積分運算目前尚不成熟）。2.2.1變值函數(shù)的基本性質(zhì)與變基運算和通基變換（1）變值函數(shù)的基本性質(zhì)：對某一變值函數(shù)來說，如果將某一自變量（如X）的取值

32、擴大了TX倍（TX0）而需要函數(shù)值保持不變時，則應(yīng)將其對應(yīng)變量單位（即對應(yīng)基值單位）縮小TX倍，亦即將基箱體的對應(yīng)基距數(shù)值（即坐標單位數(shù)）擴大TX倍；反之依然。因此，在變值函數(shù)中，自變量的取值與箱變坐標系的對應(yīng)基距數(shù)值同時擴大或縮小非零倍數(shù)，其值不變，或簡述為：變值函數(shù)的自變量與基距同時擴大或縮小非零倍數(shù)，其值不變，這便是變值函數(shù)的基本性質(zhì)。如H=A+BX=A+BX(TX/TX)=A+B/X/，其中，X/=TXX，B/=B/TX，B/和B中包含了坐標系數(shù)。此時，自變量取值和基距數(shù)值同時擴大了TX倍，但變值系數(shù)縮小了TX；另當X/=X/TX，B/=TXB時，則自變量取值和基距數(shù)值同時縮小了TX倍

33、，但變值系數(shù)擴大了TX。上述性質(zhì)與分數(shù)的基本性質(zhì)相類似，其中的自變量和基距相當于分數(shù)的分子和分母。據(jù)此性質(zhì)便可對變值函數(shù)適當進行恒等變換（此即變基運算），從而使其某些異基運算得以實現(xiàn)。但應(yīng)注意，這里的自變量和基距的取值均為坐標單位數(shù)，在數(shù)值上等于基值坐標，其擴大倍數(shù)與基值單位和變值系數(shù)的擴大倍數(shù)互為倒數(shù)。（2）變基運算：變基運算是指改變基值單位或基箱體的基距時對變值函數(shù)進行恒等變換的一種運算。由變值函數(shù)的基本性質(zhì)可知，當自變量取值和基距數(shù)值同時擴大或縮小TX倍時其值不變。這里的TX可叫變基系數(shù)，通常為一非0常數(shù)，據(jù)此便可進行變基運算。在變基運算時，既可采用同時擴大，也可采用同時縮小，二者的變基

34、系數(shù)互為倒數(shù)。若同時擴大，則變基系數(shù)=新基距/原基距=原基值單位/新基值單位=原變值系數(shù)/新變值系數(shù)；若同時縮小，則變基系數(shù)為同時擴大時的倒數(shù)（常用于通基變換）。變基運算常采用同時擴大（也可采用同時縮?。?，現(xiàn)以一元和二元為例簡述之。一元變基運算：設(shè)原變值函數(shù)為H=H0(X0)，X0為原自變量，X0的基距為LX0，X0的變值系數(shù)為KX0；新變值函數(shù)為H=H(X)，X為新自變量，其基距為LX，其變值系數(shù)為KX。則變基系數(shù)等于新基距與原基距之比，即：TX=LX/LX0=X/X0=KX0/KX，亦即X=TXX0或X0=X/TX，KX=KX0/TX或KX0=TXKX。進而可得一元變基函數(shù)為：H=H0(X

35、0)=H0(X/TX)=H(X)或H=H(X)=H(TXX0)=H0(X0), （3）上式中的H0(X0)與H(X)互為一元變基函數(shù)，當以X0和X=TXX0分別代入H=H0(X0)和H=H(X)式時可得到相同的H值。二元變基運算：設(shè)原變值函數(shù)為：H=H0(X0,Y0)，X0、Y0為原自變量，X0、Y0的基距為LX0、LY0，X0、Y0的變值系數(shù)為KX0、KY，；新變值函數(shù)為H=H(X,Y)，X、Y為新自變量，X、Y的基距為LX、LY，X、Y的變值系數(shù)為KX、KY。此時，其變基系數(shù)等于新基距與原基距之比，即TX=LX/LX0=X/X0=KX0/KX、TY=LY/LY0=Y/Y0 TY=KY0/K

36、Y，亦即X=TXX0或X0=X/TX、KX=KX0/TX或KX0=TXKX，Y=TYY0或Y0=Y/TY、KY=KY0/TY或KY0=TYKY。進而可得二元變基函數(shù)為：H=H0(X0,Y0)=H0(X/TX,X/TX)=H(X,Y)或H=H(X,Y)=H(TXX0,TYY0)=H0(X0,X0), （4）上式中的H0(X0,Y0)與H(X,Y)互為二元變基函數(shù)。注意通基后變值系數(shù)的求法與一元的區(qū)別即TX=LX/LX0=X/X0=KX0/KX、TY=LY/LY0=Y/Y0 TY=KY0/KY，亦即X=TXX0或X0=X/TX、KX=KX0/TX或KX0=TXKX，Y=TYY0或Y0=Y/TY、K

37、Y=KY0/TY或KY0=TYKY。進而可得二元變基函數(shù)為：另當變值函數(shù)為多元時，其變基運算可仿二元變基運算進行。（2）通基變換：上述變基運算適用于單個變值函數(shù)，當為多個不同基距的變值函數(shù)（即異基函數(shù)）時，若要對其同名自變量在各自基距范圍內(nèi)進行同值同步運算（如對應(yīng)于有限空間的加減或合并運算等），則應(yīng)使之變?yōu)橄嗤嗟淖冎岛瘮?shù)（即同基函數(shù)），這便是通基變換。否則將無法對異基函數(shù)的同一自變量進行同值同步運算。通基變換常采用自變量與其基距同時縮小之法（也可采用同時擴大之法）。在通基變換時，需要已知原基距和通基后的統(tǒng)一基距。其中，統(tǒng)一基距?？筛鶕?jù)需要進行適當設(shè)定。當為一元時，設(shè)通基前的N個一元函數(shù)為：

38、Hi=H0i(Xi)，Xi為通基變量，Xi的基距為LXi，Xi的變值系數(shù)為KX0i，這里的i=1，2，2，N；通基后的N個方程為Hi=Hi(X)，X為統(tǒng)一變量，X的統(tǒng)一基距為LX，X的變值系數(shù)為KXi。通基時，可先采用同時縮小之法求出通基前后的基距之比（可叫通基系數(shù)，一般為常數(shù)），即：TXi=LXi/LX=Xi/Xi=KX/KX0，亦即：LX=LXi/TXi或LXi=TXiLX，X=Xi/TXi或Xi=TXiX，KX=TXKX0或KX0=KX/TX。進而將Xi=TXiX代入原式可得一元通基函數(shù)為：Hi=Hi(X)=H0i(Xi)=H0i(TXiX), （5）當為二元時，設(shè)通基前的N個二元函數(shù)為

39、Hi=H0i(Xi,Yi)，Xi、Yi為原自變量，Xi、Yi的基距為LXi、LYi，Xi、Yi的變值系數(shù)為KX0i、KY0i，；新變值函數(shù)為H=H(X,Y)，X、Y為統(tǒng)一變量，X、Y的統(tǒng)一基距為LX、LY（可依需要設(shè)定），X、Y的變值系數(shù)為KXi、KYi。其對應(yīng)通基系數(shù)為通基前后基距之比，即TXi=LXi/LX=Xi/X=KXi/KX0i、TYi=LYi/LY=Yi/Y=KYi/KY0i，亦即LX=LXi/TXi或LXi=TXiLX、X=Xi/TXi或Xi=TXX、KXi=TXiKX0i或KX0i=KXi/TX，LY=LYi/TYi或LYi=TYiLY，Y=Yi/TYi或Yi=TYiY、KYi

40、=TYiKY0i或KY0i=KYi/TYi。進而將Xi=TXX和Yi=TYiY代入原式可得二元通基函數(shù)為：Hi=Hi(X,Y)=H0i(Xi,Yi)=H0i(TXiX,TYiY), （6）通基后的變值系數(shù)等于原變值系數(shù)經(jīng)變基運算后乘以其自身的通基系數(shù)。設(shè)原變值系數(shù)為：KX0i=KX0i(Yi)和KY0i=KY0i(Xi),則新變值系數(shù)為: KXi(Y)= TXiKX0i(TYiYi)和KYi(X)=TYiKY0i(TXiXi)仿照上述二元通基變換可得三元和三元以上的通基系數(shù)為：TXi=LXi/LX，TYi=LYi/LY，TZi=LZi/LZ，；進而可得對應(yīng)通基函數(shù)為：Hi=Hi(X,Y,Z,)

41、=H0i(Xi,Yi,Zi,)=H0i(TXiX,TYiY,TZiZ ,), （7）以上通基變換可使異基函數(shù)變?yōu)橥瘮?shù)，但通常難以使異系函數(shù)變?yōu)橥岛瘮?shù)。上述基本性質(zhì)和變基運算可用于改變單個函數(shù)的對應(yīng)空間密度，通基變換可使多個函數(shù)所對應(yīng)的密度不同空間采用相同變量的同值同步運算。2.2.2變值函數(shù)的四則運算變值函數(shù)和基值函數(shù)的四則運算可分為同基和異基兩種算法。同基四則運算的基本算法與常規(guī)四則運算相同，但應(yīng)牢記變值系數(shù)（運算前后變值系數(shù)不變），尤其是異系運算更應(yīng)如此。當變值系數(shù)恒為1時，二者完全相同。異基四則運算則應(yīng)依據(jù)變值函數(shù)的基本性質(zhì),先通基后運算，通基后可按同基運算進行。其中，變值加減運算

42、還可引申擴展為變值合并運算（變合運算）與變值分解運算（變分運算）。變合運算相當于不同基距的基箱面或基箱體的合并，可將均勻或不均勻空間合并為不均勻空間。變分運算屬于變合運算的逆運算，相當于對基箱面或基箱體的分解，可將均勻或不均勻空間分解為不均勻或均勻空間。這里只對較為常用的作一說明，而變分運算可按變合運算的逆過程適當求之。異基變合運算與常規(guī)的異分母加減運算相類似，亦即先通基后合并，以便可使自變量采用同值同步進行有關(guān)運算。變合運算可用于各種一元和多元函數(shù)，下面重點說明一元和二元。當為一元時，設(shè)有N個一元函數(shù)為：Hi=H0i(Xi)，對應(yīng)基距為：LXi，i=1，2，N。試求其合并函數(shù)：H=H(X)。

43、這里應(yīng)先求出通基系數(shù)，即TXi=LXi/LX。然后可得對應(yīng)的通基函數(shù)為：Hi=Hi(X)=H0i(Xi)=H0i(TXiX), （8）將通基函數(shù)求和可得一元合并函數(shù)為：H(X)=Hi(X)=H0i(TXiX),(9）當為二元時，設(shè)有N個二元函數(shù)為：Hi=H0i(Xi,Yi)，基距為: LYi和LXi，變值系數(shù)為：KX0i=KX0i(Yi)和KY0i=KY0i(Xi)，i=1，2，N；統(tǒng)一基距為LY和LX。試求其合并函數(shù)：H=H(X,Y)。首先求出對應(yīng)通基系數(shù)為：TXi=LXi/LX，TYi=LYi/LY。然后可得通基函數(shù)為：Hi=Hi(X,Y)=H0i(Xi,Yi)=H0i(TXiX,TYiY

44、), (10)其中，對應(yīng)變值系數(shù)變?yōu)?KXi=TXiKX0i(TYiY)=KXi(Y)和KYi=TYiKY0i(TXiX)=KYi(X),此時,其首項可不為常數(shù)1。將通基函數(shù)求和可得二元合并函數(shù)為：H(X,Y)=Hi(X,Y)=H0i(TXiX,TYiY), （11）上述一元和二元的變合運算通常對應(yīng)于不同空間的相互合并。仿照上述方法亦可進行多元變合運算。2.2.3變值函數(shù)的積分運算目前比較成熟的變值函數(shù)積分運算（叫變積運算）還只限于正箱坐標系及其對應(yīng)的一元到三元。其基本運算規(guī)則與等值函數(shù)完全相同，所不同的是必須要有變值系數(shù)系數(shù)的直接參與。下面介紹兩種情形，即單一變值函數(shù)的積分運算(或叫單積運算

45、)和非單一變值函數(shù)的合并和積分運算(合積運算)。（1）變積運算:由于等值函數(shù)的變值系數(shù)恒為1，故其積分結(jié)果對應(yīng)于密度或單位與基準（基值）單位相同的實際數(shù)值（如密度均勻的面積或體積數(shù)值等）；但變值函數(shù)的變值系數(shù)通常不為常數(shù)1，自變量的取值通常只是同名坐標單位數(shù)，所對應(yīng)的密度或單位并不相同，故其直接積分結(jié)果仍然只是密度或單位不等的對應(yīng)單位數(shù)，并非與基準（基值）單位相同的實際數(shù)值，二者存在某一差值。這一差值來自積分變量的變值系數(shù)余項。因此，若要得到密度或單位與基值單位相同的實際數(shù)值（即補上相應(yīng)差值），則應(yīng)將被積函數(shù)的對應(yīng)單位還原為基值單位，亦即應(yīng)將被積函數(shù)進行還原，通常是將被積函數(shù)（顯函數(shù)）乘以某一

46、系數(shù)（可為數(shù)值或算式）。由于該系數(shù)對積分運算具有上述還原作用，故可稱之為還原系數(shù)或積分系數(shù)（用U表示）。這種還原只對被積函數(shù)中不含變值系數(shù)的積分變量進行，此時的積分變量叫還原變量。在通常情況下，還原變量為寬距變量和長距變量。此時，還原系數(shù)可有兩種求法：當只有一個還原變量時，還原系數(shù)等于對應(yīng)變值系數(shù)；當有兩個還原變量時，還原系數(shù)等于兩個對應(yīng)變值系數(shù)的首項之積與余項之和?，F(xiàn)將比較常用的還原系數(shù)列示如下：當還原變量為寬距變量時，則UX=KX(Y)，（12）當還原變量為長距變量時，則UY=KY(X)，（13）當還原變量為寬距變量和長距變量時,則：UXY=KXAKYA+RX(Y)+RY(X)=KA+R,

47、 （14）上式中，首項KA=KXAKYA對應(yīng)于方箱體，余項R=RX(Y)+RY(X)對應(yīng)于變值部分。當KXA=KYA=1,此時, UXY=1+RX(Y)+RY(X)=KX(Y)+KY(X)-1，或 UXY=1+RX+RY=KX+KY-1。有了上述還原系數(shù)，便可對被積函數(shù)進行還原。被積函數(shù)還原后（可叫被積還原函數(shù)），便可按照常規(guī)方法進行積分運算。一到三元的常見積分如下：一元變積運算：通常UX=TX，TX為變基系數(shù)，其值為常數(shù)。HX=UXH(X)dX=TXH(X)dX，（15）二元變積運算（其被積函數(shù)常為高距函數(shù)，積分變量為長距和寬距變量）：一次積分：SX(Y)=UXH(X,Y)dX=KXH(X,

48、Y)dX，（16）SY(X)=UYH(X,Y)dY=KYH(X,Y)dY，（17）二重積分：VXY=dYUXYH(X,Y)dX=dY(KA+R)H(X,Y)dX=dX(KX+KY-1)H(X,Y)dY，（18）三元變積運算（其被積函數(shù)通常為高距系數(shù)，應(yīng)先對高距變量進行積分）：一次積分：HZ(X,Y)=KH(X,Y)dZ，（19）二重積分：SZX(Y)=UXKH(X,Y)dZdX=KXKH(X,Y)dZdX=KXH(X,Y)dX，（20）SZY(X)=UYKH(X,Y)dZdY=KYKH(X,Y)dZdY=KYHH(X,Y)dY，（21）三重積分：VZXY=dYUXYKH(X,Y)dZdX=dY

49、(KA+R)KH(X,Y)dZdX=dY(KX+KY-1)H(X,Y)dX，（22）以上各種積分變量的上、下限均為常數(shù)，當含有函數(shù)項時（如多重積分），其有關(guān)運算仍與常規(guī)的積分運算方法相同。（2）變值函數(shù)的合積運算：合積運算是指同時包含變合和變積運算的算法，仍有同基與異基之分。（2.1）同基合積運算：本法是指各單式均為同基函數(shù)合積運算，其中，又有同系與異系之分，前者可視為后者的特殊情形。通基合積的一般步驟是：一還原、二求和、三積分。現(xiàn)以二元為例說明如下：設(shè)有N個同基二元單式及其還原系數(shù)分別為Hi=Hi(X,Y)和Ui（Ui的求法見前述積分運算）。則各單式的被積還原式為：UiHi=UiHi(X,Y

50、)，其一般合積算式可表示如下：對X定積分時：SX(Y)=UXiHidX=UXiHi(X,Y)dX, （23）對Y定積分時：SY(X)=UYiHidY=UYiHi(X,Y)dY, （24）對X、Y定積分時：VXY=dYUXYiHidX=dYUXYiHi(X,Y)dX, （25）當各單式為同基同系時，還原系數(shù)相同，前兩步可以互換，也可將還原系數(shù)提到求和符號之前；當各單式為異基異系時，還原系數(shù)不同，前兩步不能互換；當積分變量采用同值同步時，積分運算只能放在最后；當積分變量不采用同值同步時，其后兩步可以互換。（2.2）異基合積運算：本法是指各單式不為同基函數(shù)的合積運算。其一般步驟是：一通基、二還原、三

51、求和、四積分。這里先進行通基使各單式變?yōu)橥闶剑缓蟊憧砂凑胀闶竭M行合積運算，其中，又有同系與異系之分（前者可視為后者的特殊情形）。這里仍以二元為例作一說明。設(shè)有N個異基二元單式、原坐標系數(shù)及通基系數(shù)分別為Hi=H0i(Xi,Yi)、KX0i(Y)、KY0i(X)和TXi、TYi（TXi、TYi的求法見前述的合并運算），通基后的各式為：Hi=Hi(X,Y)=H0i(Xi,Yi)=H0i(TXiX,TYiY)新的寬距和長距系數(shù)系數(shù)分別為：KXi(Y)=TXiKX0i(TYiY)=KXAi+RXi(Y)和KYi(X)=TYiKY0i(TXiX)=KYAi+RYi(X)。由于通基過程使原不均勻

52、方箱體的長距和寬距密度發(fā)生二次變化，此時的各單式對應(yīng)于二次變化的不均勻方箱體，為了消除二次變化的影響，則其還原系數(shù)應(yīng)由新的變值系數(shù)求得，其具體求法同前（見12、13、14各式）。為便于應(yīng)用，現(xiàn)將其再次列示如下：積分變量為X時:UXi=KXi(Y)=KXAi+RXi(Y)；積分變量為Y時:UYi=KYi(X)=KYAi+RYi(X)；積分變量為X、Y時:UXYi=KXaiKYAi+KYaiRXi(Y)+KXaiRYi(X)=KXYAi+RXYi，式中，KXYAi=KXaiKYAi，RXYi=KYaiRXi(Y)+KXaiRYi(X)。進而可得其一般合積算式為：對X定積分：SX(Y)=UXiHid

53、X=KXiHi(X,Y)dX, （26）對Y定積分：SY(X)=UYiHidY=KYiHi(X,Y)dY, （27）對X、Y定積分：VXY=dYUXYiHidX=dY(KXYAi+RXYi)Hi(X,Y)dX, （28）以上為二元類合積運算的基本算法，當各單式為三元高距坐標算式(為高距算式的一個原函數(shù))或二元高距系數(shù)算式時(此時為箱體坐標系)，則可先求出對應(yīng)高距的二元算式(如將二元高距系數(shù)算式對Z定積分而得)，然后按照上述方法求之。另當上述各單式為高距坐標的二元算式(高距算式的一個原函數(shù))或為高距系數(shù)的一元算式時(常與箱面坐標系相對應(yīng))，此時,亦可先求出各單式的高距算式(如將一元高距系數(shù)算式對

54、Z定積分而得),然后可由上述二元類合積算式簡化而得。其一般求法如下:設(shè)有N個一元高距系數(shù)算式、原還原系數(shù)及通基系數(shù)分別為KHi=KH0i(Xi)、U0i和Ti（U0i和Ti的求法見前述的積分運算和合并運算），則可先求出各單式的原高距算式為:H0i(X)=KH0i(X)dZ，然后可得通基后的各單式為：Hi=Hi(X)=H0i(Xi)=H0i(TiX)，故得各單式的新被積還原式為：HUi=UiHi=UiHi(X)=TiU0iH0i(TiX)。進而可得合積算式為：SX=UiHUidX=TiU0iHi(X)dX, （29）在上述合積運算的一般算式中，積分符號與求和符號也可互換位置，亦即兩種運算也可交換順序。另當積分變量不采用同值同步時，可省去其通基變換。2.2.4變值函數(shù)的坐標變換：在變值函數(shù)中，總體來說，自變量的取值均與基值坐標相對應(yīng)，基值函數(shù)也同樣如此，因此，當需要自變量的實際坐標位置（即對應(yīng)變值坐標）時，則應(yīng)進行基值坐標與變值坐標的相互變換。其具體變換方法可依據(jù)變值公式進行，即：變值坐標=基值坐標×變值系數(shù)，或基值坐標=變值坐標/變值系數(shù)。有關(guān)變換可參閱表3。 基值坐標與變值坐標換算表 表3 已知坐標第一坐標求法第二坐標求法第三坐標求法備 注箱面坐標X,YX=XKX(Y)