資金的時間價值及等值計算

1、 不同時間發(fā)生的等額資金在價值上的差別稱不同時間發(fā)生的等額資金在價值上的差別稱為資金的時間價值。為資金的時間價值。一、資金的時間價值一、資金的時間價值 1、從資金的提供方來看，犧牲現(xiàn)在的消費或者延誤、從資金的提供方來看，犧牲現(xiàn)在的消費或者延誤自身的投資，需要補償；從資金的使用者來看，投資可以自身的投資，需要補償；從資金的使用者來看，投資可以創(chuàng)造價值，即資金增值。創(chuàng)造價值，即資金增值。 2、資金使用權(quán)是稀缺資源：既不可能無償擁有使用、資金使用權(quán)是稀缺資源：既不可能無償擁有使用權(quán)，也不可能無償放棄使用權(quán)。權(quán)，也不可能無償放棄使用權(quán)。二、資金等值計算二、資金等值計算資金等值：資金等值：在同一系統(tǒng)中不

2、同時點發(fā)生的相關(guān)資金，在同一系統(tǒng)中不同時點發(fā)生的相關(guān)資金，數(shù)額不等但價值相等，這一現(xiàn)象即資金等值。數(shù)額不等但價值相等，這一現(xiàn)象即資金等值。決定資金等值的因素有三個：決定資金等值的因素有三個： 資金的金額大小資金的金額大小 資金金額發(fā)生的時間資金金額發(fā)生的時間 利率的大小利率的大小 如果兩個現(xiàn)金流量等值，則它們在任何時間折算如果兩個現(xiàn)金流量等值，則它們在任何時間折算的相應(yīng)價值必定相等。的相應(yīng)價值必定相等。 單利和復(fù)利單利和復(fù)利例：第例：第1年初存入年初存入1000元，年利率元，年利率6，4年末可取多少錢？年末可取多少錢？ 年末年末單利單利復(fù)利復(fù)利年末利息年末利息年末本利和年末本利和年末利息年末利

3、息年末本利和年末本利和00100001000110006%=601060601060210006%=60112010606%=63.601123.60310006%=6011801123.606%=67.421191.02410006%=6012401191.026%=71.461262.48 紐約曼哈頓島：紐約曼哈頓島：1626年荷蘭東印度公司的彼得年荷蘭東印度公司的彼得 米紐特米紐特（Peter Minuit）以當(dāng)時約）以當(dāng)時約$24的工藝品向當(dāng)?shù)赝林〉诎驳墓に嚻废虍?dāng)?shù)赝林〉诎踩速徺I。人購買。 美國第美國第49個州阿拉斯加：個州阿拉斯加：1867年以年以700萬美元從俄萬美元從俄國沙皇

4、手中購買。國沙皇手中購買。假設(shè)印第安人以每年假設(shè)印第安人以每年6的利率存入瑞士銀行：的利率存入瑞士銀行：$ 832.8$ 832.8億億20032003年年$ 9.375$ 9.375億億$ 30.12 M$ 30.12 M$ 8143$ 8143$ 24$ 24美元美元19261926年年18671867年年17261726年年16261626年年年份年份$193.5$193.5億億$ 76.1$ 76.1億億$2.31$2.31億億$7.0 M$7.0 M美元美元20032003年年19871987年年19271927年年18671867年年年份年份假設(shè)沙皇以每年假設(shè)沙皇以每年6的利率存入

5、瑞士銀行：的利率存入瑞士銀行：住房按揭貸款的名義利率住房按揭貸款的名義利率i =5.04%，每年計息，每年計息12次次計息期利率：計息期利率：r/m=4.2 （月息）（月息）實際利率：實際利率：i=5.158%（年利率）（年利率）i （1十十rm）m 1 （1十十5.0412）12 1 5.158現(xiàn)金流出量：現(xiàn)金流出量：項目所需的項目所需的各種費用各種費用，例如投資、成本等例如投資、成本等現(xiàn)金流入量：現(xiàn)金流入量：項目帶來的項目帶來的各種收入各種收入，例如銷售收入、利潤等例如銷售收入、利潤等現(xiàn)金流量現(xiàn)金流量（cash flow）：）：由許多次投入由許多次投入(支出支出)和產(chǎn)出和產(chǎn)出(收入收入)按

6、時間順序構(gòu)成的動態(tài)序量按時間順序構(gòu)成的動態(tài)序量 當(dāng)實際問題的現(xiàn)金流量的時點沒有交代清楚（未指明當(dāng)實際問題的現(xiàn)金流量的時點沒有交代清楚（未指明期末、期初）時，有以下規(guī)定：投資在期初，經(jīng)營費用和期末、期初）時，有以下規(guī)定：投資在期初，經(jīng)營費用和銷售收入、稅金在期末。銷售收入、稅金在期末。14-N年年320第一年第一年的開始的開始第二年第二年的開始的開始第一年第一年的結(jié)束的結(jié)束流入流入流出流出現(xiàn)金流量圖現(xiàn)金流量圖一次支付終值公式一次支付終值公式一次支付現(xiàn)值公式一次支付現(xiàn)值公式等額分付終值公式等額分付終值公式等額分付償債基金公式等額分付償債基金公式等額分付資金回收公式等額分付資金回收公式等額分付現(xiàn)值公

7、式等額分付現(xiàn)值公式等差分付終值公式等差分付終值公式等差分付現(xiàn)值公式等差分付現(xiàn)值公式等差分付年值公式等差分付年值公式等比分付現(xiàn)值與復(fù)利公式等比分付現(xiàn)值與復(fù)利公式 符號定義：符號定義： P 現(xiàn)值現(xiàn)值 F 將來值將來值 i 年利率年利率 n 計息期數(shù)計息期數(shù) A 年金（年值）年金（年值）Annuity計息期末等額發(fā)生的現(xiàn)金流量計息期末等額發(fā)生的現(xiàn)金流量 G 等差分付系列中的等差變量值等差分付系列中的等差變量值A(chǔ)rithmetic Gradient g 等比系列中的增減率等比系列中的增減率Geometric 0 1 2 3 . n-1 n年F=?PF = P（1+i）n = P（F/P，i，n）（1+

8、i）n =（F/P，i，n）_一次支付終值系數(shù)一次支付終值系數(shù)（Compound amount factor , single payment）n年后的終值為：年后的終值為： F250 000（F/P，5%，8） = 250 000 1.477 = 369 250（元）（元）102n-13nPF=? 一份遺書上規(guī)定有一份遺書上規(guī)定有250 000元留給未成年的女兒，但是，元留給未成年的女兒，但是，暫由她的監(jiān)護(hù)人保管暫由她的監(jiān)護(hù)人保管8年。若這筆資金的年利率是年。若這筆資金的年利率是 5，問，問8年后這位女孩可以得到多少錢？年后這位女孩可以得到多少錢？72法則：現(xiàn)值翻一倍的時間大約等于法則：現(xiàn)值

9、翻一倍的時間大約等于72除以利率。除以利率。翻倍時間翻倍時間72/利率利率例：現(xiàn)在存入例：現(xiàn)在存入100元，元，i8，45年后你可以得到多少？年后你可以得到多少？ FV=100（18）453192元元 翻倍時間翻倍時間72/89，則，則45年將翻年將翻5倍（倍（45/9），）， FV10025 3200元。元。P = F（1+i）-n= F（P/F，i，n）年F0 1 2 3 . n-1 nP =？（1+i）-n =（P/F，i，n） 一次支付現(xiàn)值系數(shù)一次支付現(xiàn)值系數(shù)（Present Worth Factor, Single Payment） 解：解：P1(PF，12%，5) 1 0.5674

10、 0.5674 (萬元萬元) 若若i=3.6%，需求取，需求取(PF，3.6%，5) ？已知（已知（PF，3%，5)0.8626， (PF，4%，5) 0.8219可采用線性內(nèi)插法計算可采用線性內(nèi)插法計算P值。值。102435P=?F=1 某人計劃某人計劃5年后從銀行提取年后從銀行提取1萬元，如果銀行利率為萬元，如果銀行利率為12，問現(xiàn)在應(yīng)存入銀行多少錢？若年利率為問現(xiàn)在應(yīng)存入銀行多少錢？若年利率為3.60 %呢？呢？ A A A . . A A 0 1 2 3 . n-1 n年F=?FAAAA=+)(i+1)(i+1()i+1n-2n-1L()()()()()FiAiAiAiAinn1111

11、121=-L()FiAin=-11(1+i)n -1i=（F/A，i，n） 等額分付終值系數(shù)等額分付終值系數(shù)（compound amount factor,uniform series） = AF(1+i)n -1i= A（F/A，i，n）()()AiAFiFn-=-11 某廠連續(xù)某廠連續(xù)3年，每年末向銀行存款年，每年末向銀行存款1000萬元，利率萬元，利率10%，問，問3年末本利和是多少？年末本利和是多少？F=1000*（F/A，10%，3）=3310（萬元）（萬元）(1+i)n -1iA A A . A A=？0 1 2 3 . n-1 n年F =（A/F，i，n） 等額分付償債基金系數(shù)等

12、額分付償債基金系數(shù) （Sinking Fund Factor） =(1+i)n -1iA= F（A/F，i，n）F 某工廠計劃自籌資金于某工廠計劃自籌資金于5年后新建一個基本生產(chǎn)車間，預(yù)年后新建一個基本生產(chǎn)車間，預(yù)計需要投資計需要投資5000萬元。年利率萬元。年利率5%，從現(xiàn)在起每年年末應(yīng)等額，從現(xiàn)在起每年年末應(yīng)等額存入銀行多少錢存入銀行多少錢?A=F*（A/F，5%，5） =5000*0.181 =905（萬元）（萬元）(1+i)n -1i (1+i)n 0 1 2 3 . n-1 n年P(guān)=？A A A . A A=（P/A，i，n） 等額分付現(xiàn)值系數(shù)等額分付現(xiàn)值系數(shù) （Present Wo

13、rth Factor,Uniform Series） ),/()1 (1)1 (niAPAiiiAPnn=-= 一位發(fā)明者轉(zhuǎn)讓其專利使用權(quán)，一種收益方式在今后五一位發(fā)明者轉(zhuǎn)讓其專利使用權(quán)，一種收益方式在今后五年里每年收到年里每年收到12000元，隨后，又連續(xù)元，隨后，又連續(xù)7年每年收到年每年收到6000元，元，另一種是一次性付款。在不考慮稅收的情況下，如要求年收另一種是一次性付款。在不考慮稅收的情況下，如要求年收益率為益率為10，他愿意以多大的價格一次性出讓他的專有權(quán)？，他愿意以多大的價格一次性出讓他的專有權(quán)？P=A1（PA，i ，n）+ A2（PA，i ，n） （PF，i ，n） = 120

14、00（PA，10% ，5）+ 6000（PA，10% ，7） （PF，10%，5） = 63625 （元）（元）102536P=?A1 =12000 i=10%A2 =600011120 1 2 3 . n-1 n 年P(guān)A A A . ？=A A=（A/P，i，n）_資金回收系數(shù)資金回收系數(shù) （capital recovery factor） (1+i)n -1i (1+i)n ()AFiin=-11()FPin=1于是于是= P（A/P，i，n）i=(1+i)n -1A(1+i)n P 某工程項目一次投資某工程項目一次投資30000元，年利率元，年利率8%，分，分5年每年年年每年年末等額回收

15、，問每年至少回收多少才能收回全部投資末等額回收，問每年至少回收多少才能收回全部投資?A=P*（A/P，8%，5） =30000*0.2505 =7515（萬元）（萬元） 某新工程項目欲投資某新工程項目欲投資200萬元，工程萬元，工程1年建成，生產(chǎn)經(jīng)營年建成，生產(chǎn)經(jīng)營期為期為9年，期末不計算余值。期望投資收益率為年，期末不計算余值。期望投資收益率為12，問每年，問每年至少應(yīng)等額回收多少金額？至少應(yīng)等額回收多少金額？023456789101PA0448.421877. 0*120. 1*200)9%,12,/)(1%,12,/(200=PAPFA 從現(xiàn)在起，若每年年末存入銀行從現(xiàn)在起，若每年年末存

16、入銀行40元，連續(xù)存元，連續(xù)存7次，按次，按年復(fù)利利率年復(fù)利利率6%計，計，7年末可得多少？若是每年年頭存入年末可得多少？若是每年年頭存入40元，元，7年末可得多少？年末可得多少？0 1 2 3 4 5 n-1 nF (n-1)G (n-2)G 4G 3G G 2G 年P(guān)()1,/-niAF()2,/-niAFF=GGLG()2 ,/iAFG()1 ,/iAF=()()()()-iiGiiGiiGiiGnn11111111221L()-niiiGn11= 等差分付終值系數(shù)等差分付終值系數(shù)（compound amount factor, arithmetic gradient） ()）（niGF

17、niiin, ,/111=-記記()niPF=1()()-=niiiGiPnn111()(),/(1112niGPGiiiniGPnn=-=即即 等差分付現(xiàn)值系數(shù)等差分付現(xiàn)值系數(shù)(arithmetic gradient to present worth )()(),/(1112niGPiiininn=-該公式是把等差支付系列換算成等額支付系列該公式是把等差支付系列換算成等額支付系列 () AP A P i n=/, ,()PG P G i n=/, ,()()()()()()-=111111 ,/,/2nnnniiiiiiniGniPAniGPGA()()-=1111nniiiniG()(),

18、/1111niGAiiininn（=-等差分付年值系數(shù)等差分付年值系數(shù)（arithmetic gradient conversion factor） 即即()(),/,/,/niGAGniPAniGPGA（= 某廠第一年年末銷售利潤額為某廠第一年年末銷售利潤額為50萬元，預(yù)測在以后萬元，預(yù)測在以后4年年每年將遞增每年將遞增10萬元，年利率為萬元，年利率為10，如果換算成，如果換算成5年的等額年的等額支付系列，其年值是多少？支付系列，其年值是多少？ ()()101.685%,10,/1050,/1=GAniGAGAA 已知某機床售價已知某機床售價40000元，可使用元，可使用10年，不計算殘值。

19、據(jù)年，不計算殘值。據(jù)估算第一年維修費為估算第一年維修費為1000元，以后每年按元，以后每年按300元遞增，元遞增，i15，求該機床所耗費的全部費用的現(xiàn)值。，求該機床所耗費的全部費用的現(xiàn)值。 0 1 2 3 8 9 10 年1000 1300 1600 3100 3400 370040000()()5011316.98*3005.019*100040000 5.019*3.383*3005.019*100040000 )10%,15,/)(10%,15,/(*019. 5*100040000 10%,15,/10%,15,/40000=APGAGGPGAPAP0 1 2 3 4 n-1 n A

20、A(1+g) A(1+g)2A(1+g)3 A(1+g)n-2 A(1+g)n-1現(xiàn)金流公式：現(xiàn)金流公式： ()11-=ttgAA t=1,n 其中其中g(shù)為現(xiàn)金流周期增減率為現(xiàn)金流周期增減率經(jīng)推導(dǎo)，現(xiàn)值公式為：經(jīng)推導(dǎo)，現(xiàn)值公式為： () ()-=-giigAPnn111gi gi =PnAi=1() (), ,/(111nigAPgiignn=-記記等比分付現(xiàn)值系數(shù)等比分付現(xiàn)值系數(shù)（geometric gradient to present worth ）復(fù)利公式：復(fù)利公式： ()()() ()-=-giigiAiPFnnnn11111()() (),/1111nigAFgiiginnn，（=

21、-記記 某廠投入某廠投入32000元增添一套生產(chǎn)設(shè)備，預(yù)計第一年產(chǎn)品銷元增添一套生產(chǎn)設(shè)備，預(yù)計第一年產(chǎn)品銷售額可增加售額可增加20000元，以后逐年年收入增加率為元，以后逐年年收入增加率為7，計劃將，計劃將每年收入的每年收入的10按年利率按年利率5存入銀行，問存入銀行，問10年后這筆存款可年后這筆存款可否換回一套新設(shè)備？否換回一套新設(shè)備？0 1 2 3 10 年2000 2000 (1+0.07) 2000(1+0.07)9()() ()02.2076607. 005. 005. 0107. 011200010%,5%,7 ,/20001010=-=-APP()FFP=20766025%,10

22、3382566./,.32000所以所以10年后可以換一臺新設(shè)備年后可以換一臺新設(shè)備 在技術(shù)經(jīng)濟(jì)分析的實踐中，有時在技術(shù)經(jīng)濟(jì)分析的實踐中，有時計息周期計息周期是是小于一年小于一年的，如季、半年、月、周、日的，如季、半年、月、周、日等，這時根據(jù)等，這時根據(jù)支付周期支付周期與與計息周期計息周期的關(guān)系可分為三種情況來進(jìn)行分析。的關(guān)系可分為三種情況來進(jìn)行分析。 計息周期：某時間計息一次，表明計息且付息，即按復(fù)利計算計息周期：某時間計息一次，表明計息且付息，即按復(fù)利計算支付周期：指現(xiàn)金流量的發(fā)生周期，亦稱支付期。支付周期：指現(xiàn)金流量的發(fā)生周期，亦稱支付期。（一）計息周期等于支付期的情況（一）計息周期等于

23、支付期的情況 設(shè)年利率設(shè)年利率12，每季計息一次，從現(xiàn)在起三年內(nèi)以每季，每季計息一次，從現(xiàn)在起三年內(nèi)以每季末末200元的等額值收入，問與其等值的終值是多少。元的等額值收入，問與其等值的終值是多少。irm=0124003.（次）1234=n計息周期利率計息周期利率計息期數(shù)計息期數(shù)0 1 2 3 4 8 12（季度） 1年 2年 3年200()()4 .283812%,3 ,/200,/=AFniAFAF（二）計息期小于支付期的情況（二）計息期小于支付期的情況 某人每半年存入銀行某人每半年存入銀行500500元，共三年，年利率元，共三年，年利率8 8，每季，每季復(fù)利一次，試問復(fù)利一次，試問3 3年

24、底他的帳戶總額。年底他的帳戶總額。0 1 2 3 4 5 6（半年）5000 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12（季）方法一：先求計息期實際利率，再進(jìn)行復(fù)利計算方法一：先求計息期實際利率，再進(jìn)行復(fù)利計算 計息周期總數(shù)為計息周期總數(shù)為12（季）（季）%24%8=季i()()()()()（元）8 .33195002%,2 ,/500 4%,2 ,/5006%,2 ,/5008%,2 ,/50010%,2 ,/500=PFPFPFPFPFF每季復(fù)利一次，則季利率每季復(fù)利一次，則季利率方法二：把每個支付周期期末發(fā)生的現(xiàn)金流換算為以計息期方法二：把每個支付周期期末發(fā)生的現(xiàn)金流換算為以計息期為基礎(chǔ)的等額系列，再求復(fù)利和為基礎(chǔ)的等額系列，再求復(fù)利和()（元）季53.2472%,2 ,/500=FAA()（元）8 .331912%,2 ,/53.247=AFF方法三：先求支付周期的實際利率，再以支付期為基礎(chǔ)進(jìn)方法三：先求支付周期的實際利率，再以支付期為基礎(chǔ)進(jìn)行復(fù)利計算：行復(fù)利計算：()%04. 41%212=-=i()（元）9 .3319640. 6*5006%,04. 4 ,/500=AFF計息期間的計息期間的存款應(yīng)放在期末存款應(yīng)放在期末，而計息期間的，而計息期間的提款應(yīng)放在期初提款應(yīng)放在期初。 例：每季度計息一次，年利率例：每季度計息