必修四⑥平面向量線性運(yùn)算

1、學(xué)習(xí)必備歡迎下載平面向量線性運(yùn)算1、向量的有關(guān)概念及表示方法(1)向量的有關(guān)概念名稱(chēng)定義備注向量既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的長(zhǎng)度(或模)零向量長(zhǎng)度為0的向量；其方向是任意的1記作0單位向量長(zhǎng)度等于1個(gè)單位的向量平行向量方向相同或相反的非零向量10與任一向量平行或共線共線向量平行向量雙叫做共線向量相等向量長(zhǎng)度相等且方向相同的向量相反向量長(zhǎng)度相等且方向相反的向量110的相反向量為0(2)向量的表示方法字母表示法，如：a,器等;幾何表示法：用一條有向線段表示向量。2、向量的線性運(yùn)算向量運(yùn)算定義法則(或幾何意義)運(yùn)算律加法求兩個(gè)向里和的運(yùn)算巴三角形法則(1)交換律：4444a+b=b+a

2、。(2)結(jié)合律：*44444(a+b)+c=a+(b+c)平行四邊膨口則減法11求a與b的相反向量11-b的和的運(yùn)算叫做a1與b的差三速述法則數(shù)乘1求實(shí)數(shù)入與向量a的積的運(yùn)算（1）=九料.（2）當(dāng)入0時(shí)，za與a的14方向相同；當(dāng)入0時(shí)，九a14與a的方向相反；當(dāng)入=0時(shí)，九a=034九（Na）=（，M）a;,（兒+N）a=71a+Na;丸（a+b）=?a+九b、，一,4*,2J',2',2汪：式子|a+b|+|ab|=2（|a|+|b|）的幾何意義為：平行四邊形兩條對(duì)角線的學(xué)習(xí)必備歡迎下載平方和等于它們四條邊的平方和。3、向量a（a00）與向量b共線的充要條件為存在唯個(gè)實(shí)數(shù)兒

3、，使b=Ka.注：用向量法證明三點(diǎn)A、B、C共線時(shí)，首先求出足、定,然后證明AB=ZAC,即，一AB與AC共線即可。方法提示：數(shù)學(xué)中研究的向量是自由向量：兩個(gè)向量只要它們的模相等、方向相同，它們就是相等向量，而與它們的起點(diǎn)在哪里沒(méi)有關(guān)系。這就為我們應(yīng)用向量帶來(lái)方便，可以任意選取有向線段的起點(diǎn)，可以把向量自由平移。向量的線性運(yùn)算規(guī)律：向量的加減法都可以推廣到若干個(gè)向量間進(jìn)行。加法的三角形法則關(guān)鍵是“首尾相接，指向終點(diǎn)”，減法的三角形法則關(guān)鍵是“起點(diǎn)重合，指向被減向量”，用字母表示的向量進(jìn)行線性運(yùn)算時(shí)可以類(lèi)比多項(xiàng)式加法和數(shù)乘多項(xiàng)式進(jìn)行。題型分析（一）向量的有關(guān)概念相關(guān)鏈接1、著重理解向量以下幾個(gè)方

4、面：（1）向量的模；（2）向量的方向；（3）向量的幾何表示；（4）向量的起點(diǎn)和終點(diǎn)。2、判定兩個(gè)向量的關(guān)系時(shí)，特別注意以下兩種特殊情況:學(xué)習(xí)必備歡迎下載(1)零向量的方向及與其他向量的關(guān)系;(2)單位向量的長(zhǎng)度及方向。例題解析【例1】下列結(jié)論中，不正確的是(A)(B)(C)(D)向量AB,CD共線與向量AB/CD同義;若向量AB/CD,則向量AB與DC共線;若向量AB=CD,則向量贏.DC；只要向量a,b滿足iai=ib|,就有a=b。解答：選D根據(jù)平行向量(或共線向量)定義知A,B均正確；根據(jù)向量相等的概念知C正確，D不正確?！纠?】給出下列命題:有向線段就是向量，向量就是有向線段;若AB=

5、DC,則ABCM平行四邊形；若a/b,b/c,則a=c;若a/b,b/c,則a/c。其中正確命題的個(gè)數(shù)是()(A)0(B)1(C)2(D)3思路解析：正確理解向量的有關(guān)概念是解決本題的關(guān)鍵。注意到特殊情況，否定某個(gè)命題只要舉出一個(gè)反倒即可。TT解答：選B。錯(cuò)，向量可用有向線段表示，但并不是有向線段。錯(cuò)，因?yàn)锳B=DC,則可能A、BC、D四點(diǎn)在一條直線上。正確。錯(cuò)，若b=0,則對(duì)不共線的向量a與c,IlliII444444也有a/0,0/c,但a與c不平行。(二)向量的線性運(yùn)算相關(guān)鏈接(1)用已知向量來(lái)表示別外一些向量是用向量解題的基本功，除利用向量的加、減法、數(shù)乘向量外，還應(yīng)充分利用平面幾何的

6、一些定理；學(xué)習(xí)必備歡迎下載(2)在求向量時(shí)要盡可能轉(zhuǎn)化到平行四邊形或三角形中，運(yùn)用平行四邊形法則、三角形法則，利用三角形中位線，相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例等平面幾何的性質(zhì)，把未知向量轉(zhuǎn)化為與已知向量有直接關(guān)系的向量求解。注：若A為BC的中點(diǎn)，則*1二二CM=y(OB+(X?).例題解析R例1在AABC中,2一AD=AB,DE/BC交AC于E,BCfe上的中線AMDE于N。3AB=a,AC=b,用a,b表不向量AE、BC、DE、DN、AM、AN。思路解析：解本題要進(jìn)行向量的加、減法外，還有數(shù)乘向量運(yùn)算，如2F1114AB=AD,DBABa,333K1V14BD=-AB=-a.在進(jìn)行計(jì)算時(shí)要充分利用D

7、E/BCnAADEsaABCAADWA33ABM條件。iDEB(：.22.2AE=AC=b,解答:|AD=-AH33rr-Tt,',=2K2BC=AC-AB=b-a,由AADAABC彳導(dǎo)DE=-BC=(ba),又AM是AABC33的中線，DE/BC，且AM與DE交于點(diǎn)N,得TL1TT*1T*T1DN=DE=(b-a),AMABBMa=BC(名)-b23222/XDNAABM,1'211 2->AN=AM=(u+fn：AO=AB33 31R21在AOAB中,學(xué)習(xí)必備歡迎下載一,_，一/一一一，一一4r1一延長(zhǎng)BA到C,使AC=BA在OB上取點(diǎn)D,使DB=OB。DC與OA交于

8、E,設(shè)3T.*OA=a,OB=b,用a,b表示向量OC及向量DC。解答：.A是BC的中點(diǎn)，.OACiOB+OC),gpOC=2OA-OB=2a-b,FKLK2K*2序554DC=OC-OD=OC-OB=2a-b-b=2a-b.333(三)向量的共線問(wèn)題IIr例i設(shè)兩個(gè)非零向量a與b不共線，(1)若AB=a+b,BC=2：+8b,CD=3(a_b).求證：A、B、D三點(diǎn)共線；4444（2）試確定實(shí)數(shù)k,使ka+b和a+kb共線思路解析：（1）由已知求BD't判斷AB和BD'的關(guān)系t判斷A、B、D的關(guān)系；（2）應(yīng)用共線向量的充要條件T列方程組T解方程組得k值。解答：（1）AB=a+b,BC=2a+8b,CD=3（ab）.TT44444寸寸寸4BD=BCCD=2a8b3(a-b)=2a8b3a-3b=5(ab)=5ABAB>BD共線，又二.它們有公共點(diǎn)B,，A、BD三點(diǎn)共線（2）;ka+b和a+kb共線，存在實(shí)數(shù)入，使ka+b=入（a+kb）,即ka+b=Ka+Kkb。，（k一九）a=。k1）b;a、b是不共線的兩個(gè)非零向量，.2k，-=、k1,.k-1=0。.k=±1°注