托勒密定理、婆氏定理——圓中基本模型專題二

1、托勒密定理、婆氏定理圓中基本模型專題（二）ACBEABCDABBE旋轉(zhuǎn)一拖二得ABCsAED,ACDEBCAD【模塊二對(duì)角互補(bǔ)模型-旋轉(zhuǎn)視角】圖m【教學(xué)重難點(diǎn)】1 .圓中托勒密定理；對(duì)角互補(bǔ)模型：旋轉(zhuǎn)視角、托勒密視角2 .婆羅摩笈多定理3 .例題探究【模塊一圓中托勒密定理】在希臘最偉大的天文學(xué)家，數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家伊巴谷（約公元前190年-公元前125年），最早提出了，圓內(nèi)接四邊形兩對(duì)對(duì)邊乘積的和等于兩條對(duì)角線的乘積，后稱托勒密定理.古羅馬著名的天文學(xué)家、光學(xué)家克羅狄斯托勒密（約90年-168年）J從伊巴谷的書中將其摘出并完善.托勒密定理實(shí)質(zhì)上是關(guān)于共圓性的基本性質(zhì)，故從這個(gè)定理可以推出正弦、余

2、弦的和差公式及一系列的三角恒等式.1 .基本圖形與結(jié)論：如圖1,當(dāng)A、B、C、D四點(diǎn)共圓，則ACXBD=ABXDC+ADXBC.2 .簡單證明：在線段BD上取一點(diǎn)E,連AE,使/AEB=/ADC,易得AEBsADC,ACCDACBCADDE由十得：ACX（BE+DE）=ACXBD=ABXDC+ADBC.3 .模型識(shí)別：具體情境中出現(xiàn)四點(diǎn)共圓，且四點(diǎn)構(gòu)成的四邊形邊長、對(duì)角線長信息較多，可以嘗試用托勒密定理進(jìn)行計(jì)算.X4.廣義托勒密定理：對(duì)于任意凸四邊形ABCD,則有ACXBDABXDC+ADXBC.證明從略1 .基本圖形與模型識(shí)別：如圖2,對(duì)角互補(bǔ)且一組鄰邊相等的四邊形，可通過旋轉(zhuǎn)變換將四邊形轉(zhuǎn)

3、化為等腰三角形（等腰思旋轉(zhuǎn)）.2 .四類常見對(duì)角互補(bǔ)模型：模型一：等邊60對(duì)120型條件：如圖3,在四邊形ABCD中，AB=AD,ZBAD=60,ZBCD=120結(jié)論：（1）CA平分/BCD;（2）BC+CD=AC.證明：證明：如圖，將4ACD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60至AAMB,使AD,AB重合，則ACDAAMB, ./ADC=/ABM,AC=AM,CD=BM,/ACD=/M, ./BAD=60,/BCD=120, ./ABC+ZADC=180,./ABC+ZABM=180,.M,B,C三點(diǎn)共線， ./MAC=ZBAD=60, .MAC為等邊三角形，MC=AC,/M=ZACD, .MB+BC=AC

4、,/ACB=/ACD, CA平分/DCB,CB+CD=AC.模型二：等腰直角對(duì)直角型條件：如圖4,在四邊形ABCD中，AB=AD,/BAD=/BCD=90.結(jié)論：(1)CA平分/DCB;(2)CB+CD=J2AC.證明：略A模型三：等腰頂角120對(duì)60型條件：如圖5,在四邊形ABCD中,結(jié)論：(1)CA平分/BCD;(2)證明：略模型四：同側(cè)雙直角型條件：如圖6,在四邊形ABCD中，/BCD=90.結(jié)論：CB-CD=72AC.證明：略AB=AD,AB=AD,CB+CD=【模塊三對(duì)角互補(bǔ)模型托密視角】1 .等腰三角函數(shù)計(jì)算：如圖7,BC2ABcos2mcos2 .托勒密定理應(yīng)用：如圖8,對(duì)角互補(bǔ)

5、型：mambc2mcosab2ccos結(jié)論：當(dāng)a=60時(shí)，a+b=c當(dāng)a=45時(shí)，a+b=V2c當(dāng)a=30時(shí)，a+b=3c利用角平分線性質(zhì)也可直接得ab2c如圖9,同側(cè)等角型：a2mcosmbmccb2acos結(jié)論：郵當(dāng)a=45時(shí)，cb=72a【模塊四婆羅摩笈多定理】婆羅摩笈多(約公元598約660年)是一位印度數(shù)學(xué)家和天文學(xué)家，他出身于古印度的婆羅門種姓,婆羅門掌管著解釋和預(yù)言天象的權(quán)力，掌握著天文學(xué)知識(shí)，以及測量和計(jì)算天體運(yùn)行的工具一一數(shù)學(xué).羅摩笈多著有兩部關(guān)于數(shù)學(xué)和天文學(xué)的書籍，他的一些數(shù)學(xué)成就在世界數(shù)學(xué)史上有較高的地位，他的負(fù)數(shù)及加減法運(yùn)算僅晚于中國九章算術(shù)，而他的負(fù)數(shù)乘除法法則在全世

6、界都是領(lǐng)先的.婆羅摩笈多還提出了著名的婆羅摩笈多定理，簡稱“婆氏定理”.若圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角線相互垂直，則垂直于一邊且過對(duì)角線交點(diǎn)的直線將平分對(duì)邊.1 .簡單證明：已知：如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于圓O,對(duì)角線于點(diǎn)F,求證：F是AD中點(diǎn).證明：-.ACIBD,MEXBC ./CBD=/CME ./CBD=/CAD,/CME=/AMF ./CAD=/AMF.AF=MF .ZAMD=90,同時(shí)/MAD+/MDA=90 ./FMD=ZFDMMF=DF,AF=DF即F是AD中點(diǎn).ACXBD于點(diǎn)M,MEBC于點(diǎn)E,延長EM交CD2 .婆羅摩笈多逆定理請(qǐng)你閱讀婆羅摩笈多定理的證明過程，試證明婆羅摩笈多逆定理

7、：(1)如圖1,四邊形ABCD內(nèi)接于圓O,對(duì)角線ACLBD于點(diǎn)M,F為AD中點(diǎn)，連接FM并延長交BC于點(diǎn)E,求證：MELBC.(2)如圖2,4ABC內(nèi)接于圓O,/B=30,ZACB=45,AB=2,點(diǎn)D在圓O上，/BCD=60,連接AD交BC于點(diǎn)P,作ONLCD于點(diǎn)N,連接并延長NP交AB于點(diǎn)M,求證PMXBA,并求PN的長.3 .共頂?shù)妊蹦Ｐ?婆羅摩笈多模型)已知：如圖，兩個(gè)等腰直角三角形RtAABORtACDO,頂點(diǎn)重合，連接AC,BD.結(jié)論：如果F是AC中點(diǎn)，那么一定有EFXBD;如果EFXBD,那么一定有F是AC中點(diǎn)；Sabod=Saaoc；2FO=BD.證明：(1)法一：(外)弦圖

8、構(gòu)造法，如圖1(2)法二：導(dǎo)角構(gòu)造一全等構(gòu)造法，如圖2【例1】如圖3所示，試證明：上述共頂?shù)妊蹦Ｐ椭薪Y(jié)論例2如圖，向4ABC的外側(cè)作正方形ABDE、ACFG:(1)過A作AHLBC于H,AH與EG交于M,求證：EM=MG,BC=2AM.(2)若M為EG的中點(diǎn)，求證：AHXBC.【模塊四真題探究】【例3】（改編）如圖1,。的半徑為1,A,P,B,C是。O上的四個(gè)點(diǎn)，/APC=/CPB=60.（1）判斷ABC的形狀，并說明理由；（2）試探究線段PA,PB,PC之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（3）當(dāng)點(diǎn)p位于Ab的什么位置時(shí)，四邊形APBC的面積最大？求出最大面積.44【例4】（2013成都中考改編）如圖2,A,B,C為。O上相鄰的三個(gè)n等分點(diǎn)，AbBc，點(diǎn)E在？C上，EF為。的直徑，將。O沿EF折疊，使點(diǎn)A與A重合，點(diǎn)B與B重合，連接EB,EC,EA.設(shè)EB=b,EC=c,EA=