排列組合高考專項(xiàng)練習(xí)題

1、例1.從1、2、3、20這二十個(gè)數(shù)中任取三個(gè)不同的數(shù)組成等差數(shù)列，這樣的不同等差數(shù)列有個(gè)。分析：首先要把復(fù)雜的生活背景或其它數(shù)學(xué)背景轉(zhuǎn)化為一個(gè)明確的排列組合問題。設(shè)a,b,c成等差，2b=a+c,可知b由a,c決定，又2b是偶數(shù)，a,c同奇或同偶，即：分別從1,3,5,19或2,4,6,8,，20這十個(gè)數(shù)中選出兩個(gè)數(shù)進(jìn)行排列，由此就可確定等差數(shù)列，C（2,10）*2*P（2,2）,因而本題為180。例2.某城市有4條東西街道和6條南北的街道，街道之間的間距相同，如圖。若規(guī)定只能向東或向北兩個(gè)方向沿圖中路線前進(jìn)，則從M到N有多少種不同的走法？分析：對(duì)實(shí)際背景的分析可以逐層深入（一）從M到N必須向

2、上走三步，向右走五步，共走八步。（二）每一步是向上還是向右，決定了不同的走法。（三）事實(shí)上，當(dāng)把向上的步驟決定后，剩下的步驟只能向右。從而，任務(wù)可敘述為：從八個(gè)步驟中選出哪三步是向上走，就可以確定走法數(shù)，本題答案為：=56。2 .注意加法原理與乘法原理的特點(diǎn)，分析是分類還是分步，是排列還是組合例3.在一塊并排的10壟田地中，選擇二壟分別種植A,B兩種作物，每種種植一壟，為有利于作物生長(zhǎng)，要求A,B兩種作物的間隔不少于6壟，不同的選法共有種。分析：條件中“要求A、B兩種作物的間隔不少于6壟”這個(gè)條件不容易用一個(gè)包含排列數(shù)，組合數(shù)的式子表示，因而采取分類的方法。第一類：A在第一壟，B有3種選擇；第

3、二類：A在第二壟，B有2種選擇；第三類：A在第三壟，B有一種選擇，同理A、B位置互換，共12種。例4.從6雙不同顏色的手套中任取4只，其中恰好有一雙同色的取法有O（A）240（B）180（C）120（D）60分析：顯然本題應(yīng)分步解決。（一）從6雙中選出一雙同色的手套，有6種方法；（二）從剩下的十只手套中任選一只，有10種方法。（三）從除前所涉及的兩雙手套之外的八只手套中任選一只，有8種方法；（四）由于選取與順序無關(guān)，因而（二）（三）中的選法重復(fù)一次，因而共240種。例5.身高互不相同的6個(gè)人排成2橫彳T3縱列，在第一行的每一個(gè)人都比他同列的身后的人個(gè)子矮，則所有不同的排法種數(shù)為。分析：每一縱列

4、中的兩人只要選定，則他們只有一種站位方法，因而每一縱列的排隊(duì)方法只與人的選法有關(guān)系，共有三縱列，從而有=90種。例6.在11名工人中，有5人只能當(dāng)鉗工，4人只能當(dāng)車工，另外2人能當(dāng)鉗工也能當(dāng)車工。現(xiàn)從11人中選出4人當(dāng)鉗工，4人當(dāng)車工，問共有多少種不同的選法分析：采用加法原理首先要做到分類不重不漏，如何做到這一點(diǎn)？分類的標(biāo)準(zhǔn)必須前后統(tǒng)一。以兩個(gè)全能的工人為分類的對(duì)象，考慮以他們當(dāng)中有幾個(gè)去當(dāng)鉗工為分類標(biāo)準(zhǔn)O第一類：這兩個(gè)人都去當(dāng)鉗工，有35種；第二類：這兩人有一個(gè)去當(dāng)鉗工，有75種;第三類：這兩人都不去當(dāng)鉗工，有75種。因而共有185種。例7.現(xiàn)有印著0,l,3,5,7,9的六張卡片，如果允許

5、9可以作6用，那么從中任意抽出三張可以組成多少個(gè)不同的三位數(shù)分析：有同學(xué)認(rèn)為只要把0,1,3,5,7,9的排法數(shù)乘以2即為所求，但實(shí)際上抽出的三個(gè)數(shù)中有9的話才可能用6替換，因而必須分類。抽出的三數(shù)含0,含9,有種方法；抽出的三數(shù)含0不含9,有種方法；抽出的三數(shù)含9不含0,有種方法；抽出的三數(shù)不含9也不含0,有種方法。又因?yàn)閿?shù)字9可以當(dāng)6用，因此共有2X(+)+=144種方法。例8.停車場(chǎng)劃一排12個(gè)停車位置，今有8輛車需要停放，要求空車位連在一起，不同的停車方法是種。分析：把空車位看成一個(gè)元素，和8輛車共九個(gè)元素排列，因而共有種停車方法。3 .特殊元素，優(yōu)先處理；特殊位置，優(yōu)先考慮例9.六人

6、站成一排，求(1)甲不在排頭，乙不在排尾的排列數(shù)(2)甲不在排頭，乙不在排尾，且甲乙不相鄰的排法數(shù)分析：(1)先考慮排頭，排尾，但這兩個(gè)要求相互有影響，因而考慮分類。第一類：乙在排頭，有種站法。第二類：乙不在排頭，當(dāng)然他也不能在排尾，有種站法，共+種站法。(2)第一類：甲在排尾，乙在排頭，有種方法。第二類：甲在排尾，乙不在排頭，有種方法。第三類：乙在排頭，甲不在排頭，有種方法。第四類：甲不在排尾，乙不在排頭，有種方法。共+2+=312種。例10.對(duì)某件產(chǎn)品的6件不同正品和4件不同次品進(jìn)行一一測(cè)試，至區(qū)分出所有次品為止。若所有次品恰好在第五次測(cè)試時(shí)被全部發(fā)現(xiàn)，則這樣的測(cè)試方法有多少種可能？分析：

7、本題意指第五次測(cè)試的產(chǎn)品一定是次品，并且是最后一個(gè)次品，因而第五次測(cè)試應(yīng)算是特殊位置了，分步完成。第一步：第五次測(cè)試的有種可能；第二步：前四次有一件正品有中可能。第三步：前四次有種可能。共有種可能。4 .捆綁與插空例11.8人排成一隊(duì)(1)甲乙必須相鄰(2)甲乙不相鄰(3)甲乙必須相鄰且與丙不相鄰(4)甲乙必須相鄰，丙丁必須相鄰(5)甲乙不相鄰，丙丁不相鄰分析：(1)有種方法。(2)有種方法。(3)有種方法。(4)有種方法。(5)本題不能用插空法，不能連續(xù)進(jìn)行插空。用間接解法：全排列-甲乙相鄰-丙丁相鄰+甲乙相鄰且丙丁相鄰，共-+=23040種方法。例12.某人射擊8槍，命中4槍，恰好有三槍連

8、續(xù)命中，有多少種不同的情況？分析：:連續(xù)命中的三槍與單獨(dú)命中的一槍不能相鄰，因而這是一個(gè)插空問題。另外沒有命中的之間沒有區(qū)別，不必計(jì)數(shù)。即在四發(fā)空槍之間形成的5個(gè)空中選出2個(gè)的排列，即。例13.馬路上有編號(hào)為1,2,3,，10十個(gè)路燈，為節(jié)約用電又看清路面，可以把其中的三只燈關(guān)掉，但不能同時(shí)關(guān)掉相鄰的兩只或三只，在兩端的燈也不能關(guān)掉的情況下，求滿足條件的關(guān)燈方法共有多少種？分析：即關(guān)掉的燈不能相鄰，也不能在兩端。又因?yàn)闊襞c燈之間沒有區(qū)別，因而問題為在7盞亮著的燈形成的不包含兩端的6個(gè)空中選出3個(gè)空放置熄滅的燈。共=20種方法。5 .間接計(jì)數(shù)法.(1)排除法例14.三行三列共九個(gè)點(diǎn)，以這些點(diǎn)為頂

9、點(diǎn)可組成多少個(gè)三角形？分析：有些問題正面求解有一定困難，可以采用間接法。所求問題的方法數(shù)=任意三個(gè)點(diǎn)白組合數(shù)-共線三點(diǎn)的方法數(shù)，共種。例15.正方體8個(gè)頂點(diǎn)中取出4個(gè)，可組成多少個(gè)四面體？分析：所求問題的方法數(shù)=任意選四點(diǎn)白組合數(shù)-共面四點(diǎn)的方法數(shù)，共-12=70-12=58個(gè)。例16.l,2,3,，9中取出兩個(gè)分別作為對(duì)數(shù)的底數(shù)和真數(shù)，可組成多少個(gè)不同數(shù)值的對(duì)數(shù)？分析：由于底數(shù)不能為1。（1）當(dāng)1選上時(shí)，1必為真數(shù)，有一種情況。（2）當(dāng)不選1時(shí)，從2-9中任取兩個(gè)分別作為底數(shù)，真數(shù)，共，其中l(wèi)og2為底4=log3為底9,log4為底2=log9為底3,log2為底3=log4為底9,log

10、3為底2=log9為底4.因而一共有53個(gè)。（3）補(bǔ)上一個(gè)階段，轉(zhuǎn)化為熟悉的問題例17.六人排成一排，要求甲在乙的前面，（不一定相鄰），共有多少種不同的方法？如果要求甲乙丙按從左到右依次排列呢？分析：（一）實(shí)際上，甲在乙的前面和甲在乙的后面兩種情況對(duì)稱，具有相同的排法數(shù)。因而有=360種。（二）先考慮六人全排列；其次甲乙丙三人實(shí)際上只能按照一種順序站位，因而前面的排法數(shù)重復(fù)了種，.共=120種。例18.5男4女排成一排，要求男生必須按從高到矮的順序，共有多少種不同的方法？分析：首先不考慮男生的站位要求，共種；男生從左至右按從高到矮的順序，只有一種站法，因而上述站法重復(fù)了次。因而有=9X8X7X

11、6=3024種。若男生從右至左按從高到矮的順序，只有一種站法，同理也有3024種，綜上，有6048種。例19.三個(gè)相同的紅球和兩個(gè)不同的白球排成一行，共有多少種不同的方法？分析：先認(rèn)為三個(gè)紅球互不相同，共種方法。而由于三個(gè)紅球所占位置相同的情況下，共有變化，因而共=20種。6 .擋板的使用例20.10個(gè)名額分配到八個(gè)班，每班至少一個(gè)名額，問有多少種不同的分配方法分析：把10個(gè)名額看成十個(gè)元素，在這十個(gè)元素之間形成的九個(gè)空中，選出七個(gè)位置放置檔板，則每一種放置方式就相當(dāng)于一種分配方式。因而共36種。7 .注意排列組合的區(qū)別與聯(lián)系：所有的排列都可以看作是先取組合，再做全排列；同樣，組合如補(bǔ)充一個(gè)階

12、段（排序）可轉(zhuǎn)化為排列問題。例21.從0,l,2,，9中取出2個(gè)偶數(shù)數(shù)字，3個(gè)奇數(shù)數(shù)字，可組成多少個(gè)無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)？0的選取。分析：先選后排。另外還要考慮特殊元素（一）兩個(gè)選出的偶數(shù)含0,則有種。（二）兩個(gè)選出的偶數(shù)字不含0,則有種。例22.電梯有7位乘客，在10層樓房的每一層停留，如果三位乘客從同一層出去，另外兩位在同一層出去，最后兩人各從不同的樓層出去，有多少種不同的下樓方法分析：(一)先把7位乘客分成3人，2人，一人，一人四組，有種。(二)選擇10層中的四層下樓有種。共有種。例23.用數(shù)字0,1,2,3,4,5組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，(1)可組成多少個(gè)不同的四位數(shù)？(2)可組成多少

13、個(gè)不同的四位偶數(shù)？(3)可組成多少個(gè)能被3整除的四位數(shù)？(4)將(1)中的四位數(shù)按從小到大的順序排成一數(shù)列，問第85項(xiàng)是什么？分析：(1)有個(gè)。(2)分為兩類：0在末位，則有種：0不在末位，則有種。共+種。(3)先把四個(gè)相加能被3整除的四個(gè)數(shù)從小到大列舉出來，即先選0,1,2,30，1，3，5023403451,2,4,5它們排列出來的數(shù)一定可以被3整除，再排列，有：4X()+=96種。(4)首位為1的有=60個(gè)。前兩位為20的有=12個(gè)。前兩位為21的有=12個(gè)。因而第85項(xiàng)是前兩位為23的最小數(shù)，即為2301。8 .分組問題例24.6本不同的書(1)分給甲乙丙三人，每人兩本，有多少種不同的分法？(2)分成三堆，每堆兩本，有多少種不同的分法？(3)分成三堆，一堆一本，一堆兩本，一堆三本，有多少種不同的分法？(4)甲一本，乙兩本，丙三本，有多少種不同的分法？9 5)分給甲乙丙三人，其中一人一本，一人兩本，第三人三本，有多少種不同的分法？分析：(1)有中。(2)即在(1)的基礎(chǔ)上除去順序，有種。(3)有種。由于這是不平均分組，因而不包含順序。(4)有種。同(3),原因是甲，乙，丙持有量確定。(5)有種。例25.6人分乘兩輛不同的車，每車最多乘4人，則不同的乘車方法為分析：（一）考慮先把6人分成2人和4人，3人和3人各兩組。第一類：平均分成3人一組，有種方法。第二類：分成2人