數(shù)值分析部分

1、數(shù)值分析講義1第1章數(shù)值分析中的誤差一、重點內容誤差設精確值x*的近似值x,差e=x-x*稱為近似值x的誤差(絕對誤差)。誤差限近似值x的誤差限e是誤差e的一個上界，即|e|=|xx*|?&。相對誤差er是誤差e與精確值x*的比值，。常用計算。相對誤差限是相對誤差的最大限度，常用計算相對誤差限。絕對誤差的運算：£(x1±x2)=£(x1)+£(x2)s(x1x2)=|x1|e(x2)+|x2|e(x1)有效數(shù)字如果近似值x的誤差限£是它某一個數(shù)位的半個單位，我們就說x準確到該位。從這一位起到前面第一個非0數(shù)字為止的所有數(shù)字稱為x的有效數(shù)

2、字。關于有效數(shù)字：(1)設精確值x*的近似值x,x=±0.a1a2anx10ma1,a2,，an是09之中的自然數(shù)，且a1w0,|x-x*|?S=0.5X10m-l,1?l?n則x有l(wèi)位有效數(shù)字.(2)設近似值x=±0.a1a2anx10m有n位有效數(shù)字，則其相對誤差限(3)設近似值x=±0.a1a2anx10m的相對誤差限不大于則它至少有n位有效數(shù)字。(4)要求精確到103,取該數(shù)的近似值應保留4位小數(shù)。一個近似值的相對誤差是與準確數(shù)字有關系的，準確數(shù)字是從一個數(shù)的第一位有效數(shù)字一直數(shù)到它的絕對誤差的第一位有效數(shù)字的前一位，例如具有絕對誤差e=0.0926的數(shù)x

3、=20.7426只有三位準確數(shù)字2,0,7。一般粗略地說，具有一位準確數(shù)字，相對于其相對誤差為10%的量級；有二位準確數(shù)字，相對于其相對誤差為1%的量級；有三位準確數(shù)字，相對于其相對誤差為0.1%的量級。二、實例例1設x*=p=3.1415926-近似值x=3.14=0.314X101,即m=1,它的誤差是0.001526，有|xx*|=0.001526？0.5X1013即l=3,故x=3.14有3位有效數(shù)字。x=3.14準確到小數(shù)點后第2位。又近似值x=3.1416,它的誤差是0.0000074,有|x-x*|=0.0000074？0.5X1015即m=1,l=5,x=3.1416有5位有效

4、數(shù)字。而近似值x=3.1415,它的誤差是0.0000926有|x-x*|=0.0000926?0.5X1014即m=1,l=4,x=3.1415有4位有效數(shù)字。這就是說某數(shù)有s位數(shù)，若末位數(shù)字是四舍五入得到的，那么該數(shù)有s位有效數(shù)字；若末位數(shù)字不是四舍五入得到的，那么該數(shù)有s位或s1位有效數(shù)字。例2指出下列各數(shù)具有幾位有效數(shù)字，及其絕對誤差限和相對誤差限：2.0004-0.0020090009000.00解因為x1=2.0004=0.20004X101,它的誤差限0.00005=0.5X1015,即m=1,l=5,故x1=2.0004有5位有效數(shù)字。相對誤差限。數(shù)值分析講義2x2=0.002

5、00,誤差限0.000005,因為m=-2,l=3,x2=-0.00200有3位有效數(shù)字。相對誤差限er=0.000005/0.00200=0.25%。x3=9000,絕對誤差限為0.5,因為m=4,l=4,x3=9000有4位有效數(shù)字，相對誤差限er=0.5/9000=0.0056%。x4=9000.00,絕對誤差限0.005,因為m=4,l=6,x4=9000.00有6位有效數(shù)字，相對誤差限為er=0.005/9000.00=0.000056%。由x3與x4可以看到小數(shù)點之后的0,不是可有可無的，它是有實際意義的。例3ln2=0.69314718，精確到10-3的近似值是多少？解精確到10

6、-3=0.001,即絕對誤差限是e=0.05%,故至少要保留小數(shù)點后三位才可以。ln2=0.693。三、練習題1 .設某數(shù)x*,它的保留三位有效數(shù)字的近似值的絕對誤差是。2 .設某數(shù)x*,它的精確到10-4的近似值應取小數(shù)點后位。3 .()的3位有效數(shù)字是0.236X102。(A)235.54X10-1(B)235.418(C)2354.82X10-2(D)0.0023549X1034 .設a*=2.718181828，取a=2.718,則有()，稱a有四位有效數(shù)字。(A)|a-a*|?0.5X104(B)|aa*|?0.5X1014(C)|aa*|?10-4(D)|aa*|?0.00035

7、.設某數(shù)x*,對其進行四舍五入的近似值是()，則它有3位有效數(shù)字，絕對誤差限是0.5X10一4o(A)0.315(B)0.03150(C)0.0315(D)0.003156 .以下近似值中，保留四位有效數(shù)字，相對誤差限為0.25X103。(A)0.01234(B)T2.34(C)220(D)0.22007 .將下列各數(shù)舍入成三位有效數(shù)字，并確定近似值的絕對誤差和相對誤差。(1) 2.1514(2)-392.85(3)0.0039228 .已知各近似值的相對誤差，試確定其絕對誤差：(1) 13267er=0.1%(2)0.896er=10%9 .已知各近似值及其絕對誤差，試確定各數(shù)的有效位數(shù)。(

8、1) 0.3941e=0.25X10-2(2)293.481e=0.1(3)0.00381e=0.1X10-410.已知各近似值及其相對誤差，試確定各數(shù)的有效位數(shù)。(1)1.8921er=0.1X102(2)22.351er=0.15(3)48361er=1%四、練習題答案1 .該數(shù)有效數(shù)字第四位的一半。2 .五3.(A)4.(B)5.(C)6.(D)7. (1)2.15,e=-0.14X10-2,er=0.65X103;(2)393,e=-0.15,er=0.38X103;(3)0.00392,e=0.2X105,er=0.51x10-38. (1)e=0.13X102;(2)0.9X101

9、9. (1)2;(2)3;(3)210. (1)3;(2)1;(3)2第15章線性方程組的數(shù)值解法數(shù)值分析講義3一、重點內容1 .高斯順序消去法解線性方程組AX=b,對增廣矩陣順序作初等行變換，使矩陣A化為上三角形矩陣，再回代，從而得到線性方程組的解。要求作初等行變換消元過程中，。注意：本章討論線性方程組的解的方法，不討論解的存在性。2 .高斯列主元消去法在高斯順序消去法中，每次消元之前，要確定主元，(k=1,2,3,，n-1)把第r行作為主方程，做第k次消元。把系數(shù)矩陣化為上三角形矩陣，從而得到線性方程組的解。3 .雅可比迭代法(簡單迭代法)解線性方程組AX=b的雅可比迭代法公式為(k=0,

10、1,2,)4 .高斯一一賽德爾迭代法解線性方程組AX=b的高斯一一賽德爾迭代法公式為(i=1,2,，n；k=0,1,2,)5 .解的收斂性定理【定理1】高斯消去法消元過程能進行到底的充分必要條件是系數(shù)矩陣A的各階順序主子式不為0;AX=b能用高斯消去法求解的充分必要條件是A的各階順序主子式不為0。【定理4】(迭代法基本定理)設線性方程組X=BX+f對于任意初始向量X(0)及任意f,對應此方程組的迭代公式X(k+1)=B(k)X+f收斂的充分必要條件是，其中入i(i=1,2,，n)為迭代矩陣B的特征根。當入i為復數(shù)時，|入i|表示入i的模?！径ɡ?】(迭代法收斂的充分條件)設線性方程組AX=b,

11、(1)若A是嚴格對角占優(yōu)矩陣，則雅可比迭代法和高斯一一賽德爾迭代法收斂；(2)若A為對稱正定矩陣，則高斯一一賽德爾迭代法收斂。注：設矩陣A=aijn,若則稱矩陣A是嚴格對角占優(yōu)矩陣。二、實例例1用順序消去法解線性方程組解順序消元于是有同解方程組回代得解x3=1,x2=1,x1=1,原線性方程組的解為X=(1,1,1)T。例2取初始向量X(0)=(0,0,0)T,用雅可比迭代法求解線性方程組解建立迭代格式(k=1,2,3,)數(shù)值分析講義4第1次迭代，k=0X(0)=0,得到X(1)=(1,3,5)T第2次迭代，k=1X(2)=(5,3,-3)T第3次迭代，k=2X(3)=(1,1,1)T第4次迭

12、代，k=3X(4)=(1,1,1)T例3填空選擇題：1 .用高斯列主元消去法解線性方程組作第1次消元后的第2,3個方程分別為。解選a21=2為主元，作行互換，第1個方程變?yōu)椋?x1+2x2+3x3=3,消元得到是應填寫的內容。2 .用選主元的方法解線性方程組AX=b,是為了()(A)提高計算速度(B)減少舍入誤差(C)減少相對誤差(D)方便計算答案：選擇(B)3 .用高斯一一賽德爾迭代法解線性方程組的迭代格式中=(k=0,1,2,)答案：解答：高斯一一賽德爾迭代法就是充分利用已經(jīng)得到的結果，求x2的值時應該用x1的新值。4 .當a()時，線性方程組的迭代解一定收斂。(A)>6(B)=6(

13、C)<6(D)>6或V6答案：(D)解答：當|a|>6時，線性方程組的系數(shù)矩陣是嚴格對角占優(yōu)矩陣，由教材第10章定理6,迭代解一定收斂。三、練習題1 .用高斯列主元消去法解線性方程組2 .用高斯一一賽德爾迭代法求解線性方程組取初始值(4.67,7.62,9.05)T,求二次迭代值。3 .證明線性方程組的迭代解收斂。4 .用高斯順序消去法解線性方程組，消元能進行到底的充分必要條件是5 .用列主元消去法解線性方程組，第1次消元，選擇主元為()(A)3(B)4(C)-4(D)9數(shù)值分析講義5四、練習題答案1 .X=(-4,1,2)T2 .(4.66619,7.61898,9.047

14、53)T3 .提示：系數(shù)矩陣是嚴格對角占優(yōu)矩陣。4 .線性方程組的系數(shù)矩陣的各階順序主子式均不為0。5.(C)第2章函數(shù)插值與最小二乘擬合一、重點內容1 .函數(shù)插值已知函數(shù)f(x)的n個函數(shù)值yk=f(xk),k=0,1,2,，n。構造一個多項式P(x),使得P(xk)=yk。P(x)就是插值多項式，f(x)就是被插函數(shù)，xk就是插值節(jié)點。誤差R(x)=f(x)P(x)。2 .拉格朗日多項式稱n次多項式Pn(x)=y0l0+y1l1+ynln=為拉格朗日插值多項式，其中基函數(shù)(i=0,1,2,，n)當n=1時，線性插值P1(x)=yklk(x)+yk+1lk+1(x)其中基函數(shù)。當n=2時，得

15、到二次多項式，就是二次插值。拉格朗日插值多項式的余項為：，其中七C(a,b)注意：過n+1個互異點，所得的多項式應該是次數(shù)不超過n的多項式。3 .均差與牛頓插值多項式函數(shù)值與自變量的差商就是均差，一階均差(或記作fx0,x1);二階均差(或記作fx0,x1,x2)均差有兩條常用性質：(1)均差用函數(shù)值的線性組合表示；(2)均差與插值節(jié)點順序無關。用均差為系數(shù)構造多項式，就是牛頓插值多項式Nn(x)=f(x0)+fx0,x1(xx0)+fx0,x1,x2(xx0)(xx1)十+fx0,x1,x2,，xn(xx0)(xx1)(xx2)(xxn-1)牛頓插值多項式的余項為:Rn(x)=f(x)-Nn

16、(x)=fx,x0,x1,x2,，xn(xx0)(xx1)(xx2)(xxn1)(xxn)4 .分段線性插值已知n+1個互異節(jié)點x0,x1,，xn構造一個分段一次的多項式P(x),且滿足：(1)P(x)在a,b上連續(xù)；(2)P(xk)=yk(k=0,1,2,，n);(3)P(x)在xk,xk+1上是線性函數(shù)。分段線性插值函數(shù)其中l(wèi)k(x)(k=0,1,2,，n)是分段線性插值基函數(shù)。(i=1,2,，n-1)5 .三次樣條插值函數(shù)(k=0,1,2,，n-1)(xk?x?xk+1)其中S2(xk)=mk(k=0,1,2,，n),hk=xk+1xk(k=0,1,2,，n1),m0,m1,，mn滿足的

17、方程組是數(shù)值分析講義6(*)其中：，(k=1,2,，n-1)(1)當已知S«x0)=yG,Sqxn)=yG時，(*)式中m0=1,ln=1,(2)當已知S2(x0)=y20=m0,S2(xn)=y2n=mn時，(*)式化為6 .最小二乘法用j(x)擬合數(shù)據(jù)(xk,yk)(k=1,2,，n),使得誤差的平方和為最小，求j(x)的方法，稱為最小二乘法。(1)直線擬合若，a0,a1滿足法方程組(2)二次多項式擬合若，a0,a1,a2滿足法方程組二、實例例1已知函數(shù)y=f(x)的觀察數(shù)據(jù)為xk-2045yk51-31試構造拉格朗日多項式Pn(x),并計算P(1)。只給4對數(shù)據(jù)，求得的多項式不

18、超過3次解先構造基函數(shù)所求三次多項式為P3(x)=P3(1)=例2已知函數(shù)y=f(x)的數(shù)據(jù)如表中第1,2歹U。計算它的各階均差。解依據(jù)均差計算公式，結果列表中。kxkf(xk)一階均差二階均差三階均差四階均差00.400.4107510.550.578151.116000.650.696751.168000.280000.800.888111.275730.358930.197330.901.201521.384100.433480.213000.03134計算公式為一階均差(k=0,1,2,3)二階均差(k=0,1,2)三階均差(k=0,1)四階均差例3設x0,x1,x2,，xn是n+1個

19、互異的插值節(jié)點，lk(x)(k=0,1,2,，n)是拉格朗日插值基函數(shù)，證明：數(shù)值分析講義7(1)；(2)(m=0,1,2,，n)證明(1)Pn(x)=y0l0+ylll+ynln=當f(x)三1時，1=由于，故有(2)對于f(x)=xm,m=0,1,2,，n,對固定xm(0?m?n),作拉格朗日插值多項式，有當n>m1時，f(n+1)(x)=0,Rn(x)=0,所以注意：對于次數(shù)不超過n的多項式，利用上結果，有可見，Qn(x)的拉格朗日插值多項式就是它自身，即次數(shù)不超過n的多項式在n+1個互異節(jié)點處的拉格朗日插值多項式就是它自身。例4已知函數(shù)e-x的下列數(shù)據(jù)，用分段線性插值法求x=0.

20、2的近似值。x0.100.150.250.30e-x0.9048370.8607080.7788010.740818解用分段線性插值，先求基函數(shù)。所求分段線性插值函數(shù)為所以，e-0.2=P(0.2)=-0.81907X0.2+0.983569=0.819755例5已知數(shù)據(jù)如表的第2,3歹U,試用直線擬合這組數(shù)據(jù)。解計算列入表中。kxkykxkyk11414224.5493369184481632558.52542.5S153155105.5n=5。a0,a1滿足的法方程組是解得a0=2.45,a1=1.25。所求擬合直線方程為y=2.45+1.25x例6選擇填空題1.設y=f(x),只要x0,

21、x1,x2是互不相同的3個值，那么滿足P(xk)=yk(k=0,1,2)的f(x)的插值多項式P(x)是(就唯一性回答問題)答案：唯一的數(shù)值分析講義8解答：因為過3個互異節(jié)點，插值多項式是不超過2次的。設P(x)=a2x2+a1x+a0,其中a2,al,a0是待定數(shù)。P(xk)=yk,即這是關于a2,al,a0的線性方程組，它的解唯一，因為系數(shù)行列式所以，不超過2次的多項式是唯一的。2 .通過四個互異節(jié)點的插值多項式P(x),只要滿足(),則P(x)是不超過一次多項式。(A)初始值y0=0(B)一階均差為0(C)二階均差為0(D)三階均差為0答案：(C)解答：因為二階均差為0,那么牛頓插值多項

22、式為N(x)=f(x0)+fx0,x1(x-x0)它是不超過一次的多項式。3 .拉格朗日插值多項式的余項是()，牛頓插值多項式的余項是()(A)(B) fx,x0,x1,x2,xn(xx1)(xx2)(xxn1)(xxn)(C)(D) fx,x0,x1,x2,，xn(xx0)(xx1)(xx2)(xxn1)(xxn)答案：(A),(D)o見教材有關公式。4.數(shù)據(jù)擬合的直線方程為y=a0+a1x,如果記那么系數(shù)a0,a1滿足的方程組是()(A)(B)(C)(D)答案：(B)解答：因為法方程組為由第1個方程得到，將其代入第2個方程得到整理得故(B)正確。三、練習題1 .已知函數(shù)y=f(x),過點(

23、2,5),(5,9),那么f(x)的線性插值多項式的基函數(shù)為。2 .過6個插值節(jié)點的拉格朗日插值多項式的基函數(shù)l4(x)=。3 .已知多項式P(x),過點(0,0),(2,8),(4,64),(11,1331),(15,3375),它的3階均差為常數(shù)1, 一階，二階均差均不為0,那么P(x)>()(A)二次多項式(B)不超過二次的多項式(C)三次多項式(D)四次多項式4 .已知y=f(x)的均差，。那么fx4,x2,x0=()(A)5(B)9(C)14(D)85 .求數(shù)據(jù)擬合的直線方程y=a0+a1x的系數(shù)a0,a1是使最小。6 .求過這三個點(0,1),(1,2),(2,3)的拉格朗日

24、插值多項式。7 .構造例2的函數(shù)f(x)的牛頓插值多項式，并求f(0.596)的近似值。8 .設l0(x)是以n+1個互異點x0,x1,x2,，xn為節(jié)點的格朗日插值基函數(shù)數(shù)值分析講義9試證明:9,已知插值條件如表所示，試求三次樣條插值函數(shù)。x123y2412y01-110.已知數(shù)據(jù)對(7,3.1),(8,4.9),(9,5.3),(10,5.8),(11,6.1),(12,6.4),(13,5.9)。試用次多項式擬合這組數(shù)據(jù)。四、練習題答案1.2.3.C4,B5.6.x+17,給定五對點，牛頓多項式是不超過4次的多項式。N4(x)=0.41075+1.11600(x0.40)+0.28000

25、(x0.40)(x0.55)+0.19733(x0.40)(x0.55)(x0.65)+0.03134(x0.40)(x0.55)(x0.65)(x0.80)將x=0,596代入牛頓多項式N4(x)中，得到：f(0.596)N(0.596)=0.631928,提示：求l0(x)的牛頓插值多項式。9.10. y=-0,145x2+3.324x-12.794第4章數(shù)值積分與微分一、重點內容1, m次代數(shù)精度求積公式對于任意不超過m次的代數(shù)多項式都準確成立，而對某一個m+1次代數(shù)多項式不成立。2,牛頓一一科茨求積公式：截斷誤差科茨系數(shù)：(k=0,1,2,，n),有兩條性質。(2)牛頓一一科茨求積公式

26、的求積系數(shù)：Ak=(k=0,1,2,，n)(3)常見牛頓一一科茨求積公式梯形公式截斷誤差：R1f=復化梯形公式截斷誤差：，M2=拋物線公式復化拋物線公式截斷誤差：，科茨公式3 .高斯一一勒讓德求積公式數(shù)值分析講義10節(jié)點為的零點(高斯點)其余項：4 .微分公式(1)等距節(jié)點兩點求導公式：(k=0,1,2,，n-1)(2)等距節(jié)點三點求導公式：(k=1,2,，n-1)二、實例例1試確定求積公式的代數(shù)精度。依定義，對xk(k=0,1,2,3,)，找公式精確成立的k數(shù)彳1解當f(x)取1,x,x2,計算求積公式何時精確成立。(1)取f(x)=1,有左邊=,右邊二(2)取f(x)=x，有左邊=,右邊二

27、(3)取f(x)=x2,有左邊=,右邊二(4)取f(x)=x3,有左邊=,右邊二(5)取f(x)=x4,有左邊=,右邊二當k?3時求積公式精確成立，而x4公式不成立，可見該求積公式具有3次代數(shù)精度。例2試用梯形公式、拋物線公式和科茨公式計算定積分(計算結果取5位有效數(shù)字)(1)用梯形公式計算(2)用拋物線公式用科茨公式系數(shù)為如果要求精確到10-5,用復化拋物線公式，截斷誤差為，,N?2只需把0.5,14等分,分點為0.5,0.625,0.75,0.875,1數(shù)值分析講義11例3用三點高斯一一勒讓德求積公式計算積分高斯型求積公式只能計算1,1上的定積分解做變量替換，查表得節(jié)點±0.77

28、4596669和0;系數(shù)分別為0.5555555556和0.8888888889注：該積分準確到小數(shù)點后七位是0.9460831,可見高斯型求積公式的精度是很高的。教材的第12章12.2節(jié)，用多種方法計算過該積分，它們的精度請讀者自行比較。例4用三點公式計算在x=1.0,1.1,1.2處的導數(shù)值。已知函數(shù)值f(1.0)=0.250000,f(1.1)=0.226757,f(1.2)=0.206612解三點導數(shù)公式為k=1,2,3,，n-1本例取x0=1.0,x1=1.1,x2=1.2,y0=0.250000,y1=0.226757,y2=0.206612,h=0.1。于是有計算例5選擇填空題1

29、.牛頓一一科茨求積公式與高斯型求積公式的關鍵不同點是。解答：牛頓一一科茨求積公式的節(jié)點和求積系數(shù)確定后，再估計其精度；高斯型求積公式是由精度確定其節(jié)點和求積系數(shù)。2.如果用復化梯形公式計算定積分,要求截斷誤差的絕對值不超過0.5X104,試問n?()(A)41(B)42(C)43(D)40答案：(A)解答；復化的梯形公式的截斷誤差中，故,n=40.8,取n?41。故選擇(A)。3.已知n=3時，科茨系數(shù)，那么=答案：1/8解答：由科茨系數(shù)的歸一性質,三、練習題1 .試確定求積公式的待定參數(shù)，使求積公式=A0f(0)+A1f(1)+A2f(2)的代數(shù)精度盡可能的高。2 .用復化拋物線公式計算定積

30、分。取n=4,保留4位有效數(shù)字。3 .試用四點(n=3)高斯一一勒讓德求積公式計算積分4 .已知條件見例4。用兩點求導公式計算f0.0),f(1.1)。5 .若用復化拋物線公式計算積分，要求截斷誤差的絕對值不超過0.5X104,試問n?()(A)1(B)2(C)4(D)36 .當n=6時，=()代數(shù)精度的。7 .用三點高斯一一勒讓德求積公式計算積分四、練習題答案數(shù)值分析講義121. A0=A2=1/3,A1=4/32. 0.11093.3.1416244.0.23243;0.201455.(B)6.(D)7.5次第13章方程求根一、重點內容1 .二分法：設方程f(x)=0在區(qū)間a,b內有根，用二分有根區(qū)間的方法，得到有根區(qū)間序列:x*=xn=(aO=a,b0=b),n=0,1,2,有誤差估計式：？x*-xn?,n=0,1,2,二分區(qū)間次數(shù)：2 .簡單迭代法：若方程f(x)=0表成x=j(x),于是有迭代格式：xn=j(xn1)(n=1,2,)x*xn若存在0vlv1Jj(