第十六章 碰撞

1、第十六章第十六章碰碰 撞撞1.碰撞的分類 16 161 1 碰撞的分類碰撞的分類碰撞問題的簡(jiǎn)化碰撞問題的簡(jiǎn)化 對(duì)心碰撞 偏心碰撞正碰撞斜碰撞碰撞時(shí)兩物體間的相互作用力稱為碰撞力光滑碰撞與非光滑碰撞 完全彈性碰撞 彈性碰撞2.對(duì)碰撞問題的兩個(gè)簡(jiǎn)化碰撞現(xiàn)象的特點(diǎn)是 碰撞時(shí)間極短（一般為 ）s101043速度變化為有限值 加速度變化相當(dāng)巨大碰撞力極大塑性碰撞由于碰撞時(shí)碰撞力極大而碰撞時(shí)間極短在研究一般的碰撞問題時(shí)通常做如下兩點(diǎn)簡(jiǎn)化（1）在碰撞過程中 由于碰撞力非常大重力彈性力等等普通力遠(yuǎn)遠(yuǎn)不能與之相比因此這些普通力的沖量忽略不計(jì)（2）由于碰撞過程非常短促 碰撞過程中速度變化為有限值物體在碰撞開始和碰

2、撞結(jié)束時(shí)的位置變化很小因此在碰撞過程中 物體的位移忽略不計(jì) 16 162 2 用于碰撞過程的基本定理用于碰撞過程的基本定理 1.1.用于碰撞過程的動(dòng)量定理用于碰撞過程的動(dòng)量定理沖量定理沖量定理設(shè)質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量為m碰撞過程開始瞬時(shí)的速度為結(jié)束時(shí)的速度為則質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量定理為ItFmmt0d（161）式中 為碰撞沖量I普通力的沖量忽略不計(jì)質(zhì)點(diǎn)系) i ()(ieiiiiiIImm設(shè)質(zhì)點(diǎn)系有n個(gè)質(zhì)點(diǎn)對(duì)于每個(gè)質(zhì)點(diǎn)都可列出如上的方程將n個(gè)方程相加得niinieiniiiniiiIImm1) i (1)(11因?yàn)?1)(iieiI于是得nieiniiiniiiImm1)(11（162）式（ 16 2）是用于碰撞過

3、程的質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量定理因此又稱為沖量定理：質(zhì)點(diǎn)系在碰撞開始和結(jié)束時(shí)動(dòng)量的變化等于作用于質(zhì)點(diǎn)系的外碰撞沖量的主矢（ 16 2）可寫成nieiCCImm1)(（ 16 3）式中 和 分別是碰撞開始和結(jié)束時(shí)質(zhì)心的速度CC2.用于碰撞過程的動(dòng)量矩定理沖量矩定理質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量矩定理)(1)(1)(ddeiniieiniOOFrFMLt上式可寫成)(1)(1dddeiniieiniiOIrtFrL積分得)(10dd21einitiLLOIrLOO或teiniieinitiOOIrIrLL0)(1)(1012dd或)()(1)(112einiOeiniiOOIMIrLL（ 16 4）稱 為沖量矩)(eiiIr其中不

4、計(jì)普通力的沖量矩（24）是用于碰撞過程的動(dòng)量矩定理又稱為沖量矩定理：質(zhì)點(diǎn)系在碰撞開始和結(jié)束時(shí)對(duì)點(diǎn)O的動(dòng)量矩的變化等于作用于質(zhì)點(diǎn)系的外碰撞沖量對(duì)同一點(diǎn)的主矩3.剛體平面運(yùn)動(dòng)的碰撞方程（用于剛體平面運(yùn)動(dòng)碰撞過程中的基本定理）用于碰撞過程的質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)于質(zhì)心的動(dòng)量矩定理)()(112einiCCCIMLL（ 16 5）式中 為碰撞前與后質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)質(zhì)心C的動(dòng)量矩21CCLL，右端項(xiàng)為碰撞沖量對(duì)質(zhì)心之矩的幾何和（對(duì)質(zhì)心的主矩）對(duì)于平行于其對(duì)稱面的平面運(yùn)動(dòng)剛體CCJL式（25）可寫為)()(12eiCCCIMJJ（ 16 6）式中 分別為平面運(yùn)動(dòng)剛體碰撞前后的角速度21，上式中不計(jì)普通力的沖量矩式（ 16

5、6）與（ 16 3）結(jié)合起來可用來分析平面運(yùn)動(dòng)剛體的碰撞問題稱為剛體平面運(yùn)動(dòng)的碰撞方程 16 163 3 質(zhì)點(diǎn)對(duì)固定面的碰撞質(zhì)點(diǎn)對(duì)固定面的碰撞恢復(fù)因數(shù)恢復(fù)因數(shù) 第一階段碰撞沖量為1I1)(0Im第二階段碰撞沖量為2I20mI于是得12II（ 16 7）k（ 16 8）常數(shù)k恒取正值稱為恢復(fù)因數(shù)恢復(fù)因數(shù)需要用試驗(yàn)測(cè)定12gh22gh于是得恢復(fù)因數(shù)12hhk幾種材料的恢復(fù)因數(shù)見表碰撞物體的材料鐵對(duì)鉛木對(duì)膠木木對(duì)木鋼對(duì)鋼象牙對(duì)象牙玻璃對(duì)玻璃恢復(fù)因數(shù)0.140.260.500.560.890.94對(duì)于各種實(shí)際的材料 均有0k1由這些材料做成的物體發(fā)生的碰撞稱為彈性碰撞物體在彈性碰撞結(jié)束時(shí)變形不能完全恢

6、復(fù)動(dòng)能有損失k=1稱為完全彈性碰撞 k=0稱為非彈性碰撞或塑性碰撞由式（ 16 7）和（ 16 8）有12IIk即恢復(fù)因數(shù)又等于正碰撞的兩個(gè)階段中作用于物體的碰撞沖量大小的比值如圖所示 此為斜碰撞 此時(shí)定義恢復(fù)因數(shù)為nnk式中 和 分別是速度 和 在法線方向的投影nn由于不計(jì)摩擦 和 在切線方向的投影相等由圖可見tantannn于是tantannnk對(duì)于實(shí)際材料有k1 由上式可見當(dāng)碰撞物體表面光滑時(shí) 應(yīng)有在不考慮摩擦的一般情況下碰撞前后的兩個(gè)物體都在運(yùn)動(dòng)此時(shí)恢復(fù)因數(shù)定義為nrnrk（29）式中 和 分別為碰撞后和碰撞前兩物體接觸點(diǎn)沿接觸面法線方向的相對(duì)速度nrnr 16 164 4 碰撞問題舉

7、例碰撞問題舉例 例 161兩物體的質(zhì)量分別為 和1m2m恢復(fù)因數(shù)為k產(chǎn)生對(duì)心正碰撞 如圖所示求碰撞結(jié)束時(shí)各自質(zhì)心的速度和碰撞過程中動(dòng)能的損失解：有22112211mmmm（a）由恢復(fù)因數(shù)定義 由式（29）有2112k（b）聯(lián)立（a）和（b）二式 解得)()1 ()()1 (21211222121211mmmkmmmk（c）在理想情況下k=1 有)(2)(221211222121211mmmmmm，如果21mm 則1221，即兩物體在碰撞結(jié)束時(shí)交換了速度當(dāng)兩物體做塑性碰撞時(shí)即k=0 有21221121mmmm即碰撞結(jié)束時(shí) 兩物體速度相同一起運(yùn)動(dòng)以 和 分別表示此兩物體組成的質(zhì)點(diǎn)系在碰撞過程開始和

8、結(jié)束時(shí)的動(dòng)能1T2T則有2222112222211121212121mmTmmT，在碰撞過程中質(zhì)點(diǎn)系損失的動(dòng)能為)(21)(21)(21)(212222211111222222121121mmmmTTT將式（c）代入上式 得兩物體在正碰撞過程中損失的動(dòng)能)()()1 (21221121212121mmmmkTTT由式（b）得)(2121k于是得2212212121)(1 ()(2kmmmmTTT（d）在理想情況下k1021TTT在塑性碰撞時(shí) k=0 動(dòng)能損失為221212121)()(2mmmmTTT如果第二個(gè)物體在塑性碰撞開始時(shí)處于靜止即02則動(dòng)能損失為21212121)(2mmmmTTT注

9、意到211121mT 上式可改寫為12112122111TmmTmmmTTT（e）可見 在塑性碰撞過程中 損失的動(dòng)能與兩物體質(zhì)量比有關(guān)當(dāng) 時(shí)12mm 1TT 當(dāng) 時(shí)12mm 0T例 162如圖所示為一測(cè)量子彈速度的裝置稱為射擊擺其是一個(gè)懸掛于水平軸O的填滿砂土的筒當(dāng)子彈水平射入砂筒后 使筒繞軸O轉(zhuǎn)過一偏角測(cè)量偏角的大小即可求出子彈的速度已知擺的質(zhì)量為1m對(duì)于軸O的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為OJ擺的重心C到軸O的距離為h子彈的質(zhì)量為2m子彈射入砂筒時(shí)懸掛索的重量不計(jì)求子彈的速度子彈到軸O的距離為d解： 設(shè)碰撞開始時(shí)子彈速度為則dmLO21設(shè)碰撞結(jié)束時(shí)擺的角速度為則)(22222dmJdmJLOOO因21OOLL

10、解得dmdmJO222碰撞結(jié)束后 擺與子彈一起繞軸O轉(zhuǎn)過角度應(yīng)用動(dòng)能定理 有)cos()cos()2121(0212222ddgmhhgmdmJO即gdmhmdmJO)cos1)()(2121222因2sin2cos122sin22221gdmJdmhmO代入上式中解得于是得子彈射入砂筒前的速度為gdmhmdmJdmO)(2sin221222例 163均質(zhì)細(xì)桿長(zhǎng)l質(zhì)量為m桿與地面成角速度為 平行于桿斜撞于光滑地面 如圖所示求撞后桿的角速度如為完全彈性碰撞解：xCxCxImm（a）yCyCyImm（b）)()(12eCCCIMJJ（c）地面光滑桿只受有y方向的碰撞沖量I0 xI有sinCxCx選

11、質(zhì)心為基點(diǎn)有ACCA沿y軸投影有2cos21CyAy（d）由恢復(fù)因數(shù)1sinAyAyAyk代入式（d） 得cos21sin2Cy（e）由（b）和（c）兩式得ImmCysin（f）cos212122lIml（g）由（f）（g）兩式消去I得sincos62lCy代入式（e） 解得l )cos31 (2sin622 16 165 5 碰撞沖量對(duì)繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的作碰撞沖量對(duì)繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的作用用撞擊中心撞擊中心1.定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體受碰撞時(shí)角速度的變化)()(112einizzzIMLL即)()(112einizzzIMJJ角速度的變化為zeizJIM)()(12（1610）2.支座的反碰撞沖量撞擊中心設(shè)剛

12、體有質(zhì)量對(duì)稱平面且繞垂直于此對(duì)稱面的軸轉(zhuǎn)動(dòng)并設(shè)圖示平面圖形則剛體的質(zhì)心C必在圖面內(nèi)是剛體的質(zhì)量對(duì)稱面今有外碰撞沖量 作用在此對(duì)稱面內(nèi)I求軸承O的反碰撞沖量 和OyIOxI取Oy軸通過質(zhì)心Cx軸與y軸垂直應(yīng)用沖量定理有：OxxCxCxIImmOyyCyCyIImm因?yàn)?CyCy于是yOyxCxCxOxIIImI，)(（1611）由此可見一般情況下在軸承處將引起碰撞沖量分析式（1611）可見 若：)()2(0) 1 (CxCxxymII則有00OyOxII，由（1）0yI即要求外碰撞沖量與y軸垂直即 必須垂直于支點(diǎn)O與質(zhì)心C的連線I如圖所示由（2）設(shè)質(zhì)心C到軸O的距離為a則)(12 maIx將式（ 16 10）代入得IJIlmaz式中l(wèi)=OK點(diǎn)K是外碰撞沖量 的作用線與OC的交點(diǎn)I解得maJlz（ 16 12）滿足式（ 16 12）的點(diǎn)K稱為撞擊中心 于是得出結(jié)論：當(dāng)外碰撞沖量作用于物體質(zhì)量對(duì)稱平面內(nèi)的撞擊中心且垂直于軸承中心與質(zhì)心的連線時(shí)在軸承處不引起碰撞沖量例 164均質(zhì)桿質(zhì)量為m其上端由圓柱鉸鏈固定長(zhǎng)為2a如圖所示桿由水平位置無初速地落下設(shè)恢復(fù)因數(shù)為k撞上一固定的物塊求（1）軸承的碰撞沖量（2）撞擊中心的位置解：在碰撞前 桿自水平位置自由落下 應(yīng)用動(dòng)能定理：mgaJO02121求得agJmgaO2321撞