第九章 量綱分析與相似理論

1、9-1 量綱分析量綱分析 9-2 相似的基本概念相似的基本概念 9-3 相似準則相似準則1引言高126m相似理論239-1 量綱分析量綱分析一、量綱與單位一、量綱與單位1.單位：表征各物理量的大小。單位：表征各物理量的大小。 如長度單位如長度單位m、cm、mm；時間單位小時、分、秒等；時間單位小時、分、秒等；質(zhì)量單位千克、克等質(zhì)量單位千克、克等2.量綱：表征各物理量單位的種類。量綱：表征各物理量單位的種類。 如如m、cm、mm等同屬于長度類，用等同屬于長度類，用L表示；表示； 小時、分、秒等同屬于時間類，用小時、分、秒等同屬于時間類，用T表示；表示； 公斤、克等同屬于質(zhì)量類，用公斤、克等同屬于

2、質(zhì)量類，用M表示。表示。43.基本量綱和導(dǎo)出量綱基本量綱和導(dǎo)出量綱（1）基本量綱：量綱互不依賴、相互獨立。）基本量綱：量綱互不依賴、相互獨立。 L長度量綱長度量綱M質(zhì)量量綱質(zhì)量量綱T時間量綱時間量綱（2）導(dǎo)出量綱：由基本量綱表示的量綱，可用基）導(dǎo)出量綱：由基本量綱表示的量綱，可用基本量綱的指數(shù)乘積來表示本量綱的指數(shù)乘積來表示 。dimL M Tabcx 1dimLTu-2dimLMTF 力力粘度粘度 11dimL MT速度速度54.4.量綱分類量綱分類 0,0,0abc（1 1）幾何學(xué)量綱：）幾何學(xué)量綱： （2 2）運動學(xué)量綱：）運動學(xué)量綱： 0,0,0abc（3 3）動力學(xué)量綱：）動力學(xué)量綱

3、： 0,0,0abc（4 4）無量綱數(shù)：）無量綱數(shù)： 0,0,0abc121LT Ldim1L TeRLdim1LJ dimL M Tabcx 6vdRelhJwdd粘度系數(shù)粘度系數(shù)力力密度，重度密度，重度流量流量速度，加速度速度，加速度 常用量及量綱常用量及量綱 13dimTLQ3dim ML2dim MLTF11dimTML22dimTML12dimTLv1dim LTv2dim LTg7二、量綱和諧性原理二、量綱和諧性原理1.1.量綱和諧原理是指在一個反映客觀規(guī)律的物理方程式中，量綱和諧原理是指在一個反映客觀規(guī)律的物理方程式中，各項的量綱必須是一致的，它是被無數(shù)事實所證明的一個客各項的量

4、綱必須是一致的，它是被無數(shù)事實所證明的一個客觀原理。觀原理。 連續(xù)性方程連續(xù)性方程 2211AvAv2211 122 21222wpvpvzzhgggg伯努力方程伯努力方程 2.2.在經(jīng)驗公式中常有帶量綱的系數(shù)，這類公式的量綱是不和在經(jīng)驗公式中常有帶量綱的系數(shù)，這類公式的量綱是不和諧的。諧的。 動量方程動量方程 )(1122vvQF8三、量綱分析法三、量綱分析法量綱分析法：在量綱和諧性原理的基礎(chǔ)上，形成了兩種按照物量綱分析法：在量綱和諧性原理的基礎(chǔ)上，形成了兩種按照物理量之間的量綱和諧性建立各物理量之間的函數(shù)關(guān)系式的方法。理量之間的量綱和諧性建立各物理量之間的函數(shù)關(guān)系式的方法。 1. 瑞利法瑞

5、利法若某一物理過程與若某一物理過程與n個物理量有關(guān)，即個物理量有關(guān)，即 0),(21nxxxf其中一個物理量其中一個物理量 可以表示成其它物理量的指數(shù)乘積形式可以表示成其它物理量的指數(shù)乘積形式 ix1211abcdmiiinxKx x xxx無量綱數(shù)無量綱數(shù) K待定系數(shù)待定系數(shù) , , ,a b c dm9Rvm例例9-1 9-1 已知作用在做勻速圓周運動物體上的離心力已知作用在做勻速圓周運動物體上的離心力 ，與物體的質(zhì)量與物體的質(zhì)量 、速度、速度 和圓周半徑和圓周半徑 有關(guān)，試用瑞有關(guān)，試用瑞利法推導(dǎo)離心力公式。利法推導(dǎo)離心力公式。F 解解 根據(jù)已知條件，離心力可以寫成以下指數(shù)形式根據(jù)已知條

6、件，離心力可以寫成以下指數(shù)形式cbaRvKmF 根據(jù)量綱和諧性，有根據(jù)量綱和諧性，有 21dimMLTMLTLbacFKM :1aL :1bcT : 2b 1a2b1c RKmvF/210cv例例9-2 9-2 由實驗得知：恒定有壓管流的臨界流速由實驗得知：恒定有壓管流的臨界流速 與管徑與管徑 、流體密度、流體密度 和動力黏性系數(shù)和動力黏性系數(shù) 有關(guān)，有關(guān)，試用瑞利法求出它們之間的關(guān)系式。試用瑞利法求出它們之間的關(guān)系式。d 解解 根據(jù)已知條件，有以下待定函數(shù)關(guān)系根據(jù)已知條件，有以下待定函數(shù)關(guān)系),(dfvccbacKdv根據(jù)量綱和諧性有根據(jù)量綱和諧性有 1311dimLTLMLML Tbcac

7、vK L:13abcT: 1c M:0bc1a 1b 1c ccecdvv dKR112. 2. 定理法定理法 (布金漢法布金漢法) 若物理方程為若物理方程為 0),(21nxxxf 而這些變量中含有而這些變量中含有m m個基本物理量，則可組合這些變量成個基本物理量，則可組合這些變量成為為(n (n m) m)個無量綱個無量綱數(shù)的函數(shù)關(guān)系，即數(shù)的函數(shù)關(guān)系，即0),(21mnF11132141cbaxxxx22232152cbaxxxx3333123nnnnnabcxxxx123,x x x這三個基本量分別表征流體物性、幾何特性和運動特征這三個基本量分別表征流體物性、幾何特性和運動特征 1212

8、3,x x x必須相互獨立必須相互獨立 表征流體物性：密度表征流體物性：密度 、粘度、粘度 等等ld表征幾何特性表征幾何特性: : 管徑管徑 、管長、管長 等等 gv表征運動特性：速度表征運動特性：速度 、重力加速度、重力加速度 等等 13定理法的運用步驟：定理法的運用步驟： （1 1）找出對物理過程有影響的）找出對物理過程有影響的 個物理量，寫成函數(shù)形式。個物理量，寫成函數(shù)形式。所謂有影響的物理量是指對研究的物理過程起作用的各種獨立所謂有影響的物理量是指對研究的物理過程起作用的各種獨立因素因素 nm（2 2）選出）選出 個相互獨立的基本量，一般取個相互獨立的基本量，一般取 個個3micia（

9、4 4）根據(jù)量綱和諧性原理，找出各項的待定系數(shù)）根據(jù)量綱和諧性原理，找出各項的待定系數(shù) 、 、 。 ib（3 3）將）將 個基本量依次與其余量組成個基本量依次與其余量組成 個無量綱項個無量綱項 mn（5 5）寫出描述該物理過程的關(guān)系式）寫出描述該物理過程的關(guān)系式 0),(21mnF14Ddv例例9-3 9-3 已知圓球的繞流阻力已知圓球的繞流阻力 與流體的密度與流體的密度 和和粘度粘度 、圓球的直徑、圓球的直徑 、來流的流速、來流的流速 相關(guān)，相關(guān)，試用試用 定理推導(dǎo)繞流阻力公式。定理推導(dǎo)繞流阻力公式。 解解 （1 1）建立函數(shù)關(guān)系式）建立函數(shù)關(guān)系式 0),(vdDfdv（2 2）選?。┻x取

10、、 、 為三個基本量，求各為三個基本量，求各 項。項。 1111cbavdD2222abcd v15根據(jù)量綱和諧性原理根據(jù)量綱和諧性原理 1 111231LTMMLLLTacb111L:13abc 1T: 2c 1M:1a 11a21b21c221vdD12eRdv同理同理 （3 3）寫出無量綱方程）寫出無量綱方程 0),(122eRvdDF22()eDf Rd v1622dvC A228()42evdf R1111cbavdD2222abcd v例例9-4 9-4 根據(jù)實驗，某氣體管流現(xiàn)象的物理方程為根據(jù)實驗，某氣體管流現(xiàn)象的物理方程為 0),(ldvpf壓強損失：壓強損失： 氣體密度：氣體

11、密度： 流速：流速： 動力粘度：動力粘度： 管徑：管徑： 管長：管長： 管壁粗糙度：管壁粗糙度： pvdlp試用試用 定理推導(dǎo)氣體管路壓強損失定理推導(dǎo)氣體管路壓強損失 公式公式。 解解 dv（1 1）?。┤?、 、 作為三個基本量，求各作為三個基本量，求各 項項 1111cbavdp2222cbavd3333cbavdl4444abcd v17（2 2）根據(jù)量綱和諧性原理，略去具體計算步驟，求得各項）根據(jù)量綱和諧性原理，略去具體計算步驟，求得各項結(jié)果為結(jié)果為21vpeRdv12dl3d40),1,(2ddlRvpFe2),(vddlRfpe222 (,)22elvlvpf Rd dd （3 3

12、）寫出無量綱方程）寫出無量綱方程 ),(2dRfe189-2相似的基本概念相似的基本概念模型和實際流場的幾何形狀相似，即對應(yīng)的線段成比例，模型和實際流場的幾何形狀相似，即對應(yīng)的線段成比例，對應(yīng)的夾角相等。對應(yīng)的夾角相等。 mplllC mp長度比尺長度比尺 lC面積比尺面積比尺 222lmpmpACllAAC體積比尺體積比尺 333lmpmpVCllVVC1920幾何相似的意義：幾何相似的意義： 幾何相似是力學(xué)相似的前提，只有在幾何相幾何相似是力學(xué)相似的前提，只有在幾何相 似的流動中才能找到對應(yīng)點，從而進一步探討對似的流動中才能找到對應(yīng)點，從而進一步探討對應(yīng)點其它物理量之間的相似。應(yīng)點其它物理

13、量之間的相似。21兩個流場對應(yīng)點上的速度（或加速度）的方向相同，大小兩個流場對應(yīng)點上的速度（或加速度）的方向相同，大小成比例，即成比例，即 mpuuuC 速度比尺速度比尺 ppppmlvmmmptmlvtltCClvltCt加速度比尺加速度比尺 2ppppmlammmptmvatvtCCvavtCt時間比尺時間比尺 mptttC 重力加速度比尺重力加速度比尺 1pgmgCg222324運動相似是模型實驗的真正目的。運動相似是模型實驗的真正目的。運動相似的意義：運動相似的意義：兩個流動各對應(yīng)點上受到的各種同名力方向相同、大小兩個流動各對應(yīng)點上受到的各種同名力方向相同、大小成比例成比例 ，即，即m

14、pmpmpmpmpmpFIISSEEPPGGTTC粘性力粘性力重力重力壓力壓力彈性力彈性力表面張力表面張力慣性力慣性力TGPESI力的比尺力的比尺 密度比尺密度比尺 mpC粘度比尺粘度比尺 mpC25條件：條件：2 對應(yīng)點上同物理性質(zhì)的力方向相對應(yīng)，對應(yīng)點上同物理性質(zhì)的力方向相對應(yīng)， 大小成比例。大小成比例。1 幾何相似；幾何相似； 根據(jù)達郎貝爾原理，對于運動的質(zhì)點，設(shè)想加上該根據(jù)達郎貝爾原理，對于運動的質(zhì)點，設(shè)想加上該質(zhì)點的慣性力，則慣性力與質(zhì)點所受作用力平衡，形式質(zhì)點的慣性力，則慣性力與質(zhì)點所受作用力平衡，形式上構(gòu)成封閉力多邊形。因此動力相似又可表述為相應(yīng)點上構(gòu)成封閉力多邊形。因此動力相似

15、又可表述為相應(yīng)點上的力多邊形相似，相應(yīng)邊（即同名力）成比例。上的力多邊形相似，相應(yīng)邊（即同名力）成比例。26動力相似的意義：動力相似的意義：動力相似是力學(xué)相似的保證，是力學(xué)相似的主導(dǎo)因素。動力相似是力學(xué)相似的保證，是力學(xué)相似的主導(dǎo)因素。運動相似是動力相似的表征。運動相似是動力相似的表征。 271.1.初始條件和邊界條件的相似是保證兩個流動相似的必要條初始條件和邊界條件的相似是保證兩個流動相似的必要條件，正如初始條件和邊界條件是微分方程的定解條件一樣。件，正如初始條件和邊界條件是微分方程的定解條件一樣。2.2.對于非恒定流，初始條件是必須的，而對于恒定流，初始對于非恒定流，初始條件是必須的，而對

16、于恒定流，初始條件則失去了意義。條件則失去了意義。3.3.邊界條件是指兩個流動相應(yīng)邊界性質(zhì)相同，比如，自由表邊界條件是指兩個流動相應(yīng)邊界性質(zhì)相同，比如，自由表面上的壓強等于大氣壓強，固體邊界上的法線速度為零等。面上的壓強等于大氣壓強，固體邊界上的法線速度為零等。281.1.雷諾準則（粘性力準則）雷諾準則（粘性力準則）ppmmTITIp ppm mmpmv lv lp pm mpmv lv levdR雷諾數(shù)雷諾數(shù) ()()epemRR雷諾準則：粘性力雷諾準則：粘性力起主要作用。起主要作用。9-3 相似準則相似準則mpmpmpmpmpmpFIISSEEPPGGTTCpmmpIITT2duvTAlvldyl3222lImalv lt292.2.佛汝德佛汝德準則（重力準則）準則（重力準則）mmmpppglvglv222rvFlg佛汝德數(shù)