水利工程測量觀測誤差的基本知識

1、水利工程測量太原理工大學(xué)水利科學(xué)與工程學(xué)院1第五章第五章 觀測誤差的基本知識觀測誤差的基本知識 水利工程測量太原理工大學(xué)水利科學(xué)與工程學(xué)院21.1.測量誤差概述測量誤差概述2.2.偶然誤差特性偶然誤差特性3.3.衡量精度的標(biāo)準(zhǔn)衡量精度的標(biāo)準(zhǔn)4.4.誤差傳播定律誤差傳播定律6.等精度觀測的平差等精度觀測的平差7.7.不同精度觀測的平差不同精度觀測的平差 5 5.測量精度分析舉例測量精度分析舉例水利工程測量太原理工大學(xué)水利科學(xué)與工程學(xué)院35.1 5.1 測量誤差概述測量誤差概述 測量對象的量是客觀存在的，稱為測量對象的量是客觀存在的，稱為。對未知量進(jìn)行測量的過程稱為觀測。每次觀測所得的結(jié)果，對未知

2、量進(jìn)行測量的過程稱為觀測。每次觀測所得的結(jié)果，稱為稱為。 當(dāng)對某未知量進(jìn)行多次觀測時(shí)，觀測值之間往往存在當(dāng)對某未知量進(jìn)行多次觀測時(shí)，觀測值之間往往存在一定的差異，這種差異實(shí)質(zhì)上表現(xiàn)為觀測值與其真值之間一定的差異，這種差異實(shí)質(zhì)上表現(xiàn)為觀測值與其真值之間的差異，稱為的差異，稱為。 設(shè)觀測對象的真值為設(shè)觀測對象的真值為x ，觀測值為，觀測值為l ，則觀測值與真，則觀測值與真值的差值為值的差值為，即，即 。 測量工作的實(shí)踐表明，只要是觀測值必然含有誤差。測量工作的實(shí)踐表明，只要是觀測值必然含有誤差。同一人用同一臺經(jīng)緯儀對某一角度觀測若干個(gè)測回，同一人用同一臺經(jīng)緯儀對某一角度觀測若干個(gè)測回，各測回的觀測

3、值均不相等；各測回的觀測值均不相等； 水利工程測量太原理工大學(xué)水利科學(xué)與工程學(xué)院4 1、儀器誤差：由于儀器制造和校正不完善引起的誤差。、儀器誤差：由于儀器制造和校正不完善引起的誤差。 2、觀測誤差。、觀測誤差。 3、外界條件的影響。、外界條件的影響。 以上三個(gè)方面通常稱為以上三個(gè)方面通常稱為。觀測條件的好壞決定了。觀測條件的好壞決定了觀測質(zhì)量的高低，觀測條件相同所進(jìn)行的各次觀測稱為觀測質(zhì)量的高低，觀測條件相同所進(jìn)行的各次觀測稱為等精度等精度觀測觀測；觀測條件不相同的各次觀測，稱為；觀測條件不相同的各次觀測，稱為不等精度觀測不等精度觀測。三、測量誤差分類三、測量誤差分類 按照對觀測成果影響的性質(zhì)

4、不同，可分為按照對觀測成果影響的性質(zhì)不同，可分為。1、系統(tǒng)誤差：、系統(tǒng)誤差： 定義：在相同觀測條件下，對某一未知量進(jìn)行一系列的定義：在相同觀測條件下，對某一未知量進(jìn)行一系列的 觀測，若誤差出現(xiàn)的大小和符號均相同或按照一定的規(guī)律變化。觀測，若誤差出現(xiàn)的大小和符號均相同或按照一定的規(guī)律變化。這種性質(zhì)的誤差稱系統(tǒng)誤差。主要是由于測量儀器和工具構(gòu)造這種性質(zhì)的誤差稱系統(tǒng)誤差。主要是由于測量儀器和工具構(gòu)造不完善或校正后的剩余誤差所引起。不完善或校正后的剩余誤差所引起。5設(shè)用一把設(shè)用一把l0=30m，l實(shí)實(shí)=30.003m的鋼尺進(jìn)行距離丈的鋼尺進(jìn)行距離丈量，那么每量一整尺段就會產(chǎn)生量，那么每量一整尺段就會產(chǎn)

5、生3mm的誤差，這種誤差的誤差，這種誤差的大小、符號是固定的，誤差的大小與所量距離成正比。的大小、符號是固定的，誤差的大小與所量距離成正比。特性：累積性。特性：累積性。消除或減弱的方法：消除或減弱的方法： 采用計(jì)算改正的方法：如尺長誤差和溫度對尺長的影響； 采用一定的觀測方法：如水準(zhǔn)測量中采用前后視距相等的方法消除視準(zhǔn)軸誤差、橫軸不垂直于豎軸的誤差、度盤偏心差、地球曲率差等的影響。 測回法觀測水平角的視準(zhǔn)誤差，豎盤指標(biāo)差等。水利工程測量太原理工大學(xué)水利科學(xué)與工程學(xué)院6 定義：在相同的觀測條件下，對某量進(jìn)行一系列觀測，定義：在相同的觀測條件下，對某量進(jìn)行一系列觀測，若誤差出現(xiàn)的符號可正可負(fù)，數(shù)值

6、可大可小，從表面看若誤差出現(xiàn)的符號可正可負(fù)，數(shù)值可大可小，從表面看無任何規(guī)律性，這種性質(zhì)的誤差稱為偶然誤差。其產(chǎn)生無任何規(guī)律性，這種性質(zhì)的誤差稱為偶然誤差。其產(chǎn)生的原因往往是不固定的和難以控制的。的原因往往是不固定的和難以控制的。 例：測角時(shí)的照準(zhǔn)誤差、估讀誤差等。例：測角時(shí)的照準(zhǔn)誤差、估讀誤差等。 特特 性：性： 偶然誤差從表面上看，似乎沒有任何規(guī)律，但隨著對偶然誤差從表面上看，似乎沒有任何規(guī)律，但隨著對同一量觀測次數(shù)的增加，呈現(xiàn)一定的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性，且觀同一量觀測次數(shù)的增加，呈現(xiàn)一定的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性，且觀測次數(shù)越多，規(guī)律越明顯的。測次數(shù)越多，規(guī)律越明顯的。 消除或減弱的方法：無法消除，只能根據(jù)其特

7、性來合消除或減弱的方法：無法消除，只能根據(jù)其特性來合理地處理觀測數(shù)據(jù)，以減少偶然誤差對測量成果的影響。理地處理觀測數(shù)據(jù)，以減少偶然誤差對測量成果的影響。水利工程測量太原理工大學(xué)水利科學(xué)與工程學(xué)院7 即錯(cuò)誤。是由于觀測者操作錯(cuò)誤或粗心大意所即錯(cuò)誤。是由于觀測者操作錯(cuò)誤或粗心大意所造成的，如讀錯(cuò)記錯(cuò)數(shù)據(jù)、瞄錯(cuò)目標(biāo)等，觀測成果中造成的，如讀錯(cuò)記錯(cuò)數(shù)據(jù)、瞄錯(cuò)目標(biāo)等，觀測成果中是不允許存在的。為了杜絕粗差，除認(rèn)真仔細(xì)作業(yè)外，是不允許存在的。為了杜絕粗差，除認(rèn)真仔細(xì)作業(yè)外，還必須采取必要的檢核措施。還必須采取必要的檢核措施。 對距離進(jìn)行往返丈量，對角度重復(fù)觀測對距離進(jìn)行往返丈量，對角度重復(fù)觀測。水利工程測

8、量太原理工大學(xué)水利科學(xué)與工程學(xué)院8一、舉例：對一個(gè)三角形內(nèi)角進(jìn)行觀測，由于觀測存在一、舉例：對一個(gè)三角形內(nèi)角進(jìn)行觀測，由于觀測存在 誤差，三角形各內(nèi)角觀測值之和誤差，三角形各內(nèi)角觀測值之和 l l 不等于其理論值不等于其理論值180，其觀測值與真值之差真誤差，其觀測值與真值之差真誤差 = l-180 = l-180 現(xiàn)觀測了現(xiàn)觀測了358個(gè)三角形，按上式計(jì)算可得個(gè)三角形，按上式計(jì)算可得358個(gè)真誤差個(gè)真誤差，按其大小和一定的區(qū)間統(tǒng)計(jì)如下表：，按其大小和一定的區(qū)間統(tǒng)計(jì)如下表：a ab bc ci i=a=ai i+b+bi i+c+ci i-180-180（i=1,2, 358）5.2 5.2

9、偶然誤差的特性偶然誤差的特性水利工程測量太原理工大學(xué)水利科學(xué)與工程學(xué)院9誤差的區(qū)間誤差的區(qū)間 為正值為正值 為負(fù)值為負(fù)值個(gè)數(shù)個(gè)數(shù)k頻率頻率k/nk/n*d個(gè)數(shù)個(gè)數(shù)頻率頻率k/n*d00.2210.1300.650210.1300.6500.20.4190.1170.585190.1170.5850.40.6150.0930.465120.0740.3700.60.890.0560.280110.0680.3400.81.090.0560.28080.0490.2451.01.250.0310.15560.0370.1851.21.410.0060.03030.0180.0901.41.610.

10、0060.03020.0120.0601.6以上以上000000800.4950.101820.5050.099水利工程測量太原理工大學(xué)水利科學(xué)與工程學(xué)院10 圖圖5-1中，橫坐標(biāo)表示誤差大小，縱坐標(biāo)為各區(qū)間誤中，橫坐標(biāo)表示誤差大小，縱坐標(biāo)為各區(qū)間誤差出現(xiàn)頻率除以區(qū)間間隔差出現(xiàn)頻率除以區(qū)間間隔K/n*d ，長方條面積代表該區(qū)，長方條面積代表該區(qū)間的間的頻率。頻率。 誤差出現(xiàn)在區(qū)間的個(gè)數(shù)成為頻數(shù)，用誤差出現(xiàn)在區(qū)間的個(gè)數(shù)成為頻數(shù)，用K表示，表示，頻數(shù)除以總個(gè)數(shù)稱為頻率頻數(shù)除以總個(gè)數(shù)稱為頻率水利工程測量太原理工大學(xué)水利科學(xué)與工程學(xué)院11結(jié)結(jié) 論論偶然誤差的絕對值不會超過一定的限值。偶然誤差的絕對值不

11、會超過一定的限值。有限性有限性絕對值小的誤差比絕對值大的誤差出現(xiàn)的機(jī)會多。絕對值小的誤差比絕對值大的誤差出現(xiàn)的機(jī)會多。 小誤差密集型小誤差密集型絕對值相等的正負(fù)誤差出現(xiàn)的機(jī)會相等。絕對值相等的正負(fù)誤差出現(xiàn)的機(jī)會相等。對稱性對稱性偶然誤差的平均值隨觀測次數(shù)的增加而趨于零，即偶然誤差的平均值隨觀測次數(shù)的增加而趨于零，即 抵償性抵償性,偶然誤差最本質(zhì)的統(tǒng)計(jì)特性。凡是有抵償偶然誤差最本質(zhì)的統(tǒng)計(jì)特性。凡是有抵償性的誤差，原則上都可按偶然誤差處理。性的誤差，原則上都可按偶然誤差處理。 0limlim21nnnnn水利工程測量太原理工大學(xué)水利科學(xué)與工程學(xué)院12二、誤差概率分布曲線二、誤差概率分布曲線 繼續(xù)增

12、加觀測次數(shù)，當(dāng)觀測次數(shù)趨于無窮大時(shí)，各誤差出現(xiàn)頻繼續(xù)增加觀測次數(shù)，當(dāng)觀測次數(shù)趨于無窮大時(shí)，各誤差出現(xiàn)頻率將趨于一個(gè)完全確定的值，這個(gè)值就是誤差出現(xiàn)在各區(qū)間的頻率。率將趨于一個(gè)完全確定的值，這個(gè)值就是誤差出現(xiàn)在各區(qū)間的頻率。當(dāng)誤差區(qū)間無限縮小，那么直方圖中長方條頂邊所形成的折線將成當(dāng)誤差區(qū)間無限縮小，那么直方圖中長方條頂邊所形成的折線將成為一條光滑的曲線，稱為為一條光滑的曲線，稱為誤差分布曲線誤差分布曲線，如圖，如圖5-1 b所示。所示。水利工程測量太原理工大學(xué)水利科學(xué)與工程學(xué)院13三、分析標(biāo)準(zhǔn)差三、分析標(biāo)準(zhǔn)差1. 與觀測誤差及偶然誤差概率密度與觀測誤差及偶然誤差概率密度f()的關(guān)系的關(guān)系222

13、21ef水利工程測量太原理工大學(xué)水利科學(xué)與工程學(xué)院142. 2. 與誤差分布曲線拐點(diǎn)的關(guān)系與誤差分布曲線拐點(diǎn)的關(guān)系y=f()y-+標(biāo)準(zhǔn)差是分布曲線拐點(diǎn)的橫坐標(biāo)，可由標(biāo)準(zhǔn)差是分布曲線拐點(diǎn)的橫坐標(biāo)，可由f()的二階的二階導(dǎo)數(shù)等于導(dǎo)數(shù)等于0零求得。零求得。水利工程測量太原理工大學(xué)水利科學(xué)與工程學(xué)院153.3.標(biāo)準(zhǔn)差標(biāo)準(zhǔn)差 的概率值的概率值P P（ ） P P（- - ）=68.3%=68.3% P P（- 2 - 2 2 2 ）=95.4%=95.4% P P（- 3 - 3 3 3 ）=99.7%=99.7%+y=f()y-+水利工程測量太原理工大學(xué)水利科學(xué)與工程學(xué)院161 1、標(biāo)準(zhǔn)差、標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)

14、算公式的計(jì)算公式nDnlim22 2、中誤差就是標(biāo)準(zhǔn)差、中誤差就是標(biāo)準(zhǔn)差，以，以m m表示，用來衡量觀測值精度的表示，用來衡量觀測值精度的高低。與高低。與的不同在于觀測個(gè)數(shù)的差異。的不同在于觀測個(gè)數(shù)的差異。 在相同的觀測條件下，對某未知量進(jìn)行在相同的觀測條件下，對某未知量進(jìn)行n n次觀測，其觀次觀測，其觀測值為測值為l1、 l2 、 、l n，若該未知量的真值為，若該未知量的真值為x x，由可得相，由可得相應(yīng)的真誤差應(yīng)的真誤差1 1、2 2、n(n(注：注：i=li-x)i=li-x)。則中誤差。則中誤差可由各真誤差平方的平均值進(jìn)行計(jì)算：可由各真誤差平方的平均值進(jìn)行計(jì)算： 5.3 衡量精度的標(biāo)

15、準(zhǔn)衡量精度的標(biāo)準(zhǔn)是指在對某一量的多次觀測中，各個(gè)觀測值之是指在對某一量的多次觀測中，各個(gè)觀測值之間的離散程度。若觀測值非常集中，則精度高；反之，則間的離散程度。若觀測值非常集中，則精度高；反之，則精度低。精度低。水利工程測量太原理工大學(xué)水利科學(xué)與工程學(xué)院17nm22221n 由上式可見，中誤差與與真誤差的關(guān)系，它不等于真誤由上式可見，中誤差與與真誤差的關(guān)系，它不等于真誤差，只是一組觀測值的精度指標(biāo)，中誤差越小，誤差分布得差，只是一組觀測值的精度指標(biāo)，中誤差越小，誤差分布得越密集，相應(yīng)的觀測成果的精度就越高，中誤差越大，誤差越密集，相應(yīng)的觀測成果的精度就越高，中誤差越大，誤差分布得越離散，相應(yīng)的

16、觀測成果的精度越低。分布得越離散，相應(yīng)的觀測成果的精度越低。式中：式中： 中誤差的估算值的計(jì)算公式中誤差的估算值的計(jì)算公式水利工程測量太原理工大學(xué)水利科學(xué)與工程學(xué)院18例：設(shè)有例：設(shè)有A、B兩個(gè)小組，對一三角形進(jìn)行了十次觀測，兩個(gè)小組，對一三角形進(jìn)行了十次觀測， 分別求出真誤差為：分別求出真誤差為： A：-6、+5、+2、+4、-2、+8、 -8、-7、+9、-4 B：-11、+6、+15、+23、-7、-2、 +13、-21、0、-18 試求試求A、B兩組觀測值的中誤差。兩組觀測值的中誤差。解：解： 可見可見A組觀測精度比組觀測精度比B組高。組高。 在觀測次數(shù)在觀測次數(shù)n有限的情況下，中誤差

17、的計(jì)算公式首先直接有限的情況下，中誤差的計(jì)算公式首先直接反映出觀測成果中是否存在著大誤差，如上例反映出觀測成果中是否存在著大誤差，如上例B組就受到幾個(gè)組就受到幾個(gè)較大誤差的影響。較大誤差的影響。 0 . 6nmA8 .13nmB水利工程測量太原理工大學(xué)水利科學(xué)與工程學(xué)院19二、相對誤差：二、相對誤差：真誤差、中誤差和容許誤差，僅真誤差、中誤差和容許誤差，僅僅表示誤差本身的大小，稱為絕對誤差。在某僅表示誤差本身的大小，稱為絕對誤差。在某種情況下，用絕對誤差來評定值的精度，不能種情況下，用絕對誤差來評定值的精度，不能反映出觀測的質(zhì)量。反映出觀測的質(zhì)量。 例：丈量兩段距離，例：丈量兩段距離，D1=1

18、00m，m1=1cm，D2=30m，m2=1cm ，雖然兩，雖然兩者的中誤差相等，但不能它們的丈量精度相同，者的中誤差相等，但不能它們的丈量精度相同，顯然前者精度較高。這時(shí)中誤差已不能反映出顯然前者精度較高。這時(shí)中誤差已不能反映出觀測的質(zhì)量，必須用相對誤差來評定。觀測的質(zhì)量，必須用相對誤差來評定。水利工程測量太原理工大學(xué)水利科學(xué)與工程學(xué)院20三、容許誤差：三、容許誤差：l在一定觀測條件下，偶然誤差的絕對值不應(yīng)超過的限值，用在一定觀測條件下，偶然誤差的絕對值不應(yīng)超過的限值，用來衡量觀測值是否被采用的標(biāo)準(zhǔn)。又稱限差。通常取來衡量觀測值是否被采用的標(biāo)準(zhǔn)。又稱限差。通常取2-3倍倍中誤差作為偶然誤差的

19、容許值中誤差作為偶然誤差的容許值,lP（- 2 2 ）=95.4%lP（- 3 3 ）=99.7%m或m容容32絕對誤差的絕對值與相應(yīng)量之比，它是一絕對誤差的絕對值與相應(yīng)量之比，它是一個(gè)無名數(shù)，以分子為個(gè)無名數(shù)，以分子為1的分?jǐn)?shù)形式來表示。上例中，的分?jǐn)?shù)形式來表示。上例中， 可直觀發(fā)看出，后者的精度高于前者?？芍庇^發(fā)看出，后者的精度高于前者。 10000101. 0100111111mDDmk3000101.030112222mDDmk水利工程測量太原理工大學(xué)水利科學(xué)與工程學(xué)院215.4 5.4 誤差傳播定律誤差傳播定律 對于能直接觀測的量對于能直接觀測的量(如角度、距離、高差等如角度、距離、

20、高差等)，經(jīng)過多，經(jīng)過多次觀測后，便可通過真誤差或改正數(shù)計(jì)算出觀測值的中誤差，次觀測后，便可通過真誤差或改正數(shù)計(jì)算出觀測值的中誤差，作為評定觀測值精度的標(biāo)準(zhǔn)。作為評定觀測值精度的標(biāo)準(zhǔn)。 但在實(shí)際工作中，某些未知量不可能或不便于直接進(jìn)行但在實(shí)際工作中，某些未知量不可能或不便于直接進(jìn)行觀測，而需要由另一些直接觀測量根據(jù)一定的函數(shù)關(guān)系計(jì)算觀測，而需要由另一些直接觀測量根據(jù)一定的函數(shù)關(guān)系計(jì)算出來，這些未知量即為觀測值的函數(shù)。例如，在水準(zhǔn)測量中，出來，這些未知量即為觀測值的函數(shù)。例如，在水準(zhǔn)測量中，兩點(diǎn)間的高差兩點(diǎn)間的高差h=a-b，則，則h是直接觀測值是直接觀測值a和和b的函數(shù)；在三角的函數(shù)；在三角高

21、程測量的計(jì)算公式中，如果覘標(biāo)高高程測量的計(jì)算公式中，如果覘標(biāo)高v等于儀器高等于儀器高i，則，則h=l tan，這時(shí)，高差，這時(shí)，高差h就是觀測值就是觀測值l和和的函數(shù)，等等。的函數(shù)，等等。 本節(jié)所要討論的就是在觀測值中誤差為已知的情況下，如本節(jié)所要討論的就是在觀測值中誤差為已知的情況下，如何求觀測值函數(shù)中誤差的問題。闡述觀測值中誤差與函數(shù)中何求觀測值函數(shù)中誤差的問題。闡述觀測值中誤差與函數(shù)中誤差之間數(shù)學(xué)關(guān)系的定律，稱為誤差之間數(shù)學(xué)關(guān)系的定律，稱為誤差傳播定律誤差傳播定律。水利工程測量太原理工大學(xué)水利科學(xué)與工程學(xué)院22一、一、 線性函數(shù)線性函數(shù)1 1、一般線性函數(shù)、一般線性函數(shù) 設(shè)有函數(shù)設(shè)有函數(shù)

22、Z=KZ=Kx xK K2 2x xk kn nxnxn 式中，式中，K K、K K2 2k kn n為常數(shù)為常數(shù);x;x、x xxnxn為獨(dú)立觀為獨(dú)立觀測值，其相應(yīng)的中誤差分別為測值，其相應(yīng)的中誤差分別為m m、m mm mn n。水利工程測量太原理工大學(xué)水利科學(xué)與工程學(xué)院2322m22k21m21k2zm可得：n2x12k1k2n2）2x（ 22kn2）1x（ 21kn2n，有n以等號兩號兩邊平房求和n）2x（2kn）1x（1knZ.2）2x（2k2）1x（1k2Z1）2x（2k1）1x（1k1Z次 觀觀測，可n均 進(jìn)進(jìn)行2x、1x對2x2k1x1kZ關(guān)系式：）2x2x（2k）1x1x（1

23、kZ Z ，有式Z必有真誤，2x、1x為的2x、1x若2x2k1x1k Z可得真誤差差則函數(shù)真誤差獨(dú)立觀測值進(jìn)行討論為了推導(dǎo)簡便，以兩個(gè)水利工程測量太原理工大學(xué)水利科學(xué)與工程學(xué)院24推廣之，可得線性函數(shù)中誤差的公式為：推廣之，可得線性函數(shù)中誤差的公式為： m m2 2（k km m）（k km m）（k kn nm mn n) )2 2水利工程測量太原理工大學(xué)水利科學(xué)與工程學(xué)院25 2 2、倍數(shù)函數(shù)、倍數(shù)函數(shù) 設(shè)有函數(shù)設(shè)有函數(shù) Z=KxZ=Kx 式中：式中：x x為直接觀測值，其中誤差為為直接觀測值，其中誤差為m m x x；為常數(shù)；為常數(shù)；Z Z為觀測值為觀測值x x的函數(shù)。的函數(shù)。 若對若

24、對x x作作n n次同精度觀測，則有：次同精度觀測，則有： m m2 22 2m mx x2 2 或或 m mm mx x 上式表明：對于倍數(shù)函數(shù)，函數(shù)的中誤差等于觀測值中上式表明：對于倍數(shù)函數(shù)，函數(shù)的中誤差等于觀測值中誤差的誤差的K K倍。倍。水利工程測量太原理工大學(xué)水利科學(xué)與工程學(xué)院263 3、和、差函數(shù)、和、差函數(shù) 設(shè)有函數(shù)設(shè)有函數(shù) Z=xZ=x1 1x x2 2 式中，式中，x x1 1、x x2 2為兩個(gè)相互獨(dú)立的觀測值，均作了為兩個(gè)相互獨(dú)立的觀測值，均作了n n次觀測，次觀測，其中誤差分別為其中誤差分別為m1和和m2。用同樣的方法可推導(dǎo)出。用同樣的方法可推導(dǎo)出: :4 4、算術(shù)平均

25、值、算術(shù)平均值 設(shè)有函數(shù)設(shè)有函數(shù)Z=1/2(x1+x2)Z=1/2(x1+x2)，則，則22212mmmz222121mmmz).().(),.,(),.,(221122112121xxxxxxxxxxxxnnnnnnxfxfxfZxfxfxffZZfZ故按臺勞級數(shù)展開設(shè)獨(dú)立觀測值的函數(shù)為2.22.131321222222212211121nnnnxxxfxxxfxxxfZNnnxfxfxfxxfxxfxxf得個(gè)關(guān)系式平方后再總和將二、二、 非線性函數(shù)非線性函數(shù)mxfmxfmxfmxfmxfmxfxxfxxfxxfxnxxZxnxxZnnnnmmNNZN22222212222222122222

26、222122.212121或時(shí)當(dāng)?shù)脙蛇叧詴r(shí)當(dāng)例例1-21.1.量得某圓形建筑物得直徑量得某圓形建筑物得直徑D=34.50m,D=34.50m,其中誤其中誤差差 , ,求建筑物得園周長及其中誤差。求建筑物得園周長及其中誤差。解：圓周長解：圓周長)(03. 038.10803. 0)01. 0(1416. 338.10850.341416. 3mPmmmDPDP結(jié)果可寫成中誤差差及其中誤差。兩點(diǎn)間的高求中誤差得高差到從中誤差得高差進(jìn)行到水準(zhǔn)測量從CAmmCBmmmhmhhBCBChABAB,009. 0,747. 5,012. 0,476.15 B,A 2.)(015. 0223.21015.

27、0223.21747. 5476.15009. 0012. 02222mmmhmmmhhhAChBChABhACBCABAC解：例例33.用長用長30m得鋼尺丈量了得鋼尺丈量了10個(gè)尺段，若每尺段的中誤差為個(gè)尺段，若每尺段的中誤差為5mm，求全長，求全長D及其中誤差。及其中誤差。)(016.030016105.30010301021mDmmnmmDmDlDlll但解：全長例例4mmDmsDmsDsDsDDmmmsssDsm048.020626503)9410.12(05.09659.09410.1215sin50sin9659.015coscoscos,0300001505.0,00.50.4

28、22222222 解：及其中誤差。求相應(yīng)水平距離，其中誤差并測得傾斜角其中誤差丈量傾斜距離水利工程測量太原理工大學(xué)水利科學(xué)與工程學(xué)院325.5 5.5 測量精度分析舉例測量精度分析舉例一、有關(guān)水準(zhǔn)測量的精度分析一、有關(guān)水準(zhǔn)測量的精度分析 （1 1） 一個(gè)測站高差的中誤差一個(gè)測站高差的中誤差 （2 2） 水準(zhǔn)路線的高差中誤差及允許誤差水準(zhǔn)路線的高差中誤差及允許誤差 讀站m2m站mnmhmmm3站L12 153LmhL40 10nf允水利工程測量太原理工大學(xué)水利科學(xué)與工程學(xué)院33二、有關(guān)水平角觀測的精度分析二、有關(guān)水平角觀測的精度分析 用用DJ6DJ6型經(jīng)緯儀觀測水平角，設(shè)望遠(yuǎn)鏡在盤左或盤右型經(jīng)緯

29、儀觀測水平角，設(shè)望遠(yuǎn)鏡在盤左或盤右觀測一個(gè)方向的中誤差為觀測一個(gè)方向的中誤差為m m方方, ,一個(gè)方向觀測一個(gè)測回一個(gè)方向觀測一個(gè)測回的中誤差為的中誤差為 ，則有公式，則有公式 即即6 26方m 5 . 862 方m（1）半測回所得角值的中誤差）半測回所得角值的中誤差 2125 . 82 方半mm（2）上下兩個(gè)半測回的限差）上下兩個(gè)半測回的限差 以兩個(gè)半測回角值之差來衡量，兩個(gè)半測回角值之以兩個(gè)半測回角值之差來衡量，兩個(gè)半測回角值之 差的中誤差為差的中誤差為 712122 半mm水利工程測量太原理工大學(xué)水利科學(xué)與工程學(xué)院34取兩倍中誤差為允許誤差，則有取兩倍中誤差為允許誤差，則有437122

30、mf允（3）測角中誤差）測角中誤差 5.82212 半mm（4）測回差的限差）測回差的限差 兩個(gè)測回角值之差為測回差，它的中誤差為兩個(gè)測回角值之差為測回差，它的中誤差為 2125 . 82 mm測回差取兩倍中誤差作為限差取兩倍中誤差作為限差422122 測回差測回差mf水利工程測量太原理工大學(xué)水利科學(xué)與工程學(xué)院355.6 5.6 等精度觀測的平差等精度觀測的平差 最小二乘法原理是平差應(yīng)遵循的原則。最小二乘法原理是平差應(yīng)遵循的原則。一、求最或是值一、求最或是值 設(shè)對某量進(jìn)行了設(shè)對某量進(jìn)行了n n次等精度觀測，觀測值為次等精度觀測，觀測值為L Li i （i=1i=1、2 2n n）, ,最或是值

31、為最或是值為 ，v vi i為觀測值的為觀測值的改正數(shù)，則有改正數(shù)，則有上式兩邊平方求和得上式兩邊平方求和得 LiiLLv 22221)(.)()(nLLLLLLvv水利工程測量太原理工大學(xué)水利科學(xué)與工程學(xué)院36 根據(jù)最小二乘原理，必須使根據(jù)最小二乘原理，必須使 最小，將最小，將 對對 取一階二階導(dǎo)數(shù)，有下式取一階二階導(dǎo)數(shù)，有下式L vv 02);(2.)(2)(2221nvvLddLLLLLLvvLddn二階導(dǎo)數(shù)大于零，因此一階導(dǎo)數(shù)等于零時(shí)，二階導(dǎo)數(shù)大于零，因此一階導(dǎo)數(shù)等于零時(shí)， 為最小，為最小，由此，求得最或是值：由此，求得最或是值： vv nLLLLLLLnn或,.21如果將式如果將式

32、求和得：求和得：iiLLv0LnLnLLnv此式可作為校核改正數(shù)是否有錯(cuò)的依據(jù)。此式可作為校核改正數(shù)是否有錯(cuò)的依據(jù)。 vv水利工程測量太原理工大學(xué)水利科學(xué)與工程學(xué)院37二、觀測值的中誤差 由式 可推得式 nm1nvvm三、算術(shù)平均值中誤差三、算術(shù)平均值中誤差 根據(jù)誤差傳播定律，等精度觀測由觀測值中誤差根據(jù)誤差傳播定律，等精度觀測由觀測值中誤差m求得求得算術(shù)平均值中誤差算術(shù)平均值中誤差 為為Lm)1(nnvvnmmL水利工程測量太原理工大學(xué)水利科學(xué)與工程學(xué)院385 .19151520 m7 . 855 .19 LmL平均值觀測次序觀測值LiVvv計(jì)算185 42 20-14 196285 42

33、00+636385 42 00+636485 41 40+26676585 42 30-24576 =8542 06v=0vv=1520例例:水利工程測量太原理工大學(xué)水利科學(xué)與工程學(xué)院39一、權(quán)（用一、權(quán)（用 p p 表示）表示） 權(quán)是表示觀測值可靠程度的一個(gè)相對性數(shù)值權(quán)是表示觀測值可靠程度的一個(gè)相對性數(shù)值權(quán)的特性權(quán)的特性權(quán)愈大表示觀測值愈可靠權(quán)愈大表示觀測值愈可靠權(quán)是相對數(shù)值，故單獨(dú)一個(gè)值無意義權(quán)是相對數(shù)值，故單獨(dú)一個(gè)值無意義權(quán)始終取正號權(quán)始終取正號權(quán)可以用一數(shù)乘除其意義不變權(quán)可以用一數(shù)乘除其意義不變5.6 5.6 不等精度觀測的平差不等精度觀測的平差水利工程測量太原理工大學(xué)水利科學(xué)與工程學(xué)

34、院40怎樣定權(quán)怎樣定權(quán)取中誤差定權(quán)取中誤差定權(quán)2iimp從實(shí)際出發(fā)從實(shí)際出發(fā)iiLp測角取測回?cái)?shù)測角取測回?cái)?shù)iinp二、求不同精度觀測值的最可靠值二、求不同精度觀測值的最可靠值( (最或是值最或是值) ) 加權(quán)算術(shù)平均值加權(quán)算術(shù)平均值加權(quán)算術(shù)平均值：加權(quán)算術(shù)平均值：水利工程測量太原理工大學(xué)水利科學(xué)與工程學(xué)院41三、最可靠值（最或是值）的精度評定三、最可靠值（最或是值）的精度評定 pplppplplplpLnnn212211 （一）最或是值的中誤差（一）最或是值的中誤差 pmL加權(quán)加權(quán)平均值的中誤差平均值的中誤差 （二）單位權(quán)觀測值中誤差（二）單位權(quán)觀測值中誤差 pplppplplplpxnnn2122111npvv水利工程測量太原理工大學(xué)水利科學(xué)與工程學(xué)院42例：ABChBE=-2.330mhCE =1.782mhAE=1.538mE已知：已知：A,B, C為三個(gè)已知水準(zhǔn)點(diǎn)，如下圖所示，為三個(gè)已知水準(zhǔn)點(diǎn)，如下圖所示，高高程分別為程分別為HA=20.145、HB=24.030、